奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)分類匯總(包含公式)(word文檔物超所值)

1、奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)分類匯總（包含公式）1和差倍問題和差問題和倍問題差倍問題已知條件 幾個(gè)數(shù)的和與差 幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍 已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式 (和差 )÷ 2=較小數(shù)較小數(shù)差 =較大數(shù)小學(xué)奧數(shù)很簡(jiǎn)單，就這30 個(gè)知識(shí)點(diǎn)和較小數(shù) =較大數(shù) (和差 )÷ 2=較大數(shù)較大數(shù)差 =較小數(shù)和較大數(shù) =較小數(shù)和÷ (倍數(shù) 1)= 小數(shù)小數(shù) × 倍數(shù) =大數(shù)和小數(shù) =大數(shù)差÷ (倍數(shù) -1)= 小數(shù)小數(shù) × 倍數(shù) =大數(shù)小數(shù)差 =大數(shù)關(guān)鍵問題 求出同一條件下的和與差 和與倍數(shù) 差與倍數(shù)2年齡問題的三個(gè)基本特征：兩個(gè)人的

2、年齡差是不變的；兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；3歸一問題的基本特點(diǎn)：?jiǎn)栴}中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“照這樣的速度” 等詞語來表示。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；“單一量 ”，題目一般用4植樹問題基本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹 封閉曲線上植樹基本公式 棵數(shù) =段數(shù) 1棵距 × 段數(shù) =總長(zhǎng)棵數(shù) =段數(shù) 1棵距 × 段數(shù) =總長(zhǎng)棵數(shù) =段數(shù)棵距 × 段數(shù) =總長(zhǎng)關(guān)鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5雞

3、兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來；基本思路：假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑喊阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)（兔腳數(shù)× 總頭數(shù)總腳數(shù)）÷ （兔腳數(shù)雞腳數(shù)）把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)（總腳數(shù)一雞腳數(shù)× 總頭數(shù)） ÷ （兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6盈虧問題基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照

4、另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭炕舅悸罚合葘煞N分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量基本題型：一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)（余數(shù)不足數(shù)）÷ 兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都不足；基本公式：總份數(shù)（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)） ÷ 兩次每份數(shù)的差基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。7牛吃草問題基本思路：假設(shè)每頭牛

5、吃草的速度為 “1” 份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量?；咎攸c(diǎn)：原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量?；竟剑荷L(zhǎng)量 =（較長(zhǎng)時(shí)間 × 長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù) -較短時(shí)間 × 短時(shí)間牛頭數(shù)） ÷ （長(zhǎng)時(shí)間 -短時(shí)間）；總草量 =較長(zhǎng)時(shí)間 ×長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù) -較長(zhǎng)時(shí)間 × 生長(zhǎng)量；8周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫周期。關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏 年：一年有 366 天；年份能被 4 整

6、除；如果年份能被100 整除，則年份必須能被400 整除；平 年：一年有 365 天。年份不能被 4 整除；如果年份能被100 整除，但不能被400 整除；9平均數(shù)基本公式：平均數(shù)=總數(shù)量 ÷ 總份數(shù)總數(shù)量 =平均數(shù) × 總份數(shù)總份數(shù) =總數(shù)量 ÷ 平均數(shù)平均數(shù) =基準(zhǔn)數(shù)每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)基本算法：求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進(jìn)行計(jì)算 . 基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和

7、基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式。10抽屜原理抽屜原則一：如果把（n+1 ）個(gè)物體放在n 個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2 個(gè)物體。例：把 4 個(gè)物體放在3 個(gè)抽屜里，也就是把4 分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況： 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2 個(gè)或多于 2 個(gè)物體，也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有2 個(gè)物體。抽屜原則二：如果把n 個(gè)物體放在m 個(gè)抽屜里，其中n>m，那么必有一個(gè)抽屜至少有:k=n/m +1個(gè)物體：當(dāng)n 不能被 m 整除時(shí)。 k=n/m 個(gè)

8、物體：當(dāng) n 能被 m 整除時(shí)。理解知識(shí)點(diǎn)： X 表示不超過 X 的最大整數(shù)。例4.351=4 ； 0.321=0 ； 2.9999=2 ；關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。12數(shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉?xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1 表示；項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n 表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d 表示；通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an 表示；數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn 表示基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1 ,

9、an, d, n,sn,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。11定義新運(yùn)算基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算?；舅悸罚簢?yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。12數(shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉?xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，

