常用初等數(shù)學公式及例題2

1、目錄初等數(shù)學常用公式1第一章肯定值 比和比例平均值2第一節(jié) 條件充分性判定.2其次節(jié)肯定值 .2第三節(jié)比和比例 . .5第四節(jié)平均值 . .7課后練習 .8其次章方程與不等式10課后練習 .22第三章數(shù)列25第一節(jié)基本概念 . .25其次節(jié)等差數(shù)列 . .26第三節(jié)等比數(shù)列 . .28課后練習 .30初等數(shù)學常用公式乘法公式與二項式定理（ 1） ab2a22abb2 ; ab2a22abb2（ 2） ab3a33a2b3ab2b3 ; ab 3a33a2b3ab2b3（ 3） abnc0anc1an1bc 2a n2b2c k an k bkc n 1abn 1c nbnnnnnnn（ 4）

2、abc a2b2c2abacbca3b3c33abc ；（ 5）2abca 2b2c22ab2 ac2bc二、因式分解（ 1） a2b2abab（ 2） a3b3aba 2abb2; a3b3aba 2abb 2；（ 3） anb naba n 1a n 2b.bn 1三、分式裂項（ 1）1111111（ 2）x x1xx1 xa xbbaxaxb四、指數(shù)運算1m（ 1） a nn a0a（ 2） a01a1（ 3） a nn am a0（ 4）ama nam n（ 5） a ma na m n（ 6） am namnnbbn（ 7） a0aan五、對數(shù)運算log n（ 8） ab nbnan

3、 bnb（ 9）a 2an b1b（ 1） aan（ 2） logn log（ 3） loglogaaana（ 4） loga11（ 5） log0（ 6） logmnlog mlognaaaaam（ 7） log nlogmnlogb1b（ 8） log（ 9） lg aloga,ln alogaaaaalog a10e六、排列組合pn（ 1）mn n1pmnm1n.n.nm.（商定 0.1 ）nnn（ 2） c mn（ 3） cmcn mm.m. nm.（ 4） c mcm 1c m（ 5） c 0c1c 2c n2nnnn 1nnnn第一章肯定值比和比例平均值二項式定理第一節(jié)條件充分性判

4、定定義：對于兩個命題a 和 b，如有 ab ，就稱 a 為 b 的充分條件；充分性判定題的解題說明：這類題要求判定所給出的條件能否充分支持題干中陳述的結(jié)論；閱讀每題給出條件（1）和條件（ 2）后挑選：（ a ）條件（ 1）充分，但條件（2）不充分（ b）條件（ 2）充分，但條件（1）不充分（ c）條件（ 1）和（ 2）單獨都不充分，但條件（1）和條件（ 2）聯(lián)合起來充分（ d）條件（ 1）充分，條件（2）也充分（ e）條件（ 1）和（ 2）單獨都不充分，條件（1）和條件（ 2）聯(lián)合起來也不充分例1.1: 不等式 x22x150成立10x32 x4 x例 1.25x1a3031 成立x5, 所以

5、條件 1充分,2 充分.（ 1） a1（ 2） a1明顯：條件（1）不充分，條件（2）也不充分留意： 許多同學在解這類題型的時候，習慣于受傳統(tǒng)解題思維的影響，往往從題干的結(jié)論動身，這樣得出來的條件往往是必要條件，而不是充分的，假如剛巧得出來的必要條件就是充要條件的話，那么可能會得出正確答案，假如不是充要條件的話，答案就可能不正確了；其次節(jié)肯定值1、定義實數(shù) a 的肯定值記作a ； aa,當a0時0,當a0時a,當a0時2、幾何意義一個實數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點，到原點的距離就是這個數(shù)的肯定值；a3、性質(zhì)a0x（ 1）非負性a0（ 2）等價性a2a（ 3）對稱性aa4、常用的運算法就aa（ 1） a

6、 ba b;b0;b b（ 2）a bb0b ab;abb0 a或ba;b（ 3） abab當且僅當 ab0 時， abab 成立，當且僅當ab0 時， abab 成立；（ 4） abab ，當且僅當ab0, ab 時，等式成立；（ 5） a 2a25、非負數(shù)（ 1） a0（ 2）a20（ 3）a 有意義，且a0非負數(shù)有下面兩個易見的性質(zhì)，在解題經(jīng)經(jīng)常要用到：（ 1）有限個非負數(shù)之和仍舊是非負數(shù)；（ 2）假如有限個非負數(shù)之和等于零，就每一個非負數(shù)都必需等于零，即如abcd0, 其中 a0, b0,d0, 就abcd0例 1.3已知 xy12xy20,求 log x的值；y解：由xy10x12x

