北京四中高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)知識(shí)梳理函數(shù)的圖象

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載函數(shù)的圖像【考綱要求】1. 結(jié)合二次函數(shù)圖像，明白函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判定一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)2. 依據(jù)詳細(xì)函數(shù)的圖像，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解3. 明白指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特點(diǎn)知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義4. 明白函數(shù)模型 如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型 的廣泛應(yīng)用5. 會(huì)作簡(jiǎn)潔的函數(shù)圖像并能進(jìn)行圖像變換；6. 結(jié)合圖像懂得函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系；【學(xué)問網(wǎng)絡(luò)】函數(shù)的圖像二冪二次指分函對(duì)法數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)、圖像變換【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：一元二次方程的根與函數(shù)圖像的關(guān)系1

2、. 當(dāng) xr時(shí)，二次方程ax2bxc0 （ a0 ）的根的個(gè)數(shù)可以用判別式b24 ac 與 0 的關(guān)系進(jìn)行判定；2. 二次方程ax2bxc0 （ a0 ）的根x1 、x2 與系數(shù)的關(guān)系：x1x2bc， x1 x2；aa3. 二次方程ax 2bxc0 （ a0 ）的根的分布：結(jié)合f xax2bxc （ a0 ）的圖像可以得到一系列有關(guān)的結(jié)論（a0 可以轉(zhuǎn)化為a0 ）：（ 1）方程f x0 的兩根中一根比r 大，另一根比r 小f r 0 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）二次方程f x0 的兩根都大于rb24ac0 br2af r 0b 24ac0（ 3）二次方程f x0 在區(qū)間 p, q內(nèi)有兩根pbq

3、2af q 0f p0（ 4）二次方程f x0 在區(qū)間 p ,q 內(nèi)只有一根f qf p 0 ，或f p0而另一根在 p, q 內(nèi)，或f q0 而另一根在 p, q 內(nèi).（ 5）方程f x0 的一根比p 小且一根比 q 大（ pq ）f p0f q0考點(diǎn)二：零點(diǎn)1. 函數(shù)的零點(diǎn)(1) 一般地，假如函數(shù)yf x在實(shí)數(shù) a 處的值為0，即f a 0 ，就 a 叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)(2) 對(duì)于任意函數(shù)，只要它的圖像是連續(xù)不間斷的，其函數(shù)的零點(diǎn)具以下性質(zhì)： 當(dāng)它通過零點(diǎn)（不是偶次零點(diǎn)）時(shí)函數(shù)值符號(hào)轉(zhuǎn)變； 相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的全部的函數(shù)值保持符號(hào)不變；(3) 函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)是爭(zhēng)論方程根的分布問題的基礎(chǔ)，是通

4、過對(duì)二次函數(shù)的零點(diǎn)的爭(zhēng)論而推出的是由特別到一般的思想方法；2. 二分法(1) 已知函數(shù)yf x 在區(qū)間 a ，b 上連續(xù)的，且f a f b0 ，通過不斷地把函數(shù)yf x 的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步靠近零點(diǎn)，從而得到零點(diǎn)的近似值的方法，叫做二分法；(2) 二分法定義的基礎(chǔ)，是函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)；二分法定義本身給出了求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟只要按步就班地做下去，就能求出給定精確度的函數(shù)零點(diǎn)（ 3）二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟，滲透了算法思想與程序化意識(shí)此步驟本身就是一個(gè)解題程學(xué)習(xí)必備歡迎下載序；這種程序化思想在運(yùn)算機(jī)上得到了廣泛的應(yīng)用考點(diǎn)三：圖像變換（一）函數(shù)圖像1. 作圖方法：

