第四章設定誤差(20140422)

1、第四章 模型的設定誤差我們已經(jīng)知道OLS方法是計量經(jīng)濟學的重要估計工具，是回歸模型參數(shù)估計的核心方法。該方法經(jīng)常用于對大量數(shù)據(jù)集的分析，因為它是在對方程做出最簡單的一組假定條件下推導出來的。并且，由此得到的參數(shù)估計不僅具有令人滿意的統(tǒng)計性質，還能得到一系列統(tǒng)計分布，這為進一步的統(tǒng)計推斷建立了基礎。但是，上述所做的一切，即建立的樣本回歸模型距離真實的理論模型相差多遠？包括變量和模型的函數(shù)形式。對這一類問題的分析就是模型的設定誤差分析。本章主要內容：1、設定誤差的概念。2、設定誤差的表現(xiàn)類型。變量引起的設定誤差遺漏變量、多余變量3、測量誤差解釋變量具有測量誤差、被解釋變量具有測量誤差、解釋變量和被

2、解釋變量均具有測量誤差。4、設定誤差的檢驗。內容可參見教材，龐皓，計量經(jīng)濟學，科學出版社，2005年，第九章。第一節(jié) 設定誤差概述一、什么是設定誤差一個計量經(jīng)濟模型能否正確地描述和解釋經(jīng)濟現(xiàn)象（被解釋變量）與影響因素（解釋變量）之間存在的真實的客觀關系，被稱為模型的設定問題。計量經(jīng)濟模型是對變量間經(jīng)濟關系因果性的設想，若所設定的回歸模型是“正確”的，主要任務是對所選模型的參數(shù)進行估計和假設檢驗。但是如果對計量模型的各種診斷或檢驗總不能令人滿意，這時應把注意力集中到模型的設定方面?？紤]如下問題：所建模型是否遺漏了重要的變量？是否包含了多余的變量？ 所選模型的函數(shù)形式是否正確？隨機擾動項的設定是否

3、合理？被解釋變量和解釋變量的數(shù)據(jù)收集是否有誤差（測量誤差）？所有這些，在計量經(jīng)濟學中被統(tǒng)稱為設定誤差。 在設定模型時包括以下內容，模型中解釋變量的構成、模型的函數(shù)形式以及隨機擾動項的若干假定等。如果關于這些內容的設定與客觀實際（真實模型）不一致，利用計量經(jīng)濟模型來描述經(jīng)濟變量的關系時，就會產(chǎn)生誤差，我們把這種誤差稱為設定誤差。二、設定誤差的類型從誤差來源看，設定誤差主要包括 1、變量的設定誤差包括遺漏相關變量（欠擬合），誤選無關變量（過擬合）。 2、變量數(shù)據(jù)的測量誤差 計量經(jīng)濟模型使用了不準確的經(jīng)濟變量數(shù)據(jù)。 3、模型函數(shù)形式的設定誤差 “真實”的模型為 （4.1）但卻將模型設定為 （4.2）

4、4、隨機擾動項的設定誤差本章主要討論1、2兩種誤差。三、出現(xiàn)設定誤差的原因歸納起來，經(jīng)典線性回歸模型應包含以下基本假定 假定1：干擾項的均值為零。 假定2：同方差性或方差相等。 假定3：各個干擾項無自相關。 假定4：和的協(xié)方差為零。 假定5：無多重共線性。 假定6：回歸模型對參數(shù)是線性的。假定7：在重復抽樣中X的值是固定的（非隨機）。假定8：觀測次數(shù)必須大于待估計的參數(shù)個數(shù)。 假定9：解釋變量要有變異性（即樣本中，的取值不能完全相同）。 假定10：模型沒有設定誤差。在建模中，古典假設常常不能完全滿足，這就導致了建立的計量經(jīng)濟模型總是存在這樣或那樣的模型設定方面的問題。出現(xiàn)設定誤差的原因是多方面

