2016年高考-全國(guó)一卷-文科數(shù)學(xué)-(原題+解析)(共17頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(課標(biāo)全國(guó)卷)文數(shù)本卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.第卷(選擇題,共60分)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合A=1,3,5,7,B=x|2x5,則AB=() A.1,3B.3,5C.5,7D.1,72.設(shè)(1+2i)(a+i)的實(shí)部與虛部相等,其中a為實(shí)數(shù),則a=()A.-3B.-2C.2D.33.為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中,余下的2種花種在另一個(gè)花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.13B.12C.23

2、D.564.ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=5,c=2,cos A=23,則b=()A.2B.3C.2D.35.直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的14,則該橢圓的離心率為()A.13B.12C.23D.346.將函數(shù)y=2sin2x+6的圖象向右平移14個(gè)周期后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為()A.y=2sin2x+4B.y=2sin2x+3C.y=2sin2x-4D.y=2sin2x-37.如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是283,則它的表面積是()A.17B.18C.20D.288.若a&

3、gt;b>0,0<c<1,則()A.logac<logbcB.logca<logcbC.ac<bcD.ca>cb9.函數(shù)y=2x2-e|x|在-2,2的圖象大致為()10.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入的x=0,y=1,n=1,則輸出x,y的值滿足()A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x11.平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()A.32B.22C.33D.1312.若函數(shù)f(x)=x-13sin 2x+asin x在(-,+)單調(diào)遞增,則a的取值范

4、圍是()A.-1,1B.-1,13C.-13,13D.-1,-13第卷(非選擇題,共90分)本卷包括必考題和選考題兩部分.第1321題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第2224題為選考題,考生根據(jù)要求作答.二、填空題:本題共4小題,每小題5分.13.設(shè)向量a=(x,x+1),b=(1,2),且ab,則x=. 14.已知是第四象限角,且sin+4=35,則tan-4=. 15.設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=23,則圓C的面積為. 16.某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料

5、1.5 kg,乙材料1 kg,用5個(gè)工時(shí);生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個(gè)工時(shí).生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2 100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元. 三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)已知an是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列bn滿足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.()求an的通項(xiàng)公式;()求bn的前n項(xiàng)和.18.(本小題滿分12分)如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三

6、角形,PA=6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.()證明:G是AB的中點(diǎn);()在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.19.(本小題滿分12分)某公司計(jì)劃購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件

7、數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元),n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).()若n=19,求y與x的函數(shù)解析式;()若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值;()假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購(gòu)買20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)還是20個(gè)易損零件?20.(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.(

8、)求|OH|ON|;()除H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?說明理由.21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.()討論f(x)的單調(diào)性;()若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.請(qǐng)考生在第2224題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.22.(本小題滿分10分)選修41:幾何證明選講如圖,OAB是等腰三角形,AOB=120°.以O(shè)為圓心,12OA為半徑作圓.()證明:直線AB與O相切;()點(diǎn)C,D在O上,且A,B,C,D四點(diǎn)共圓,證明:ABCD.23.(本小題滿分10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方

9、程為x=acost,y=1+asint(t為參數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:=4cos .()說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程;()直線C3的極坐標(biāo)方程為=0,其中0滿足tan 0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.24.(本小題滿分10分)選修45:不等式選講已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|.()畫出y=f(x)的圖象;()求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(課標(biāo)全國(guó)卷)一、選擇題1.BA=1,3,5,7,B=x|2x5,AB=3,5,故選B.2.A(1+2i)

10、(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,a-2=2a+1,解得a=-3,故選A.解后反思將復(fù)數(shù)化為x+yi(x,yR)的形式,然后建立方程是解決問題的關(guān)鍵.3.C從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種有以下選法:(紅黃)、(紅白)、(紅紫)、(黃白)、(黃紫)、(白紫),共6種,其中紅色和紫色的花不在同一花壇(亦即黃色和白色的花不在同一花壇)的選法有4種,所以所求事件的概率P=46=23,故選C.解后反思從4種顏色的花中任選2種共有6種情況,不重不漏地列舉出所有情況是解題關(guān)鍵.4.D由余弦定理得5=22+b2-2×2bcos A,cos A=23,3b2-8b-3=0,b=3b=-1

11、3舍去.故選D.5.B如圖,|OB|為橢圓中心到l的距離,則|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·b2,所以e=ca=12.故選B.易錯(cuò)警示橢圓中心到直線l的距離為14×2b=b2,容易將短軸長(zhǎng)誤認(rèn)為b.6.D該函數(shù)的周期為,將其圖象向右平移4個(gè)單位后,得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=2sin2x-4+6=2sin2x-3,故選D.易錯(cuò)警示三角函數(shù)圖象的平移變換中,“左加右減”是對(duì)x而言的,將x變?yōu)閤-4,而不是將2x變?yōu)?x-4.7.A由三視圖知該幾何體為球去掉了18所剩的幾何體(如圖),設(shè)球的半徑為R,則78×43R3=283,故R