7、y0y2y2所以 log xlog10例 1.4已知 （ a202b30c40 20求： abc的值解 :已知式中各項均為非負數(shù),且它們的和為0 a20 2b30c40 20a20babc30c4020304030例 1.5關(guān)于 x 的不等式3xx2a 的解集是，就實數(shù) a 的取值范疇是（）（ a ） a1（b ） a1（ c） a1（d ） a1（ e） a1解： 3xx23xx21，即使 a1 時，原不等式仍舊無解，故 a1 時解集為，答案為b例 1.6已知 xa1, yx1, 就有（）（ a ） ya2（ b） ya1（ c） y+a2（ d ） y+a1（ e）以上結(jié)論均不對解：yay

8、xxayxxa yx1, xa1ya112故應(yīng)選（ a ）ab例 1.72 成立ab（ 1） a0（ 2） b0ab解：由條件（ 1） a0 ，可得1,但當 b0 時，1, 故原式不肯定成立，所以條件（1）單獨不a充分；同樣可得出條件（2）單獨也不充分； 但當條件（ 1）和（ 2）聯(lián)合起來時，即a0 且 bb0 時，原式成立，故此題應(yīng)選c；例 1.8 等式 2x112x 成立33（ 1） x1 2（ 2） x1分析：此題可以先找出題干結(jié)論成立的充要條件，再判定給出的條件（1）和（ 2）是否是充要條件的子集或元素（即是否是充要條件的充分條件），假如兩個條件單獨都不是的話，仍要看兩個條件聯(lián)合是否是

9、充分的；由實數(shù)肯定值的定義知道aaa0解： 2x112x2x12x1033331即 2x10, x2明顯條件（ 1）單獨是充分的，條件（2）單獨不充分，由于x1 滿意條件（ 2）但是不能夠使得結(jié)論成立；故此題應(yīng)選（a ）例 1.9方程 f x1有且僅有一個實根（ 1） f xx1（ 2） fxx11解：由條件（1）得x11x11x12,x 20 ，所以條件（1）單獨不充分由條件（ 2）得 x111x10x=1 ，所以條件（2）單獨充分故此題應(yīng)選（b）例 1.10等式 x24x2 成立（ 1） x2（ 2） x4解：用 ababx24xx24x2 x24x0時 ""成立解得2

10、x4明顯條件（ 1）、（ 2）單獨都不充分，聯(lián)合起來充分，應(yīng)選c第三節(jié)比和比例1、比的意義：兩個數(shù)相除，又叫做這兩個數(shù)的比，把a 和 b 的比（ b0 記為 a:b 或a ,a 的值叫bba比b的比值a2、 比的性質(zhì)：bam m bm0a bam m0 bmatatb b3、 百分比： 常把比值表示百分數(shù)，稱百分數(shù)形式的比值為百分比（ 或百分率）比如：1： 2=50%a4、 比例： 兩個比相等的式子叫做比例；記為bca : bdc : d a,d 為比例外項， b,c 為比例內(nèi)項；如b=c就有 b2ad 此時 b 叫做比例中項5、 比例的性質(zhì) :對于 ac ， 1adbc ， 2 dcab 內(nèi)

11、外項交換位置等式依舊成立）bdbacdab（ 3）bcd 合比定理 d） ,（ 4） abbcd （分比定理）dab（ 5）ab6、 正比例和反比例：cd 合分比定理 cd正比例：假如變量x 和 y ， 滿意 下面的關(guān)系，y=kx （ k0 是比例系數(shù)） ，就 x 與 y 成正比例；反比例：假如變量x 和 y ，滿意 下面的關(guān)系， yk k x0 ，是比例系數(shù)） ，就 x 與 y 成反比例；例 1.11設(shè) 1 :x1 : 1y z4 : 5 :6 ，且 x+y+z=74 ，求 y 的值；分析：在求有關(guān)連比題的時候，一般先假設(shè)一個比例常數(shù)t ；解：設(shè)14t, 15t, 16tx1y1 z1xyz

