初中數(shù)學(xué)分類討論教學(xué)研究

1、初中數(shù)學(xué)分類討論教學(xué)研究南匯區(qū)澧溪中學(xué)張煒內(nèi)容提要：初中數(shù)學(xué)中的分類討論問題是近年來中考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一。它是教學(xué)的難點(diǎn)，怎樣在教學(xué)中實(shí)施分類 討論問題的教學(xué)？這是許多教師都在研究的課題。本文從抓住分類討論的動(dòng)因與討論的方法入手，講述了 怎樣在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施分類討論問題的教學(xué)。冇關(guān)初中數(shù)學(xué)中分類討論的動(dòng)因木文歸納了以下幾個(gè)方 面：由于問題涉及到分類討論思想的冇關(guān)概念而需要對(duì)其進(jìn)行分類討論；由于問題的題設(shè)和結(jié)論冇多種可 能情況而需要對(duì)其進(jìn)行分類討論；由丁問題中含有的參變量的不同取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果而需耍対其進(jìn)行分 類討論；由于問題中兒何圖形的不確定而需要對(duì)其進(jìn)行分類討論。知道了分類討論的動(dòng)因，可

2、以得岀分類 討論的方法。其中由于問題涉及到分類討論思想的概念而需要對(duì)其進(jìn)行分類討論是戢重要的分類討論思想。在數(shù)學(xué)屮，如果一個(gè)命題的題設(shè)或結(jié)論不唯一確定，有多種可能情況，難以統(tǒng)一解答, 就需要按可能出現(xiàn)的各種情況分門別類地加以討論,最后綜合歸納出問題的正確答案,這種 解題方法叫做分類討論法。它是i種比較重要的解題方法，也是近年來小考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容 之一。要用分類討論法解答的數(shù)學(xué)題目，往往具有較強(qiáng)的邏輯性、綜合性和探索性，既能全 面考查學(xué)牛的數(shù)學(xué)能力乂能考查學(xué)牛的思維能力。分類討論問題充滿了數(shù)學(xué)辨證思想，它是 邏輯劃分思想在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的具體運(yùn)用。掌握好這類問題對(duì)提高綜合學(xué)習(xí)能力會(huì)有很人 幫助，

3、它既有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新粕神與探索粕神，乂有利于培養(yǎng)學(xué)綸嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的科學(xué)態(tài) 度。然而，初中數(shù)學(xué)中的分類討論問題往往是學(xué)生不容易掌握好的一類問題，學(xué)生碰到此 類問題常常是不知道要進(jìn)行分類討論或者知道了要分類討論而無從入手，造成解答此類問題 時(shí)得分率偏低，原因人多數(shù)是沒有掌握好初屮數(shù)學(xué)屮的分類討論思想。那么，怎樣才能使學(xué)牛掌握好初中數(shù)學(xué)中的分類討論思想呢？明確分類討論的動(dòng)因與討論的方法，分類吋耍條理分明，做到分類討論既不重復(fù)也無 遺漏。這是解答初屮數(shù)學(xué)中分類討論問題的基木方法。在解題時(shí)，要抓住分類討論的動(dòng)因， 明確分類討論的方法。運(yùn)用分類討論方法解題的關(guān)鍵就是思辨清楚討論的動(dòng)因與討論的方 法，就是

4、為什么耍討論？怎樣討論？思路清了，解題的框架確定了，解題就嚴(yán)密完整、敘述 就條理分明。在初小數(shù)學(xué)屮，有關(guān)涉及到分類討論思想的問題很多，題目也比較繁雜。這類問題有 沒有一種共性？解此類題目有沒有一種切實(shí)可行的方法？實(shí)際上，初屮數(shù)學(xué)中涉及到分類討 論的問題大多是以卜四種情形的分類討論，掌握好以下四種情形的分類討論，學(xué)牛就能知道 分類討論問題并不怎么神秘，當(dāng)碰到問題時(shí)基本上能夠抓住分類討論的動(dòng)因從容應(yīng)答了。（說 hj：本文為叔述方便，把一些分情況討論的問題也作為分類討論問題。）一、由于問題涉及到分類討論思想的有關(guān)概念而需要對(duì)其進(jìn)行分類討論。在教學(xué)中，要讓學(xué)生對(duì)涉及到分類討論思想的概念有正確的認(rèn)知、理