5、以解析式表示的函數(shù)作圖像的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖像變換法，把握這兩種方法是本節(jié)的重點(diǎn)運(yùn)用描點(diǎn)法作圖像應(yīng)防止描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)防止盲目地連點(diǎn)成線要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處這就要求對(duì)所要畫圖像的存在范疇、大致特點(diǎn)、變化趨勢(shì)等作一個(gè)大致的爭(zhēng)論而這個(gè)爭(zhēng)論要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn)用圖像變換法作函數(shù)圖像要確定以哪一種函數(shù)的圖像為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換這也是個(gè)難點(diǎn)2. 作函數(shù)圖像的步驟：確定函數(shù)的定義域；化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；爭(zhēng)論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢(shì)）、特別點(diǎn)（如：零點(diǎn)、極值點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)） ；描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖像；（

6、二）圖像變換圖像變換包括圖像的平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換、翻折變換等；（ 1）平移變換（左加右減，上加下減）把函數(shù)f x 的圖像向左平移a a0 個(gè) a 單位，得到函數(shù)f xa 的圖 像，把函數(shù)f x 的圖像向右平移a a0 個(gè) a 單位，得到函數(shù)f xa的圖像，把函數(shù)f x 的圖像向上平移a a0 個(gè) a 單位，得到函數(shù)f xa 的圖像，把函數(shù)f x 的圖像向下平移a a0 個(gè) a 單位，得到函數(shù)f xa 的圖像；（ 2）伸縮變換把函數(shù)把函數(shù)yf x 圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原先的1 倍得wyf x 圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原先的1 倍得wyf yf x 0<<1x

7、 >1把函數(shù)yf x 圖像的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原先的w 倍得yf x>1把函數(shù)yf x 圖像的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原先的w 倍得yf x0<<1（ 3）對(duì)稱變換：函數(shù)yf x 和函數(shù)yf x的圖像關(guān)于x 軸對(duì)稱函數(shù) yfx 和函數(shù)yf x 的圖像關(guān)于y 軸對(duì)稱函數(shù) yfx 和函數(shù)yf x 的圖像 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù) yfx 和函數(shù) yf1 x 的圖像關(guān)于直線yx 對(duì)稱簡(jiǎn)潔地記為：x 軸對(duì)稱 y 要變， y 軸對(duì)稱 x 要變，原點(diǎn)對(duì)稱都要變；學(xué)習(xí)必備歡迎下載對(duì)于函 數(shù) yf x xr,f xaf bx 恒成立 , 就函數(shù)f x 的對(duì)稱軸是xab2（ 4）翻折變換：

8、把函數(shù)y=fx圖像上方部分保持不變，下方的圖像對(duì)稱翻折到x 軸上方，得到函數(shù)yf x 的圖像；保留 y 軸右邊的圖像，擦去左邊的圖像，再把右邊的圖像對(duì)稱翻折到左邊，得到函數(shù)yf x 的圖像；【典型例題】類型一：圖像變換例 1寫出以下函數(shù)作圖過程，然后畫出以下函數(shù)圖像的草圖.（ 1） y2 x1x1（ 2） y x1 x2（ 3） y| lg x |（4） y2| x 1|【解析】（ 1） y2x12 x1121x1x1x11先作出函數(shù)y的圖像，x再把函數(shù)1y的圖像向右平移一個(gè)單位得到函數(shù)x1y的圖像，x1最終把函數(shù)y1的圖像向上平移2 個(gè)單位，x1得到函數(shù)y21的圖像；x1x2x2 x2（ 2

9、）y x1 x2x2x2x2然后作出函數(shù)的圖像；（ 3）第一作出函數(shù)ylgx 的圖像，再把函數(shù)ylgx 的圖像 x 軸上方保持不變，把 x 軸下方的圖像對(duì)稱地翻折到x 軸上方，即得函數(shù)y| lgx | 的圖像；（ 4）第一作出函數(shù)y2 x 的圖像 ，然后把y2 x 的圖像 y 軸右邊的保持不變，去掉y 軸左邊的圖像，再把 y 軸右邊的圖像對(duì)稱地翻折到y(tǒng) 軸左邊，即得函數(shù)y2|x| 的圖像，最終把函數(shù)y2 |x| 的圖像向左平移一個(gè)單位，得到函數(shù)y2|x1|的圖像；【總結(jié)升華】作函數(shù)圖像的基本方法有兩種：學(xué)習(xí)必備歡迎下載(1) 描點(diǎn)法；(2) 圖像變換法：利用基本初等函數(shù)變換作圖，其中把握好1