12、4t5t6t111741120y1 120244t5t6tt5例 1.12一批產(chǎn)品中，一等品與二等品的比為4： 1，又知二等到品與三等品的比為5：3，一等品與二等品為合格品，求這一批產(chǎn)品的合格率；解：一等品：二等品=4:1=20:5二等品：三等品=5:3一等品：二等品：三等品=20： 5： 3合格率為20520532589%28例 1.13已知 xy23z 求 x4xyz 的值yz解：設(shè) x 2yz=tx=2ty=3tz=4t342t3t4t2t3t4t9t9 t例 1.14已知 y= y1y2 且y 與 x 成正比，y2 與 x 成反比例，當x=1 或 x=-2 ， y 的值為 15，求當

13、x=21時， y 的值是多少？k2yk xyk2yk x1121xx解：15k1k2k1k2151k2152 k124k1k2302（ 2） - （ 1）得：3k145k115,k23030y15 x當x2時y15 x分數(shù)和百分數(shù)應(yīng)用題例 1.15某工程隊原方案用6 天時間挖水渠800 米，結(jié)果前兩天就完成了方案的40%，依據(jù)這個進度施工，就可以提前（）天完工；a5b4c3d2e1解：前兩天每天挖渠長為80040%2160 （米）挖渠 800 米所需天數(shù)為8005 （天）160所以可提前1 天完工，此題應(yīng)選a例 1.16某商品單價上調(diào)10%后，再降為原價，就應(yīng)下降的百分比為（）a9%b11%c

14、13%d15%e17%解：設(shè)商品原單價為a, 下降百分率為x由題意，得a110%1xa1-x= 1011x故此題選a19%11留意：下調(diào)的百分率應(yīng)是下調(diào)的錢數(shù)與漲價后的單價的百分比；下調(diào)錢數(shù)仍為10%a, 漲價后的單價是a110% ，故x1 0 % a19 %a 11 0 % 1 1例 1.17某車間生產(chǎn)一批機器，原方案每天生產(chǎn)32 臺， 10 天可以完成任務(wù)，實際提前2 天完成了任務(wù)，就平均每天增產(chǎn)了（）a20%b25%c30%d35%e40%解：從題中可知，這批機器的總量為320 臺，實際只用了8 天時間，所以每天平均生產(chǎn)了40 臺，比原計劃每天多生產(chǎn)了8 臺，故增產(chǎn)了80.25, 即 2

15、5%，答案為b32第四節(jié)平均值1算術(shù)平均值：n個數(shù)的算術(shù)平均值為x1x 2x 3x n ，x1x 2x 3x nn1 nx記為：nxii 12.幾何平均值：n個正數(shù) x1x2x3的幾何平均值為xnn x1x2x3xn記為gnnxii1簡潔性質(zhì)：假如 n 個數(shù)據(jù)彼此都相等1x1x2x3xna就 xgax可以證明： x1x221x2;xx2x333 x1x2x3 ，以上各式中x1 , x2, x3r例 1.18某筆廠生產(chǎn)三種不同規(guī)格的圓珠筆一批，其中有6000 支單價為3 元， 3000 支單價為5 元， 1000支單價為10 元，求這批圓筆平均價格；解 : 6000330005100010633

16、51104.3600030001000101010加權(quán)平均數(shù)留意6311101010例 1.19某班同學外語平均成果為分，男生人數(shù)比女生人數(shù)多，而女生平均分比男生多，求女生的平均成果；解：設(shè)女生人數(shù)為x ，就男生人數(shù)為1.8x女生平均分為 1.2 y ,男生平均分為y就有 :1.2xy+1.8xy=751.8x+x3xy=210xy70故女生均分為1.270=84 分例 1.20車間共有40 人，某次技術(shù)操作考核的平均成果為80 分，其中男工平均成果為83 分，女工平均成果為 78 分，該車間有女工（）人；a16b18c20d24解：設(shè)該車間有女工x 人，就男工有40- x 人那么：x 784

17、0x 8340 805 x120x24課后練習一、挑選題1 已知 x - 2 2y10, 那么 1x 21的值是 （）y 2（ a ） 1（ b）43（ c） 4（ d） 3（e） a、 b、c、d 都不正確42 使得2x-22不存在的x 是 （）（ a ） 4（b ）0（ c） 4 或 0（ d） 1（ e）a 、b、c、d 都不正確3 如x 23x10, 那么 x 414 等于 （）x（ a ） 30（b ）40（ c） 45（d ）47（ e）a 、b、c、d 都不正確5班上2 的女生和51 的男生參與了保險，且班級120 人中男生是女生的27 倍，那么班級中參與保險的人5數(shù)占全班人數(shù)的