5、的，主要有1、數(shù)據(jù)來源渠道可能不暢當數(shù)據(jù)很難取得，可能被迫將具有重要經(jīng)濟意義的變量排斥在模型之外（遺漏變量），隨機擾動項的異方差性、自相關性從廣義的角度看是一種模型設定誤差（遺漏變量）所引起的。2、不知道變量應當以什么確切的函數(shù)形式出現(xiàn)在回歸模型中3、事先并不知道所研究的實證數(shù)據(jù)中所隱含的真實模型究竟是什么樣4、其它原因（1）當隨機擾動項與一個或多個解釋變量存在相關性時，用計量經(jīng)濟模型描述變量間的經(jīng)濟關系時，會產(chǎn)生設定誤差。（2）測量誤差（搜集數(shù)據(jù)過程中的登記誤差、數(shù)據(jù)加工整理過程中的整理誤差以及其它統(tǒng)計誤差等）的存在，也會產(chǎn)生設定誤差。在獲取統(tǒng)計數(shù)據(jù)的過程中（這本身屬于統(tǒng)計學家的工作），由于

6、可能會受到各種因素的影響或干擾，使得樣本數(shù)據(jù)存在著一定的誤差。這些誤差既包括登記性誤差，也包括代表性誤差（抽樣過程中所形成的誤差）。登記性誤差還包括統(tǒng)計誤差和對數(shù)據(jù)整理的誤差。我們把這些誤差統(tǒng)稱為測量誤差。測量誤差的存在對計量經(jīng)濟學建模會有一些影響。測量誤差主要表現(xiàn)在對變量的影響，分為解釋變量的測量誤差、被解釋變量的測量和解釋變量與被解釋變量同時存在測量誤差等幾種情況。（3）一些隨機因素引起的設定誤差，自然災害的干擾、經(jīng)濟大的波動等導致經(jīng)濟結構發(fā)生較大變化。第二節(jié) 設定誤差的后果設定誤差的存在會對模型形成不良的后果，以下討論變量設定誤差（欠擬合、過擬合）、變量數(shù)據(jù)測量誤差的后果。一、變量設定誤

7、差的后果1、相關解釋變量遺漏（欠擬合）的后果相關解釋變量的遺漏，會使得參數(shù)估計量為有偏的，且非一致。 歸納起來，X3的遺漏將導致如下后果 （1）如果漏掉的X3與X2相關，則分別在小樣本下求期望，在大樣本下求概率極限，有 即OLS估計量在小樣本下有偏，OLS估計量是非一致的。（2） 如果X3與X2不相關，即 ，a2的估計量即便滿足無偏性與一致性；但這時a1的估計卻是有偏的（證略）。 如果X3與X2相關，有。如果 X3與X2不相關，也有。（4）遺漏變量X3的模型，即（4.4）式中的隨機擾動項的方差估計量（5）與方差相關的檢驗，包括假設檢驗、區(qū)間估計等都容易導出錯誤的結論。 特別注意兩點實際情形并不

8、完全如此?？梢宰⒁鈿埐钇椒胶?的計算因此，有可能若這兩個等式成立，意味著盡管變量X3在理論上分析是有關的變量，但從所選模型中略去似乎也不會導致什么危害。這種認識實際也不正確，因為2、無關解釋變量誤選（過擬合）的后果無關解釋變量誤選會損失估計量的有效性。將（4.9）式的離差形式代入（4.11）式，整理得由此可以看出，無關變量X3的誤選將導致如下后果（1）誤選無關變量時參數(shù)的OLS估計量是無偏，且為一致性的。即 （3）通常的區(qū)間估計和假設檢驗程序依然有效。注意，通常的區(qū)間估計和假設檢驗程序雖依然有效，但隨著的方差增大，接受錯誤假設（原假設）的概率會較高。3、遺漏相關變量和誤選無關變量的比較如果是遺

9、漏相關變量，將導致參數(shù)估計量有偏且不一致。 如果是誤選無關變量，雖然參數(shù)估計量具有無偏性、一致性，但會損失參數(shù)估計量的有效性。 若建模時注重檢驗的無偏性、一致性，寧愿誤選無關變量也不愿遺漏相關變量。 若建模時注重估計量的有效性，有時可能寧愿刪除相關變量。相比之下，遺漏相關變量的后果要比誤選無關變量嚴重。因此，模型的設定實際是對偏誤與有效進行權衡，偏愛哪一方取決于模型的研究目的。二、測量誤差的后果計量經(jīng)濟研究中需要運用大量的觀測數(shù)據(jù)，在搜集相關的數(shù)據(jù)時，經(jīng)常遇到所搜集的數(shù)據(jù)不能確實地反映變量間經(jīng)濟行為的情況。在計量經(jīng)濟模型中使用了經(jīng)濟變量不準確的數(shù)據(jù)時，則稱模型中包含了測量誤差。測量誤差將會影響

