初中數(shù)學(xué)專題特訓(xùn)第十七講：三角形與全等三角形

1、2021 年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第十七講三角形與全等三角形【基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)回憶】三角形的概念：1、由直線上的三條線段組成的圖形叫三角形2、三角形的基本元素：三角形有條邊個(gè)頂點(diǎn)個(gè)內(nèi)角二、三角形的分類：按邊可分為三角形和三角形，按角可分為三角形三角形三角形【趙老師提示：等邊三角形屬于特殊的三角形，銳角三角形和鈍角三角形有事稱為三角形】三、三角形的性質(zhì)：1、三角形的內(nèi)角和是三角形的任意一個(gè)外角和它不 相得兩個(gè)內(nèi)角的和三角形的一個(gè)外角任意一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角2、三角形任意兩邊之和第三邊，任意兩邊之差第三邊3、三角形具有性【趙老師提示：1、三角形的外角是指三角形一邊和另一邊的組成的角，三角形有個(gè)外角，三角形的外角

2、和事，是其中各外角的和2、三角形三邊關(guān)系定理是確定三條線段否構(gòu)成三角形和判定限度間不等關(guān)系的主要依據(jù)】四、三角形中的主要線段：1、角平分線： 三角形的三條角平分線都在三角形部 且交于一點(diǎn)， 這些是三角形的心 它到得距離相等2、中線：三角形的三條中線都在三角形部，且交于一點(diǎn)3、高線：不同三角形 的 三 條高線位置不同，銳角三角形三條高都連三角 形直角三角形有一條高線在部，另兩條河重合，鈍角三角形有一條高線在三角形部，兩條在三角形部4、中位線：連接三角形任意兩邊的線段叫做三角形的中位線；定理：三角形的中位線第三邊且等于第三邊的【趙老師提示：三角形的平分線、中線、高線、中位線都是且都有條】五、全等三

3、角形的概念和性質(zhì)：1、的兩個(gè)三角形叫做全等三角形2、性質(zhì)：全等三角形的、分別相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)線段（角平分線、中線、高線）周長(zhǎng)、面積分別對(duì)應(yīng)【趙老師提示：全等三角形的性質(zhì)是證明線段、角等之間數(shù)量關(guān)系的最主要依據(jù)】一、全等三角形的判定：1、一般三角形的全等判定方法：邊角邊，簡(jiǎn)記為角邊角：簡(jiǎn)記為角角邊：簡(jiǎn)記為邊邊邊：簡(jiǎn)記為 2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的全部方法以外，仍可以用來(lái)判定【趙老師提示： 1、判定全等三角形的條件中，必需至少有一組對(duì)應(yīng)相等，用 sas 判定全等，切記角為兩邊的2、判定全等三角形的有關(guān)條件要特殊留意對(duì)應(yīng)兩個(gè)字】【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】考點(diǎn)一：三角形內(nèi)角、外角的

4、應(yīng)用例 1 （ 2021 .南通）如圖， abc 中， c=70°，如沿圖中虛線截去c，就 1+ 2=（）a 360° b 250° c 180° d 140°思路分析：先利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，得出1+ 2= c+ （ c+ 3+ 4），再依據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果解： 1、 2 是 cde 的外角， 1= 4+ c， 2= 3+ c，即 1+ 2= c+ （ c+ 3+ 4）=70° +180° =250°應(yīng)選 b 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和是180°；三

5、角形的 任一外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1（ 2021.泉州）如圖，在abc 中， a=60 °， b=40 °，點(diǎn) d、e 分別在 bc、ac 的延長(zhǎng)線上，就1=°1 80分析：先依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出acb的度數(shù)，再依據(jù)對(duì)頂角相等求出1 的度數(shù)即可解： abc 中， a=60 °， b=40 °， acb=180 ° - a- b=180 ° -60° -40°=80 °， 1= acb=80 ° 故答案為： 80點(diǎn)評(píng)：此題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，即三角形內(nèi)角和是