18、（）（ a ） 40%（b ） 42%（ c）44%（d ）46%（e） 45%6原價 a 元可購5 件襯衫，現(xiàn)價a 元可購 8 件襯衫，就該襯衫降價的百分比是（）（ a ） 25%（b ） 37.5%（ c） 40%（d ）60%（e） 45%7某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中級品的（）1為一級品，31為二級品，不合格產(chǎn)品是二級品的51，就該種產(chǎn)品中不合格品是一4（ a ）1（b ）31113（ c）（d ）（ e）10205201010已知 a 股票上的0.16 元相當于該股票原價的16%， b 股票上漲1.68 元也相當于其原價的16%，就這兩種股票原價相差（）（ a ） 8 元（ b） 9.5 元（

19、c） 10 元（d ） 10.5 元（ e）9 元11一個分數(shù)的分子削減25%，而分母增加25%，就新分數(shù)比原先分數(shù)削減的百分率是（）（ a ） 40%（b ） 45%（c） 50%（d ） 60%（e） 55%12如 x33x ，就 x 的取值范疇是（）（ a ） x 0（b ）x=3（c） x 3（ d） x 3（ e）a 、b、c、d 都不正確x1113滿意關(guān)系式0 的 x 是（）x2（ a ） 0（ b ）2（ c） 0 或 2（d ）0 或-2（e） 2 或-214不等式x22 的解集是（）（ a ） x 0（ b） x 4（ c） 0 x 4（ d ） x 0 或 x4（ e） a

20、 、b、c、d 都不正確15 如 a1 , b21,就 ab 等于 （）（ a ）3 或 0（ b）1 或 0（c）1（ d）131或-1或（ e）22222216已知 x122 y1 20，就 x+y 的值為（）（ a ） 1 或23（ b ）23（c）211（d ） -1（e）2217甲與乙的比是3:2，丙與乙的比是2:3，就甲與丙的比是（）a1:1b3:2c2:3d9:4e8:518某班同學中，3 的女生和43 的男生是共青團員，如女生團員人數(shù)是男生團員人數(shù)的55 ，就該班女生人6數(shù)與男生人數(shù)的比為（）（ a ） 5:6b2:3c3:2d4:5e5:419李先生投資2 年期、 3 年期和

21、 5 年期三種國債的投資額的比為5:3:2；后又以與前次相同的投資總額全部購買 3 年期國債，就李先生兩次對3 年期國債的投資額占兩次總投資額的（）（ a ） 3（ b ）713（c）（ d）35（ e）510204720某商品在第一次降價10%的基礎(chǔ)上，其次次又降價5%，如其次次降價后復(fù)原到原先的價格，就價格上漲的百分率為（）（ a ） 15%（b ） 16%（ c） 17%（ d） 14%（ e） 13%xyx22已知2 ，就等于（）xyy（ a ） 1（b ） 3（c）1 或 3（ d）1 或 1（e） 3 或 12二、充分性判定323224甲城區(qū)2001 年人均綠地占有面積比2000

22、年約削減 2.2%（ 1）甲城區(qū) 2001年綠地總面積較2000 年削減2%，而人口卻增加了0.2%（ 2）甲城區(qū) 2001年綠地總面積較2000 年增加1.2%，而人口增加了0.3%25 ab cabbcc aabc（ 1） a，b， c 在數(shù)軸上的位置如圖1-4 所示·圖 1x· cb· 0·a·（ 2） a， b，c 在數(shù)軸上的位置如圖1-5 所示圖 2· ab· 0·c x26某班男生人數(shù)比女生人數(shù)少（ 1）男生中共青團員的人數(shù)是全班人數(shù)的20%（ 2）女生中共青團員的人數(shù)是全班人數(shù)的52%28商店換季大甩