10、計量經(jīng)濟分析的結果。1、被解釋變量有測量誤差。2、解釋變量有測量誤差。設正確的回歸模型為3、被解釋變量和解釋變量均有測量誤差。3、解釋變量與被解釋變量均有測量誤差。設正確的回歸模型為第三節(jié) 設定誤差的檢驗以下討論變量設定誤差（欠擬合、過擬合）、變量數(shù)據(jù)測量誤差的檢驗。一、變量設定誤差的檢驗對變量設定誤差的檢驗須在經(jīng)濟理論指導下進行，不可拋棄經(jīng)濟理論而進行假設檢驗。 對于是否誤選無關變量的檢驗，只要針對無關變量系數(shù)的期望值為零的假設，用t檢驗或F檢驗，對無關變量系數(shù)作顯著性檢驗即可。 對于遺漏變量設定誤差的檢驗有多種方法，例如DW檢驗、拉格朗日乘數(shù)檢驗、一般性檢驗（RESET）等。1、誤選無關變

11、量（過擬合）的檢驗（復習t檢驗、F檢驗）2、相關解釋變量遺漏的檢驗相關變量遺漏的檢驗相對而言要復雜一些。以下僅討論一些常用的檢驗方法。（1） DW檢驗?；舅枷耄哼z漏的相關變量應包含在隨機擾動項中，那么回歸所得的殘差序列就會呈現(xiàn)單側的自相關性，因此可從自相關性的角度檢驗相關變量的遺漏。從遺漏變量的模型看，可以認為遺漏變量模型是無遺漏變量模型的一個特例：被遺漏變量X3的系數(shù)為0。DW檢驗的具體步驟*對回歸模型運用OLS法得殘差序列 按遺漏解釋變量的遞增次序對殘差序列進行排序。例如：設遺漏變量z，為了將殘差序列按照遺漏變量z值的遞增次序排序。首先用genr命令生成z1和e1，然后在只有殘差序列e1

12、和遺漏變量z1的Workfile畫面中，點擊進入下一畫面，點擊Yes進入另一畫面后，在sort keys的選項中鍵入z1，并點擊OK，則對e1按z1值的遞增次序進行了排序。過程見下：按z1值的升序(Ascending)排序后的殘差序列e1為obsZ1E11-1586.900135.31102-1488.100330.69613-1378.00034.979174-1319.900-90.538285-1237.000-176.67856-1214.100373.47867-1034.10044.075818-983.2000203.95099-648.7000-671.9880- - 

13、; -2650.5000054.81085對排序后的殘差序列 計算 d 統(tǒng)計量（3）查Durbin-Watson表，得注：實際可以按更簡單的步驟討論（見例） 若d 顯著，則拒絕原假設（存在自相關），回歸模型存在模型設定誤差（可能遺漏了重要的解釋變量），否則接受原假設，模型無設定誤差。例：對下表的數(shù)據(jù)設定總生產(chǎn)成本函數(shù)，準備使用如下的三個備選模型其中，只有（1）為真實模型，試用DW法檢驗模型設定誤差。序號 總成本（Y）產(chǎn)出（X） 1 1931 2 2262 3 2403 4 2444 5 2575 6 2606 7 2747 8 2978 9 3509 10 42010三個模型分別代入數(shù)據(jù)后的回

14、歸結果(1) （2）（3）對上述模型的DW統(tǒng)計量的分析及查表情況如下模型(1) 有 DW=2.70，當 n=10、k=3、=5%時dL=0.525， dU=2.016，不能表明存在顯著的自相關關系，接受H0，表示沒有遺漏的變量。模型(3) 有 DW=0.716，當 n=10、k =1、=5%時， dL=0.879， dU =1.320，顯然存在正的自相關，拒絕H0，表明存在遺漏變量。模型(2) 有 DW=1.038，當 n=10，k=2, =5%時dL=0.697， dU =1.641。顯然有0.697<1.038<1.641，屬于無法確定的區(qū)域。采用修正的 DW 檢驗法進行檢驗，

