(結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)2)運(yùn)動(dòng)方程的建立35

1、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)（2010） 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) 第二章 運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)方程：描述結(jié)構(gòu)中力與位移關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式 （有時(shí)稱動(dòng)力方程）運(yùn)動(dòng)方程是進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)方程的建立是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)2.1 基本動(dòng)力體系單自由度體系：SDOF（SingleDegreeofFreedomSystem） 結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)僅需要一個(gè)幾何參數(shù)即可以確定 分析單自由度體系的意義： 第一，單自由度系統(tǒng)包括了結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中涉及的所有物理量及基本概念。 第二，很多實(shí)際的動(dòng)力問題可以直接按單自由度體系進(jìn)行分析計(jì)算。圖2.1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中常用的單自由度體系力學(xué)模型 2.1 基本動(dòng)力體系 （a）單層框架結(jié)構(gòu) （b）彈簧

2、質(zhì)點(diǎn)體系 圖2.1結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中常用的單自由度體系力學(xué)模型 兩個(gè)典型的單自由度體系物理元件： 集中質(zhì)量 m 阻尼系數(shù) c 彈簧剛度 k兩個(gè)力學(xué)模型完全等效兩個(gè)體系的運(yùn)動(dòng)方程相同 2.1 基本動(dòng)力體系1. 慣性力（Inertial Force） 慣性：保持物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能力 慣性力： 大小等于物體的質(zhì)量與加速度的乘積， 方向與加速度的方向相反。 I 慣性（Inertial）；m 質(zhì)量（mass） ； 質(zhì)點(diǎn)的加速度。 umfI 2.1 基本動(dòng)力體系 2. 彈簧的恢復(fù)力（Resisting Force of Spring） 對彈性體系，彈簧的恢復(fù)力也被稱為彈性恢復(fù)力 彈性恢復(fù)力：大小等于彈簧剛度與位

3、移（彈簧變形）的乘積， 方向指向體系的平衡位置。 s 表示彈簧（Spring）k 彈簧的剛度（Spring Stiffness）u 質(zhì)點(diǎn)位移 kufs2.1 基本動(dòng)力體系 單層框架結(jié)構(gòu)的水平剛度 h框架結(jié)構(gòu)的高度E彈性模量Ib和Ic梁和柱的截面慣性矩 cbcIIhEIk/4313243324hEIkc36hEIkc： 0 ：2.1 基本動(dòng)力體系 3. 阻尼力（Damping Force） 阻尼：引起結(jié)構(gòu)能量的耗散，使結(jié)構(gòu)振幅驟漸變小的一種作用阻尼來源（物理機(jī)制）：(1)固體材料變形時(shí)的內(nèi)摩擦，或材料快速應(yīng)變引起的熱耗散；(2)結(jié)構(gòu)連接部位的摩擦，結(jié)構(gòu)構(gòu)件與非結(jié)構(gòu)構(gòu)件之間的摩擦；(3)結(jié)構(gòu)周圍外

4、部介質(zhì)引起的阻尼。例如，空氣、流體等。粘滯(性)阻尼力可表示為： D 阻尼（damping） c 阻尼系數(shù)（Damping coefficient） 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度 ucfD2.1 基本動(dòng)力體系阻尼系數(shù)c 的確定：不能像結(jié)構(gòu)剛度k那樣可通過結(jié)構(gòu)幾何尺寸、構(gòu)件尺寸等來獲得，因?yàn)閏是反映了多種耗能因素綜合影響的系數(shù)，阻尼系數(shù)一般是通過結(jié)構(gòu)原型振動(dòng)試驗(yàn)的方法得到。粘滯(性)阻尼理論僅是多種阻尼中最為簡單的一種。其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小與速度大小無關(guān)，一般為常數(shù) ；滯變阻尼：阻尼力大小與位移成正比（相位與速度相同）； 流體阻尼：阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度的平方成正比 。滯變阻尼時(shí)滯阻尼復(fù)阻尼2.1

