導(dǎo)數(shù)與微分[2]

1、導(dǎo)數(shù)與微分最新3.4 隱函數(shù)微分法隱函數(shù)微分法 一、隱函數(shù)求導(dǎo)法一、隱函數(shù)求導(dǎo)法 二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 三、小結(jié)三、小結(jié)導(dǎo)數(shù)與微分最新一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).013決決定定了了一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系方方程程 yx隱函數(shù)隱函數(shù)31xy 隱函數(shù)顯化隱函數(shù)顯化顯函數(shù)顯函數(shù)0333 axyyx1 xeyxy導(dǎo)數(shù)與微分最新定義定義: :.)(稱稱為為隱隱函函數(shù)數(shù)由由方方程程所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)xyy .)(形形式式稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法

2、則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).導(dǎo)數(shù)與微分最新例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 導(dǎo)數(shù)與微分最新例例2 2.,)23,23(,333線線通通過過原原點(diǎn)點(diǎn)在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程點(diǎn)點(diǎn)上上求求過過的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線CCxyyxC 解解,求導(dǎo)求

3、導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點(diǎn)顯然通過原點(diǎn).導(dǎo)數(shù)與微分最新例例3 3.)1 , 0(, 144處處的的值值在在點(diǎn)點(diǎn)求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解求求導(dǎo)導(dǎo)得得方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì)x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求求導(dǎo)導(dǎo)得得兩兩邊邊再再對(duì)對(duì)將將方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16110 yxy看

4、書：看書：P.89:例例1，例，例2導(dǎo)數(shù)與微分最新.4323232為為常常數(shù)數(shù)兩兩坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸之之間間的的線線段段長(zhǎng)長(zhǎng)上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線介介于于證證明明：曲曲線線ayx 例例, 0323233 yyx解解.3xyy .| ),(300),(0000 xyyyxyx 為為曲曲線線上上的的任任一一點(diǎn)點(diǎn)，有有設(shè)設(shè)過該點(diǎn)的切線方程為過該點(diǎn)的切線方程為),(03000 xxxyyy 03100310310310yxxyyxxy 或或.32313100ayxyayxax或或?qū)?shù)與微分最新.4323232為為常常數(shù)數(shù)兩兩坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸之之間間的的線線段段長(zhǎng)長(zhǎng)上上任任意意

5、一一點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線介介于于證證明明：曲曲線線ayx 例yayxax.3103231032yaxayx和和軸軸上上的的截截距距分分別別是是軸軸和和切切線線在在231032231032)()(:yaxa 的的線線段段長(zhǎng)長(zhǎng)為為切切線線介介于于兩兩坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸之之間間. a 為一常數(shù)為一常數(shù).導(dǎo)數(shù)與微分最新323232ayx 附附錄錄：曲曲線線 taytax33sincos其參數(shù)方程為其參數(shù)方程為稱為稱為星形線星形線或或內(nèi)擺線內(nèi)擺線.練習(xí)：練習(xí)：P.98:17(1)(3)., 1)1(1722dxdyyxyx 022 yyxyyx.22yxyxy 導(dǎo)數(shù)與微分最新., 1)3

6、(1722dxyddxdyyx , 0221 yyx.xyy )(xydxdy xxyyyx212 xxyyxyx2 xxyx2 .21xx 導(dǎo)數(shù)與微分最新二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu導(dǎo)數(shù)與微分最新例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取

7、對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)導(dǎo)數(shù)與微分最新例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì)xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 導(dǎo)數(shù)與微分最新一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(l

8、n)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 導(dǎo)數(shù)與微分最新練習(xí)：練習(xí)：P.98:18(1)(3)(5).1312ln)1(3 xxxy)13ln(31)12ln(21ln xxxxxy1311211 xxxxxy)(ln)3( )ln(ln xxe )1ln1)(ln(ln)ln(lnxxxxeyxx ).ln1)(ln(ln)(lnxxxx )ln(lnlnxxy 又又解解：兩邊對(duì)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，求導(dǎo)，xxxxyy1ln1)ln(ln 導(dǎo)數(shù)與微分最新xxxxy1)5( xxxxeelnln 2lnlnln1)1(lnxxxxexxxeyxxxx ).ln1()1(ln21xxxxxx 作業(yè)：作業(yè)：P.98:17(2)(4),18(2)(4)(5)(6)導(dǎo)數(shù)與微分最新三、小結(jié)三、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo);對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法: : 對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù),按隱函數(shù)的求按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)導(dǎo)法則求導(dǎo);導(dǎo)數(shù)與微分最新練練 習(xí)習(xí) 題題導(dǎo)數(shù)與微分最新二二、 求求下下列列方方程程所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù) y y 的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)22dxyd：1 1、 yxey 1；2 2、