6、180°考點(diǎn)二：三角形三邊關(guān)系例 2（ 2021.瀘州） 已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是3 和 6，第三邊的長(zhǎng)是方程x2-6x+8=0 的根，就這個(gè)三角形的周長(zhǎng)等于（）a 13b 11c 11 或 13d 12 或 152分析：第一從方程x 2-6x+8=0 中，確定第三邊的邊長(zhǎng)為2 或 4；其次考查2， 3，6 或 4，3， 6 能否構(gòu)成三角形，從而求出三角形的周長(zhǎng)解：由方程x2-6x+8=0 ，得：解得 x1=2 或 x2=4，當(dāng)?shù)谌吺? 時(shí)， 2+3 6，不能構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去；當(dāng)?shù)谌吺? 時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為4+3+6=13 應(yīng)選 a 點(diǎn)評(píng)： 考查了三角形三邊關(guān)系，求三角形的周長(zhǎng)

7、，不能盲目地將三邊長(zhǎng)相加起來(lái)，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長(zhǎng)能否成三角形的好習(xí)慣，不符合題意的應(yīng)棄之對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1（ 2021.義烏市）假如三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3 和 5，第三邊長(zhǎng)是偶數(shù)，就第三邊長(zhǎng)可以是（）a 2 b 3 c 4 d 8思路分析：依據(jù)三角形三邊關(guān)系，可令第三邊為x，就 5-3 x 5+3，即 2 x 8，又由于第三邊長(zhǎng)為偶數(shù)，所以第三邊長(zhǎng)是4， 6問(wèn)題可求解：由題意，令第三邊為x ，就 5-3x 5+3，即 2 x 8，第三邊長(zhǎng)為偶數(shù)，第三邊長(zhǎng)是4 或 6三角形的三邊長(zhǎng)可以為3、5、 4應(yīng)選： c點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，嫻熟把握三角形的三邊關(guān)系是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵考點(diǎn)三：三角形全

8、等的判定例 3（ 2021.樂(lè)山）如圖，在abc 中， c=90°， ac=bc=4 ， d 是 ab 的中點(diǎn)，點(diǎn)e、f 分別在 ac 、bc 邊上運(yùn)動(dòng) （點(diǎn) e 不與點(diǎn) a 、c 重合），且保持 ae=cf ，連接 de、df 、ef在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有以下結(jié)論： dfe 是等腰直角三角形；四邊形 cedf 不行能為正方形；四邊形 cedf 的面積隨點(diǎn)e 位置的轉(zhuǎn)變而發(fā)生變化；點(diǎn) c 到線段 ef 的最大距離為2 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）a 1 個(gè) b 2 個(gè) c 3 個(gè) d 4 個(gè)思路分析：作常規(guī)幫助線連接cd ，由 sas 定理可證 cdf 和 ade 全等，從而可證edf

9、=90 °， de=df 所以 dfe 是等腰直角三角形；當(dāng) e 為 ac 中點(diǎn)， f 為 bc 中點(diǎn)時(shí)，四邊形cedf 為正方形；由割補(bǔ)法可知四邊形cdfe 的面積保持不變； def 是等腰直角三角形de=2 ef，當(dāng) df 與 bc 垂直，即df 最小時(shí)， fe 取最小值22 ，此時(shí)點(diǎn)c 到線段 ef 的最大距離解：如圖，連接cd ； abc 是等腰直角三角形， dcb= a=45 °， cd=ad=db ；ae=cf ， ade cdf；ed=df ， cdf= eda ； ade+ edc=90 °， edc+ cdf= edf=90 °， df

10、e 是等腰直角三角形故此選項(xiàng)正確；當(dāng) e、f 分別為 ac 、bc 中點(diǎn)時(shí)，四邊形cdfe 是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；如圖 2 所示，分別過(guò)點(diǎn)d，作 dm ac ，dn bc ，于點(diǎn) m ， n，可以利用割補(bǔ)法可知四邊形cdfe 的面積等于正方形cmdn面積，故面積保持不變；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； def 是等腰直角三角形de=2 ef，當(dāng) efab 時(shí)， 即 ef 取最小值22 ，此時(shí)點(diǎn) c 到線段 ef 的最大距離為2 故此選項(xiàng)正確；故正確的有2 個(gè)，應(yīng)選： b點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、 直角三角形性質(zhì)等學(xué)問(wèn)，依據(jù)圖形利用割補(bǔ)法可知四邊形cdfe 的面積等于