23、賣，某種上衣價格下降60%（ 1）原先買 2 件的錢，現(xiàn)在可以買5 件（ 2）原先的價格是現(xiàn)在價格的2.5 倍其次章方程與不等式一、一元一次方程：最簡形式ax=ba 0形如 ax=b的方程的求解方法 a 0x=b/a a=0 ， b 0 時 ,不存在 x 值使等式成立，原方程無解a=0，且 b=0 時，即 0x=0, 就 x 為全體實數(shù)二、二元一次方程組形如：a1xb1yc1 a2 xb2 yc2（ a1 與 b1 不同時為0； a2 與 b2 不同時為0）的方程組，稱為二元一次方程組；二元一次方程組的解法：方法一：加減消元法a1xb1yc11a2 xb2 y1 ×b2 2 

24、5;b1 可消去 y，得：c2 2a1b2a2b1 xb2c1b1c2從所得的一元一次方城解出x,再將 x 的值代入（ 1）式（或者（2）式），即可求出y 的值，從而得到方程組的解；方法二：代入消元法由1 式可得：y= c1a1x b1，將其代入（ 2）式可消去y，得到關(guān)于x 的一元一次方程，解之即可；三、 一元二次方程：1、標準形式為：ax2、解法：2+bx+c=0a 0 因式分解法：把方程化為形如a xx1 xx2 0 的形式，就解為xx1 , xx2如：6x2+x-2=0 2x-13x+2=0x1=1/2x 2=-2/3 配方法： 公式法：將配方后的結(jié)果直接用做公式使用；bb24acx2

25、a四、 一元二次方程的判別式：a2+bx+c=0a0=b2-4ac當 >0 時，有兩個不相等的實數(shù)根；當 =0 時，有兩個相等實數(shù)根；當 <0時，方程無實根；五、 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè) ax2bxc0 的兩根為 x , x ，就有 xxb , x xc12例 2.1解以下方程或方程組12xx1121 2aa（ 1）13622（ 2） x12x1x153x2x（ 3）3x2y12x3y2解：（ 1）去分母，原方程化為212xx1624xx16-5x=3x35（ 2）原方程化簡，得3x22x103x1x1012x1 , x133x2y112x3y22（ 3）3 1 2得2 1

26、3x1,x11318把 x代入 1, 得 y13131x原方程組的解為y2例 2.2如 x 1, x 2 是方程 x138133x10 的兩個根，求以下各式的值；（ 1） x 2x2（ 2）xx（ 3） x 2x1（ 4） x 3x 3121212x1x 22解： x1 , x 2 是方程 x3x10 的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得（ 1） x 2x 2xx22x x322192722121212（ 2） x1x 2x 1x 2 x 1 +x 2 4x 1x 23245xxx 2x2（ 3）21217x1（ 4）x3x3x 2x1 x 2xxx2x xx22xxxx3x x3323118例2.

27、3121211 2212121 2已知方程 3x2 +5x+1=0的兩個根為,就a. 53b. 53c.3d.3e.以上都不正確3355解：115 3531/ 33所以選（ b）例 2.4方程 x 2 -2x+c=0 的兩根之差的平方等于16.（ 1） c3（ 2） c3解：記題x1和 x2為 x 2 -2x+c=0的兩個根，就題干2 x1x2 xx 2164x x16121244c164c12c3所以條件（ 1）不充分，條件（2）充分，選（ b）例 2.52（ 1） 12=0（ 2）,是方程 x 243x2 的兩個實根2xx解：由條件（1）得1或2, 但無法確定,的值，所以條件（1）不充分；

28、由條件（ 2），令 tx2 , 就 t2xx 244x2原方程化為t 243t, t 23t40所以 t4 或 t1當 t4 時，即 x2x當 t1時，即 x2x4 ， x 21， x 24x20 ，所以由根與系數(shù)的關(guān)系2x20 ，由于0, 此方程無實根所以條件（ 2）充分故此題應(yīng)選b五、不等式和不等式組對于含有未知數(shù)的不等式，能使其成立的未知數(shù)的值的集合，叫做這個不等式的解集；由如干個含有未知數(shù)的不等式組成的不等式組的解集，就是組成不等式組的全部不等式解集的公共部分（即交集） ；不等式（組）解集的區(qū)間表示法滿意 axb 的 x 的集合叫做開區(qū)間，記為a, b ；滿意 axb 的 x 的集合叫

