排列組合競(jìng)賽訓(xùn)練題(含答案)

1、排列組合一、選擇題6個(gè)站，那么這41、公共汽車上有 4位乘客，其中任何兩人都不在同一車站下車，汽車沿途?？?位乘客不同的下車方式共有 翻點(diǎn)亮心燈 /(AVA)照亮人生A、15 種B、 24 種C、360種D、 480 種2、把10個(gè)相同的球放入三個(gè)不同的盒子中,使得每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于2,則不同的放法有A、81 種B、15 種C、10種D、4種12車不能相鄰，且不能在首尾位置。則共(種安排出行的辦法A、A99XA3ioB、A99XA38 C、A38D、C384、在正方體的 三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱的中點(diǎn)、6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中，不共線的A、2898B、 2877C、2

2、876D、 28725、有兩個(gè)同心圓，在外圓上有相異的 最少可有6個(gè)點(diǎn)，內(nèi)圓上有相異的 3個(gè)點(diǎn)，由這9個(gè)點(diǎn)所確定的直線A、15 條B、21 條6、已知兩個(gè)實(shí)數(shù)集 A=a 1, a2, 個(gè)元素都有原象，且C、36 條 D、3 條a60與B=b 1, b2,b25,若從A到B的映射f使彳導(dǎo)B中每 > f (a60),則這樣的映射共有A、C60二、填空題B、C2459C、C2560D、C25597、4410共有.個(gè)不同的正約數(shù)。8、有7個(gè)人站成一排，其中 A、B不能相鄰，C、D必須挨在一起，且 C要求在A的右側(cè)，則共有站隊(duì)方法數(shù)是9、如圖，兩圓相交于 A、B兩點(diǎn)， 在兩圓周上另有六點(diǎn) C、D、

3、E、F、G、H,其中僅E、B、G共線，共他無三 點(diǎn)共線，這八點(diǎn)緊多可以確不同圓的個(gè)數(shù)是10、一個(gè)圓周上有5個(gè)紅點(diǎn)，7個(gè)白點(diǎn)，要求任兩個(gè)紅點(diǎn)不得相鄰，那么共有種排列方法。11、平面上給定5點(diǎn)，這些點(diǎn)兩兩間的連線互不平行，又不垂直，也不重合，現(xiàn)從任一點(diǎn)向其余四點(diǎn)兩兩之間的連線作垂線，則所有這些垂線間的交點(diǎn)數(shù)最多是12、10人有相應(yīng)的10個(gè)指紋檔案，每個(gè)指紋檔案上都記錄有相應(yīng)人的指紋痕跡，并有檢測(cè)指示 燈和檢測(cè)時(shí)的手指按鈕，10人某人把手指按在鍵鈕上，若是他的檔案，則指示燈出現(xiàn)綠色，否則出現(xiàn) 紅色，現(xiàn)在這10人把手指按在10個(gè)指紋檔案的鍵鈕上去檢測(cè)，規(guī)定一個(gè)人只能在一個(gè)檔案上去檢測(cè),并且兩個(gè)人不能在

4、同一檔案上去檢測(cè)，這時(shí)指示燈全部出現(xiàn)紅色，這樣的情況共有 三、解答題種。13、中、日圍棋隊(duì)各出 7名隊(duì)員，按事先安排好的次序出場(chǎng)進(jìn)行圍棋擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員3、12輛警衛(wèi)車護(hù)送三位高級(jí)領(lǐng)導(dǎo)人，這三位領(lǐng)導(dǎo)人分別坐在其中的三輛車中，要求在開行后 輛車一字排開，車距相同，車的顏色相同，每輛車內(nèi)的警衛(wèi)的工作能力是一樣的，三位領(lǐng)導(dǎo)人所坐的 精誠凝聚=A，=成就夢(mèng)想 一比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方的 2號(hào)隊(duì)員比賽，直到有一方隊(duì)員全部被淘汰為止，另一方 獲勝，形成一種比賽過程，現(xiàn)在中方只動(dòng)用了 5名隊(duì)員，就擊敗了日方的所有隊(duì)員，問這樣的比賽過 程有多少種？14、從1到n (n>3,且n為整數(shù))之

5、間任取 3個(gè)不同的整數(shù)，使得這 3個(gè)數(shù)的和正好被 3整數(shù)， 如果這樣的取法有 53922種，試確定n的取值。15、集合A中有n個(gè)元素，其中有 m個(gè)是特殊元素(m<n),已知集合 A的五元素子集共有 68 個(gè)，且每個(gè)子集中都含有至少一個(gè)特殊元素，此外，集合A的作地意一個(gè)三元素子集都恰好被一個(gè)五元素子集所包含。(1)求n的取值。(2)請(qǐng)回答：所有五元素子集中是否有至少含有4個(gè)特殊元素的集合？參考答案1、2、3、4、選擇題可把問轉(zhuǎn)化為：4個(gè)不同的元素，放到 6個(gè)位置中，A46=360種方法，選C。問題相當(dāng)于：把 4個(gè)相同的球放入一個(gè)不同的盒中，有C26=15種放法，故選Bo此題即：3個(gè)人坐10

