高三數(shù)學(xué)用樣本估計(jì)總體(教學(xué)案)(原卷版)

1、1.了解分布的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn)；2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋?zhuān)?.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想；5.會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 一、用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布1作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差 (即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)(2)決定組距與組數(shù)(3)將數(shù)據(jù)分組(4)列頻率分布表(5)畫(huà)頻率分布直方圖2頻率分布

2、折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得頻率分布折線圖(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線3莖葉圖莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù)二、用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征1眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)2中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，若有奇數(shù)個(gè)數(shù)，則最中間的數(shù)是中位數(shù)；若有偶數(shù)個(gè)數(shù)，則中間兩數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)3平均數(shù)：xx1x2 xnn，反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平4標(biāo)準(zhǔn)差：是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，s1n x1 x2 x2 x2xn x

3、2. 5方差： s21n(x1 x)2(x2 x)2 (xn x)2(xn是樣本數(shù)據(jù)， n 是樣本容量，x是樣本平均數(shù) )【必會(huì)結(jié)論】頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和高頻考點(diǎn)一頻率分布直方圖的應(yīng)用例 1、某高校調(diào)查了200 名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí) )，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5,30 ，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20)，20,22.5)，22.

4、5,25)，25,27.5)，27.5,30 根據(jù)直方圖，這200 名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5 小時(shí)的人數(shù)是() a 56 b60 c120 d140 【規(guī)律總結(jié)】應(yīng)用頻率分布直方圖應(yīng)注意的問(wèn)題(1)頻率分布直方圖是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度，表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律(2)圖中各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，它直觀反映了數(shù)據(jù)在各個(gè)小組的頻率的大小(3)要把握一個(gè)基本公式：頻率頻數(shù)樣本容量. 【變式探究】為了解某校高三學(xué)生聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，從該校參加聯(lián)考學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)中抽取一個(gè)樣本，并分成五組，繪成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組至第五組的頻率之比為128 63，

5、第五組的頻數(shù)為6，則樣本容量為_(kāi)高頻考點(diǎn)二莖葉圖的應(yīng)用例 2、如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5 名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件 )若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x 和 y 的值分別為 () a 3,5 b5,5 c 3,7 d5,7 【方法技巧】莖葉圖的繪制及應(yīng)用(1)一般制作莖葉圖的方法是：將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為“莖”，個(gè)位數(shù)字作為“葉”，莖相同者共用一個(gè)莖，莖按從小到大順序由上到下列出(2)估計(jì)數(shù)字特征，給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小【變式探究】下面的莖葉圖是某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測(cè)試時(shí)的成績(jī)：根據(jù)莖葉圖，得出該班男、女生數(shù)學(xué)成績(jī)的四個(gè)

6、統(tǒng)計(jì)結(jié)論，其中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是() a 15 名女生成績(jī)的平均分為78 b 17 名男生成績(jī)的平均分為77 c女生成績(jī)和男生成績(jī)的中位數(shù)分別為82,80 d男生中的高分段和低分段均比女生多，相比較男生兩極分化比較嚴(yán)重高頻考點(diǎn)三數(shù)字特征的應(yīng)用例 3、為了了解某校九年級(jí)1600 名學(xué)生的體能情況，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，測(cè)試1 分鐘仰臥起坐的成績(jī)(次數(shù) )，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是() a該校九年級(jí)學(xué)生1 分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25 b該校九年級(jí)學(xué)生1 分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5 c該校九年級(jí)學(xué)生1 分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過(guò)30 的人

7、數(shù)約為320 d該校九年級(jí)學(xué)生1 分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20 的人數(shù)約為32 【變式探究】將某選手的9 個(gè)得分去掉1 個(gè)最高分，去掉1 個(gè)最低分， 7 個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91.現(xiàn)場(chǎng)作的 9 個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來(lái)有1 個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法辨認(rèn)，在圖中以x 表示：則 7 個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為_(kāi)【舉一反三】某化肥廠甲、乙兩個(gè)車(chē)間包裝肥料，在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔30 min 抽取一包產(chǎn)品，稱(chēng)其重量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：甲： 102,101,99,98,103,98,99；乙： 110,115,90,85,75,115,110. (1)這種抽樣方法是哪一種？(2)將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示；(3)將兩組數(shù)據(jù)比