5、 基本動(dòng)力體系 4. 線彈性體系和粘彈性體系 (Linearly Elastic System and Viscous Elastic System)線彈性體系：由線性彈簧（或線性構(gòu)件）組成的體系。 最簡單的理想化力學(xué)模型。 粘彈性體系：當(dāng)線彈性系統(tǒng)中進(jìn)一步考慮阻尼的影響時(shí)的體系。 結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中的最基本力學(xué)模型。 2.1 基本動(dòng)力體系 5. 非彈性體系 (Inelastic System)結(jié)構(gòu)構(gòu)件的力變形關(guān)系為非線性關(guān)系，結(jié)構(gòu)剛度不再為常數(shù)構(gòu)件（或彈簧）的恢復(fù)力可表示為 fs是位移和速度的非線性函數(shù)。圖2.6 非彈性體系中結(jié)構(gòu)構(gòu)件的力與位移關(guān)系 ),(uuffss2.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立1.

6、利用牛頓（Newton）第二定律 圖2.7單質(zhì)點(diǎn)體系的受力分析 sDfftpF)(maF ua )(tpffmasD)(tpkuucum kufsucfD單質(zhì)點(diǎn)體系運(yùn)動(dòng)時(shí)要滿足的控制方程運(yùn)動(dòng)方程2.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立利用牛頓第二定律的優(yōu)點(diǎn)：牛頓第二定律是基于物理學(xué)中已有知識的直接應(yīng)用 以人們最容易接受的知識建立體系的運(yùn)動(dòng)方程 2.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立2. DAlembert原理（直接動(dòng)力平衡法）DAlembert原理：在體系運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，如果除了實(shí)際作用結(jié)構(gòu)的主動(dòng)力 （包括阻尼力）和約束反力外，再加上（假想的）慣性力， 則在該時(shí)刻體系將處于假想的平衡狀態(tài)（動(dòng)力平衡）。 圖2.8 單質(zhì)點(diǎn)體系的受

7、力分析 )(tpkuucum kufsucfD0)(sDIffftpumfI 2.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立2. DAlembert原理（直接動(dòng)力平衡法）DAlembert原理的優(yōu)點(diǎn)：靜力問題是人們所熟悉的，有了DAlembert 原理之后，形式上動(dòng)力問題就變成了靜力問題，靜力問題中用來建立控 制方程的方法，都可以用于建立動(dòng)力問題的平衡方程，使對動(dòng)力問題的 思考有一定的簡化。對很多問題，DAlembert原理是用于建立運(yùn)動(dòng)方程 的最直接、最簡便的方法。DAlembert原理的貢獻(xiàn)：建立了動(dòng)力平衡概念2.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立3. 虛位移原理虛位移原理：在一組外力作用下的平衡系統(tǒng)發(fā)生一個(gè)虛位移時(shí)，外力在 虛

8、位移上所做的虛功總和恒等于零。虛位移是指滿足體系約束條件的無限小位移。 設(shè)體系發(fā)生一個(gè)虛位移u 平衡力系在u 上做的總虛功為: 圖2.8 單質(zhì)點(diǎn)體系的受力分析 )(tpkuucum kufsucfD0)(sDIffftpumfI 0)(ufufufutpsDI2.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立3. 虛位移原理虛位移原理的優(yōu)點(diǎn)：虛位移原理是建立在對虛功分析的基礎(chǔ)之上，而虛功是 一個(gè)標(biāo)量，可以按代數(shù)方式運(yùn)算，因而比Newton第二定 律，或DAlembert原理中需要采用的矢量運(yùn)算更簡便。對如下圖所示結(jié)構(gòu)體系，用虛位移原理建立方程更簡便一些 2.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立4. Hamilton原理應(yīng)用變分法來建立結(jié)構(gòu)