6、個(gè)位置，一人只能坐一個(gè)，且兩兩不得相鄰，有 A38種坐法，選 Co用間接法，容易求得共線的三點(diǎn)組共有49個(gè)，而所有拓點(diǎn)組共有C327,所以不共線的三點(diǎn)且 翻點(diǎn)亮心燈/(人9)照亮人生 翻共有 C327-49=2876 (個(gè))故選 Co5、設(shè)P1、P2、P3是內(nèi)圓上三點(diǎn)，Q1、Q2,，Q6分別為三條直線P1P2、P2P3、P3P1與外圓的交點(diǎn),此日9個(gè)點(diǎn)所確定的直線最少有C29 - 3 (C24 - 1) =21 (條)，故選Bo6、此題相當(dāng)于：用 60個(gè)數(shù)的兩數(shù)空隙之間,二、填空題25個(gè)從大到小的數(shù)從左至右的順序不變，去插入到a1、 a2、 a3、 .要求最大數(shù)必在 a1左側(cè)，最小數(shù)不得在a6

7、0右側(cè)，共有C2459個(gè)映射,a60,這故選Bo2X3A的位置分類：若A在左起第 若A在左起第若A在左起第 若A在左起第 若A在左起第1位,2位,3位,4位,5位,則有 則有 則有 則有 則有A14X A44X A22=192 （種）；A13X A14X A33X A22=144 （種）；A 13 X A33+A 12 X C12X A22X A33=66 （種）A12X C12X A22X A33+A22X A33=60 （種）A22X A13X A33=36 （種）;7、由4410=2 X 32X 5X 72知：正約數(shù)中含2的指數(shù)哥有2種，含3的指數(shù)哥有3種情況, 指數(shù)哥有2種情況，含7的

8、指數(shù)哥有3種情況，而2、3、5、7均為質(zhì)數(shù)，故根據(jù)分步原理共有 X 2X 3=36個(gè)不同的正約數(shù)。8、把C、D捆綁起來看作一個(gè)元素，元素 A只能安放在從左至右的前 5個(gè)位置中，故對(duì)1個(gè)；A、日C D、E五點(diǎn)共所以，共有站隊(duì)方法數(shù) 498種。9、過8個(gè)點(diǎn)可作C38個(gè)圓，需減去兩類： E、B、G共線，減去圓及A、B F、G H五點(diǎn)共圓，減去2 (C35-1),所以最多可以確定不同圓的個(gè)數(shù)是37個(gè)。10、用插空法，共有 C57種排列方法。11、用排除法，設(shè)Ai、A2、As為平面上給定的5個(gè)點(diǎn)，A2、A3、4、A5之間兩兩連線有C24=6條，從A1出發(fā)可引6條垂線，依此5個(gè)點(diǎn)共可引30條垂線，它們之間

9、最多有C230=435個(gè)交點(diǎn)，但應(yīng)排除以下三種f#況：從Ai、M、A作AA5的三條垂線互相平行，無交點(diǎn)，這樣的情形共有025023=30個(gè)；從Ai (i=1 , 2, 3, 4, 5)出發(fā)的6條垂線都交于點(diǎn) Ai,這樣的點(diǎn)共有5026=75個(gè)，只能留下5 個(gè)，剩余的應(yīng)減去； Ai (i-1 , 2, 3, 4, 5)中每三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，三角形的高共點(diǎn)，應(yīng)減去035(C231 ) =20 個(gè)。因此，滿足題意的交點(diǎn)最多有0230307020=315個(gè)。12、此題相當(dāng)于：10個(gè)編號(hào)為1, 2, 3,，10的球放入十個(gè)編號(hào)為 1, 2, 3,，10的盒中， 要求每個(gè)盒中只盛一球，且號(hào)碼均不相同，求

10、放法總數(shù)。設(shè)這種情況的n個(gè)號(hào)碼時(shí)，方法數(shù)為 an,第一步是安排第1號(hào)球，共有n-1種方法，此時(shí)，不 妨設(shè)1號(hào)球安排在了第i (i才1)號(hào)位置，再安排第i號(hào)球的位置，有兩種情況：第 i號(hào)球在1號(hào)位 置，此時(shí)剩余的n2個(gè)球要放在n2個(gè)盒中的要求依然是號(hào)碼均不相同，故有an2種方法；第i號(hào)球不安排在1號(hào)位置，此時(shí)如同 n1個(gè)球放入n1個(gè)盒中且號(hào)碼均不相同，故有方法數(shù)為an1。所以，an=(n-1)(a n-2 + an-1 )當(dāng)n=2時(shí),a 2=1;當(dāng)n=3時(shí),a 3=2.所以a4=3(a 2+a3)=9,a 5=4(a 3+a4)=44,a 6=5(a 4+a5)=265,a 7=6(a5+a6)