11、正方形cmdn面積是解題關(guān)鍵例 4（ 2021.珠海） 如圖， 把正方形abcd 繞點(diǎn) c 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到正方形a b cd （此時(shí)，點(diǎn)b落在對(duì)角線ac 上，點(diǎn) a 落在 cd 的延長(zhǎng)線上） ，a b交 ad于點(diǎn) e，連接 aa 、 ce求證：（ 1） ada cde ；（2）直線 ce 是線段 aa 的垂直平分線思路分析：（ 1）依據(jù)正方形的性質(zhì)可得 ad=cd ， adc=90 °， ea d=45 °，就 a de=90 °，再運(yùn)算出 a ed=45 °，依據(jù)等角對(duì)等邊可得 ad=ed ，即可利用 sas 證明 aa d ce

12、d ；（2）第一由ac=a c，可得點(diǎn)c 在 aa 的垂直平分線上；再證明aeb a ed ，可得 ae=a e，進(jìn)而得到點(diǎn)e 也在 aa 的垂直平分線上，再依據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線可得直線 ce 是線段 aa 的垂直平分線證明：（ 1）四邊形abcd 是正方形，ad=cd ， adc=90 °， a de=90 °，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的方法可得：ea d=45 °， a ed=45 °，a d=de ，在 aa d 和 ced 中：ad=cd ， ada = edc， a d=ed ， aa d ced （ sas）；（2） ac=a c，點(diǎn) c 在 aa 的垂直平

13、分線上，ac 是正方形abcd的對(duì)角線， cae=45 °，ac=a c， cd=cb ，ab =a d，在 aeb 和 a ed 中： eab = ea d， aeb = a ed，ab =a d ， aeb a ed ，ae=a e，點(diǎn) e 也在 aa 的垂直平分線上，直線 ce 是線段 aa 的垂直平分線點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是嫻熟把握正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，相互垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)后相等的線段對(duì)應(yīng)訓(xùn)練3（ 2021.雞西） rt abc 中， ab=ac ，點(diǎn) d

14、為 bc 中點(diǎn) mdn=90 °， mdn 繞點(diǎn) d旋轉(zhuǎn)， dm 、dn 分別與邊ab 、ac 交于 e、 f 兩點(diǎn)以下結(jié)論：（be+cf ） =22bc ；s aef 1 s abc ； s 四邊形 aedf=ad .ef； ad ef； ad 與 ef 可能相互平4分，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）a 1 個(gè)b 2 個(gè)c3 個(gè)d 4 個(gè)3分析：先由 asa 證明 aed cfd，得出 ae=cf ，再由勾股定理即可得出be+cf=ab=2bc，從而判定；2設(shè) ab=ac=a ， ae=cf=x ，先由三角形的面積公式得出saef =- 1 （ x- 1 a） 2+ 1 a2，11s a

15、bc =×441 a2= 128228a2，再依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判定；由勾股定理得到ef 的表達(dá)式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得ef 最小值為222a，而 ad=a，2所以 ef ad ，從而錯(cuò)誤；1先得出s 四邊形 aedf =s adc =2ad ，再由ef ad得到 ad .ef ad2， ad .ef s 四邊形aedf ，所以錯(cuò)誤；假如四邊形aedf 為平行四邊形，就ad 與 ef 相互平分，此時(shí)df ab ， de ac，又 d為 bc 中點(diǎn)，所以當(dāng)e、 f 分別為 ab 、ac 的中點(diǎn)時(shí)， ad 與 ef 相互平分，從而判定 解： rtabc 中， ab=ac ，點(diǎn) d 為

16、 bc 中點(diǎn)， c= bad=45 °， ad=bd=cd ， mdn=90 °， ade+ adf= adf+ cdf=90 °， ade= cdf 在 aed 與 cfd 中，eadcadcd，adecdf aed cfd （asa ），ae=cf ，在 rt abd 中， be+cf=be+ae=ab=ad 2bd 2故正確；設(shè) ab=ac=a ， ae=cf=x ，就 af=a-x 2 bd2 bc 2saef1111=ae .af=x（ a-x）=-（x-a）2 + 1 a2，22228112當(dāng) x=a 時(shí)， s aef 有最大值a ，281又sabc

