工程電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算4(加權(quán)余量法__數(shù)學(xué)基礎(chǔ))Ansys工程電磁場(chǎng)有限元

1、工程電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算(4)（數(shù)值法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 加權(quán)余量法）第3章 數(shù)值法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)加權(quán)余量法1.函數(shù)空間2.基函數(shù)3.權(quán)函數(shù)4.加權(quán)余量法5.變分法簡(jiǎn)介1. 函數(shù)空間泛函分析形成于20世紀(jì)30年代，它吸取了各個(gè)數(shù)學(xué)分支中最基本的精華，同時(shí)為各種學(xué)科提供了一般的數(shù)學(xué)規(guī)律和共同的框架，成為各個(gè)學(xué)科的重要工具，在微分方程、概率論、函數(shù)論、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子物理、計(jì)算數(shù)學(xué)、控制論、最優(yōu)化理論等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用。今天，它的觀點(diǎn)和方法已經(jīng)滲入到許多工程技術(shù)性的學(xué)科之中，成為近代分析的基礎(chǔ)之一。1. 函數(shù)空間關(guān)于函數(shù)空間的幾個(gè)概念粗淺的解釋 n維空間可以用來(lái)描述具有n個(gè)自由度的力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)過(guò)

2、渡到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，就要由有限自由度系統(tǒng)過(guò)渡到無(wú)窮自由度系統(tǒng)，用無(wú)限維空間描述。 函數(shù)是指兩個(gè)數(shù)集之間所建立的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。泛函則建立兩個(gè)任意集合之間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。 函數(shù)空間：具有某種共同特性的一類函數(shù)所構(gòu)成的集合。不同類型的函數(shù)可以看作是“函數(shù)空間”的點(diǎn)或矢量。 把無(wú)限維空間到無(wú)限維空間的變換叫做算子或算符。 2. 基函數(shù) 若函數(shù)空間D中存在一組函數(shù) ，使得D中任意一個(gè)函數(shù)都能表示成 的線性組合，則稱 為函數(shù)空間D中的一組基（或基底）； 稱基函數(shù)。 若n為有限值，稱D為有限維函數(shù)空間；否則稱無(wú)限維函數(shù)空間。n 稱為函數(shù)空間的維數(shù)。, 1, 2, 3, , iin i ii 基函數(shù)的性質(zhì)：完備

3、性：足夠的線性無(wú)關(guān)性：沒(méi)有多余的正交性：彼此不但獨(dú)立，而且毫無(wú)交疊基函數(shù)的例子冪函數(shù)（多項(xiàng)式）：有限區(qū)域內(nèi)，任一無(wú)限可導(dǎo)的函數(shù)可以借助于Taylor公式展開為冪級(jí)數(shù)形式0( )()iiif xc xx( )cos( )sin( )iiif xcxdx( )0()!iifxci三角函數(shù)：周期為2p的周期函數(shù)可以展開為Fourier級(jí)數(shù)形式j(luò)( )ekxkkf xa或函數(shù)逼近：對(duì)于函數(shù)類 A 中給定的函數(shù) f (x)，要求在另一類較簡(jiǎn)單的且便于計(jì)算或處理的函數(shù)類 B 中尋找一個(gè)函數(shù) p (x)，使 p (x) 與 f (x) 之差在某種度量意義下最小。 逼近的方法：選定一組基底 ，構(gòu)造逼近函數(shù) 設(shè)

4、法利用已知條件確定系數(shù) 。0( )( )niiip xax iia 插值：逼近曲線嚴(yán)格通過(guò)采樣點(diǎn)擬合：逼近曲線不通過(guò)采樣點(diǎn)，而使整體誤差最小。無(wú)法簡(jiǎn)單的說(shuō)哪種更好。插值可以保證采樣點(diǎn)的精確；而擬合則對(duì)誤差有更好的魯棒性。兩種逼近：插值與擬合整域基與分域基整域基：在整個(gè)區(qū)域上都有定義的基函數(shù)，如三角函數(shù)和冪函數(shù)。分域基：只在部分區(qū)域上有定義（不為0）的基函數(shù)，例如分段逼近使用的基函數(shù)。也稱局域基。常用的分域基線性插值樣條函數(shù)基小波函數(shù)基采樣函數(shù)d(x)分段線性插值使用的基函數(shù)在區(qū)間 (xi, xi+1) 上，使用直線段 p1(x) 插值逼近函數(shù) f(x)，有111( )()iiiiiiffp x

5、fxxxx1( , )iixxx或定義11111( )iiiiiiiixxxxp xffxxxx11iiiixxxx1( , )iixxx11iiiixxxx那么1( , )iixxx111( )iiiip xff擴(kuò)展一下定義:11111111 (, ) ( , )0 (, )iiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxxx0(, )nxxx那么在整個(gè)區(qū)間上，有10( )niiip xf 在上述逼近公式中，各基函數(shù)的系數(shù)剛好為被逼近函數(shù)在插值點(diǎn)的函數(shù)值，這樣的基函數(shù)稱為插值的基函數(shù)。這樣的性質(zhì)是我們特別希望的，當(dāng)然不是每次都能得到的。整域基的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：全局有統(tǒng)一的表達(dá)式，能反映