12、=2,從而它的表面積S=78×4R2+34×R2=17.故選A.解后反思球的表面積公式和體積公式要記準(zhǔn)、記牢;在計(jì)算表面積時(shí)“不重不漏”是關(guān)鍵所在.8.B0<c<1,當(dāng)a>b>1時(shí),logac>logbc,A項(xiàng)錯(cuò)誤;0<c<1,y=logcx在(0,+)上單調(diào)遞減,又a>b>0,logca<logcb,B項(xiàng)正確;0<c<1,函數(shù)y=xc在(0,+)上單調(diào)遞增,又a>b>0,ac>bc,C項(xiàng)錯(cuò)誤;0<c<1,y=cx在(0,+)上單調(diào)遞減,又a>b>0,ca<

13、;cb,D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B.易錯(cuò)警示不能熟練掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是失分的主要原因.9.D當(dāng)x=2時(shí),y=8-e2(0,1),排除A,B;易知函數(shù)y=2x2-e|x|為偶函數(shù),當(dāng)x0,2時(shí),y=2x2-ex,求導(dǎo)得y'=4x-ex,當(dāng)x=0時(shí),y'<0,當(dāng)x=2時(shí),y'>0,所以存在x0(0,2),使得y'=0,故選D.10.C執(zhí)行程序框圖:當(dāng)n=1時(shí),x=0,y=1,此時(shí)02+1236不成立;當(dāng)n=2時(shí),x=12,y=2,此時(shí)122+2236不成立;當(dāng)n=3時(shí),x=32,y=6,此時(shí)322+6236成立,結(jié)束循環(huán),輸出x的值為32

14、,y的值為6,滿足y=4x,故選C.11.A設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a.將正方體ABCD-A1B1C1D1補(bǔ)成棱長(zhǎng)為2a的正方體,如圖所示.正六邊形EFGPQR所在的平面即為平面.點(diǎn)A為這個(gè)大正方體的中心,直線GR為m,直線EP為n.顯然m與n所成的角為60°.所以m,n所成角的正弦值為32.故選A.疑難突破通過補(bǔ)體,利用正方體的性質(zhì),再根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)畫出平面,進(jìn)而找到直線m和n是解題的突破口.12.Cf '(x)=1-23cos 2x+acos x=1-23(2cos2x-1)+acos x=-43cos2x+acos x+53, f(x)在R上

15、單調(diào)遞增,則f '(x)0在R上恒成立,令cos x=t,t-1,1,則-43t2+at+530在-1,1上恒成立,即4t2-3at-50在-1,1上恒成立,令g(t)=4t2-3at-5,則g(1)=4-3a-50,g(-1)=4+3a-50,解得-13a13,故選C.疑難突破由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍,利用導(dǎo)數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題,再利用二次函數(shù)來解決.二、填空題13.答案-23解析因?yàn)閍b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.易錯(cuò)警示混淆兩向量平行與垂直的條件是造成失分的主要原因.14.答案-43解析解法一:sin+4=22×(sin +cos )=35,sin

16、+cos =325,2sin cos =-725.是第四象限角,sin <0,cos >0,sin -cos =-1-2sincos=-425,由得sin =-210,cos =7210,tan =-17,tan-4=tan-11+tan=-43.解法二:+4+4-=2,sin+4=cos4-=35,又2k-2<<2k,kZ,2k-4<+4<2k+4,kZ,cos+4=45,sin4-=45,tan4-=sin4-cos4-=43,tan-4=-tan4-=-43.方法總結(jié)進(jìn)行三角恒等變換時(shí)要注意角之間的差異,“正余互變”是解決本題的關(guān)鍵.15.答案4解析把

17、圓C的方程化為x2+(y-a)2=2+a2,則圓心為(0,a),半徑r=a2+2.圓心到直線x-y+2a=0的距離d=|a|2.由r2=d2+|AB|22,得a2+2=a22+3,解得a2=2,則r2=4,所以圓的面積S=r2=4.16.答案216 000解析設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A x件,生產(chǎn)產(chǎn)品B y件,利潤(rùn)之和為z元,則z=2 100x+900y.根據(jù)題意得1.5x+0.5y150,x+0.3y90,5x+3y600,x,yN,即3x+y300,10x+3y900,5x+3y600,x,yN,作出可行域(如圖).由10x+3y=900,5x+3y=600得x=60,y=100.當(dāng)直線2 100x+9