17、=41 × 1 a2=421 a2，81s aef 4s abc 故正確；2ef =ae2+af22=x +（a-x）2=2 （ x-122a） +1 2 a ，2當(dāng) x= 1 a 時(shí)， ef2 取得最小值1 a2，2ef 22而 ad=2221a（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=2a， ef ad a 時(shí)成立），故錯(cuò)誤；由的證明知aed cfd，s 四邊形 aedf=s aed+s adf=s cfd+s adf=s adc=1 2 ad2 ，ef ad ， ad .ef ad2 ， ad .ef s 四邊形 aedf故錯(cuò)誤；當(dāng) e、 f 分別為 ab 、ac 的中點(diǎn)時(shí)，四邊形aedf 為正方形，

18、此時(shí)ad 與 ef 相互平分故正確綜上所述，正確的有：，共3 個(gè)應(yīng)選 c點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圖形的面積，函數(shù)的性質(zhì)等學(xué)問(wèn)，綜合性較強(qiáng)，有肯定難度4（ 2021.肇慶）如圖，已知ac bc， bd ad ， ac 與 bd 交于 o， ac=bd 求證：（ 1）bc=ad ；（2） oab 是等腰三角形4分析：（ 1）依據(jù) ac bc，bd ad ，得出 abc 與 bad 是直角三角形， 再依據(jù) ac=bd ，ab=ba ，得出 abc bad ，即可證出bc=ad ，（2）依據(jù) abc bad ，得出 cab= dba ，從而證出oa=

19、ob ， oab 是等腰三角形證明：（ 1） ac bc， bd ad ， abc 與 bad 是直角三角形，在 abc 和 bad 中， ac=bd ， ab=ba ， acb= adb， abc bad ，bc=ad ，（2） abc bad ， cab= dba ，oa=ob ， oab 是等腰三角形點(diǎn)評(píng)： 此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)；用到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)是全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重點(diǎn)，此題是道基礎(chǔ)題，是對(duì)全等三角形的判定的 訓(xùn)練考點(diǎn)四：全等三角形開放性問(wèn)題例 5 （ 2021.義烏市）如圖，在 abc 中，點(diǎn) d 是 bc 的中點(diǎn)，作射線 ad ，在

20、線段 ad 及其延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn) e、f，連接 ce、bf 添加一個(gè)條件，使得 bdf cde ，并加以證明你添加的條件是（不添加幫助線） 思路分析： 由已知可證 ecd fbd ，又 edc fdb ，由于三角形全等條件中必需是 三個(gè)元素，并且肯定有一組對(duì)應(yīng)邊相等故添加的條件是：de=df （或 cebf 或 ecd=dbf 或 dec= dfb 等）；解：（ 1）添加的條件是：de=df （或 ce bf 或 ecd= dbf 或 dec= dfb 等）（2）證明：在bdf 和 cde 中bdcdedcfdb ，dedf bdf cde 點(diǎn)評(píng)： 三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角

21、形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等， 先依據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再依據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件對(duì)應(yīng)訓(xùn)練5（ 2021.衡陽(yáng)）如圖，af=dc ， bc ef，請(qǐng)只補(bǔ)充一個(gè)條件，使得abc def ，并說(shuō)明理由5分析：第一由af=dc 可得 ac=df ，再由 bc ef 依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得efd= bca ，再加上條件ef=bc 即可利用 sas 證明 abc def 解：補(bǔ)充條件：ef=bc ，可使得 abc def理由如下：af=dc ，af+fc=dc+fc ，即： ac=df ，bc ef， efd= bca ，在 efd 和 b

22、ca 中，ef=bc efd= bca ef=bc， efd bca （ sas）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是嫻熟把握判定定理：sss、sas、asa 、aas ， hl 【聚焦山東中考】1. （ 2021.煙臺(tái)）一副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點(diǎn)d恰好放在等腰直角三角板的斜邊ab上， bc與 de交于點(diǎn) m假如 adf=100°，那么 bmd為度1.85分析：先依據(jù) adf=100°求出 mdb的度數(shù)， 再依據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出bmd的度數(shù)即 可解答：解：adf=100°， edf=30°， mdb=180° - a

