初中數(shù)學(xué)《反比例函數(shù)的意義的教學(xué)嘗試》

1、拉長概念形成的思維鏈條 17.1.1反比例函數(shù)的意義的教學(xué)嘗試【教材分析】本節(jié)教材是新課標(biāo)人教版第46 頁至 47 頁的內(nèi)容，教材的主題內(nèi)容特別精短. 我們知道，同學(xué)曾在學(xué)校六（下）學(xué)過“反比例”，在中學(xué)七（下）學(xué)過“平面 直角坐標(biāo)系”，在八（上）學(xué)過“一次函數(shù)”；對“反比例”、“函數(shù)”等已經(jīng) 有了肯定熟識， 在此基礎(chǔ)上來爭論反比例函數(shù)有了肯定的體會積存，為這里的學(xué)習(xí)奠定了較好的基礎(chǔ) . 學(xué)好它， 將對后繼學(xué)習(xí) （如二次函數(shù)等） 產(chǎn)生積極的影響 .本節(jié)內(nèi)容是本章的重點之一，也是反比例函數(shù)的開端.教材第一在 “摸索” 欄目中提出三個反比例關(guān)系的實例，通過對詳細情形的分析， 從中引出反比例函數(shù)并概

2、括出它的概念 .然后通過舉例和例題豐富對反比例函數(shù)的熟識，懂得反比例函數(shù)的意義 .本節(jié)的重點、難點都是懂得反比例函數(shù)的概念.我們知道，八年級同學(xué)的思維品質(zhì)（完備性、深刻性、實踐性、批判性等）尚待提高，同學(xué)抽象概括才能也 有限，對函數(shù)的意義懂得、 數(shù)量變化規(guī)律的把握仍是有肯定難度，特殊是對抽象的表達式中的變量與常量的取值懂得不深.因此在反比例函數(shù)概念的形成過程 中，應(yīng)留意利用同學(xué)已有的生活體會與背景學(xué)問，創(chuàng)設(shè)豐富的現(xiàn)實情境， 同時充分讓同學(xué)自主學(xué)習(xí)與合作溝通相結(jié)合，通過舉例、說理、爭論等溝通形式， 鞏固、內(nèi)化、升華其學(xué)問，讓同學(xué)揭示規(guī)律，形成數(shù)學(xué)才能；詳細操作如下：1、留意“三看”，引導(dǎo)同學(xué)對反

3、比例函數(shù)概念的懂得.一看形式.等號左邊是函數(shù)y，等號右邊是一個分式，自變量x 在分母上，且 x 的指數(shù)是 1，分子是不為 0 的常數(shù) k；二看自變量 x 的取值范疇 .由于 x 在分母上，故取 x0 的一切實數(shù)；三看函數(shù) y 的取值范疇 .由于 k 0，且 x0，所以函數(shù)值 y 也不行能為 0.2、加強與正比例函數(shù)的對比.講解、溝通時可對比正比例函數(shù)y kx（k0），比較二者解析式的相同點和不同點 . 以舊帶新，相互對比，能加深對反比例函數(shù)概念的懂得3、留意形狀的變化 .（k0）仍可以寫成（k0）或 xy k（k 0）的形式 .【教學(xué)目標(biāo)】學(xué)問與技能目標(biāo)：1從現(xiàn)實情境和已有的學(xué)問、體會動身、爭

4、論兩個變量之間的相依關(guān)系， 加深對函數(shù)、函數(shù)概念的懂得.2使同學(xué)懂得并把握反比例函數(shù)的概念3能判定一個給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù)，并會用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式過程與方法目標(biāo)：1、經(jīng)受對兩個變量之間相依關(guān)系的爭論，培育同學(xué)的辨別唯物主義觀點；2、經(jīng)受抽象反比例函數(shù)概念的過程，進展同學(xué)的抽象思維才能，提高數(shù)學(xué)化意識；3、經(jīng)受在實際問題中探究數(shù)量關(guān)系的過程，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)思維方式解決實際問題的習(xí)慣，體會函數(shù)的模型思想 情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：1經(jīng)受抽象反比例函數(shù)概念的過程，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，提高同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好；2、通過分組爭論，培育同學(xué)合作溝通意識和探究精神；【教學(xué)重點、難點】1重點： 懂得反比例

