初三相似三角形知識點(diǎn)以及經(jīng)典例題

1、相像三角形學(xué)問點(diǎn)以及典例學(xué)問點(diǎn) 1有關(guān)相像形的概念(1) 外形相同的圖形叫相像圖形，在相像多邊形中，最簡潔的是相像三角形 .(2) 假如兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相像多邊形相像多邊形對應(yīng)邊長度的比叫做相像比 相像系數(shù) 學(xué)問點(diǎn) 2比例線段的相關(guān)概念（ 1）在四條線段稱比例線段a, b, c, d 中，假如a 和 b 的比等于c 和 d 的比，那么這四條線段a,b,c, d 叫做成比例線段，簡注：比例線段是有次序的，假如說a 是 b, c, d的第四比例項(xiàng)，那么應(yīng)得比例式為：bdca 在比例式a c a : bc : d 中， a、d 叫比例外項(xiàng)，b、c 叫比

2、例內(nèi)項(xiàng) , a 、c 叫比例前項(xiàng)，b、d 叫b d比例后項(xiàng) , 假如 b=c ，即a：bb： d 那么 b 叫做 a、d 的比例中項(xiàng)，此時(shí)有 b 2ad ；學(xué)問點(diǎn) 3比例的性質(zhì)（留意性質(zhì)立的條件：分母不能為0）（ 1） 基本性質(zhì)： a:bc :dadbc； a : bb : cb2ac 注：由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如adbc ，除了可化為a : bc : d 等；（ 2） 更比性質(zhì) 交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng) ：abcda cdcb dba，交換內(nèi)項(xiàng)，交換外項(xiàng)（ 3）反比性質(zhì) 把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換 ：acabcdbdbd（ 4）合、分比性質(zhì)：b 同時(shí)交換內(nèi)外項(xiàng)

3、 adacbc dbdac典型例題：例題 1：已知線段a 6 cm ， b 2 cm ，就 a、b、 a b 的第四比例項(xiàng)是 cm， a b 與 a b 的比例中項(xiàng)是 cm 例題 2：如ab bc caac m2 ，就 m b學(xué)問點(diǎn) 4比例線段的有關(guān)定理1. 三角形中平行線分線段成比例定理: 平行于三角形一邊的直線截其它兩邊 或兩邊的延長線 所得的對應(yīng)線段成比例 .重要結(jié)論：平行于三角形的一邊, 并且和其它兩邊相交的直線, 所截的三角形的三邊 與原三角形三邊 對應(yīng)成比例. 相像 2. 平行線分線段成比例定理: 三條平行線截兩條直線, 所截得的對應(yīng)線段成比例.學(xué)問點(diǎn) 5相像三角形的概念對應(yīng)角相等

4、，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相像三角形相像用符號“”表示，讀作“相像于”相像三角形對應(yīng)邊的比叫做相像比 或相像系數(shù) 相像三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例注： 對應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相像時(shí)，肯定要把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)位置上，這樣寫比較簡潔找到相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊次序性：相像三角形的相像比是有次序的1學(xué)問點(diǎn) 6三角形相像的等價(jià)關(guān)系與三角形相像的判定定理的預(yù)備定理(1) 相像三角形的等價(jià)關(guān)系：反身性：對于任一abc 有abc abc 對稱性：如abc a' b' c'，就a' b' c' abc 傳遞性：如abc a' b'

5、c ，且a' b' c a b c，就abc a b c(2) 三角形相像的判定定理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊 或兩邊延長線 相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相像定理的基本圖形：aa edadebcbc(3)cb1用數(shù)學(xué)語言表述是：de2de / bc ，ade abc 學(xué)問點(diǎn) 7三角形相像的判定方法1、定義法：三個(gè)對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相像2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊 或兩邊的延長線 相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相像3、判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相像a4、判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相像5、判定定理

6、3：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相像6、判定直角三角形相像的方法：(1) 以上各種判定均適用bdc(2) 假如一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相像（射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)；）222如圖， rt abc中， bac=90°， ad 是斜邊bc上的高，就ad =bd· dc， ab =bd· bc ， ac=cd· bc ；經(jīng)典例題：例題1：判定對錯(cuò)：1 兩個(gè)直角三角形肯定相像嗎？為什么？2兩個(gè)