9、體系的運(yùn)動(dòng)方程。動(dòng)力學(xué)中廣泛應(yīng)用的變分法是Hamilton原理體系的平衡位置是體系的穩(wěn)定位置，在穩(wěn)定位置，體系的能量取得極值,一般是極小值。 Hamilton原理：在任意時(shí)間區(qū)段t1, t2內(nèi)，體系的動(dòng)能和位能的變分加上 非保守力做功的變分等于0。 其中： T 體系的總動(dòng)能； V 體系的位能，包括應(yīng)變能及任何保守力的勢能； Wnc 作用于體系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷載）所做的功； 指（在指定時(shí)間段內(nèi)）所取的變分。 圖2.8 單質(zhì)點(diǎn)體系的受力分析 0)(2121dtWdtVTttttncjjncjncuPW2.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立4. Hamilton原理(積分形式的動(dòng)力問題的變分方法)

10、Hamilton原理的優(yōu)點(diǎn)：不明顯使用慣性力和彈性力，而分別用對動(dòng)能和位能的變分代替。因而對這兩項(xiàng)來講，僅涉及處理純的標(biāo)量，即能量。而在虛位移中，盡管虛功本身是標(biāo)量，但用來計(jì)算虛功的力和虛位移則都是矢量。動(dòng)能：集中質(zhì)量 轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量位能：拉伸彈簧 轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧多自由度體系： 動(dòng)能 位能221umT221JT 221kuV 221kV jiijijuukV2122121jjjjiijijumuumT2.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立4. Hamilton原理(用Hamilton原理建立單自由度彈簧質(zhì)量體系的運(yùn)動(dòng)方程)體系的動(dòng)能： 位能(彈簧應(yīng)變能)：因此能量的變分非保守所做的功的變分(等于非保守力在位移變分上作的功

11、) 將以上兩式代入Hamilton原理的變分公式，得：對上式中的第一項(xiàng)進(jìn)行分部積分221umT221kuV uucutpWnc)(ukuuumVT)(0)(21dtutpukuuucuumtt21212121212121)()()(ttttttttttttttudtumudtumuumudumdtudtdumdtudtdumdtuum 210)(ttudttpkuucum )(tpkuucum 0)(2121dtWdtVTttttnc2.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立5.運(yùn)動(dòng)的Lagrange方程(微分形式的動(dòng)力問題的變分原理 ) 其中： T 體系的動(dòng)能； V 體系的位能，包括應(yīng)變能及任何保守力的勢能；

12、Pncj與uj相應(yīng)的非保守力（包括阻尼力及任意外荷載）。NjtPuVuTuTdtdncjjjj, 2, 1,)()(2.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立5.運(yùn)動(dòng)的Lagrange方程用：Hamilton原理推導(dǎo)：Lagrange方程 用 Hamilton 原理推導(dǎo) Lagrange 方程 對于有 N 個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)體系，體系的動(dòng)能和位能分別為: ),(2121NNuuuuuuTT (a) ),(21NuuuVV (b) 因此動(dòng)能和位能的變分為： jNjjjNjjuuTuuTT (c) jNjjuuVV (d) 同時(shí)，非保守力所做功的變分為： jNjncjncuPW (e) 將式(c)、(d)和(e)代入 H

13、amilton 原理式(2.11)得： NjttjjjncjjttNjjdtuuTdtuPuVuT21210)( (f) 對式(f)的第二項(xiàng)進(jìn)行分部積分： dtuuTdtddtuuTdtduuTuduTdtudtduTdtdtduuTdtuuTjjttjjttttjjjttjjttjjttjjttj)()()()()(21212121212121| (g) 式(g)代入式(f)得： 0)(21dtuPuVuTuTdtdjncjjjjNjtt (h) 由ju的任意性，可知式(h)中括號內(nèi)的項(xiàng)恒為零，這樣就得到了 Lagrange 方程： NjtPuVuTuTdtdncjjjj, 2, 1,)()

