用初等變換化二次型為標準型

1、莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系“高等代數(shù)選講”課程論文題目：用矩陣的初等變換化實二次型為標準形姓名：廖丹學(xué)號：410401141莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2004級2007年6月20日用矩陣的初等變換化實二次型為標準形041數(shù)本 410401141廖丹摘要：本文介紹兩種特殊方法：一種是用正交變換化實二次型為標準形，另一種是連續(xù)用第三種初等行變換快速將二次型化為標準形關(guān)鍵詞：初等變換第三種初等陣 非異陣實二次型標準形1.數(shù)域下任意一個實二次型XAX ,總可以經(jīng)過非奇異變換X PY使得n2XAX diM ,其中4為實數(shù)，通常的方法是采用配方法或初等變換法，然而傳統(tǒng)的方法i 1最大的缺點是

2、不易求矩陣P.下面介紹一種特殊方法，能夠快速將原二次型化為標準形，一舉求出非異陣P.定義1.1以Tj（k）表示將單位矩陣的j行（列）的k倍加到i行（列），所得到的第三種初 等陣.定理1.2設(shè)A是n階實對稱陣，P是有限個第三種初等陣Tj（k）,i 1的乘積.且d aPA 0 A其中3是n 1維行向量*是n 1階陣，則必有PAP證明：由于P是Tj（k）的乘積，且i 1,根據(jù)矩陣的乘法規(guī)則，用P右乘P A時，PA的第一列元素不變，從而PAPPAP亦為實對稱陣d1，即A是實對稱的.0 A0這個定理實質(zhì)上就給出矩陣A化標準形,求出變換矩陣P的一種方法，只要連續(xù)使用第三種初等變換即可把A化為上三角形.現(xiàn)作

3、矩陣 A,E找出P使*P A,EPA,POdr,P則這個P的轉(zhuǎn)置陣就是我0們要找的非異陣 P,它使PAP為對角陣.即只要對 A,E作有限次第三種初等變換Tj(k),i j ,則當把A變換成上三角陣時,A,E的E就同時化為P ,且使diOP APdr01 1 2例1求非異陣P,使 PAP為對角陣，其中A1102 0 2解11210 0112100A,E11001 0r2 A022110b ( 2)q20200 12020011 1210011 21000 22110r3 r202 21100 2220100 0111111故由定理知P011 .001100PAP020000例2將實二次型2x x

4、26x2x32X1X3化為平方和0 1 1解：此二次型的系數(shù)矩陣 A 103 ,A的主對角元素全是0,故不能立即引用130定理,需先對A作初等行變換及其相應(yīng)的列使經(jīng)過如此變換后得到的新合同陣的主對角有 非零數(shù)，然后再用定理即可A,E110 03 010r1 r2112 110103 0 1 01300 012 1 2 1103 0101r2r312 111r34r2則 2xix2 6X2X3 2xix321222y 1 尹 2 6y 3.11322P 1111,P AP令 X PY,2200162.若要求一正交陣P使PAP成對角陣，這等價于經(jīng)過正交變換 X PY將二次型XAX 化為標準形.一般

5、步驟是通過施密特正交化過程來求解，但此方法較為復(fù)雜，下面介紹用解一 些齊次線性方程組的方法來化實二次型為標準形 定理2.1設(shè)A為n n階矩陣，秩A r,且人n列初等變換Bn nQn(n 1)其中En*R(n 1)B是秩為r的列滿秩矩陣，則矩陣P所含n r個列向量就是齊次線性方程組 AX 0的一 個基礎(chǔ)解系.證明：Q秩A r存在可逆的n級矩陣PP2L L FS使ARP2L L FSBn*r,0，其中Bn*r是秩為r的列滿秩矩陣同理：EnPPzL L PsEn*r ,En*（n r），其中E.*r表示秩為r的每一列有且只有兒糸為1的列滿秩矩陣，En*（n r）表示秩為n r的每一列有且只有一元素為

6、1的列滿秩矩陣An*nPP2L L PSEnBn nQn n0，其中 Qn n En r ， R n En (n r) Pn (n 1)由于AX 0的解向量個數(shù)為nr，而Pn （n r）為秩為n r的列滿秩矩陣再由初等變換原理易知:矩陣P所含n r個列向量就是齊次線性方程組 AX 0的一個基礎(chǔ)解系.定理2.2矩陣A的特征矩陣A經(jīng)列的初等變換可化為下三角的矩陣B ，且B的主對角線上元素的乘積的多項式的根恰為A的所有特征根.此定理證明與定理1.2相仿,故省去.F面探討計算方法:B列初等變換，其中B為下三角矩陣，則BA的主對角線上的全部元素的多項式的全部根恰為矩陣 A的全部特征根，對于矩陣A的每特征

7、根i，若矩陣B中非零向量的列構(gòu)成列滿秩矩陣，那么矩陣P i中和B i中零向量所對應(yīng)的列向量是屬于特征根i的全部線性無關(guān)的特征向量；否則繼續(xù)列初等變換*B i.* i使得B* i中非零向量的列構(gòu)成列滿秩矩陣，那么 P iiP i中和B* i中向量對應(yīng)的列向量是屬于特征根i的全部線性無關(guān)的特征向量.設(shè)所求出的特征向量iiL1匚 S1Lsks，它是一組線性無關(guān)的向量，以,為列向量構(gòu)成矩陣Bij，則BB是一個n階正定矩陣,必與單位矩陣正合同，即存在n階可逆矩陣Q ,使得QBBQ EL L 1即 Q B BQ EL1式說明：對矩陣B B施行一系列的列初等變換，（相應(yīng)的初等矩陣的乘積為 Q）及一系列的行初

8、等變換（相應(yīng)的初等矩陣的乘積為 Q ），可化為單位矩陣;(2)式說明：BQ的列向量組是一個標準正交基，BQ可以通過對矩陣B施行與對矩陣BB所施行的相同的初等變換求出于是得到求正交矩陣的初等變換法B BBQ對bb施行列初等變換對B施行行1初等變換實際上將BB化為E,可先用 _a11分別乘以an所在的行和列使an變成1；再施1以列初等變換把an所在行其他元素化為 0,又施以行初等變換把an所在列的其他元素化為0 ,按此法,依次把a22L丄ann變?yōu)?其它元素變?yōu)?,那么矩陣BQ即為所求的矩陣P,且P AP為對角陣，其中主對角線上元素112&3丄T2 3sks例1求正交矩陣P使PAP為對角陣，其中A解: AE42004200022 8 12210100120222582200101111322矩陣A的特征根為1 2 （二二重）,28.100100100B 1| 12時，有001非零向量的列構(gòu)成滿秩矩陣，對應(yīng)零向量的向量P 10111122011 1 ， 211211 , 1 , 2 , 3是無關(guān)的，以1 ,2 , 3為列向量構(gòu)當2 8時，同法求出對應(yīng)特征向量3成矩陣B,再求出BB于是得:2 303 60BB003B01111112101<2121"67311,63116.32 6!6113200且有P AP 0200 0 81112,6 .