10、平移變換； 2對(duì)稱變換； 3伸縮變換；舉一反三：【變式】作出以下函數(shù)的圖像1y3yx2 x12xx12ylg x1【答案】類型二 ：一元二次方程的根的分布例 2 已知函數(shù)f xx 2a 21xa2的一個(gè)零點(diǎn)比1 大，一個(gè)零點(diǎn)比l?。磺髮?shí)數(shù)a 的取值范疇【解析】方法一： 設(shè)方程 x 2a 21 x a20 的兩根分別為x 、 x（ x1x ）1221就 x21x110即 x2 x1x 2x110由韋達(dá)定理得：a2a2110即 a 2a20 ，解得：2a1方法二： 函數(shù)f x x 2a21 xa2的大致圖像如圖：就 f 10即 a2a 2110解得：2a1【總結(jié)升華】 1.這類題為方程的實(shí)根分布問

11、題，解決此類問題肯定要留意結(jié)合圖像，從判別式、韋達(dá)定理、 對(duì)稱軸、 端點(diǎn)函數(shù)值的大小、開口方向等方面去考慮使結(jié)論成立的全部條件；函數(shù)與方程聯(lián)系親密，可把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題解決，也可用數(shù)形結(jié)合法；22.函數(shù) y=ax +bx+c,當(dāng) a0 時(shí)，才是二次函數(shù)，詳細(xì)問題時(shí)，切忌忽視爭(zhēng)論a=0 的情形；3三個(gè)”二”次的關(guān)系是高考考查的重中之重，把二次方程和二次不等式的問題從二次函數(shù)的觀點(diǎn)動(dòng)身運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析處理是高考應(yīng)考必需落實(shí)的基本思路；舉一反三：【變式】已知方程2mx m3 x10 至少有一正根，求實(shí)數(shù)m 的取值范疇 .【答案】從二次函數(shù)的觀點(diǎn)動(dòng)身，結(jié)合函數(shù)圖像與x 軸交點(diǎn)的位置解決問題并

12、對(duì)m 進(jìn)行分類爭(zhēng)論；令 f xmx2m3 x1，學(xué)習(xí)必備歡迎下載就函數(shù)yf x的圖像與 x 軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，（ 1）如 m0 ，就f x3 x1 與 x 軸交點(diǎn) 1 ,03，符合題意；（ 2）如 m0 ，f 01 ，即函數(shù)yf x 的圖像肯定過點(diǎn)0,1 ，有當(dāng) m0 時(shí)，yf x 的圖像開口向上，只有下圖所示情形符合題意，0b即0m323m4m0, 解得 0m1 .02a2m當(dāng) m0 時(shí)，yf x 的圖像開口向下，必定有一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，符合題意.綜上可得 m,1類型三：零點(diǎn)的判定例 3.求方程1 x 2x333 的解的個(gè)數(shù)x【解析】作出函數(shù)y13和 y21 x2x13 23x15的圖像，x33243且 x時(shí)， y2215， y142 ，有y1y2 （如圖）由圖像可以知道：函數(shù)3y和1y2x1 x 23x3 的圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，學(xué)習(xí)必備歡迎下載即方程 1 x 332x3 x30 的解的個(gè)數(shù)為3.【總結(jié)升華】 1. 此題在求解的過程中，只需作出反映函數(shù)性狀的“大致”圖像，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間便可解決本問題，只要得出極大值為正，微小值為負(fù)，便可立刻得到原方程有3 個(gè)根2. 把方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，將方程和函數(shù)緊密聯(lián)系起來，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題比較便利；通過運(yùn)算作方程所對(duì)應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值表格或作出函數(shù)的圖