5、函數(shù)的概念，能依據(jù)已知條件寫出函數(shù)解析式2難點： 懂得反比例函數(shù)的概念【教學(xué)方法】情形探究教學(xué)法 .教學(xué)過程一、豐富情境，領(lǐng)會新知（設(shè)計說明：問題1、2、3、4 是為引入反比例函數(shù)的概念而設(shè)置的，目的是 讓同學(xué)從實際問題動身， 探究其中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，通過對兩個變量之間的反比例關(guān)系的爭論和探究， 使同學(xué)感受彼此之間特殊的一一對應(yīng)關(guān)系，從而加深對函數(shù)概念的懂得，然后，啟動“互動遷移”欄目，讓同學(xué)依據(jù)自己的懂得舉 例，而后通過改編教材“摸索”欄目上的問題成三個填空題，為同學(xué)的發(fā)覺供應(yīng) 了足夠的感性材料，在此基礎(chǔ)上，讓同學(xué)通過觀看、爭論、歸納，最終得出反比 例函數(shù)的概念，體會函數(shù)的模型思想，并

6、在溝通中領(lǐng)會概念. ）（一）、情境引入依據(jù)下面情境，探究有關(guān)問題.問題 1： （課件展現(xiàn)）請同學(xué)們想一想：把一張面值 100 元的人民幣換成面值 50 元的人民幣， 可得幾張？假如換成面值 20 元的人民幣， 可得幾張？假如換成 10 元、5 元的人民幣呢？設(shè)所換成的面值為x 元，相應(yīng)的張數(shù)為y 元:x （元）502010521x y（張） 你會用含 x 的代數(shù)式表示 y 嗎？ 當(dāng)換成的面值 x 變化時，相應(yīng)的張數(shù)y 會怎樣變化？ 變量 y 是 x 的函數(shù)嗎？為什么？問題 2：（課件展現(xiàn)） 我們知道：矩形的面積（s）與長（ a）、寬（ b）之間2的關(guān)系式為： s=ab，當(dāng) s=24cm你能用含

7、有 b 的代數(shù)式表示利用寫出的關(guān)系式完成下表a 嗎？bcm24acm681012,規(guī)律：當(dāng) b 越來越大時， a當(dāng) b 越來越小時， a變量 a 是 b 的 ，理由：問題 3： （課件展現(xiàn)） 我們知道，電流i、電阻 r、電壓 u 之間滿意關(guān)系式u=ir ，當(dāng) u=220v 時你能用含有 r 的代數(shù)式表示利用寫出的關(guān)系式完成下表i 嗎？r（ ）2040i（a ）6080100,規(guī)律：當(dāng) r 越來越大時， i當(dāng) r 越來越小時， i變量 i 是 r 的 ，理由：課件定性展現(xiàn)舞臺燈光明暗：當(dāng)i 較小時，燈光較暗，當(dāng)i 較大時，燈光較亮.問題 4：（課件展現(xiàn)） 京滬高速大路全長約為1262km，汽車沿

8、京滬高速大路 從上海駛往北京，汽車行完全程所需的時間t（h）與行駛的平均速度v （km/h）之間有怎樣的關(guān)系？變量t 是 v 的函數(shù)嗎？為什么？在同學(xué)完成四個問題的溝通后得到四個關(guān)系式：， ， , .至此，老師不要忙于揭示、導(dǎo)引，讓反比例函數(shù)現(xiàn)身，而應(yīng)進入新的互動環(huán)節(jié)，使反比例函數(shù)的概 念“瓜熟蒂落” .（二）、互動遷移你能舉出類似以上的實例嗎？并與同伴溝通.有了前面 4 個問題的鋪墊，以及學(xué)校學(xué)過的反比例關(guān)系的熟識，估量同學(xué)能順當(dāng)?shù)嘏e例 . 如：百米賽跑中時間與平均速度的關(guān)系；三角形的面積肯定，底與高的關(guān)系等 .諸如此類，都賜予確定，特殊要關(guān)注學(xué)困生的發(fā)言，如顯現(xiàn)偏差， 也要善于發(fā)覺閃光點而

9、予以夸獎，并做好適當(dāng)補充、引領(lǐng). 然后老師在展現(xiàn)幾個備好的填空，進一步強化反比例函數(shù)模型.1、某住宅小區(qū)要種植一個面積為1000 平方米的矩形草坪，草坪長為y 米，寬為 x 米，就 y 關(guān)于 x 的關(guān)系式為；2、已知北京市的總面積為1.68 ×104 平方千米，全市總?cè)丝跒閚 人，人均占有土地面積為s 平方千米，就 s 關(guān)于 n 的關(guān)系式為；、京滬線鐵路全程為463km，某列車平均速度為v（kmh），全程運行 時間為 t（h），就 v 關(guān)于 t 的關(guān)系式為 .答案依次為：， ， .（教學(xué)說明： 情形引入與互動遷移兩個環(huán)節(jié)的教學(xué)，可先讓同學(xué)進行小組合作溝通 , 再進行全班性的問答或溝通