11、=1854,a 8=7(a 6+a7)=14833,a 9=8(a 7+a8)=13349 6,a10=9(a 8+89)=1334961.所以，這樣的情況共有1334961種。三、解答題13、設(shè)中方的7名隊(duì)員分雖為a1, a2,，a7,日方的7名隊(duì)員分別是b1, b2,，b7,由于中方 只動(dòng)用了 5名隊(duì)員，故可以認(rèn)為 a6, a7實(shí)質(zhì)上是不參與比賽的，現(xiàn)把中方的5名隊(duì)員和日方的7名隊(duì)員排成一列，顯然各自的順序已定，只需確定位置即可?，F(xiàn)規(guī)定，排在日方隊(duì)員bi(i=1,2,，7)右側(cè)的(緊挨著)中方隊(duì)員是擊敗bi的隊(duì)員，據(jù)題意，a5須在b7的右側(cè)(緊挨著)。其他4名隊(duì)員a1, a2, a3, a

12、4可在b7右側(cè)10個(gè)位置中的任4個(gè)位置中，故 有0410種情況。所以，這樣的比賽過程有041。種。14、用模3對(duì)n分類：(1)當(dāng)n=3m (m>1,且m為整數(shù))時(shí)，我們可以把從 1至U n的這n個(gè)數(shù)分成三部分： A=1 , 4,，3k+1,共有m個(gè)元素； 外=2, 5,，3k+2,共有m個(gè)元素；A=3 , 6,，3k+3,共 有m個(gè)元素。易知，A3中的任三個(gè)數(shù)之和能被3整除，有03m種取法；A1、A2、A3中各取一個(gè)元素，其和亦能被3整除，有0%-01m- 01聲m3 (種)取法；A1中任三個(gè)數(shù)之和也能被 3整數(shù)，有03m種取法；A2中任 三個(gè)數(shù)之和也能被 3整除，有03m種取法，除上面

13、幾種情況，再無其他情況使取的三數(shù)之和被3整除。所以，303m+m 3=53922 ,即3m3 - 3m2 + 2m -107844=0 。因?yàn)?|107844,所以3|m,又2m - 107844是偶數(shù)，所以 m必是偶數(shù)。為此，不妨設(shè) m=6t (t>1,且t為整數(shù))，則有54t3 - 9t2+t - 8987=0。易知當(dāng)t>6時(shí)，此等式一定不成立，而當(dāng) t=1, 2, 3, 4, 5時(shí)均不能使該等式成立，故當(dāng) n=3m (m>1,且m為整數(shù)時(shí))，不存在這樣的n。(2)當(dāng)n=3m+1 (m>1,且m為整數(shù)時(shí))，亦可把這n個(gè)數(shù)分成三部分： A=1 , 4,共有 m+1個(gè)元

14、素；A2=2 , 5,共有m個(gè)元素；4=3, 6,共有m個(gè)元素，據(jù)題意則有。2C3m+c3m+ （m+D 吊=53922。 3 即 5m+m=3X 53922。m （5n2+1） =3X 53922。因?yàn)椋╩, 5nm+1） = （m, 1） =1,所以，m與 5m2+1 互質(zhì)。而 3 X 53922=2 X 32X 11 X 19 X 43。另一方面，若 m> 43,則，故 m< 43。若 18,貝U 5m2+1 必小于 11 x 19X43,故 m> 18。所以，m=19或38,代入等式后均不成立。綜上，當(dāng)n=3m+2 （m>1,且m為整數(shù)）時(shí)，也不存在這樣的n。（

15、3）當(dāng) n=3m+2 （m>1,且 m 為整數(shù)）時(shí)，則可得 C3m+2C3m+1+ （m+1） 2m=53922。據(jù)（2）相同的思路，最后可求得 m=66o結(jié)合（1）、（2）、（3）, n的取值是200。15、（1）據(jù)題意，共有C3n個(gè)三元素子集，因?yàn)槊恳粋€(gè)三元素子集都恰好被一個(gè)五元素子集所包含，所以每一個(gè)五元素子集中包含了C35個(gè)三元素子集，而這樣的五元素子集共有68個(gè)，故有C3n=68XC35,解得 n=17。（2）假設(shè)法每個(gè)五元素子集中至多含有3種特殊元素，我們把含有 1種特殊元素，2種非特殊元素的三元素子集設(shè)為 A3。據(jù)題意，68個(gè)五元素子集中，有C3m個(gè)含有3種特殊元素，且每個(gè)子集中可