冪函數(shù)圖像與性質

1、問題引入問題引入(1) 如果張紅購買了每千克如果張紅購買了每千克1元的蔬菜元的蔬菜w千克千克,那么她需那么她需要支付要支付p= 元元(2) 如果正方形的邊長為如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積那么正方形的面積 (3) 如果立方體的邊長為如果立方體的邊長為a,那么立方體的體積那么立方體的體積 (4)如果一個正方形場地的面積為如果一個正方形場地的面積為S,那么這個正方形的那么這個正方形的邊長邊長 (5)如果人如果人t s內(nèi)騎車行進了內(nèi)騎車行進了1 km,那么他騎車的平均速那么他騎車的平均速度度 S我們先看幾個具體問題我們先看幾個具體問題: Vxy 21xy 1 xyw2a3a a21SskmV

2、/ 1 t2xy 3xy 一般地，函數(shù) 叫做冪函數(shù)(power function) ，其中x為自變量，為常數(shù)。xy 冪函數(shù)的定義：冪函數(shù)的定義：注意：注意：（1 1）冪函數(shù)的解析式必須是冪函數(shù)的解析式必須是 的形式，的形式， 前的系數(shù)必須是前的系數(shù)必須是1 1，沒有其它項。，沒有其它項。xy x（2 2）定義域與）定義域與 的值有關系的值有關系. . 式子式子 名稱名稱常數(shù)常數(shù) x y指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù): y=a x（a0且且a1) 冪函數(shù)冪函數(shù): y= x a為底數(shù)底數(shù)指數(shù)指數(shù)為指數(shù)指數(shù)底數(shù)底數(shù)冪值冪值冪值冪值判斷一個函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)切入點判斷一個函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)切入點看未知數(shù)

3、看未知數(shù)x是是指數(shù)指數(shù)還是還是底數(shù)底數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)函數(shù)函數(shù)冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對比：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對比：xy2.0 xy521xy 1 xy（指數(shù)函數(shù)）（指數(shù)函數(shù)）（冪函數(shù)）（冪函數(shù)）（指數(shù)函數(shù)）（指數(shù)函數(shù)）（冪函數(shù)）（冪函數(shù)）快速反應快速反應xy 3（指數(shù)函數(shù)）（指數(shù)函數(shù)）5xy （冪函數(shù)）（冪函數(shù)）冪函數(shù)的圖象及性質冪函數(shù)的圖象及性質 五個常用冪函數(shù)的圖像和性質 (1) (2) (3) (4) (5)21xy 2xy 1 xy3xy xy 21定義域：定義域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：單調性：單調性：RR上是奇函數(shù)在R上是增函數(shù)在Rxy 函數(shù)函數(shù) 的圖像的圖像定義域：定義域：值值 域

4、：域：奇偶性：奇偶性：單調性：單調性：R), 0 上是偶函數(shù)在R上是增函數(shù)在), 0 上是減函數(shù)在0 ,(函數(shù)函數(shù) 的圖像的圖像2xy 定義域：定義域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：單調性：單調性：0 xx上是奇函數(shù)在0 xx上是減函數(shù)在), 0(上是減函數(shù)在)0 ,(0yy函數(shù)函數(shù) 的圖像的圖像1 xyx-2-101234y=x3y=x1/2-8-10182723010 xy1234-1-2-32468-2-4-6-8y=x3/6421x定義域：定義域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：單調性：單調性：RR上是奇函數(shù)在R上是增函數(shù)在R函數(shù)函數(shù) 的圖像的圖像3xy 定義域：定義域：值值 域：域：奇

5、偶性：奇偶性：單調性：單調性：), 0 非奇非偶函數(shù)上是增函數(shù)在), 0 ), 0 函數(shù)函數(shù) 的圖像的圖像21xy 21xy 冪函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調性，隨常冪函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調性，隨常數(shù)數(shù)取值的不同而不同取值的不同而不同. .y= x3定義域定義域值值 域域單調性單調性公共點公共點y = xRRR0，+）R0，+）R0，+）奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶非奇非偶函數(shù)函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)在在R R上上是增函是增函數(shù)數(shù)在（在（,0上是減函上是減函數(shù)，在數(shù)，在(0, +）上是）上是增函數(shù)增函數(shù)在在R上上是增函是增函數(shù)數(shù)在在(0，+)上是增函數(shù)上是增函數(shù)在在( ,0

6、)，(0, +）上是）上是減函數(shù)減函數(shù)（1，1）奇偶性奇偶性y = x21 xy0， （0，+ ）0， （0，+ ）4321-1-2-3-4-22462y x3yx(1,1)(2,4)(-2,4)(-1,1)(-1,-1)12yx1 xy4321-1-2-3-4-6-4-2246y= x-1y= x12y= x3y= x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)2、在第一象限內(nèi)，、在第一象限內(nèi)， 0,0,在在(0,+)(0,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù); ; 0,0,在在(0,+)(0,+)上為減函數(shù)上為減函數(shù). .1 1、所有冪函數(shù)在、所有冪函數(shù)在(0(0，+)

7、+)上都有定義，并且圖象上都有定義，并且圖象都通過點都通過點(1,1).(1,1).3 3、為奇數(shù)時為奇數(shù)時, ,冪函數(shù)為奇冪函數(shù)為奇函數(shù)函數(shù), , 為偶數(shù)時為偶數(shù)時, ,冪函數(shù)為偶冪函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù). .練習：利用單調性判斷下列各值的大小。練習：利用單調性判斷下列各值的大小。（1）5.20.8 與與 5.30.8 （2）0.20.3 與與 0.30.3 (3) 2.5-25與 2.7-25解解:(1)y= x0.8在在(0,)內(nèi)是增函數(shù)內(nèi)是增函數(shù), 5.25.3 5.20.8 5.30.8 (2)y=x0.3在在(0,)內(nèi)是增函數(shù)內(nèi)是增函數(shù)0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x

8、-2/5在在(0,)內(nèi)是減函數(shù)內(nèi)是減函數(shù)2.52.7-2/5則則且且任任取取證證明明,),0,:2121xxxx 2121)()(xxxfxf2121xxxx ,0,0,0212121 xxxxxx所所以以因因為為.),0)()()(21上上的的增增函函數(shù)數(shù)在在即即冪冪函函數(shù)數(shù)所所以以 xxfxfxf212121)(xxxxxx.), 0)(. 1上是增函數(shù)在證明冪函數(shù)例xxf例例2 2：101a=1小結：小結： 冪函數(shù)的性質冪函數(shù)的性質: :.所有冪函數(shù)的圖象都通過點所有冪函數(shù)的圖象都通過點(1,1(1,1);冪函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調性，冪函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調性，隨常數(shù)隨常數(shù)取值的不同而不同取值的不同而不同. .如果如果0,0,則冪函數(shù)則冪函數(shù)在在(0,+)(0,+)上為減函數(shù)。上為減函數(shù)。 0,0,則冪函數(shù)則冪函數(shù) 在在(0,+)(0,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù); ;2.