8、較，說(shuō)明哪個(gè)車(chē)間的產(chǎn)品較穩(wěn)定【方法技巧】(1)用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似實(shí)際應(yīng)用中，需先計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)，分析平均水平，再計(jì)算方差(標(biāo)準(zhǔn)差 )分析穩(wěn)定情況(2)若給出圖形，一方面可以由圖形得到相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，再計(jì)算平均數(shù)、方差(標(biāo)準(zhǔn)差 )；另一方面，可以從圖形直觀分析樣本數(shù)據(jù)的分布情況，大致判斷平均數(shù)的范圍，并利用數(shù)據(jù)的波動(dòng)性大小比較方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的大小高頻考點(diǎn)四頻率分布直方圖例 4、我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查通過(guò)抽樣，獲得了某年100 位居民每人的月均用水量(單位：噸 )，將數(shù)據(jù)按照 0,0.5)

9、，0.5,1)， 4,4.5分成9 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖(1)求直方圖中a 的值；(2)設(shè)該市有30 萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3 噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)【方法技巧】1.正確理解頻率分布直方圖(1)縱軸表示頻率組距，即小長(zhǎng)方形的高頻率組距；(2)小長(zhǎng)方形的面積組距頻率組距頻率；(3)數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長(zhǎng)方形的面積表示，各小長(zhǎng)方形的面積總和等于1. 2.莖葉圖中一定要分清莖、葉的含義3.求解中位數(shù)時(shí)一定要注意先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行排序后才能求解. 【變式探究】 某城市 100 戶(hù)居民的月平均用電量(單位： 度)，以160, 180)，

10、180, 200) ，200, 220) ，220, 240)， 240,260)，260,280)，280,300 分組的頻率分布直方圖如圖(1)求直方圖中x 的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為220,240) ，240,260)，260,280) ，280,300 的四組用戶(hù)中，用分層抽樣的方法抽取11 戶(hù)居民，則月平均用電量在220,240)的用戶(hù)中應(yīng)抽取多少戶(hù)？1. （2018 年江蘇卷）已知5 位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5 位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為_(kāi)2. （2018 年全國(guó)卷文數(shù)）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完

11、成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40 名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20 人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位： min）繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由；（2）求 40 名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)和不超過(guò)的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過(guò) m 不超過(guò) m 第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）根據(jù)（ 2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：，3. （2018 年全國(guó) 卷文數(shù)）下圖是某地區(qū)2000 年至 20

12、16 年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型根據(jù) 2000年至 2016 年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型：；根據(jù) 2010 年至 2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型：（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由12017 全國(guó)卷 為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n 塊地作試驗(yàn)田這n 塊地的畝產(chǎn)量(單位： kg)分別為 x1，x2，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是() a x1，

13、 x2，xn的平均數(shù)b x1， x2， ，xn的標(biāo)準(zhǔn)差c x1， x2， ，xn的最大值d x1， x2，xn的中位數(shù)2. 2017山東高考 如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5 名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件 )若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x 和 y 的值分別為 () a 3,5 b5,5 c 3,7 d5,7 3(2017 新課標(biāo)全國(guó)卷)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年 1 月至 2016 年 12 月期間月接待游客量(單位：萬(wàn)人 )的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是() a月接待游客量逐月增加b年接待游客量

14、逐年增加c各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月d各年 1 月至 6 月的月接待游客量相對(duì)于7 月至 12 月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)1.2016四川高考 我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查通過(guò)抽樣，獲得了某年100 位居民每人的月均用水量(單位：噸 )，將數(shù)據(jù)按照 0,0.5) ，0.5,1)，4,4.5 分成 9 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖(1)求直方圖中a 的值；(2)設(shè)該市有30 萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3 噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)2.2016山東高考 某高校調(diào)查了200 名學(xué)生每周的

15、自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí) )，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5,30 ，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20)，20,22.5)， 22.5,25)，25,27.5)，27.5,30 根據(jù)直方圖，這200 名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5 小時(shí)的人數(shù)是 () a 56 b60 c120 d140 12015 重慶高考 重慶市 2013 年各月的平均氣溫()數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是() a 19 b20 c21.5 d23 22015 湖北高考 某電子商務(wù)公司對(duì)10000 名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2014 年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額 (單位：萬(wàn)元 )都在區(qū)間 0.3,0.9 內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示(1)直方圖中的a_；(2)在這些購(gòu)物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為_(kāi)答案(1)3(2)6