初二軸對稱圖形難題總結(jié)(共32頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初二軸對稱圖形難題總結(jié)如圖（a），點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B，連接A B與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b），已知，O的直徑CD為4，點(diǎn)A 在O 上，ACD=30°，B 為弧AD 的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動點(diǎn)，則BP+AP的最小值為_（2）知識拓展：如圖（c），在RtABC中，AB=10，BAC=45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程2（1）觀察發(fā)現(xiàn) 如圖（1）：若點(diǎn)A、B在直線

2、m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B，連接AB，與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB的長度即為AP+BP的最小值 如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為_ （2）實(shí)踐運(yùn)用 如圖（3）：已知O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為_ （3）拓展延伸如圖

3、（4）：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M，點(diǎn)N，使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法如圖（1），要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問題的正確辦法他把管道l看成一條直線（圖（2），問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點(diǎn)P，使AP與BP的和最小他的做法是這樣的：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B連接AB交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求請你參考小華的做法解決下列問題如圖在ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，BC=6，BC邊上

4、的高為4，請你在BC邊上確定一點(diǎn)P，使PDE得周長最小（1）在圖中作出點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）請直接寫出PDE周長的最小值：_4（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'，連接AB'，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為_（2）實(shí)踐運(yùn)用：如（c）圖，已知O的直徑C

5、D為4，AOD的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點(diǎn)P，使APB=APD保留作圖痕跡，不必寫出作法5幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A，連接AB交l于點(diǎn)P，則PA+PB=AB的值最小（不必證明）模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動點(diǎn)連接BD，由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是

6、_；（2）如圖2，O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在O上，OAOB，AOC=60°，P是OB上一動點(diǎn)，求PA+PC的最小值；（3）如圖3，AOB=45°，P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點(diǎn)，求PQR周長的最小值6如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，3），B（4，1）（1）若P（p，0）是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，則當(dāng)p=_時(shí)，PAB的周長最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個(gè)動點(diǎn)，則當(dāng)a=_時(shí)，四邊形ABDC的周長最短；（3）設(shè)M，N分別為x軸和y軸上的動點(diǎn)，請問：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0）、N（0，n），使四邊形ABM

7、N的周長最短？若存在，請求出m=_，n=_（不必寫解答過程）；若不存在，請說明理由7需要在高速公路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場，使飛機(jī)場到A，B兩個(gè)城市的距離之和最小，請作出機(jī)場的位置8如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個(gè)新開發(fā)區(qū)A，B，已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角AON=30°，新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米（1）新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為_；（2）現(xiàn)要在MN上某點(diǎn)P處向新開發(fā)區(qū)A，B修兩條公路PA，PB，使點(diǎn)P到新開發(fā)區(qū)A，B的距離之和最短此時(shí)PA+PB=_（千米）9.如圖：（1）若把圖中小人平移，使點(diǎn)A平移到點(diǎn)B，請你在圖中畫出平移后的小人；（2）若圖中小

8、人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上點(diǎn)P處喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，試在圖中畫出點(diǎn)P的位置10如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形ABB1A1的對稱軸為y軸（1）請畫出：點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)A2、B2（應(yīng)保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明）；（2）連接A1A2、B1B2（其中A2、B2為（1）中所畫的點(diǎn)），試證明：x軸垂直平分線段A1A2、B1B2；（3）設(shè)線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4）、B（4，2），連接（1）中A2B2，試問在x軸上是否存在點(diǎn)C，使A1B1C與A2B2C的周長之和最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)（不必說明周長之和最小的理由）；若不存在，請說明理由11

9、某大型農(nóng)場擬在公路L旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲藏、加工廠，將該農(nóng)場兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進(jìn)行儲藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益請你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置C，使A、B兩地到加工廠C的運(yùn)輸路程之和最短（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）12閱讀理解如圖1，ABC中，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，BAC是ABC的好角小麗展示了確定BAC是ABC的好角的兩種情形情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角BAC

10、的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合探究發(fā)現(xiàn)（1）ABC中，B=2C，經(jīng)過兩次折疊，BAC是不是ABC的好角？_（填“是”或“不是”）（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了BAC是ABC的好角，請?zhí)骄緽與C（不妨設(shè)BC）之間的等量關(guān)系根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊BAC是ABC的好角，則B與C（不妨設(shè)BC）之間的等量關(guān)系為_應(yīng)用提升（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15°、60°、105°，發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個(gè)角都是此三角

