2019年江蘇卷數(shù)學高考真題及答案解析

1、絕密啟用前2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學I注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1 .本試卷共4頁，均為非選擇題（第1題第20題，共20題）。本卷滿分為160分，考試時間為120分鐘。 考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一片交回。2 .答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3 .請認真核對監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符。4 .作答試題，必須用 0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5 .如需作圖，須用 2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須

2、加黑、加粗。參考公式：21n _2_1n樣本數(shù)據(jù)x1, x2，xn的方差s- x x,其中x- xi .n i 1n i 1柱體的體積V Sh,其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.1錐體的體積V Sh,其中S是錐體的底面積，h是錐體的高.3一、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上. 1 .已知集合 A 1,0,1,6, B x|x 0,x R,則 AI B .2 .已知復數(shù)（a 2i）（1 i）的實部為0,其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù) a的值是 .3 .下圖是一個算法流程圖，則輸出的 S的值是 .4 .函數(shù)y17 6xX2的定義域是.5 .已知一組數(shù)據(jù)

3、6, 7, 8, 8, 9, 10,則該組數(shù)據(jù)的方差是.6 .從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是 .22 y7 .在平面直角坐標系 xOy中，若雙曲線 x 2- 1(3 0)經(jīng)過點(3, 4),則該雙曲線的漸近線方程是 b. . _ . . . . _ _ .8 .已知數(shù)列an(n N )是等差數(shù)列，Sn是其前n項和.若a2a5 a8 03 27,則Sa的值是 .9 .如圖，長方體 ABCD A1B1clD1的體積是120, E為CC1的中點，則三棱錐 E- BCD的體積是.MG4 7?410 .在平面直角坐標系 xOy中，P是曲線

4、y x -(x 0)上的一個動點，則點 P到直線x+y=0的距離的 x最小值是 .11 .在平面直角坐標系 xOy中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點 A處的切線經(jīng)過點(-e, -1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標是.uuu uuuruur uur12 .如圖，在 ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA,AD與CE交于點O .若AB AC 6AO EC ,AB .則任的值是 AC* tan13.已知tan7t2無 2 ,則sin 2-的值是-43414.設f (x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù),f(x)的周期為4, g(x)的周期為2,且f(x)是奇函數(shù).當 x

5、 (0,2時，f(x) J1 (x 1)2 , g(x)k(x 2),0 x 11,其中k>0.若在區(qū)間(0, 9上，關,1x22于x的方程f(x) g(x)有8個不同的實數(shù)根，則 k的取值范圍是解答題：本大題共 6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分14分)在4ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c.(1)若 a=3c, b= V2 , cosB= 2 ,求 c 的值；3/、什 sin A cosB若 a 2b，求sin(B )的值16.(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，D,

6、 E分別為BC, AC的中點，AB=BC.求證：(1) AiBi/平面 DECi; BEXCiE.17.(本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標系x2 y2xOy中，橢圓C:-y 今 1(aa2 b2b 0)的焦點為Fi (T、0),2F2 (1, 0).過F2作x軸的垂線l,在x軸的上萬，l與圓F2:(x 1)2,2y 4a交于點a,與橢圓c交于點D.連結(jié)AFi并延長交圓F2于點B,連結(jié)BF2交橢圓C于點E,連結(jié)DFi .4已知DF 1= 5 .2(1)求橢圓C的標準方程;(2)求點E的坐標.18.(本小題滿分16分)如圖，一個湖的邊界是圓心為。的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路 1,湖上有橋A

7、B(AB是圓。的直徑).規(guī)劃在公路1上選兩個點P、Q,并修建兩段直線型道路 PB、QA.規(guī)劃要求：線段 PB、QA上的所有點 到點O的距離均不.小.于.圓.。的半徑.已知點 A、B到直線1的距離分別為 AC和BD (C、D為垂足)，測得 AB=10, AC=6, BD=12 (單位：百米).(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路 PB的長；(2)在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在 D處？并說明理由；(3)在規(guī)劃要求下，若道路 PB和QA的長度均為d (單位：百米).求當d最小時，P、Q兩點間的距離.19 .(本小題滿分16分)設函數(shù) f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R、

8、f'(x)為 f(x)的導函數(shù).(1)若 a=b=c, f (4) =8,求 a 的值;若awb, b=c,且f (x)和f'(x)的零點均在集合 3,1,3中，求f (x)的極小值;27(3)若a 0,0 b, 1,c 1,且f (x)的極大值為 M,求證：Mw20 .(本小滿分 16分)定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“ M-數(shù)列”.*、(1)已知等比數(shù)列an(n N )滿足：a2a4 a5,a3 4a2 4a4 0 ,求證：數(shù)列an為M 數(shù)列；*122(2)已知數(shù)列bn(n N )滿足：b1 1 ，其中S為數(shù)列bn的前n項和.Sn bn bn 1求數(shù)列bn的通項公式；