23、df- edf=180° -100 ° -30 °=50°， bmd=180° - b- mdb=180° -45 °-50 ° =85°故答案為： 85點(diǎn)評(píng)：此題考查的是三角形內(nèi)角和定理，即三角形內(nèi)角和是180° 2（ 2021.聊城）將一副三角板按如下列圖擺放，圖中的度數(shù)是（） a 75° b 90° c 105° d 120°2分析： 先依據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出bae及 e 的度數(shù)， 再由三角形內(nèi)角和定理及對(duì)頂角的性質(zhì)即可得出結(jié)論解答：解：圖中是一副

24、直角三角板， bae=45°， e=30°， afe=180° - bae- e=105°， =105°應(yīng)選 c點(diǎn)評(píng)：此題考查的是三角形內(nèi)角和定理，即三角形內(nèi)角和是180° 3（ 2021.德州）不肯定在三角形內(nèi)部的線段是（）a 三角形的角平分線b 三角形的中線c三角形的高d 三角形的中位線3分析：依據(jù)三角形的高、中線、角平分線的性質(zhì)解答解答： 解：由于在三角形中，它的中線、角平分線肯定在三角形的內(nèi)部，而鈍角三角形的高在三角形的外部應(yīng)選 c點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的高、中線和角平分線，要熟識(shí)它們的性質(zhì)方可解答4（ 2021.濟(jì)寧）用直尺

25、和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線的示意圖如下列圖，就能說(shuō)明aoc= boc 的依據(jù)是（）a sssb asac aasd角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等4分析：連接nc ， mc ，依據(jù) sss 證 onc omc ，即可推出答案解：如圖，連接nc ，mc ，在 onc 和 omc 中onomncmc，ococ onc omc （sss）， aoc= boc ，應(yīng)選 a 點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)，主要考查同學(xué)運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的才能，題型較好，難度適中5（ 2021.濱州）如圖，在abc中， ab=ad=d，c bad=20°，就 c=5 40°分析：先依據(jù)等腰三角形的

26、性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可求出b 的度數(shù)，再依據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求出adc的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定懂得答即可解： ab=ad， bad=20°， b=180bad2180202=80°， adc是 abd的外角， adc=b+ bad=80° +20° =100°，ad=dc，180 c=adc180100=40°22點(diǎn)評(píng)： 此題涉及到三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，屬較簡(jiǎn)潔題目6（ 2021 .濰坊）如下列圖， ab=db ， abd= cbe ，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使 abc dbe （只需添加一個(gè)即

27、可）6 bde= bac分析： 依據(jù) abd= cbe 可以證明得到abc= dbe ，然后依據(jù)利用的證明方法，“角邊角”“邊角邊”“角角邊”分別寫出第三個(gè)條件即可解： abd= cbe ， abd+ abe= cbe+ abe ，即 abc= dbe ，ab=db ，用“角邊角” ，需添加 bde= bac ，用“邊角邊” ，需添加be=bc ，用“角角邊” ，需添加 acb= deb 故答案為： bde= bac 或 be=bc 或 acb= deb （寫出一個(gè)即可）點(diǎn)評(píng)： 此題考查了全等三角形的判定，依據(jù)已知條件有一邊與一角，依據(jù)不同的證明方法可以挑選添加不同的條件，需要留意，不能使添加

28、的條件符合“邊邊角”，這也是此題簡(jiǎn)潔出的地方7（ 2021.臨沂） 在 rt abc中， acb=90°，bc=2cm，cd ab，在 ac上取一點(diǎn)e，使 ec=bc，過(guò)點(diǎn) e 作 ef ac交 cd的延長(zhǎng)線于點(diǎn)f，如 ef=5cm，就 ae=cm7 3分析： 依據(jù)直角三角形的兩銳角互余的性質(zhì)求出ecf= b，然后利用“角邊角”證明abc 和 fec全等，依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得ac=ef，再依據(jù) ae=ac-ce，代入數(shù)據(jù)運(yùn)算即 可得解解： acb=90°， ecf+bcd=90°，cd ab， bcd+b=90°， ecf=b，在 abc和 fe