14、( 0)(2121dtWdtVTttttncNjtPuVuTuTdtdncjjjj, 2, 1,)()(2.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立5.運(yùn)動(dòng)的Lagrange方程 用Lagrange方程方程建立體系的運(yùn)動(dòng)方程體系的動(dòng)能： 體系的位能： 非保守力：因此，代入Lagrange方程：再一次得到體系的運(yùn)動(dòng)方程：)()(tPuVuTuTdtdnc221umT221kuV )(tpucPncumumdtduTdtd )()(0uTkuuV)(tpkuucum 2.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立五種建立運(yùn)動(dòng)方程的方法的特點(diǎn)牛頓第二定律是基于物理學(xué)中已有知識的直接應(yīng)用，有助于理解和接受DAlembert原理。DAlembert

15、原理是一種簡單、直觀的建立運(yùn)動(dòng)方程的方法，得到廣泛的應(yīng)用。更重要的是DAlembert原理建立了動(dòng)平衡的概念，使得在結(jié)構(gòu)靜力分析中的一些方法可以直接推廣到動(dòng)力問題。當(dāng)結(jié)構(gòu)具有分布質(zhì)量和彈性時(shí)，直接應(yīng)用DAlembert原理，用動(dòng)力平衡的方法來建立體系的運(yùn)動(dòng)方程可能是困難的。虛位移原理部分避免了矢量運(yùn)算，在獲得體系虛功后，可以采用標(biāo)量運(yùn)算建立體系的運(yùn)動(dòng)方程，簡化了運(yùn)算。Hamilton原理是一種建立運(yùn)動(dòng)方程的能量方法（積分形式的變分原理） ，如果不考慮非保守力作的功（主要是阻尼力），它是完全的標(biāo)量運(yùn)算，但實(shí)際上直接采用Hamilton原理建立運(yùn)動(dòng)方程并不多。Hamilton原理的美妙在于它以一個(gè)

16、極為簡潔的表達(dá)式概括了復(fù)雜的力學(xué)問題。Lagrange方程得到更多的應(yīng)用，它和Hamilton原理一樣，除非保守力（阻尼力）外，是一個(gè)完全的標(biāo)量分析方法，不必直接分析慣性力和保守力（主要是彈性恢復(fù)力），而慣性力和彈性恢復(fù)力是建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)最為困難的處理對象，關(guān)于阻尼力實(shí)際上它一般不是通過數(shù)學(xué)推理分析，從材料、結(jié)構(gòu)構(gòu)件的幾何尺寸等推演得到的，而往往是通過實(shí)驗(yàn)、測試的方法得到（至少對結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是如此），因此，由阻尼產(chǎn)生的非保守力引起的困難并不大。這可能與純粹的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)很不同，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)阻尼主要由介質(zhì)本身引起，而結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)阻尼來源更廣、更復(fù)雜，無法簡單推出，而采用試驗(yàn)加假設(shè)方法。阻尼系數(shù)由實(shí)測

17、或經(jīng)驗(yàn)給出。2.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立表2.1給出了以上介紹的五種建立運(yùn)動(dòng)方程的方法的特點(diǎn) 表 2.1 幾種建立運(yùn)動(dòng)方程方法的特點(diǎn) 方 法 特 點(diǎn) 牛頓第二定律 矢量方法，物理概念明確 DAlembert 原理 矢量方法，直觀，建立了動(dòng)平衡概念 虛位移原理 半矢量法，可處理復(fù)雜分布質(zhì)量和彈性問題 Hamilton 原理 標(biāo)量方法，表達(dá)簡潔 Lagrange 方程 標(biāo)量方法，運(yùn)用面廣 2.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程單自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程反映了結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中將遇到的幾乎所有的物理量(1) 質(zhì)量m,和慣性力：(2) 阻尼c,和阻尼力：(3) 剛度k,和彈性恢復(fù)力：對于多自由度體系： )(tpk