9、設m為正整數(shù)，若存在“ M數(shù)列” cn(n N*),對任意正整數(shù)k,當kwm時，都有Ck蒯bk般1 成立，求m的最大值.2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(江蘇卷)數(shù)學I參考答案.每小題5分，共計70分.6. -7. y 2 x2212.10. 3, 4一、填空題：本題考查基礎知識、基本運算和基本思想方法51 .1,62.23.54. 1,75.32 .169.1010.411. (e, 1)12. .3、解答題15 .本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關系、誘導公式等基礎知識，考查運算求解能力滿分14分.解：（1）因為 a 3c,b 倉cos B -, 3由余弦定理cosB2

10、2.2cacb/日2,得一2ac3（3c）2 c2 （歷之，即 1 12 3c c '3(2)因為嘰A a由正弦定理cosB2bb /日,得sin A sin BcosB sin B,所以 cosB 2sin B .2b從而 cos2 B (2sin B)2,即 cos2 B 4 1 cos2 B ,故 cos2 B因為sin B因此sin B0,所以 cosB 2sin B 0,從而 cosB 空52 5一 cosB 2516 .本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分14分.證明：（1）因為D, E分別為BC, AC

11、的中點，所以 ED / AB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB/A1B1,所以 A1B1 / ED.又因為ED?平面DEC1, A1B1 平面DEC 1 ?所以A1B1 /平面 DEC1.（2）因為AB=BC, E為AC的中點，所以BEXAC.因為三棱柱 ABC-A1B1C1是直棱柱，所以 CC平面ABC.又因為BE?平面ABC,所以CC11BE.因為 C1C?平面 A1ACC1, AC?平面 A1ACC1, CCnAC=C,所以BE,平面A1ACC1.因為C1E?平面A1ACC1,所以BEXC1E.17 .本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的

12、位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.滿分14分.解：（1）設橢圓C的焦距為2c.因為 F1（-1 , 0）, F2（1 , 0）,所以 F1F2=2, c=1.又因為 DF1=|, AF2，x 軸，所以 DF2=JdF； * J（5）2 22 3，因止匕 2a=DF+DF2=4,從而 a=2.由 b2=a2-c2,得 b2=3.22因此，橢圓C的標準方程為二 E 1.43(2)解法22由(1)知，橢圓 C： 土 y- 1 , a=2, 43因為AF2，x軸，所以點A的橫坐標為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1) 2+y2=16,解得y=±4.因為點A在

13、x軸上方，所以A(1, 4).又 Fi(-1, 0),所以直線 AFi: y=2x+2.由y (x2x 2221) y,得165x2 6x11 0解得115第17題)因此B(y由2 x4又因為解法二:由(1)11 一代入51154(x2 y32x2,得y12一).又 F2(151)，得 7x2E是線段1代入y知，橢圓1250),所以直線BF2：6x 13 0，解得 xBF2與橢圓的交點,所以 x3一.因此234(x1).1372C：41.如圖，連結(jié)因為 BF2=2a, EF1 + EF2=2a,所以 EF二EB,從而/ BFE=/B.因為 F2A=F2B,所以/ A=Z B,所以/ A=Z B

14、F1E,從而 EF1 / F2A.因為AF2，x軸，所以EFx軸.1.E(1,32x 1因為 F1(-1, 0),由 x2y2，得 y1433又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以 y -.2一3因此 E( 1,-).218.本小題主要考查三角函數(shù)的應用、解方程、直線與圓等基礎知識，考查直觀想象和數(shù)學建模及運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力.滿分16分.解：解法(1)過A作AE BD ,垂足為E.由已知條件得，四邊形 ACDE為矩形,DE BE AC 6, AE CD 8.'因為PBXAB,所以cosPBD sinABE810所以PBcos PBD12T15.因此道路PB的長為15

15、(百米)(2)若P在D處，由(1)可得E在圓上,則線段BE上的點(除B, E)到點。的距離均小于圓。的半徑,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求若Q在D處，連結(jié)AD,由(1)知AD從而cos BAD222AD2 AB2 BD22AD AB0,所以/BAD為銳角.25所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.(3)先討論點P的位置.當/OBP<90。時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求;當/OBP>90時，對線段PB上任意一點F, OF圮B,即線段PB上所有點到點。的距離均不小于圓 。的半徑，點