5、解和牢固的掌握。首先，教師應(yīng)對(duì)初中數(shù)學(xué)中的概念冇全面、系統(tǒng)、完整的認(rèn)識(shí)，尤其是涉及到分類討 論思想的概念。在初中數(shù)學(xué)中的一些概念中，有許多概念涉及到分類討論思想，作為一名初 屮數(shù)學(xué)教師更應(yīng)對(duì)這些概念有正確、深入、透徹的理解，在講授這些概念時(shí)要準(zhǔn)確、科學(xué), 不能含糊不清或圖一時(shí)的省力而隨意篡改這些概念。曾聽說過這樣一個(gè)事例：某教師在講授絕對(duì)值這一概念吋，圖一吋的省力，教學(xué)生求 一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值只要把絕對(duì)值里面的負(fù)號(hào)去掉就可以了，如：131=3； 1-0.51=0.5；o結(jié)果出現(xiàn)了象丨a i 這樣的錯(cuò)解。究其原因，該教師沒講清絕對(duì)值這一概念，讓學(xué)生對(duì)這一 概念的有了一個(gè)錯(cuò)謀的認(rèn)識(shí)：求絕對(duì)值只要去掉絕

6、對(duì)值里面的負(fù)號(hào)。把學(xué)生引入歧途，害人 不淺。實(shí)際上，絕對(duì)值概念是一個(gè)需要分類討論的概念，要講清這一概念應(yīng)從絕對(duì)值的兒何 意義說起，也就是一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。學(xué)牛自然而然 的會(huì)得出絕對(duì)值的三種分類討論情況，也就是：r a （a>0）lai = j 0 （ a = 0 ）i -a （ a<0 ）該教師講授的絕對(duì)值的概念非但錯(cuò)謀，而且也抹殺了學(xué)主的創(chuàng)新精神和探索精神。所 以，教師對(duì)概念的講解必須準(zhǔn)確、科學(xué)，特別是涉及到有關(guān)分類討論思想的概念，要讓學(xué)生 對(duì)這樣的概念有正確的認(rèn)識(shí)、理解。其次，使學(xué)生牢固掌握初中數(shù)學(xué)中有關(guān)涉及到分類討論思想的概念。耍達(dá)到這一目的

7、 可以采用討論式歸納出概念、教師加以歸納梢煉和增加變式訓(xùn)練的教學(xué)方法。例如，初屮數(shù)學(xué)中兩圓的五種位迸關(guān)系是一個(gè)分類討論思想的概念，在講授兩圓位置 關(guān)系這一課時(shí)，教師可讓于生準(zhǔn)備人小不等的兩個(gè)圓，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作、歸納出兩圓（半 徑不等吋）有哪兒種位置關(guān)系，教師再加以歸納總結(jié)，得出兩圓（半徑不等吋）的五種位置關(guān)系: 相離（外離、內(nèi)含）、和切（外切、內(nèi)切）、相交。這樣既培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神，又有助于 學(xué)生牢固掌握兩圓的五種位置關(guān)系。兩圓的五種位置關(guān)系屮歸納出的兩圓的半徑門、2與兩 圓的圓心距dz間的關(guān)系，比較繁瑣，學(xué)生不容易記憶，為了幫助學(xué)生牢固掌握，可以精煉 成這樣一個(gè)圖形：內(nèi)含相交外離0i

8、rrr2 ir 1+1*2d= i rrr2 i 兩圓內(nèi)切；d= ri+r2 *-兩圓外切。這樣學(xué)牛就能形象、直觀、牛動(dòng)和牢固的掌握這一知識(shí)點(diǎn)，在碰到問題吋也就能迎刃 而解了。例如：如果oor的半徑分別為4、5,那么下列傲述中，正確的是（）(a)(b)(c)(d)當(dāng)oq2=1時(shí),當(dāng)oq2=5時(shí),當(dāng)oq2>6時(shí),當(dāng) 0|。2>1 吋,ooi與002內(nèi)切；ooi與（do?有兩個(gè)公共點(diǎn)；（do】與（do?必冇公共點(diǎn)；0oj與oo2至少有兩條公切線。（上海市2001年中考18題）運(yùn)川以上捉到的記憶兩闘位置關(guān)系的方法就能迅速、準(zhǔn)確的判斷出四個(gè)選項(xiàng)中兩闘的 位置關(guān)系：（a）內(nèi)切；（b）相交；（