18、uucum kufsucfDumfI )(tpuKuCuM 2.3 重力的影響 靜平衡位置：受動(dòng)力作用以前結(jié)構(gòu)所處的實(shí)際位置 st重力W=mg作用下體系的靜位移記：動(dòng)位移為u 慣性力、阻尼力和彈性恢復(fù)力分別為：外荷載為： 應(yīng)用DAlembert原理： kWst/umfI ucfD)(stsukfWtp)(WtpfffsDI)(Wtpukucumst)()( Wkst)(tpkuucum 2.3 重力的影響 1、考慮重力影響時(shí)，結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動(dòng)方程與無重力影響時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程完全一樣，此時(shí)u是由動(dòng)荷載引起的動(dòng)力反應(yīng)?？梢娫谘芯拷Y(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)時(shí)，可以完全不考慮重力的影響，建立體系的運(yùn)動(dòng)方程，直接求解動(dòng)力

19、荷載作用下的運(yùn)動(dòng)方程，即得到結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)力解。2、當(dāng)需要考慮重力影響時(shí)，結(jié)構(gòu)的總位移=靜力解+動(dòng)力解，即應(yīng)用疊加原理。在結(jié)構(gòu)反應(yīng)問題中，應(yīng)用疊加原理可將靜力問題（一般是重力問題）和動(dòng)力問題分開計(jì)算，將其結(jié)果相加即得到結(jié)構(gòu)的總體反應(yīng)。3、同時(shí)也要注意到，并不是對任何結(jié)構(gòu)動(dòng)、靜力反應(yīng)問題都可以這樣處理，因?yàn)樵谝陨贤茖?dǎo)中，假設(shè)彈簧的剛度k為常數(shù)，即結(jié)構(gòu)是線彈性的，因此只有對線彈性結(jié)構(gòu)（如果是二維或三維問題，還要加上小變形（位移）的限制）才可以使用疊加原理，將靜力、動(dòng)力問題分開考慮。4、應(yīng)當(dāng)注意的是，在以上推導(dǎo)過程中，假設(shè)懸掛的彈簧質(zhì)點(diǎn)體系只發(fā)生豎向振動(dòng)，在動(dòng)荷載作用之前，重力被彈簧的彈性變形所平衡，

20、而施加荷載后，重力始終被彈性變形所平衡。如果重力的影響沒有預(yù)先被平衡，則在施加動(dòng)力荷載產(chǎn)生進(jìn)一步變形后，可以產(chǎn)生二階影響問題，例如P效應(yīng)。最簡單的例子是倒立擺，當(dāng)?shù)沽[產(chǎn)生水平振動(dòng)后，擺的重力引起的附加彎矩是一個(gè)新的量，它并沒有預(yù)先被平衡，將對體系的動(dòng)力反應(yīng)產(chǎn)生影響，這種影響必然反映到結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程中。 2.4 地基運(yùn)動(dòng)的影響 地基運(yùn)動(dòng)問題：結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)不是由直接作用到結(jié)構(gòu)上的動(dòng)力引起的， 而是由于結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)引起的。 ug地基位移，是已知的u 相對位移，反映結(jié)構(gòu)形變ut = u+ ug絕對位移。 慣性力：阻尼力：彈性恢復(fù)力：外荷載為0 應(yīng)用DAlembert原理 相對運(yùn)動(dòng)方程： 其中：)(gIuumf ucfDkufS0SDIfff)(tPKuucumeff 0)(Kuucuumg geffumtP )(重力和地基運(yùn)動(dòng)的影響 以上結(jié)合單自由度結(jié)構(gòu)體系給出了不同影響因素下結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程的建立方法，雖然例題極為簡單，但包含了最基本的概念和原理。以后會(huì)涉及到更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)體系，例如結(jié)構(gòu)構(gòu)造復(fù)雜、自由度多，包含連續(xù)分布的質(zhì)量，地震多方向（多維）和多點(diǎn)（在結(jié)構(gòu)不同的支承處的地面運(yùn)動(dòng)不一致）輸入等等，但靈活應(yīng)用本章介紹的方法都可以得到解決。 例題 例2-1 分析右圖所示體系的靜力自由度和動(dòng)力自由度，并利用DAlembert原理建立體