29、做 閉區(qū)間，記為a,b；滿意 ax<b 或 a<xb 的 x 的集合叫做半閉半開區(qū)間或半開半閉區(qū)間，記為a,b或a,b ；滿意 xa 或 xa 的 x 的集合記作a, 或-,a ；實數(shù)集 r 記作 -, ；不等式的同解變形：1）移項：不等式中的任意一項，都可以轉(zhuǎn)變符號從不等式一邊移到另一邊；2）不等式的兩邊同乘（或除）以一個正數(shù)，不轉(zhuǎn)變不等號的方向；不等式的兩邊同乘（或除）以一個負數(shù)，必需轉(zhuǎn)變不等號的方向；3）非負值不等式兩邊可以同時n 次方或開 n 次方；1、不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)有三條：2、肯定值不等式（ 1）解 | x|< a 和| x|> a 類型的不

30、等式以 和 x2 和 x2 為例，由肯定值的定義，結(jié)合數(shù)軸，不等式表示數(shù)軸上的點到原點的距離小于 2 的點的集合數(shù)軸上表示如圖：因此不等式的解集為同理，不等式表示數(shù)軸上的點到原點的距離大于2 的點的集合數(shù)軸上表示如圖：由此可得：；如就的解集為r；如時，就的解集為2|ax+b|<c和|ax+b|>c這兩種類型的不等式解法就有：通過以上變形去掉肯定值符號3一元二次不等式(1) 一元二次不等式的定義含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是：，或（ a0）(2) 二次函數(shù)，一元二次不等式及一元二次方程三者之間的關(guān)系判別式 >0 =0 <

31、0二次函數(shù)的 圖象一元二次方程有兩個不相等的實根有兩個相等的實根沒有實根的根一元二次不等式的解集（ a>0）（ a>0）x|x<x 1，或 x>x 2x|x r, 且x 實數(shù)集 r二次項系數(shù)是負數(shù)（即a 0）的不等式，可以先化成二次項系數(shù)是正數(shù)的不等式，再求它的解集例 2.6解以下不等式或不等式組：（ 1） x14x11232x10（ 2）2x1x23x4x1132x12（ 3）x 25x6（ 4） x2x104解：（ 1）不等式兩邊同乘以6，得 3x38x26即5x5x12x10（ 2）原不等式組化為2x13x64x 2x134x 24x112x1x2x5x512x1

32、525x1212x（ 3）原不等式化為x 255x60x2x302x3（ 4）原不等式化為1 2x+02x=- 12例 2.7不等式 x 32x 23x0 的解集是（）（ a ）,30,1（ b ）3,01,+（ c）,1（ d ）3,（ e）以上結(jié)論均不正確解：不等式可化成x3xx10, 用列表法或數(shù)軸法可知答案為（a ）例 2.8如一元二次方程a2x 22axa10 有兩個實根，就a 的取值范疇是（）（ a ） a2 或 a2（ b）2a2（ c） a2 且 a2（ d ） a2 且 a2（ e） ar 且 a2解：依題意，由根的判別式知0 且 a2于是2a2a24a2a10所以 a 的取

33、值范疇是a2 且 a2 ，選（ d）例 2.9已知一元二次不等式ax2bx100 的解為 x2 或 x5, 就 b a 的值為（）（ a ） 3（ b）3（ c） -1（ d） 131（ e）3解：由已知，相應(yīng)的一元二次方程的兩根為2 和 5，依韋達定理，得b25aa11025a所以 b a3 113b3，選（ d）例 2.10對于 xr, 不等式k1x 2k1x1恒成立，就實數(shù)k 的取值范疇是（）（ a ） 0,（b）1,（ c）1,3（ d ） 1,3（ e） ,13,解：原不等式化為 k1 2x k1 x + 1 > 0k10k1（ 1）當 k10 時21<k<3k14

34、k10（ 2）當 k10 時，得 10 恒成立，知k1 時也適合綜上可得1k3, 選（ c）1k3例 2.11 要使方程范疇應(yīng)是（3x 2）m5 xm2m20 的兩根分別滿意0x1和1x2 ,實數(shù)m 的取值（ a ）2m1（ b）4m1（c）4m212（ d）165m12（ e）3m1解：依題意，設(shè)f x3x 2m5xm2m2f 00m2就f 10m 2f 20m 2m20m<-1m>240-2<m<22m1m0m<-1m>0所以 m 的取值范疇是2m1 ，選（ a ）例 2.12函數(shù)2ylog 4x -3x-12的定義域為（）（ a ）,1 1,4（ b）

35、,11,+4（ c）1 , 1 4（ d ）1 ,14（ e）以上結(jié)論均不正確解：令4x23x10x14x10x1 或 x1 4所以答案為（a ）例 2.13條件充分性判定不等式 x13 成立（ 1） x2（ 2） x-12解：不等式x13成立的充要條件是3x134x2對于條件（ 1） x2-2x2，所以條件（ 1）單獨充分對于條件（ 2） x-12-2x-12-1x3 ，所以條件（2）單獨不充分所以此題應(yīng)選（a ）六、應(yīng)用題一）行程問題：解題提示：依據(jù)題意畫圖，找等量關(guān)系（一般是時間和路程），列方程求解；這種題的類型有：1 類型一：cv甲ac等量關(guān)系: s甲s乙s,時間相同 v乙bc例 2.