9、c）相交、外切或外離；（d）相交、外切或外離。這樣問 題也就迎刃而解，得正確答案:（abd） o在講授一元二次方程ax24-bx+c=0（a0）根的判別式時(shí)，我們都知道要適當(dāng)增加一些變 式訓(xùn)練，及時(shí)反饋教學(xué)信息，以幫助學(xué)生牢固掌握一元二次方程根的判別式的三種分類情況:>0元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;=0-元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；v（）-f元二次方程沒有實(shí)數(shù)根。學(xué)生只冇對(duì)初中數(shù)學(xué)中涉及到分類討論思想的概念冇了正確的認(rèn)知、理解和牢固的掌 握，才能在解決有關(guān)問題吋有分類討論的意識(shí)，有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的條理性、縝密 性，從而提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。二、由于問題的題設(shè)和結(jié)

10、論冇多種口j能悄況而需要對(duì)其進(jìn)行分類討論。例如：求函數(shù)y=(k-l)x2+kx+l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。(外省市中考題)本題的條件是不唯一的，該函數(shù)是什么函數(shù)？問題中沒冇說明。冇幾種町能情況呢？ 兩種：一次兩數(shù)或二次兩數(shù)。所以要分為二類：(1)當(dāng)此兩數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，k=l,求得與x 軸交點(diǎn)為(1, 0)；當(dāng)此函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，khl, a=(k-2)2 , ®a>(),即kh2時(shí)， 有兩個(gè)交點(diǎn)(1, 0)、(l/(l-k) , 0)；a=0,即k=2時(shí),有一個(gè)交點(diǎn)(1, 0) ； (3)a<0,即 (k-2)2<0,不存在k的取值。綜合以上分類解題過程，得出本題的正確答

11、案為：k=l吋，lx 軸交點(diǎn)為(1, 0) ； khl且kh2時(shí)，與x軸交點(diǎn)為(1、0)、(l/(lk) , 0) ； k=2時(shí)，與x 軸交點(diǎn)為(1, 0) o又如：如圖，如果四邊形cdef旋轉(zhuǎn)后能與正方形abcd重合，那么圖形所在的平面上可以 作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)共有個(gè)。(上海市1999年中考填空題笫19題)bcfade本題的題設(shè)和結(jié)論也是不唯一確定的，顯然，符合條件的旋轉(zhuǎn)中心必在邊cd±,可以 這樣分類：(1)繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)，有一解；(2)繞點(diǎn)d旋轉(zhuǎn)，有一解；(3)繞cd上異于c、d 的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，只能是cd的屮點(diǎn)。這樣就得出了木題的正確答案：有3個(gè)。由以上兩例，我們知道解此類問題的關(guān)鍵是審

12、清題意。審題是解題的重要一環(huán)，在教 學(xué)小應(yīng)強(qiáng)調(diào)審題的重要性。教師在講解例題時(shí)，應(yīng)作出認(rèn)真審題的示范并要求學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真 審題的習(xí)慣。學(xué)牛解此類問題的錯(cuò)誤往住是山于不細(xì)心審題，沒有弄清已知條件或未知結(jié)論 中的不定因素而急于解題所造成。只冇審清了題意，全面、系統(tǒng)的考慮問題，把握住了問題 屮的不定因素和不定因素的各種可能情況，就可以確定出分類的框架，分類時(shí)也能做到標(biāo)準(zhǔn) 致，條理清楚，解答此類問題就不易造成重復(fù)或漏解。三、由于問題小含有的參變量的不同取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果而需要對(duì)其進(jìn)行分類討論。 例如：已知一次函數(shù)y=-x+8和反比例函數(shù)y=k/x (kho)(1) k滿足什么條件時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)在同一宜角坐