6、函數(shù)的全局變化規(guī)律及對(duì)參數(shù)的依賴關(guān)系；便于整體處理；逼近函數(shù)全局光滑可導(dǎo)；缺點(diǎn)：全局關(guān)聯(lián)，牽一發(fā)動(dòng)全身，不方便；求解矩陣為滿陣，計(jì)算量大；龍格現(xiàn)象；對(duì)基函數(shù)的要求嚴(yán)格分域基的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：局部關(guān)聯(lián)，靈活方便；計(jì)算量??；沒(méi)有龍格現(xiàn)象；基函數(shù)選擇自由度大缺點(diǎn)：沒(méi)有全局統(tǒng)一表達(dá)式；函數(shù)必須分段（或分域）處理；函數(shù)只在局部光滑可導(dǎo)。權(quán)的概念3. 權(quán)函數(shù)（weight function）iiiswu( ) ( )dsw x u xx加權(quán)求積( , )( ) ( )df gf x g xx內(nèi)積正交( , )0f g 帶權(quán)正交( ) ( ) ( )d0w x f x g xx范數(shù)22( ,)( )dff f

7、fxx4. 加權(quán)余數(shù)法（weighted residual method） 基本思想：考慮算子方程用 作為該方程的近似解（試探解）：代入方程的誤差（余量）：( )L uf1niiiu u( )RL uf(, ) ( ) d0iiw Rw L uf (1, 2, , )in 如果余量R0，則 為精確解。加權(quán)余量法的任務(wù)是設(shè)法使R為0或者盡量小。方法是選擇另一套基底 為權(quán)函數(shù)，使得u, 1, 2, , iwin加權(quán)余數(shù)法如果上式對(duì)所有的 i 都成立，并且 和 都是線性無(wú)關(guān)的和完備的，那么就保證余量 R 為 0，從而 就是原算子方程的解。 iiwu如果 和 不是完備的，那么余量 R 只能近似為 0，

8、從而得到原算子方程的近似解。 iiw剩下的問(wèn)題就是確定系數(shù) ?？梢钥吹?和 的線性無(wú)關(guān)性對(duì)于唯一地確定系數(shù)是必要的。 iiwi(, ) ( ) d0iiw Rw L uf (, ) ( ) d0iiw Rw L uf (1, 2, , )in設(shè)L為線性算子，代入 ，得11 () d() d0nnijjijjjjw LfwLf 1niiiu 或(1, 2, , )in1() ddnjijijwLw f 對(duì)于確定的權(quán)函數(shù) 與基函數(shù) ，積分是確定的，因此只有系數(shù) 是未知量，上式成為一個(gè)代數(shù)方程： iiwj記diibw f,() di jijKwL 加權(quán)余量法是通過(guò)余量與權(quán)函數(shù)的正交化過(guò)程，把一個(gè)算子

9、方程（微分方程或積分方程）轉(zhuǎn)化為一個(gè)可以利用計(jì)算機(jī)求解的線性代數(shù)方程組。 在此過(guò)程中，對(duì)權(quán)函數(shù)與基函數(shù)的選擇沒(méi)有任何的限制，未知數(shù) 也可以表達(dá)非常不同的含義，從而留下了任人發(fā)揮的廣闊空間，使它成為各種數(shù)值方法的公共基礎(chǔ)。i(1, 2, , )in,1ni jjijKb或者寫為 Kb加權(quán)余數(shù)法 伽遼金（Galerkin）加權(quán)余數(shù)法 在加權(quán)余數(shù)法中，取權(quán)函數(shù)等于基函數(shù)，即為著名的Galerkin法。Galerkin法具有精度高、適應(yīng)性強(qiáng)、便于實(shí)施等優(yōu)點(diǎn)。它與分域基的思想聯(lián)合，即成為有限元法的基礎(chǔ)。5. 變分法簡(jiǎn)介泛函極值問(wèn)題的提法：鉛垂平面上，一小球在重力作用下從 A點(diǎn)下滑至 B點(diǎn)，求所需時(shí)間最短

10、的運(yùn)動(dòng)軌跡。2vgy2d1dsyx1201d2xyTxgy2d1dd2sytxvgy微元弧長(zhǎng)：即時(shí)速度：時(shí)間微元：總時(shí)間：( ,)0T y yd 求使 T 最小的函數(shù) y=y(x)，即變分問(wèn)題：設(shè) ，代入泛函得欲使 F 取極小值，需整理得5. 變分法簡(jiǎn)介變分原理：設(shè) L 為對(duì)稱正定算子，算子方程 存在解 ，其充分必要條件為泛函在 處取極小值。01niiiu ( )L uf0uu1( ) ( ) d d2F uu L uu f0uu1111( ) () d d2nnnijijiiijiF uLf /0iF1 () d dnjijijLf 上述方程與基于Galerkin加權(quán)余量法得到得方程是一致的

11、。這種基于變分原理的解題方法稱為變分法或里茲（Ritz）法。1 () d dnjijijLf 變分法的核心在于把一個(gè)微分方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)的變分問(wèn)題（泛函極值問(wèn)題）。對(duì)于正定對(duì)稱算子，等價(jià)變分問(wèn)題是存在的，但是有些問(wèn)題無(wú)法找到等價(jià)變分問(wèn)題，因而應(yīng)用收到限制。5. 變分法簡(jiǎn)介泛函的物理含義：以靜電場(chǎng)Laplace方程 為例，由格林定理，泛函它表示電場(chǎng)的勢(shì)能。因此泛函極值問(wèn)題表達(dá)了電場(chǎng)的分布要符合這樣的一種原則：整個(gè)電場(chǎng)的勢(shì)能達(dá)到最小。這稱為靜電場(chǎng)的Thomson原理，與光學(xué)中的Ferma原理、粒子動(dòng)力學(xué)的Hamilton原理齊名。201( ) ( ) d d2F uu L uu f5. 變分法簡(jiǎn)介2( )d dVSVS