36、14從甲地到乙地，客車行駛需要12 小時，貨車行駛需要15 小時，假如兩列火車從甲地開到乙地，客車到達乙地后立刻返回，與貨車相遇時又經(jīng)過了（）；a1 小時（ b） 11 小時（ c） 1 1 小時（ d） 1 1小時（ e） 1 1 小時32解：設(shè)甲、乙兩地的距離為l , 從而客車行駛的速度為45l,貨車行駛的速度為l, 當客車到達乙地時貨車行1215駛的路程為l1212l, 仍剩下的路程為l12 l3 l15151515所以客車到達乙地后立刻返回與貨車相遇時又經(jīng)過的時間為315l4（小時）因此答案為（b）ll31215例 2.15甲、乙兩列火車對開，甲比乙先動身1 小時，甲、乙分別行駛了75

37、 千米和 25 千米后相遇，已知甲、乙兩列火車的速度和為100 千米 / 小時，就乙動身后（）小時與甲相遇；（ a） 12（ b） 32（ c） 14（ d） 34（e） 35解：設(shè)乙動身后x 小時與甲相遇，從而相遇時甲所花的時間為x1 小時，因此7525100x1x1x2所以選（ a）例 2.16a車以 110 千米 / 小時的速度由甲地駛往乙地，同時b,c 兩車分別以90 千米 / 小時和 70 千米 / 小時的速度自乙地駛向甲地；途中a 車與 b 車相遇 1 小時后才與c車相遇，就甲、乙兩地的距離為（）（ a） 3800（ b） 3600（ c） 2000（d） 1800（ e） 160

38、0解：設(shè)甲、乙兩地的距離為x 千米，依據(jù)題意得x1x解得 x11090110701800 千米，應(yīng)選（d）例 2.17兩個碼頭相距198 千米，假如一艘客輪順流而下行完全程需要6 小時，逆流而上行完全程需要9小時，那么該艘客輪的航速和這條河的水流速度分別為（）千米 / 小時；（ a） 27.5 和 5.5（ b）27.5 和 11（c） 26.4 和 5.5（ d） 26.4 和 11（ e）以上結(jié)論均不正確解：設(shè)該艘客輪的航速和這條河的水流速度分別為1986 xyx, y ，依題意有x1989xy所以答案為（a）； 2類型二：同向27.5, y5.5等量關(guān)系：（經(jīng)受時間相同）s甲s乙s （

39、s 代表周長， s 甲代表甲走了的路程，s 乙代表乙走了的路程）甲乙每相遇一次 , 甲比乙多跑一圈 , 如相遇 n次, 就有 s甲s乙n sv甲s甲=v乙s乙s乙nss乙例 2.18甲乙兩人在400 米的跑道上參與長跑競賽，甲乙同時動身，甲跑 3 圈后第一次遇到乙，假如甲的平均速度比乙的平均速度快3 米/秒，就乙的平均速度為（）（ a ）5 米/秒（b ）6 米/秒（c） 7 米/秒（ d） 8 米/ 秒（ e） 9 米/秒解：設(shè)乙的平均速度為x ，就有 40034002x3xx6 ，故答案為（b ）3類型三：逆向等量關(guān)系 : s甲s乙s （ s 代表周長， s 甲代表甲走了的路程，s 乙代表乙走了的路程）即 : 每相遇一次,甲與乙路程之和為一圈, 如相遇 n次有 s甲s乙n sv甲s甲v乙s乙nss乙s乙例 2.19（充分性判定） 甲、乙兩人同時從橢圓形的跑道上同一起點動身，沿著順時方向跑步，甲比乙快，可以確定甲的速度是乙的速度的1.5 倍；（ 1）當甲第一次從背后追上乙時，乙跑了兩