16、P符合規(guī)劃要求.設Pi為l上一點，且PB AB ,由(1)知，P B=15,，一3此時 RDpBsin RBDPB cos EBA 15 - 9；5當/ OBP>90 時，在PRB 中，PB PB 15.由上可知，d>15.再討論點Q的位置.由(2)知，要使得QA>15,點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，CQ JQA2 AC2 Jl52 62 3幅.此時，線段QA上所有點到點。的距離均不小于圓。的半徑.綜上，當PBLAB,點Q位于點C右側(cè)，且CQ=3歷時，d最小，此時P, Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+3.21.因此，d最小時，P, Q兩

17、點間的距離為17+3歷(百米)解法(1)如圖，過。作OH，l,垂足為H.以O為坐標原點，直線 OH為y軸，建立平面直角坐標系因為BD=12, AC=6,所以OH=9,直線l的方程為y=9,點A, B的縱坐標分別為3,-3.因為AB為圓。的直徑，AB=10,所以圓。的方程為x2+y2=25.從而A (4, 3) , B (-4, -3),直線AB的斜率為-.44因為PBLAB,所以直線PB的斜率為 一，3，、一425直線PB的方程為y 4x 25.33所以 P (-13, 9) , PB J( 13 4)2 (9 3)2 15.因此道路PB的長為15 (百米)(2)若P在D處，取線段BD上一點E

18、 (-4, 0),則EO=4<5,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.若Q在D處，連結(jié)AD,由(1)知D (-4, 9),又A (4, 3),一一3所以線段AD： y X 6( 4軟Jx 4).4在線段AD上取點M (3, 15),因為OM 4 32竺J32 42 5,4 .4所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.(3)先討論點P的位置.當/OBP<90。時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當/OBP>90°時，對線段PB上任意一點F, OF2B,即線段PB上所有點到點。

19、的距離均不小于圓 。的 半徑，點P符合規(guī)劃要求.設 Pi 為 l上一點，且 PB AB ,由(1)知，P B=15,此時 Pi (- 13, 9);當/ OBP>90 時，在PRB 中，PB PB 15.由上可知，d>15.再討論點Q的位置.由(2)知，要使得QA 15,點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求 .當QA=15時，設Q (a, 9),由 AQ J(a 4)2 (9 3)2 15(a 4),得 a=4 3后，所以 Q ( 4 3721 , 9),此時，線段 QA 上所有點到點。的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當P (-13, 9) , Q (4 3幅，9)時，d最小，

20、此時P, Q兩點間的距離PQ 4 3、21 ( 13) 17 3、. 21 .因此，d最小時，P, Q兩點間的距離為17 3扃(百米).19.本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運用數(shù)學思想方法分析與解決問題以及邏輯推理 能力.滿分16分.3斛：(1)因為 a b c,所以 f(x) (x a)(x b)(x c) (x a).因為f (4) 8 ,所以(4 a)3 8 ,解得a 2.(2)因為b c,所以 f(x) (x a)(x b)2 x3 (a 2b)x2 b(2a b)x ab2 ,2a b2a b從而 f'(x) 3(x b) x 2ab .令 f'(x)

21、 0,得 x b或 x 2ab332a b 因為a,b,2a_b,都在集合 3,1,3中，且a b, 32a b所以芻一b 1,a 3,b3.3此時 f (x) (x 3)( x 3)2, f'(x) 3(x 3)( x 1).令f'(x) 0,得x 3或x 1 .列表如下：x(,3)3(3,1)1(1,)f'(x)+0一0+f(x)Z極大值極小值Z所以f(x)的極小值為f (1) (1 3)(1 3)232 .(3)因為 a 0,c 1 ,所以 f(x) x(x b)(x 1) x3 (b 1)x2 bx , f'(x) 3x2 2(b 1)x b.因為 0

22、b 1 ,所以 4(b 1)2 12b (2b 1)2 3 0,則f'(x)有2個不同的零點，設為 x1,x2 x1 x2 .b 1b2 b 1 b 1 , b2 b 1由 f'(x) 0 ,得 x1 ，x2 .33所以f (x)的極大值M列表如下：x(,x1)x1x1，x2*2(x2,)f'(x)+0一0+f(x)Z極大值極小值Zf x1解法M f x1x3 (b 1)x2bxi2-3k 2(b1)xi bx132 b2 b 1zXib(b 1)92 b2 b1 (b 1)27b(b 1)-93 b b 1 27b(b 1)272(b 1)2 (b271)2 一27(

23、、b(bTl)3b(b 1)27解法二：2727因此M27因為0 b所以x1(0,1).當 x (0,1)時,f(x)x(x b)(x 1)x(x 1)2 .令 g(x)x(x1)2,x(0,1),則 g'(x)1).令 g'(x)x1 (0,3)13g1)g'(x)+0一g(x)Z極大值141 ,，、，一一，、一時，g(x)取得極大值，且是最大值，故g(x)maxg31.0,得x -.列表如下:3所以當x所以當x44(0,1)時，f(x) g(x) 一，因此 M 27272720.本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及