29、c中， ecf= b ec=bc acb= fec=90°， abc fec（ asa），ac=ef，ae=ac-ce， bc=2cm， ef=5cm，ae=5-2=3cm故答案為： 3點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，依據(jù)直角三角形的性質(zhì)證明得到 ecf=b 是解題的關(guān)鍵8（ 2021.濟(jì)寧） 如圖， 在等邊三角形abc中，d 是 bc邊上的一點(diǎn)， 延長(zhǎng) ad至 e，使 ae=ac，bae的平分線交 abc的高 bf 于點(diǎn) o，就 tan aeo=833分析：依據(jù)等邊三角形性質(zhì)和三線合肯定理求出baf=30°，推出 ab=ae，依據(jù) sas證 bao eao，推出

30、aeo= abo=30°即可解答：解：abc是等邊三角形，abc=60°， ab=bc，bf ac， abf=12abc=30°，ab=ac， ae=ac，ab=ae，ao平分 bae， bao=eao，在 bao和 eao中 ab=ae， bao=eao， ao=ao， bao eao， aeo=abo=30°，tan aeo=tan30°=3 ，3故答案為：33點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，特殊角的三角函數(shù)值等學(xué)問(wèn)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是證出aeo= abo，題目比較典型，難度適中【備考真題過(guò)關(guān)】一、挑選題1（ 2021.

31、云南）如圖，在abc 中， b=67 °， c=33°， ad 是 abc的角平分線，就 cad 的度數(shù)為（）a 40° b 45° c 50° d 55°1分析：第一利用三角形內(nèi)角和定理求得bac 的度數(shù)，然后利用角平分線的性質(zhì)求得cad 的度數(shù)即可解： b=67 °， c=33°， bac=180 ° - b- c=180 ° -67° -33°=80 °ad 是 abc 的角平分線， cad= 12 bac= 12× 80°=40 

32、6;應(yīng)選 a 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)潔三角形內(nèi)角和定理在學(xué)校已經(jīng)接觸過(guò)2（ 2021.梅州）如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張abc紙片，點(diǎn)d、e 分別是邊 ab 、ac 上，將 abc 沿著 de 折疊壓平， a 與 a 重合， 如 a=75 °，就 1+ 2=（） a 150° b 210° c 105° d 75°2分析：先依據(jù)圖形翻折變化的性質(zhì)得出ade a de ， aed= a ed， ade=a de ，再依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出aed+ ade 及 a ed+ a de 的度數(shù)， 然后依據(jù)平角的

33、性質(zhì)即可求出答案解： a de 是 abc 翻折變換而成， aed= a ed， ade= a de， a= a =75°， aed+ ade= a ed+ a de=180 ° -75° =105°， 1+ 2=360° -2× 105° =150°應(yīng)選 a 點(diǎn)評(píng)： 此題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)，即折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的外形和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等3（ 2021.漳州）將一副直角三角板，按如下列圖疊放在一起，就圖中 的度數(shù)是（）a 45° b 60°

34、 c 75° d 90°3分析：依據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出1 的度數(shù)，再依據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式運(yùn)算即可得解解：如圖， 1=90 °-60° =30 °， 所以， =45 ° +30° =75 ° 應(yīng)選 c點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵4（ 2021.廣東）已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是4 和 10，就此三角形第三邊的長(zhǎng)可能是（）a 5b 6c 11d 164分析：設(shè)此三角形第三邊的長(zhǎng)為x

35、，依據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出x 的取值范疇，找出符合條件的x 的值即可解：設(shè)此三角形第三邊的長(zhǎng)為x，就 10-4 x 10+4，即 6 x 14，四個(gè)選項(xiàng)中只有11 符合條件應(yīng)選 c點(diǎn)評(píng)： 此題考查的是三角形的三邊關(guān)系，即任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊5（ 2021.郴州）以以下各組線段為邊，能組成三角形的是（）a 1cm，2cm，4cmb4cm，6cm，8cmc5cm，6cm，12cmd 2cm，3cm，5cm5分析：依據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析解：依據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知a 、1+2 4，不能組成三角形；b、4+6 8，能夠

36、組成三角形；c、5+6 12，不能組成三角形；d、2+3=5 ，不能組成三角形 應(yīng)選 b 點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的三邊關(guān)系判定能否組成三角形的簡(jiǎn)便方法是看較小的兩個(gè)數(shù)的和是否大于第三個(gè)數(shù)6（ 2021.玉林）如圖，在菱形abcd中，對(duì)角線ac ， bd 相交于點(diǎn)o，且 ac bd ，就圖中全等三角形有（）a 4 對(duì) b 6 對(duì) c 8 對(duì) d 10 對(duì)6分析：依據(jù)菱形四邊形等，對(duì)角線相互垂直且平分，結(jié)合全等三角形的判定即可得出答案解：圖中全等三角形有：abo ado 、 abo cdo ， abo cbo ；aod cod ， aod cob ；doc boc ；abd cbd ，abc ad