10、. 同學(xué)用自己的語言說明兩個變量間的關(guān)系為什么可以看成函數(shù) , 明白所爭論的函數(shù)的表達形式. 通過一波三折，反比例函數(shù)的概念已是呼之欲出 . 一折是問題 1-4 的溝通， 二折是同學(xué)的自主舉例，三折是三個填空，以構(gòu)建互動、和諧的課堂教學(xué)氛圍為依靠，幫忙同學(xué)完成了對反比例函數(shù)概念從感性體驗到理性認知的過渡. ）（三）、明晰概念師：前面我們已獵取了不少的關(guān)系式：， ， ， ， ， ， ,請同學(xué)們認真觀看，摸索以下問題（按次序完成一個再出示下一個）：（1）這些關(guān)系式都表達了函數(shù)關(guān)系，那它們是我們已學(xué)過的一次函數(shù)、正比例函數(shù)嗎？（2）這些函數(shù)關(guān)系式與我們以前學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、正比例函數(shù)關(guān)系式有什么不同？

11、（3）它們有一些什么樣的共同特點？（4）從問題 1-3 的表格可以發(fā)覺兩個變量成什么關(guān)系嗎？（5）你能歸納出反比例函數(shù)的概念嗎？ 形成如下熟識：一般地，假如兩個變量x、y 之間的關(guān)系可表示成（ k 為常數(shù)， k0）的形式，那么稱 y 是 x 的反比例函數(shù) .師：這就是我們今日學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)概念，他是繼一次函數(shù)后的又一種新函數(shù)，從今日起，函數(shù)家族又多了一個新成員，隨著學(xué)習(xí)的深化，今后我們?nèi)砸獱幷撈渌瘮?shù) .（教學(xué)說明：引導(dǎo)同學(xué)在體驗探究的過程中，感受學(xué)問的發(fā)覺、形成和構(gòu)建 過程，使同學(xué)從獲得的關(guān)系式中，抽象出反比例函數(shù)的一般形式，并借此提出反比例函數(shù)的概念， 通過讓同學(xué)感受從特殊到一般的摸索方

12、法，進展同學(xué)的抽象思維才能，同時也為學(xué)問的內(nèi)化和正遷移制造了條件，培育了同學(xué)建模的意識. ）（四）、領(lǐng)會概念請同學(xué)們通過下面的問題串，領(lǐng)會概念（1）反比例函數(shù)關(guān)系式中有幾個變量？（2）變量之間存在什么關(guān)系？（3）仍有其它形式嗎？如有，并指出來（4）對 x、y、k 有什么詳細要求？為什么？（5）它與正比例函數(shù)有哪些區(qū)分與聯(lián)系？通過問題（ 5）的回答回應(yīng)以上4 個問題 . 明確如下：聯(lián)系：1°它們都有兩個變量；2°都含比例系數(shù)“ k”；區(qū)分：1°反比例函數(shù)中兩個變量的積是一個非零定值；正比例函數(shù)中兩個變量的商是一個非零定值 .2°反比例函數(shù)中自變量x 位于分

13、母，表達式呈分式；正比例函數(shù)中的自變量 x 處于整式中 .3°自變量 x 的次數(shù)不同： 反比例函數(shù)中自變量x 的次數(shù)為 -1 ，故可寫成 （k 0）或 xy k（ k 0）的形式；正比例函數(shù)中自變量x 的次數(shù)為 1.4°自變量 x 的取值范疇不同： 反比例函數(shù)中自變量x 取除零外的任何實數(shù)；正比例函數(shù)中自變量x 可取任何實數(shù) .5°函數(shù) y 的取值范疇不同：反比例函數(shù)中y 取除零外的任何實數(shù)；正比例函數(shù)中 y 可取任何實數(shù) .（教學(xué)說明：引導(dǎo)同學(xué)認真注視列出的各函數(shù)關(guān)系式以及反比例函數(shù)的定義式，使之與我們以前所學(xué)的一次函數(shù)、正比例函數(shù)的關(guān)系式進行類比， 找出異同，