18、00y-z=0過點(diǎn)A(60,100)時(shí),z取得最大值,zmax=2 100×60+900×100=216 000.故所求的最大值為216 000元.三、解答題17.解析()由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2,(3分)所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=3n-1.(5分)()由()和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=bn3,(7分)因此bn是首項(xiàng)為1,公比為13的等比數(shù)列.(9分)記bn的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=1-13n1-13=32-12×3n-1.(12分)方法總結(jié)本題考查了等差、等比數(shù)列的問題,重點(diǎn)

19、在于轉(zhuǎn)化遞推公式,并且緊緊圍繞等差、等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解.18.解析()證明:因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以ABPD.因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以ABDE.(2分)又PDDE=D,所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,從而G是AB的中點(diǎn).(4分)()在平面PAB內(nèi),過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC,又PAPC=P,因此EF平面PAC,即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.(7分)連結(jié)CG,因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC

20、的中心,由()知,G是AB的中點(diǎn),所以D在CG上,故CD=23CG.(9分)由題設(shè)可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PE=23PG,DE=13PC.由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2,(11分)所以四面體PDEF的體積V=13×12×2×2×2=43.(12分)易錯(cuò)警示推理不嚴(yán)謹(jǐn),書寫不規(guī)范是造成失分的主要原因.19.解析()當(dāng)x19時(shí),y=3 800;當(dāng)x>19時(shí),y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,所以y與x的函數(shù)解析式為

21、y=3 800,x19,500x-5 700,x>19(xN).(4分)()由柱狀圖知,需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.(5分)()若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買19個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器中有70臺(tái)在購(gòu)買易損零件上的費(fèi)用為3 800元,20臺(tái)的費(fèi)用為4 300元,10臺(tái)的費(fèi)用為4 800元,因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).(7分)若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買20個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器中有90臺(tái)在

22、購(gòu)買易損零件上的費(fèi)用為4 000元,10臺(tái)的費(fèi)用為4 500元,因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為1100(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).(10分)比較兩個(gè)平均數(shù)可知,購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)易損零件.(12分)思路分析先寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式(分段函數(shù)),然后分別求所需費(fèi)用的平均數(shù),通過比較兩個(gè)平均數(shù)的大小可得所求結(jié)果.20.解析()由已知得M(0,t),Pt22p,t.(1分)又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn),故Nt2p,t,ON的方程為y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=2t2p.因此H

23、2t2p,2t.(4分)所以N為OH的中點(diǎn),即|OH|ON|=2.(6分)()直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn).(7分)理由如下:直線MH的方程為y-t=p2tx,即x=2tp(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn),所以除H以外直線MH與C沒有其他公共點(diǎn).(12分)方法總結(jié)將直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)問題歸結(jié)為直線方程與拋物線方程組成的方程組的解的問題.21.解析()f '(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(i)設(shè)a0,則當(dāng)x(-,1)時(shí), f '(x)<0;當(dāng)x(1

24、,+)時(shí), f '(x)>0.所以f(x)在(-,1)單調(diào)遞減,在(1,+)單調(diào)遞增.(2分)(ii)設(shè)a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a=-e2,則f '(x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-,+)單調(diào)遞增.若a>-e2,則ln(-2a)<1,故當(dāng)x(-,ln(-2a)(1,+)時(shí), f '(x)>0;當(dāng)x(ln(-2a),1)時(shí), f '(x)<0.所以f(x)在(-,ln(-2a),(1,+)單調(diào)遞增,在(ln(-2a),1)單調(diào)遞減.(4分)若a<-e2,則ln(-2

25、a)>1,故當(dāng)x(-,1)(ln(-2a),+)時(shí), f '(x)>0;當(dāng)x(1,ln(-2a)時(shí), f '(x)<0.所以f(x)在(-,1),(ln(-2a),+)單調(diào)遞增,在(1,ln(-2a)單調(diào)遞減.(6分)()(i)設(shè)a>0,則由()知, f(x)在(-,1)單調(diào)遞減,在(1,+)單調(diào)遞增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b滿足b<0且b<lna2,則f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=ab2-32b>0,所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).(8分)(ii)設(shè)a=0,則f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).(9分)(iii)設(shè)a<0,若a-e2,則由()知, f(x)在(1,+)單調(diào)遞增,又當(dāng)x1時(shí)f(x)<0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn);(10分)若a<-e2,則由()知, f(x)在(1,ln(-2a)單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+)單調(diào)遞增,又當(dāng)x1時(shí)f(x)<0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).(11分)綜上,a的取值范圍為(0,+).(12分)疑難突破()分類討論時(shí)臨界點(diǎn)的選取是關(guān)鍵,易忽略a=-e2的情形.()在討論a>0時(shí)函數(shù)零