37、c ， 共 8 對(duì)應(yīng)選 c點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定及菱形的性質(zhì)，留意把握全等三角形的幾個(gè)判定定理，在查找時(shí)要有序的進(jìn)行，否就很簡(jiǎn)潔出錯(cuò)7（ 2021.貴陽(yáng)）如圖，已知點(diǎn)a 、d 、c、f 在同一條直線上，ab=de ， bc=ef ，要使 abc def ，仍需要添加一個(gè)條件是（）a bca= f b b= e c bc ef d a= edf7分析：全等三角形的判定方法sas 是指有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且這兩邊的夾角相等的兩三角 形全等，已知ab=de ， bc=ef ，其兩邊的夾角是b 和 e，只要求出b= e 即可解： a 、依據(jù) ab=de ，bc=ef 和 bca= f 不能推出

38、abc def ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；b、在 abc 和 def 中abdebe，bcef abc def （ sas），故本選項(xiàng)正確；c、 bc ef， f= bca ，依據(jù) ab=de ，bc=ef 和 f= bca 不能推出 abc def ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；d、依據(jù) ab=de ， bc=ef 和 a= edf 不能推出 abc def ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 應(yīng)選 b 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了對(duì)平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定的應(yīng)用，留意：有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且這兩邊的夾角相等的兩三角形才全等，題目比較典型，但是一道比較簡(jiǎn)潔出錯(cuò)的題目三、填空題8（ 2021.呼和浩特）如圖，在abc 中， b=47 °

39、;，三角形的外角dac 和 acf 的平分線交于點(diǎn)e，就 aec=8 66.5°分析：依據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及三角形外角定理求得1 dac+ 1221227acf=（ b+ b+ bac+ bca ）=；最終在 aec 中利用三角形內(nèi)角和定理可22以求得 aec 的度數(shù)解：三角形的外角dac 和 acf 的平分線交于點(diǎn)e， eac= 1 dac ， eca= 1 acf ；22又 b=47 °（已知）， b+ bac+ bca=180 °（三角形內(nèi)角和定理），11 dac+22acf=1（ b+ acb ） +21（ b+ bac ） =21（ b

40、+ b+ bac+ 2227bca ） =2（外角定理） ，11 aec=180 ° -（2故答案是： 66.5° dac+acf ） =66.5 °；2點(diǎn)評(píng)： 此題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)解題時(shí)留意挖掘出隱含在題干中已知條件“三角形內(nèi)角和是180°”9（ 2021.婁底）如圖， fe on ， oe 平分 mon ， feo=28 °，就 mfe=度9 56分析：先依據(jù)平行線的性質(zhì)得出noe= feo，再依據(jù)角平分線的性質(zhì)得出noe= eof，由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論解： fe on ， feo=28 °， no

41、e= feo=28 °，oe 平分 mon ， noe= eof=28 °， mfe 是 eof 的外角， mfe= noe+ eof=28 °+28 ° =56°故答案為： 56點(diǎn)評(píng)：此題考查的是三角形外角的性質(zhì)，即三角形的外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和10（2021.白銀）如圖，在 abc 中，ac=bc ， abc 的外角 ace=100 °，就 a=度10 50分析： 依據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得a= b，再依據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式運(yùn)算即可得解解： ac=bc ， a= b ， a+ b= ace ，

42、 a= 1 ace= 1 × 100° =50°22故答案為： 50點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)并精確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵11（2021.綏化）如等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為3 和 5，就它的周長(zhǎng)是11 11 或 13分析：題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為3 和 5，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行爭(zhēng)論，仍要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形解答：解：有兩種情形：腰長(zhǎng)為 3，底邊長(zhǎng)為5，三邊為： 3， 3， 5 可構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)=3+3+5=11 ；腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為3，三邊為： 5，