14、進而發(fā)覺其本質(zhì)特點 . 教學(xué)時要緊抓概念中的關(guān)鍵詞，以確保同學(xué)對概念認知的 1系統(tǒng)性、完整性，并在概念揭示后強調(diào)反比例函數(shù)也可表示為ykx k 為常數(shù)，k0 的形式，并結(jié)合舊知驗證其正確性. ）二、自主演練，內(nèi)化新知.（設(shè)計說明：通過練習(xí)1，使同學(xué)進一步熟識從實際問題中抽象出反比例函 數(shù)，體驗反比例函數(shù)在生活中的應(yīng)用價值及模型作用；通過練習(xí)2，鞏固反比例函數(shù)的概念；通過補充練習(xí) 3，進一步突出反比例函數(shù)的本質(zhì)特點，懂得其意義 . ）1、請同學(xué)們獨立完成p47，練習(xí)的 1 題.2、請同學(xué)們獨立完成p47，練習(xí)的 2 題.3、以下等式中的y 是 x 的反比例函數(shù)嗎？如是，指出k 的值.（1） （2

15、） （3）xy 0 （4） 1（5） （6） （7）y4x（8） 答案1、（ 1） ；（ 2） ；（ 3） .2、xy123.3、解析：依據(jù)反比例函數(shù)的定義，關(guān)鍵看上面各式能否改寫成（k 為常數(shù)，k0）的形式，這里（ 1）是整式，（3）中的 k=0，（4）的分母不是只單獨含x，（ 6）改寫后是，分子不是常數(shù)，只有（ 2）、（ 5）、（ 7）能寫成定義的形式，它們的 k 依次為：， ， 4.（教學(xué)說明：利用同學(xué)對反比例函數(shù)概念的初步熟識，引導(dǎo)同學(xué)借助自主練習(xí)，進一步加高校生對該概念的正遷移力度，初步把握其內(nèi)涵與外延. ）三、拓展應(yīng)用，升華新知（設(shè)計說明：例 1 是一道用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析

16、式的題，此題的目的一是要加深同學(xué)對反比例函數(shù)概念的懂得，把握求函數(shù)解析式的方法； 二是讓同學(xué)進一步體會函數(shù)所包蘊的“變化與對應(yīng)” 的思想， 特殊是函數(shù)與自變量之間 1的單值對應(yīng)關(guān)系 . 例 2 是對反比例函數(shù)概念的逆向熟識，是另一種形式y(tǒng) kx的應(yīng)用，以圖深化懂得概念. 而例 3 是一道綜合題，此題是用待定系數(shù)法確定由 兩個函數(shù)組合而成的新的函數(shù)關(guān)系式， 有肯定難度，但處理得當(dāng)能提高同學(xué)分析、解決問題的才能 . 緊隨其后，設(shè)置了4 個練習(xí)，一是鞏固例題的成果，二是進行 了適當(dāng)延長， 特殊是 5 題以表格的形式顯現(xiàn)， 既回應(yīng)了課始問題的對應(yīng)形式，實現(xiàn)了表格與函數(shù)關(guān)系式的相互轉(zhuǎn)化，同時又為下一節(jié)畫

17、反比例函數(shù)的圖像做了孕 伏. ）例 1、已知 y 是 x 的反比例函數(shù)，當(dāng)x=2 時 y=6.（1）寫出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；（2）求當(dāng) x=4 時， y 的值.分析：由于 y 是 x 的反比例函數(shù)，所以先設(shè)，再把 x2 和 y6 代入上式求出常數(shù) k，即利用了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式.解：（ 1）設(shè) ，由 x=2 時 y=6 得 .就 k 12，故 .（2）把 x=4 代入 ，得 .例 2（補充）當(dāng) m 取什么值時，函數(shù)是反比例函數(shù)？分析：反比例函數(shù)（k0）的另一種表達式是（k0），后一種寫法中x的次數(shù)是 1，因此 m 的取值必需滿意兩個條件，即m 2 0 且 3m2 1，特殊留意不要

18、遺漏k0 這一條件，也要防止顯現(xiàn)3 m2 1 的錯誤.估量這是問題的多發(fā)區(qū) .解：依據(jù)題意，得，即 ，可知 m 只能取 2.所以， m= 2 時，函數(shù)是反比例函數(shù) .例 3（補充）已知函數(shù)y y1y2， y1 與 x 成正比例， y2 與 x 成反比例，且當(dāng) x1 時， y4；當(dāng) x2 時， y 5（1）求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式（2）當(dāng) x 2 時，求函數(shù) y 的值分析：此題函數(shù)y 是由 y1 和 y2 兩個函數(shù)組成的，要用待定系數(shù)法來解答，先依據(jù)題意分別設(shè)出 y1、y2 與 x 的函數(shù)關(guān)系式， 再代入數(shù)值， 通過解方程或方程組求出比例系數(shù)的值 .這里要留意 y1 與 x 和 y2 與 x