10、一般用 a1 表示；項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用 n 表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用 d 表示；通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用 an 表示；數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用 Sn 表示基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1 ,an, d, n,sn,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)?；竟剑和?xiàng)公式：an = a1+（ n 1）d；通項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)一1)公差；數(shù)列和公式： sn,= (a1+ an)n2；數(shù)列和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2；項(xiàng)數(shù)公式： n= (an+ a1)d 1；項(xiàng)數(shù) =（

11、末項(xiàng) -首項(xiàng)）公差1；公差公式： d = （ ana1）（ n1）；公差 =（末項(xiàng)首項(xiàng)） （項(xiàng)數(shù) 1）；關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；13二進(jìn)制及其應(yīng)用十進(jìn)制：用0 9 十個(gè)數(shù)字表示，逢10 進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的 2 表示 20，百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2102+310+4 。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100注意： N0= ； N =N （其中 N 是任意自然數(shù)）二進(jìn)制：用0 1 兩個(gè)數(shù)字表示，逢2

12、 進(jìn) 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。（ 2） = An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+A322+A221+A120注意： An 不是 0 就是 1。十進(jìn)制化成二進(jìn)制：根據(jù)二進(jìn)制滿 2 進(jìn) 1 的特點(diǎn)，用 2 連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為 0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。先找出不大于該數(shù)的2 的 n 次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2 的n 次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。14加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有n 類方法，在第一類方法中有m1 種不同方法，在第二

13、類方法中有m2 種不同方法，在第 n 類方法中有mn 種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有： m1+ m2. +mn 種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法。基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n 個(gè)步驟進(jìn)行，做第1 步有 m1 種方法，不管第1步用哪一種方法，第2 步總有 m2 種方法不管前面n-1 步用哪種方法，第n 步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1× m2. × mn 種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟?；咎卣鳎好恳徊街荒芡瓿扇蝿?wù)的一部分。直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。直線特點(diǎn)：沒有端

14、點(diǎn)，沒有長(zhǎng)度。線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。射線：把直線的一端無限延長(zhǎng)。射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒有長(zhǎng)度。數(shù)線段規(guī)律：總數(shù) 1+2+3+ +（點(diǎn)數(shù)一 1）；數(shù)角規(guī)律 =1+2+3+ +（射線數(shù)一 1）；數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù) =長(zhǎng)的線段數(shù) ×寬的線段數(shù)：數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù) =1×1+2 × 2+3 ×3+ +行數(shù) × 列數(shù)15質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1 和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1 和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約

15、數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N= ，其中 a1、a2、 a3an 都是合數(shù) N 的質(zhì)因數(shù)，且a1<a2<a3<<an。求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(r1+1) × (r2+1) × (r3+1) × × (rn+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a 能夠被 b 整除， a 叫做 b 的倍數(shù)， b 就叫做 a 的約數(shù)。公約數(shù)：

16、幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、 幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。2、 幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。3、 幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、 幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù) m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如： 12 的約數(shù)有1、 2、 3、4、 6、 12；18 的約數(shù)有： 1、 2、 3、 6、9、 18；那么 12 和 18 的公約數(shù)有： 1、 2、 3、6；那么 12 和 18 最大的公約數(shù)是： 6，記作（ 12，18） =6；求最大公約數(shù)基本方法：

17、1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。12 的倍數(shù)有： 12、24、 36、48；18 的倍數(shù)有： 18、36、 54、72；那么 12和 18的公倍數(shù)有：36、 72、 108；那么 12和 18最小的公倍數(shù)是36，記作 12 ， 18=36 ；最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘

18、積。求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法17數(shù)的整除一、基本概念和符號(hào)：1、整除：如果一個(gè)整數(shù) a，除以一個(gè)自然數(shù) b，得到一個(gè)整數(shù)商 c，而且沒有余數(shù)，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，記作 b|a。2、常用符號(hào)：整除符號(hào) “ |”，不能整除符號(hào) “”；因?yàn)榉?hào)“” ，所以的符號(hào)“” ；二、整除判斷方法：1.能被 2、5 整除：末位上的數(shù)字能被2、 5 整除。2.能被 4、25 整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、 25 整除。3.能被 8、125 整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125 整除。4.能被 3、9 整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、

19、 9 整除。5.能被 7 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2 倍后能被 7 整除。6.能被 11 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11 整除。奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11 整除。7.能被 13 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9 倍后能被 13 整除。三、整除的性質(zhì)：1. 如果 a、b 能被 c 整除，那么（ a+b）與（ a-b）也能被

20、c 整除。2. 如果 a 能被 b 整除， c 是整數(shù)，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3. 如果 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。4. 如果 a 能被 b、 c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍數(shù)整除。18余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對(duì)任意自然數(shù) a、b、 q、 r，如果使得 a÷b=q r ，且 0<r<b, 那么 r 叫做 a 除以 b 的余數(shù)， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：余數(shù)小于除數(shù)。若 a、 b 除以 c 的余數(shù)相同，則 a 與 b 的和除以 c 的余數(shù)等于a 與 b 的積除以 c 的余