15、即擴大拒絕區(qū)域，可依據(jù)DW=1.038< dU=1.641, 判別結果殘差中存在正的自相關，認為也存在遺漏變量。第二章介紹的似然比（LR）檢驗、沃爾德（W）檢驗、拉格朗日乘數(shù)（LM）檢驗、F檢驗方法都可用于約束條件的檢驗。（2）拉格朗日乘數(shù)（LM）檢驗基本思想模型中遺漏的相關變量包含在隨機擾動項中，因此隨機擾動項或回歸所得的殘差序列應與遺漏的相關變量呈現(xiàn)出某種依存關系?？梢赃M行殘差序列與相關變量的回歸，在一定顯著水平下若相關變量具有統(tǒng)計顯著性，則認為存在遺漏變量形成的設定偏誤，若相關變量不具有統(tǒng)計顯著性，則認為沒有遺漏變量形成的設定誤差。具體步驟對存在遺漏變量設定偏誤的模型（受約束回歸模

16、型）進行回歸，得殘差序列。用殘差序列對全部的解釋變量（包括遺漏變量）進行回歸，得可決系數(shù)R2。設定H0: 受約束回歸模型； H1: 無約束回歸模型。大樣本情況下，構造檢驗統(tǒng)計量 nR2，nR2 漸近服從。 顯著性檢驗的判斷。 n R2>，則拒絕H0，認為受約束模型不成立，存在遺漏變量。否則，接受H0，認為受約束模型成立，無遺漏變量。 案例分析問題：分析影響中國進口量的主要因素（數(shù)據(jù)見下頁）設定模型。 其中：IMt是進口總額，GDPt是國內生產(chǎn)總值。分析：模型是否有變量設定誤差（進行變量設定誤差檢驗）年份GDP進口總額 IM（人民幣）進口總額IMdollar（美元）匯率EXCHANGE19

17、804517.8 298.8000200.17149.840019814862.4 375.3800220.15170.510019825294.7 364.9900192.85189.260019835934.5 422.6000213.90197.5700 200197314.8020159.202435.53827.70002002105172.324430.302951.70827.70002003117251.934195.604127.60827.7000有人認為，貨物與服務的進口量受到一國的生產(chǎn)規(guī)模、貨物與服務的進口價格、匯率等其他影響因素，而不能只僅用GDP來解釋商品進口的變化

18、。因此，設定的回歸模型應該為 IMt=1+2 f (GDPt) +3g(Exchanget) + ut （2）其中，GDP 為國內生產(chǎn)總值，f (GDP)為 GDP 的線性函數(shù)。Exchange 為美元兌換人民幣的匯率，g ( Exchange)為Exchange 的線性函數(shù)。如果是這樣，回歸模型（1）的設定式中可能遺漏了變量。那么GDP、Exchange的某些函數(shù)、以及兩者的線性組合是否是被遺漏的重要變量呢？ 分析：IM= f (GDP) 基本關系圖 對模型(1)進行回歸 , 有回歸結果SE = (792.2620) (0.0142)t = (-2.0288) (16.2378) DW檢驗由

19、于遺漏變量Exchange或 GDP 已經(jīng)按從小到大順序排列，因此，無需重新計算d統(tǒng)計量.對 n=24 和k=1，5%的（德賓-沃森）d-統(tǒng)計量的臨界值為dL=1.273和dU=1.466。模型（1）的DW=0.5357，表明存在正的自相關，存在顯著的遺漏變量現(xiàn)象。重新估計模型如下Dependent Variable: IMMethod: Least SquaresDate: 03/06/08 Time: 23:41Sample (adjusted): 1981 2003Included observations: 23 after adjustmentsVariable Coefficien

20、t Std. Error t-Statistic Prob.  C -224.3632 1892.132 -0.118577 0.9069GDP 1.148259 0.151433 7.582606 0.0000GDP(-1) -0.822444 0.147359 -5.581213 0.0000EXCHANGE -4.290746 8.348744 -0.513939 0.6135EXCHANGE2 -0.018637 0.008353 -2.231162 0.0386R-squared 0.978691 Mean dependent var 8434.222Adjust