43、5， 3 可構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)=5+5+3=13 故答案為： 11 或 13點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目肯定要想到兩種情形，分類進(jìn)行爭(zhēng)論， 仍應(yīng)驗(yàn)證各種情形是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)特別重要，也是解題的關(guān)鍵12（ 2021.柳州）如圖，在abc 中， bd 是 abc 的角平分線，已知abc=80 °，就dbc=°12 40分析：依據(jù)角平分線的性質(zhì)得出abd= dbc 進(jìn)而得出 dbc 的度數(shù)解答：解：bd是 abc 的角平分線，abc=80 °， dbc= abd= 1 abc= 1 × 80

44、6;=40 °，22故答案為： 40點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，依據(jù)角平分線性質(zhì)得出abd= dbc 是解題關(guān)鍵13（ 2021.綿陽(yáng)）如圖， bc=ec ， 1= 2，要使 abc dec ，就應(yīng)添加的一個(gè)條件為（答案不唯獨(dú)，只需填一個(gè)）13 ac=cd分析：依據(jù) 1= 2，求出 bca= ecd，依據(jù) sas 證光明三角形全等即可解答：解： 添加的條件是ac=cd ，理由是： 1= 2， 1+ eca= 2+eca ， bca= ecd ，在 abc 和 dce 中bccebcaecd ，accd abc dce ， 故答案為： ac=cd 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了全等三角形的

45、判定的應(yīng)用，通過(guò)做此題培育了同學(xué)的發(fā)散思維才能，此題題型較好，是一道具有開放性的題目，答案不唯獨(dú)三、解答題14（2021.銅仁地區(qū)） 如圖，e、f 是四邊形abcd的對(duì)角線bd 上的兩點(diǎn)， ae cf，ae=cf ， be=df 求證： ade cbf 14考點(diǎn)：全等三角形的判定專題：證明題分析：第一利用平行線的性質(zhì)得出aed=cfb ，進(jìn)而得出de=bf ，利用 sas 得出即可證明： ae cf aed= cfb ，df=be ，df+ef=be+ef ， 即 de=bf ，在 ade 和 cbf 中，ae=cf aed= cfb de=bf ， ade cbf （ sas）點(diǎn)評(píng)：此題主要

46、考查了全等三角形的判定，利用兩邊且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等得出三角形全等是解題關(guān) 鍵 15（ 2021.赤峰）如下列圖，在abc 中， abc= acb （1）尺規(guī)作圖：過(guò)頂點(diǎn)a 作 abc 的角平分線ad ；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在 ad 上任取一點(diǎn)e，連接 be、 ce求證： abe ace 15分析：（ 1）以 a 為圓心，以任意長(zhǎng)為比較畫弧，分別交ab 和 ac 于一點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)之間的距離為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)和a 作射線，交 bc 于 d，就， ad 為所求；（2）推出 bae= cae ，依據(jù) sas 證 bae 和 cae 全等即可（1）解：如下列

47、圖：（2）證明： ad 是 abc 的角平分線， bad= cad ， abc= acb ，ab=ac ，在 abe 和 ace 中ab=ac bae= cae ae=ae， abe ace （sas）點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，作圖-基本作圖的應(yīng)用，主要考查同學(xué)的動(dòng)手操作才能和推理才能 16（ 2021.重慶）已知：如圖，ab=ae ， 1= 2， b= e求證： bc=ed 16分析：由1= 2 可得： ead= bac ，再有條件ab=ae ， b= e 可利用 asa 證明 abc aed ，再依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得bc=ed 證明： 1= 2， 1+ b

48、ad= 2+ bad ， 即： ead= bac ，在 ead 和 bac 中： b= e， ab=ae ， bac= ead ， abc aed （ asa ），bc=ed 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是把握全等三角形的判定方法：sss、 sas、 asa 、aas 、 hl 全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具1（ 2021.揚(yáng)州）如圖，在四邊形abcd中， ab=bc ， abc= cda=90 °，be ad ，垂足為 e求證： be=de 考點(diǎn) ：全 等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)；專題 ：證 明題；分析：作 cf be ，垂足為f，得出矩形cfed ，求出 cbf= a ，依據(jù) aas 證 bae cbf ，推出 be=cf 即可解答：證明：作cf be ，垂足為 f， be ad ， aeb=90 °， fed= d= cfe=90 °， cbe+ a