21、數(shù)等于19余數(shù)、同余與周期一、同余的定義：c|a-b 或 c|b-a。a 除以 c 的余數(shù)加上b 除以 c 的余數(shù)的和除以c 的余數(shù)。a 除以 c 的余數(shù)與 b 除以 c 的余數(shù)的積除以c 的余數(shù)。若兩個(gè)整數(shù)a、 b 除以 m 的余數(shù)相同，則稱a、 b 對(duì)于模 m 同余。已知三個(gè)整數(shù)a、b、 m，如果 m|a-b，就稱 a、 b 對(duì)于模 m 同余，記作a b(modm)，讀作 a 同余于 b 模 m。二、同余的性質(zhì)：自身性： a a(mod m) ；對(duì)稱性：若a b(mod m) ，則 ba(mod m) ；傳遞性：若a b(mod m) ， b c(mod m) ，則 a c(mod m)和

22、差性：若a b(mod m) ， c d(mod m) ，則 a+cb+d(mod m) ，a-cb-d(mod m) ；相乘性：若 a b(mod m) ， c d(mod m) ，則 a× c b× d(mod m) ；乘方性：若 a b(mod m) ，則 anbn(mod m) ；同倍性 :若 a b(mod m) ，整數(shù) c，則 a× c b×c(mod m × c)；三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：若 A=a × b，則 MA=Ma × b= （ Ma） b若 B=c+d 則 MB=Mc+d=Mc×Md四、被

23、3、9、 11 除后的余數(shù)特征：一個(gè)自然數(shù) M ， n 表示 M 的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M n(mod 9) 或（ mod 3）；一個(gè)自然數(shù) M ， X 表示 M 的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y 表示 M 的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則 M Y-X 或 M 11-（X-Y ） (mod 11) ；五、費(fèi)爾馬小定理：如果p 是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)） ， a 是自然數(shù)，且 a 不能被 p 整除，則 ap-1 1(mod p) 。20分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用基本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位 “ 1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0 除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單

24、位：把單位 “1” 平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)

25、量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A 、分量發(fā)生變化，總量不變。B 、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。21分?jǐn)?shù)大小的比較基本方法：通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。分子和分

26、母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律）轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1 進(jìn)行比較。大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0 比較。倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。22分?jǐn)?shù)拆分一、將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式： =+ ；=+ （ d 為自然數(shù)）；23完全平方數(shù)完全平方

27、數(shù)特征：1. 末位數(shù)字只能是： 0、 1、4、 5、 6、9；反之不成立。2. 除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3. 除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4. 約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。6. 奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。7. 兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式： X2-Y2= （X-Y ）（ X+Y ）完全平方和公式：（ X+Y ） 2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y ） 2=X2-2XY+Y224比和比例比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。比值：

28、比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d 或比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積(交叉相乘 )， ad=bc。正比例：若A 擴(kuò)大或縮小幾倍，B 也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB 的商不變時(shí)），則比。反比例：若A 擴(kuò)大或縮小幾倍，B 也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB 的積不變時(shí)），則比。A 與 A 與B 成正B 成反比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25綜合行程基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系.基本

29、公式：路程 =速度 × 時(shí)間；路程 ÷時(shí)間 =速度；路程 ÷ 速度 =時(shí)間關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動(dòng)過程中的位置和方向。相遇問題：速度和×相遇時(shí)間 =相遇路程（請(qǐng)寫出其他公式）追及問題：追及時(shí)間路程差÷ 速度差（寫出其他公式）流水問題：順?biāo)谐?（船速 +水速） × 順?biāo)畷r(shí)間逆水行程 =（船速 -水速） × 逆水時(shí)間順?biāo)俣?=船速 +水速逆水速度 =船速 -水速靜水速度 =（順?biāo)俣?+逆水速度） ÷ 2水 速 =（順?biāo)俣?-逆水速度） ÷ 2流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。過橋問題：關(guān)鍵

30、是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程） 、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間） 、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。26工程問題基本公式：工作總量 =工作效率 × 工作時(shí)間工作效率 =工作總量 ÷ 工作時(shí)間工作時(shí)間 =工作總量 ÷ 工作效率基本思路：假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)） ；假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)）上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間.關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。經(jīng)驗(yàn)簡(jiǎn)評(píng)：合久必分，分久必合。，利用27邏輯推理基本方法簡(jiǎn)介：條件分析 假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)