21、ed R-squared 0.973956   S.D. dependent var 9025.326S.E. of regression 1456.525 Akaike info criterion 17.59515Sum squared resid 38186370 Schwarz criterion 17.84200Log likelihood -197.3443       F-statistic 206.6799Durbin-Watson stat 1.962659      Prob(F-st

22、atistic) 0.000000其中，Exchange系數(shù)的統(tǒng)計意義不顯著，剔除后有Dependent Variable: IMMethod: Least SquaresDate: 03/06/08 Time: 23:53Sample (adjusted): 1981 2003Included observations: 23 after adjustmentsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.  C -1159.179 511.0396 -2.268276 0.0352GDP 1.142897 0.1481

23、19 7.716070 0.0000GDP(-1) -0.815842 0.143928 -5.668420 0.0000EXCHANGE2 -0.022569 0.003291 -6.857844 0.0000R-squared 0.978378     Mean dependent var 8434.222Adjusted R-squared 0.974965     S.D. dependent var 9025.326S.E. of regression 1428.041   

24、  Akaike info criterion 17.52277Sum squared resid 38746720     Schwarz criterion 17.72024Log likelihood -197.5118     F-statistic 286.5846 Durbin-Watson stat 2.047965     Prob(F-statistic) 0.000000 可以認為，這時模型無變量設定誤差。LM檢驗按照LM檢驗步驟，首先生成殘差序

25、列（用EE表示），用EE對全部解釋變量（包括遺漏變量）進行回歸，有如下結果（3）殘差圖示法(補充)。 該方法能幫助我們初步判斷是否有相關變量的遺漏或函數(shù)形式的設定偏誤。我們曾在考察模型是否存在異方差、自相關時用過該方法。許多情況下，異方差性、自相關性往往是由于模型設定時遺漏了重要的解釋變量引起的。殘差序列變化圖（a）趨勢變化 （b）循環(huán)變化注意，趨勢變化是模型設定時可能遺漏了一隨著時間的推移而持續(xù)上升的變量。循環(huán)變化是模型設定時可能遺漏了一隨著時間的推移而呈現(xiàn)循環(huán)變化的變量。 模型函數(shù)形式設定偏誤（殘差序列往往表現(xiàn)出某種有規(guī)律的特征）例如，一元回歸模型中，真實模型呈冪函數(shù)形式，但卻選取了線性函

26、數(shù)進行回歸。殘差序列呈現(xiàn)先正、后負、再正的變化特征。（4）一般性檢驗（RESET）拉姆齊(Ramsey)于1969年提出的一般性檢驗（regression error specification testRESET），是回歸設定誤差檢驗的常用方法 。檢驗的基本思想：如果事先知道遺漏了哪個變量，只需將此變量引入模型，估計并檢驗其參數(shù)是否顯著不為零即可。問題是我們并不知道遺漏了哪個變量，這時可尋找一個替代變量Z來進行上述檢驗(替代變量Z通常選用所設定模型被解釋變量擬合值若干次冪的線性組合)。若模型估計所得的殘差包含著遺漏的相關變量，那么這個殘差可用被解釋變量擬合值的線性組合近似表示。若這個線性組合

27、是顯著的，則認為原模型的設定有誤。由于可引入若干個替代變量去判斷是否有多個變量被遺漏，所以該方法被稱為一般性設定偏誤檢驗. 一般性檢驗（RESET）的基本步驟：先用OLS法對模型(1)進行估計注：這里，遺漏的變量可被認為是2次冪、3次冪等形式（RESET檢驗也存在一些爭議和改進）。 利用約束條件的假設檢驗原理，可構造如下檢驗假設例：下面進行RESET檢驗 對有約束的回歸模型進行估計 在a=5%下，查得臨界值 F0.05(2, 20)=3.49。 判斷。拒絕原模型與引入新變量的模型可決系數(shù)無顯著差異的假設，表明原模型確實存在遺漏相關變量的設定偏誤。 一般性檢驗（RESET）也可用來檢驗函數(shù)形式設