7、等腰三角形肯定相像嗎？為什么？3 兩個(gè)等腰直角三角形肯定相像嗎？為什么？4兩個(gè)等邊三角形肯定相像嗎？為什么？5 兩個(gè)全等三角形肯定相像嗎？為什么？例題2：以下能夠相像的一組三角形為a. 全部的直角三角形b. 全部的等腰三角形c.全部的等腰直角三角形d.全部的一邊和這邊上的高相等的三角形例題3：如下列圖，已知中， e 為 ab延長線上的一點(diǎn)，ab=3be，de與 bc相交于 f，請找出圖中各對相像三角形，并求出相應(yīng)的相像比.例題4：已知在rt abc 中， c=90°， ab=10 ，bc=6. 在 rt edf 中， f=90°， df=3 ， ef=4 ，就 abc和 e

8、df 相像嗎？為什么？2例題5：如下列圖，點(diǎn)d 在 abc 的邊 ab 上，滿意怎樣的條件時(shí)，acd 與 abc 相像？試分別加以列舉.例題6：已知：如圖正方形abcd 中， p 是 bc 上的點(diǎn) ，且 bp=3pc ，q 是 cd 的中點(diǎn)求證：adq qcp例題7：已知：如圖，ad 是 abc 的高， e、f 分別是 ab 、ac 的中點(diǎn)求證：dfe abc 例題8：如圖， abc 中， cd ab 于 d， e 為 bc 中點(diǎn)，延長ac、de 相交于點(diǎn) f，求證ac bcaf df例題9：如圖，在abc中， ab ac，延長 bc至 d，使得 cd bc，ce bd交 ad于 e，連結(jié) b

9、e 交 ac于 f，求證 affc例題10： 如圖， bd 、ce 分別是 abc 的兩邊上的高， 過 d 作 dg bc 于 g，分別交 ce 及 ba 的延長線于f、 h ，求證：（ 1）dg 2 bg· cg；（2） bg· cg gf · gh 3例題11：如圖， abc cdb 90°， ac a， bc b（ 1）當(dāng) bd與 a、b 之間滿意怎樣的關(guān)系時(shí)，abc cdb？（ 2）過點(diǎn) a 作 bd的垂線，與db的延長線交于點(diǎn)e，如 abc cdb求證四邊形aedc為矩形（自己完成 圖形）學(xué)問點(diǎn) 8相像三角形的性質(zhì)(1) 相像三角形對應(yīng)角相等，

10、對應(yīng)邊成比例(2) 相像三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相像比(3) 相像三角形周長的比等于相像比(4) 相像三角形面積的比等于相像比的平方注：相像三角形性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可用來運(yùn)算周長、邊長等學(xué)問點(diǎn) 9相像三角形中有關(guān)證（解）題規(guī)律與幫助線作法1、證明四條線段成比例的常用方法：(1) 線段成比例的定義2三角形相像的預(yù)備定理3利用相像三角形的性質(zhì)4 利用中間比等量代換5利用面積關(guān)系2、證明題常用方法歸納：（ 1）總體思路 : “等積”變“比例” ，“比例”找“相像”(2) 找相像：通過“橫找”“豎看”查找三角形，即橫向看或縱向查找的時(shí)候一共各有三個(gè)不同的

11、字母，并且這幾個(gè)字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相像的，就可證明這兩個(gè)三角形相像，然后由相像三角形對應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論 .(3) 找中間比： 如沒有三角形 即橫向看或縱向查找的時(shí)候一共有四個(gè)字母或者三個(gè)字母，但這幾個(gè)字母在同一條直線上 ，就需要進(jìn)行“轉(zhuǎn)移” 或“替換” ，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、 等積代換 . 即：找相像找不到，找中間比；方法：將等式左右兩邊的比表示出來； am , cm m 為中間比 a mc,m , nn 'b nd am , cbndnn'm mn 'm' , nn ' 或

12、mm 'nn 'bndn'(4) 添加幫助線：如上述方法仍不能奏效的話，可以考慮添加幫助線 通常是添加平行線 構(gòu)成比例 . 以上步驟可以不斷的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為止.注： 添加幫助平行線是獲得成比例線段和相像三角形的重要途徑；平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線（即得平行線）構(gòu)造相像三角形或比例線段；（ 5）比例問題：常用處理方法是將“一份”看著k; 對于等比問題，常用處理方法是設(shè)“公比”為k ；（ 6）對于復(fù)雜的幾何圖形，通常采納將部分需要的圖形（或基本圖形）“分別”出來的方法處理；典型例題：例題 1： abc def，如 abc的邊長分別為5cm、6cm、7cm，而