19、 的函數(shù)關(guān)系中的比例系數(shù)不肯定相同，故不能都設(shè)為 k，要用不同的字母表示，這也是“問題區(qū)” .解：（ 1）設(shè) y1k1x（ k10）， （k2 0），就，代入數(shù)值求得 k1 2， k2 2，就 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為.（2）把 x 2 代入 得 y 5.小試身手：1、如 y+1 與 x 成反比例，當(dāng) y=1 時，x=4，就 y 與 x 的函數(shù)解析式為 .2、如函數(shù)是反比例函數(shù)，就m 的取值是3、已知 y 與 x 2 成反比例，并且當(dāng)x=3 時， y=4.(1) 寫出 y 和 x 之間的函數(shù)關(guān)系式(2) 當(dāng) x=1.5 時 y 的值.4、修建一條鐵路，如80 人參與，就需要25 天完成；（1

20、）試寫出參與人數(shù)y 和所需天數(shù) x 之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如需在 20 天內(nèi)修完，就從一開頭就必需增加多少人參與修建？5、y 是 x 的反比例函數(shù)，下表給出了x 與 y 的一些值：x-2-113y2-1（1）寫出這個反比例函數(shù)的表達式；（2）依據(jù)函數(shù)表達式完成上表.（教學(xué)說明： 三個例題可用嘗試練習(xí)的方式，在同學(xué)溝通后， 老師再規(guī)范解答，突出關(guān)鍵點；小試身手環(huán)節(jié)，可讓同學(xué)獨立練習(xí)，而后再與同桌溝通，上講臺板演，老師要重點關(guān)注“學(xué)困生”. ）四、反思小結(jié)，觀點提煉.（設(shè)計說明： 通過讓同學(xué) 暢談自己的收成、 困惑以及感受， 反饋自己的教學(xué)，并做好歸納總結(jié)，盡可能地解惑釋疑，幫忙同學(xué)提高熟識 .

21、 ）1、學(xué)問歸納：（1）反比例函數(shù)的定義：形如（k 為常數(shù)， k0）的函數(shù) . 也可寫成（ k 0）或 xy k（ k 0）的形式 .（2）反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)分.解 析 式 自變量取值范圍正比例函數(shù)反比例函數(shù)任意實數(shù)x 0函數(shù)取值范疇任意實數(shù)y 0自變量的次數(shù)1 次-1 次定量關(guān)系商為定值（x 0）積為定值2、思想方法歸納：待定系數(shù)法；數(shù)學(xué)建模思想，變化與對應(yīng)的思想.五、分層作業(yè)，各有所獲.必做題： p53-54 習(xí)題 17.1 的 1、2、4選做題： 1、p54 習(xí)題 17.1 的 5、6.2、已知函數(shù) y y1 y2 ，y1 與 x 1 成正比例， y2 與 x 成反比例，且當(dāng)x

22、1時， y0；當(dāng) x4 時， y9，求當(dāng) x 1 時 y 的值選做題 2 的答案： y4.六、練習(xí)拓展，前貫后連.（設(shè)計說明：選取 4 道中考題、 1 道同學(xué)生活題，意圖之一是鞏固提高，之二是把本節(jié)所學(xué)延長到下一節(jié)的學(xué)習(xí)中去，起到預(yù)習(xí)探究的作用， 明確學(xué)問學(xué)習(xí)的永無止境 . ）1（ 20xx 年日照市）已知反比例函數(shù)y=，就以下點中在這個反比例函數(shù)圖象的上的是（）a （ 2，1） b.（1，-2） c.（-2，-2） d.（ 1， 2）2（ 20xx 年丹東市）某服裝廠承攬一項生產(chǎn)夏涼小衫1600 件的任務(wù)，計劃用 t 天完成（1）寫出每天生產(chǎn)夏涼小衫w（件）與生產(chǎn)時間t（天）（ t4）之間的函數(shù)關(guān)系式 ;（2）由于氣溫提前上升，商家與服裝廠商量調(diào)整方案，打算提前4 天交貨，那么服裝廠每天要多做多少件夏涼小衫才能完成任務(wù)？3.（20xx 年蘭州市） 已知： y y1 y2，y1 與 x2 成正比例， y2 與 x 成反比例， 且 x1 時， y3；x -1 時， y1. 求 x - 時，