28、定偏誤的問題。 例如，在一元回歸中，假設真實的函數(shù)形式是（*）如設定為線性模型（注：對解釋變量而言），就意味著遺漏了相關變量X12、X13 等。因此，在一元回歸模型中，可通過檢驗(*)式中X1的各高次冪參數(shù)的顯著性來判斷是否將非線性模型誤設成了線性模型。對多元回歸模型，非線性函數(shù)可能是關于若干個或全部解釋變量的非線性，這時一元回歸檢驗的程序已不適用（太多的高次冪及交叉項，易損失自由度、存在共線性）。但可按遺漏變量的程序進行檢驗。例如，欲估計模型為Y=b0+b1X1+b2X2+m但卻懷疑真實的函數(shù)形式是非線性的。這時，只需以估計出的的若干次冪為“替代”變量（包含了高次冪及交叉項的信息），估計如下

29、模型再判斷各“替代”變量的參數(shù)是否顯著地不為零即可。 （3）同期相關性的豪斯曼（Hausman）檢驗由于在遺漏相關變量的情況下（特別是遺漏變量與其它變量存在共線性），往往導致解釋變量與隨機擾動項出現(xiàn)同期相關性，即，從而使OLS估計量有偏且非一致。因此，對模型遺漏相關變量的檢驗可以用模型是否出現(xiàn)解釋變量與隨機擾動項同期相關性的檢驗來替代。這就是豪斯曼檢驗（1978）的主要思想。 當（或者解釋變量與隨機擾動項同期相關時），通過工具變量法（IV）可得到參數(shù)的一致估計量。 當解釋變量與隨機擾動項同期無關時，OLS估計量就可得到參數(shù)的一致估計量。因此，只須檢驗IV估計量與OLS估計量是否存在顯著的差異性

30、，以檢驗解釋變量與隨機擾動項是否同期無關，進而判別模型是否存在著遺漏相關變量的情況。 分析一元線性回歸模型 Y=b0+b1X+m所檢驗的假設是 H0：X與m無同期相關。 設一元樣本回歸模型為 以Z為工具變量，則IV估計量為（*）(*)式表明，當且僅當åziei=0 ,IV估計量與OLS估計量無差異，即工具變量與OLS估計的殘差項無關。 Hausman檢驗的具體步驟：假設 H0：X與u無同期相關。求Y 關于X 與Z 的OLS回歸式利用估計對g 進行顯著性檢驗。若g 顯著地不等于0，則表明工具變量Z與采用OLS估計Y=1+2X+u 的殘差同期相關。進而說明X與u同期相關，故拒絕原假設，表

31、明存在遺漏相關變量的情況，否則，接受原假設。在實際檢驗中，豪斯曼檢驗主要針對多元回歸進行，具體操作也有變動。它不是直接對工具變量回歸，而是對以各工具變量為自變量、分別以各解釋變量為因變量進行回歸。設通常把這個模型稱為有約束模型。 首先，建立各解釋變量為因變量、各工具變量為自變量的輔助方程進行回歸，分別得到 其次，對如下無約束的回歸方程進行回歸 將有約束性模型和無約束模型進行比較，可以發(fā)現(xiàn)，有約束模型是無約束模型在 條件下的特例。 最后，構造原假設通過增加解釋變量的F檢驗，檢驗這個聯(lián)合假設。若F值大于臨界值，則拒絕原假設。就意味著沒有增加解釋變量的模型中解釋變量與隨機擾動項相關，因而存在遺漏相關

32、變量的情況，否則，接受原假設。 （4）線性模型與雙對數(shù)線性模型的選擇 線性模型與雙對數(shù)線性模型無法通過判定系數(shù)的大小來輔助決策，因為在兩類模型中被解釋變量是不同的。 為了在兩類模型中比較，可用博克斯-考科斯（Box-Cox）變換。第一步，計算Y的樣本幾何均值。 第二步，用得到的樣本幾何均值去除原被解釋變量Y，得到被解釋變量的新序列Y*。 第三步，用Y*替代Y，分別估計雙對數(shù)線性模型與線性模型。并通過比較它們的殘差平方和是否有顯著差異來進行判斷。扎瑞姆布卡（Zarembka）1968年提出的檢驗統(tǒng)計量為其中，RSS2與RSS1分別為對應的較大的殘差平方和與較小的殘差平方和，n為樣本容量。 可以證明：該統(tǒng)計量在兩個回歸的殘差平方和無差