13、標(biāo)平面屮的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)？(2) 設(shè)中的兩個(gè)交點(diǎn)為m、n,試比較zmon與90°的大小。(外省市中考題)本題第(1)小題求得kvl6且kho；在解第(2)小題時(shí)，由于0<k<!6或kvo這兩種取值 所得反比例函數(shù)的圖像有兩種情況，因此要根據(jù)參變最k的不同取值進(jìn)行分類討論。0<k<16 時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)在第一象限，zmon<90° : kvo時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)在二、四彖限，zmon>90°。數(shù)學(xué)本身的產(chǎn)生與發(fā)展充滿了樸素的辯證唯物主義思想，揭示了唯物辯證法的許多基 木規(guī)律，如量變到質(zhì)變等。木類分類討論問題就是揭示了唯物辯證法中的量變到質(zhì)變這

14、一基 木規(guī)律。在木類問題的教學(xué)中，要做到使學(xué)生能分析清楚問題中參變量在整個(gè)量變過程中會(huì) 造成哪些質(zhì)的變化，即參變最的不同取值會(huì)對(duì)問題產(chǎn)生的哪些不同結(jié)果，把它們一一羅列出 來，全面、系統(tǒng)的分類，并能正確求解。這是建立在有良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)和靈活、開闊的思維 基礎(chǔ)上的，教學(xué)中耍注意培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的學(xué)習(xí)粹神、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和辯證唯物主義的 觀點(diǎn)，充分發(fā)揮學(xué)生的聰明才智。四、由于問題中兒何圖形的不確定而盂要對(duì)其進(jìn)行分類討論。例如：已知一次函數(shù)y=- v3x/3+3 v3與x軸、y軸交點(diǎn)分別為a、b,試在x軸上找一點(diǎn)p,使apab為等腰三角形。(崇明縣2002年中考模擬題)木題屮apab由于p點(diǎn)位置不確定

15、而沒有確定，而且等腰三角形屮哪兩條是腰也沒有 確定。apab是等腰三角形有兒種可能呢？我們可以按腰的可能情況加以分類：(1)pa=pb； pa=ab；pb=abo先可以求出b點(diǎn)坐標(biāo)(0, 3j3) , a點(diǎn)坐標(biāo)(9, 0),設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為 (x, 0),利用兩點(diǎn)間距離公式可對(duì)三種分類情況分別列出方程，求出p點(diǎn)坐標(biāo)有四解：(-9, 0)、(3, 0)、(9+6 v3, 0)、(923, 0)。(不合條件的答案已舍去)又如半徑分別為10、17的兩圓相交，公共弦長為16,求圓心距。(外省市中考題)木題極易漏解，原因是沒冇想到本題要分類討論。實(shí)際上本題的圖形是不確定的，冇 兩種可能：(1)兩個(gè)圓心分別在

16、公共弦的兩側(cè)；(2)兩個(gè)圓心在公共弦的同側(cè)。分類畫出圖 形，利用勾股定理，可分別解得圓心距為21或9。正確解答此類問題耍分析清楚符合條件的圖形的各種nj能位置，緊扣條件，分類出各種 符合條件的圖形。畫圖能力和空間想象能力也是數(shù)學(xué)中的重要能力，是正確解答此類分類討 論問題所需要的能力，教學(xué)中應(yīng)注意對(duì)學(xué)生畫圖能力和空間想彖能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生多操作、 多思考，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。初中數(shù)學(xué)中的分類討論問題主要是以上四種動(dòng)因的分類討論。抓住了分類討論的動(dòng)因, 把握住了分類的標(biāo)準(zhǔn)，就能做到分類吋條理清楚、標(biāo)準(zhǔn)一致，在解答問題時(shí)就不會(huì)重復(fù)或遺 漏，保證解題的準(zhǔn)確率。數(shù)學(xué)中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類討論思想的訓(xùn) 練，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性，這種優(yōu) 良的思維站質(zhì)對(duì)學(xué)生的未來必將產(chǎn)牛深刻和久遠(yuǎn)的影響。教師在制訂教學(xué)目的、采用教學(xué)方 法時(shí)，都應(yīng)有意識(shí)地突出分類討論思想，并在具體教學(xué)過程屮努力體現(xiàn)。根據(jù)初川學(xué)牛的特 點(diǎn)，教學(xué)屮要遵照循