24、綜合運用數(shù)學知識探究與解決問題的能力.滿分16分.解：(1)設等比數(shù)列an的公比為q,所以a1刈，q0.,a2 a4 a5/曰由，得a3 4a2 4a1 02 4aq2aq4a1q,解得4alq 4al 0a1 1q 2因此數(shù)列an為“ M 數(shù)歹(2)因為12snbn2bn 1,所以bn1,Si1 bi,得彳2則b2b21由Sn2bn2，得 Sn bn 1bnbn 12(bn1 bn)2時,由bnSnSn 1 ,得 bnbnbn 12 bn1bbn h2 bnbn 1整理得bn 1bn 12bn.所以數(shù)列 bn是首項和公差均為1的等差數(shù)列.*因此，數(shù)列bn的通項公式為bn=n n N .由知，

25、bk=k, k n*.，q>0.因為數(shù)列Cn為M -數(shù)列”，設公比為q,所以ci=1因為 Ck<bk<Ck+1 ,所以 qk 1 kqk ,其中 k=1, 2,3,，m.當k=1時，有qnl;r, » In k當k=2, 3,，m時，有 kln qIn kk 1ln x1設f (x)=(x 1),則 f'(x) - xln x-2- x令 f'(x)x(1,e)e(e, +o°)f'(x)+0一f (x)*極大值*0,得*=3.列表如下:因為2In8 In9 In 3In 3至至三所以f(k)max f"JIn k ,k，

26、當 i 2, 3,4, 5時，R 1nq，即 k q ,經(jīng)檢驗知qk 1 k也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m>G分別取k=3, 6,得3對3,且q5w。從而q15>243且q15w216所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5.數(shù)學n(附加題)21 .【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選彳4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)-一 3 1已知矩陣A 2 2(1)求 A2；(2)求矩陣A的特征值.B.選彳4- 4:坐標系與參數(shù)方程

27、(本小題滿分10分)在極坐標系中，已知兩點A3, , B J2,直線l的方程為sin 3.424(1)求A, B兩點間的距離；(2)求點B到直線l的距離.C.選彳4-5:不等式選講(本小題滿分10分)設x R ,解不等式|x|+|2 x 1|>2.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字 說明、證明過程或演算步驟.n2n* 一，222.(本小題滿分 10分)設(1 x) %ax a?x Lanx, n- 4, nN .已知 a32a2a4.(1)求n的值；(2)設(1百)nabM,其中a,bN*,求a2 3b2的值.23.(本小題滿

28、分10分)在平面直角坐標系xOy中，設點集An (0,0),(1,0),(2,0),(n,0)Bn(0,1),(n,1),Cn (0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2), n N .令MnAn U Bn U Cn .從集合Mn中任取兩個不同的點，用隨機變量X表示它們之間的距離.(1)當n=1時，求X的概率分布;(2)對給定的正整數(shù)n (n>3),求概率P (X由)(用n表示)數(shù)學n(附加題)參考答案21.【選做題】A.選修4-2：矩陣與變換10分.解:(1)因為所以A21110(2)矩陣A的特征多項式為f()令f( ) 0,解得A的特征值11,B.選修4-4：坐標系與參數(shù)

29、方程本小題主要考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力.滿分10分.解：(1)設極點為。.在 4OAB 中，A (3, -) , B ( J2 ,-),由余弦定理，得AB= 1 32 (. 2)22 3 . 2 cos( ). 5.2 4(2)因為直線1的方程為sin(則直線1過點(3J2,),傾斜角為234本小題主要考查矩陣的運算、特征值等基礎知識，考查運算求解能力.滿分2.10分.3又B(我,3),所以點B到直線1的距離為(36 J2) sin(彳 -)C.選修4方：不等式選講本小題主要考查解不等式等基礎知識，考查運算求解和推理論證能力.滿分1解：當x<0時，原不等式可化為x 1 2x 2,解得x<- ；3，1 一，當0效時，原不等式可化為 x+1 -2x>2,即x< T ,無解；2,1 ,八，當x> 時，原不等式可化為 x+2x T>2 ,解得x>1.2一1 .、一綜上，原不等式的解集為 x|x3或x 1.22.【必做題】本小題主要考查二項式定理、組合數(shù)等基礎知識，考查分析問題能力與運算求解能力，滿分10分.解：(1)因為(1 x)n C： C；x C2x2 LCnxn,n