13、 4cm 是 def中一邊的長度，你能求出def的另外兩邊的長度嗎？試說明理由.4例題 2：如下列圖，已知abc中， ad是高，矩形efgh內(nèi)接于 abc中，且長邊f(xié)g在 bc上，矩形相鄰兩邊的比為 1： 2，如 bc=30cm， ad=10cm.求矩形 efgh的面積 .例題 3： abc 中， de bc ， m 為 de 中點(diǎn)， cm 交 ab 于 n ，如，求例題 4：已知：如圖，在abc 與 cad 中， da bc ，cd 與 ab 相交于 e 點(diǎn)，且 ae eb=1 2，ef bc 交ac 于 f 點(diǎn)， ade 的面積為1，求 bce 和 aef 的面積例題 5：如圖，已知：ab

14、c中， ab=5， bc=3，ac=4， pq/ab， p點(diǎn)在 ac上 與點(diǎn) a、c不重合 ， q點(diǎn)在 bc上1 當(dāng) pqc的面積與四邊形pabq的面積相等時(shí)，求cp的長；2 當(dāng) pqc的周長與四邊形pabq的周長相等時(shí)，求cp的長；例題 6：如圖， abcd， a=90°， ab=2， ad=5，p 是 ad上一動(dòng)點(diǎn) 不與 a、d 重合 ， pe bp， p 為垂足， pe交dc于點(diǎn) e，(1) 設(shè) ap=x， de=y，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x 的取值范疇；(2) 請你探究在點(diǎn)p 運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形abed能否構(gòu)成矩形？假如能，求出ap的長；假如不能，請說明理

15、由.5學(xué)問點(diǎn) 10位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)及作法1. 假如兩個(gè)圖形不僅是相像圖形，而且每組對應(yīng)頂點(diǎn)的連線都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.2. 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相像比又稱為位似比.注：注：（ 1） 位似圖形是相像圖形的特例，位似圖形不僅相像，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn).（ 2） 位似圖形肯定是相像圖形，但相像圖形不肯定是位似圖形.（ 3） 位似圖形的對應(yīng)邊相互平行或共線.3. 位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相像比.注：位似圖形具有相像圖形的全部性質(zhì).4. 畫位似圖形的一般步驟：（ 1） 確定位似中心（位似中心可以是平面中任意一點(diǎn)）（ 2）

16、 分別連接原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和位似中心，并延長（或截?。?（ 3） 依據(jù)已知的位似比，確定所畫位似圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的位置.（ 4） 順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點(diǎn)，即可得到一個(gè)放大或縮小的圖形.注：位似中心可以是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，該點(diǎn)可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或在圖形上（圖形邊上或頂點(diǎn)上）；外位似：位似中心在連接兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)的線段之外，稱為“外位似”（即同向位似圖形）內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)的線段上，稱為“內(nèi)位似”（即反向位似圖形）（ 5） 在平面直角坐標(biāo)系中，假如位似變換是以原點(diǎn)o為位似中心， 相像比為 k（ k>0）, 原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為 （ x,y ）,那么同向位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為kx,k

17、y,反向位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為-kx,-ky,【解答題】1. 如圖： ab是 o的直徑，ad 是弦，(1) 求證： cd 是 o的切線；dab22.5o ，延長 ab到點(diǎn) c ， 使得acd2dab (2) 如 ab22 ，求 bc 的長2. 已知：如圖，ab為 o的直徑， ad為弦， dbc = a.（ 1）求證： bc 是 o的切線；（ 2）如 oc ad， oc交 bd于 e， bd=6， ce=4，求 ad的長 .cdeb oa63. 在 abc 中，點(diǎn) d 在 ac 上，點(diǎn) e 在 bc 上，且 de ab ，將 cde 繞點(diǎn) c 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到cd e（使bce 180

18、76;），連接 ad、 be，設(shè)直線be 與 ac 交于點(diǎn) o.（ 1）如圖，當(dāng)ac=bc 時(shí) ， ad: be的值為；（ 2）如圖，當(dāng)ac=5 ， bc=4 時(shí)，求ad : be的值；（ 3）在（ 2）的條件下，如acb=60° ，且 e 為 bc 的中點(diǎn)，求oab 面積的最小值.aade'od e'd'obecd'bec圖圖7【填空題】1. 在平面直角坐標(biāo)系中， abc 頂點(diǎn) a 的坐標(biāo)為2，3 ，如以原點(diǎn)o 為位似中心，畫 abc 的位似圖形 a b c，使 abc 與 a b c1的相像比等于，就點(diǎn) a 的坐標(biāo)為22. 如圖， abc 與 abc 是位似圖形，點(diǎn)o是位似中心，如oa=2a a,s abc=8，就 sabc = 3. 如圖，oab 的頂