11、形的好角請你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角13如圖，ABC中AB=AC，BC=6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點(diǎn)P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長；（2）如圖，過點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由；14（2012東城區(qū)二模）已知：等邊ABC中，點(diǎn)O是邊AC，BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M，N分別在直線AC，BC上，且MON=60&#

12、176;（1）如圖1，當(dāng)CM=CN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，請寫出AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)CMCN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在BC 的延長線上時(shí)，請直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系15如圖，線段CD垂直平分線段AB，CA的延長線交BD的延長線于E，CB的延長線交AD的延長線于F，求證：DE=DF16如圖，在ABC和DCB中，AB=DC，AC=DB，AC與DB交于點(diǎn)M求證：（1）ABCDCB；（2）點(diǎn)M在BC的垂直平分線上17如圖，

13、ABC的邊BC的垂直平分線DE交BAC的外角平分線AD于D，E為垂足，DFAB于F，且ABAC，求證：BF=AC+AF18已知ABC的角平分線AP與邊BC的垂直平分線PM相交于點(diǎn)P，作PKAB，PLAC，垂足分別是K、L，求證：BK=CL19某私營企業(yè)要修建一個(gè)加油站，如圖，其設(shè)計(jì)要求是，加油站到兩村A、B的距離必須相等，且到兩條公路m、n的距離也必須相等，那么加油站應(yīng)修在什么位置，在圖上標(biāo)出它的位置（要有作圖痕跡）20如圖，在ABC中，AB=AC，A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分線MN交BC于M，交AB于N，求BM的長21如圖，在ABC中，BAC的平分線與BC的垂直平分線

14、PQ相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作PNAB于N，PMAC于點(diǎn)M，求證：BN=CM22如圖己知在ABC中，C=90°，B=15°，DE垂直平分AB，E為垂足交BC于D，BD=16cm，求AC長參考答案與試題解析一解答題（共22小題）1（2013日照）問題背景：如圖（a），點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B，連接A B與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b），已知，O的直徑CD為4，點(diǎn)A 在O 上，ACD=30°，B 為弧AD 的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動點(diǎn)，則BP+AP的最小值為2（2

15、）知識拓展：如圖（c），在RtABC中，AB=10，BAC=45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題分析：（1）找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和MN的交點(diǎn)P就是所求作的位置根據(jù)題意先求出CAE，再根據(jù)勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜邊AC上截取AB=AB，連結(jié)BB，再過點(diǎn)B作BFAB，垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE，則線段BF的長即為所求解答：解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)P此時(shí)PA+PB最小，且等于AE作直

16、徑AC，連接CE根據(jù)垂徑定理得弧BD=弧DEACD=30°，AOD=60°，DOE=30°，AOE=90°，CAE=45°，又AC為圓的直徑，AEC=90°，C=CAE=45°，CE=AE=AC=2，即AP+BP的最小值是2故答案為：2；（2）如圖，在斜邊AC上截取AB=AB，連結(jié)BBAD平分BAC，點(diǎn)B與點(diǎn)B關(guān)于直線AD對稱過點(diǎn)B作BFAB，垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE，則線段BF的長即為所求（點(diǎn)到直線的距離最短） 在RtAFB中，BAC=45°，AB=AB=10，BF=ABsin45°=ABsin4

17、5°=10×=5，BE+EF的最小值為點(diǎn)評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知得出對應(yīng)點(diǎn)P位置是解題關(guān)鍵2（2013六盤水）（1）觀察發(fā)現(xiàn) 如圖（1）：若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B，連接AB，與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB的長度即為AP+BP的最小值 如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P

18、，故BP+PE的最小值為 （2）實(shí)踐運(yùn)用 如圖（3）：已知O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為 （3）拓展延伸如圖（4）：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M，點(diǎn)N，使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法考點(diǎn)：圓的綜合題；軸對稱-最短路線問題專題：壓軸題分析：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長為BP+PE的最小值；由AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CEAB，BCE=BCA=30°，BE=1，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的

19、關(guān)系得CE=；（2）實(shí)踐運(yùn)用：過B點(diǎn)作弦BECD，連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB，根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對稱，則AE的長就是BP+AP的最小值；由于的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)得到BOC=30°，AOC=60°，所以AOE=60°+30°=90°，于是可判斷OAE為等腰直角三角形，則AE=OA=；（3）拓展延伸：分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB和BC的對稱點(diǎn)E和F，然后連結(jié)EF，EF交AB于M、交BC于N解答：解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（2），CE的長為BP+PE的最小值，在等邊三角形ABC中，AB=2，

20、點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)CEAB，BCE=BCA=30°，BE=1，CE=BE=；故答案為；（2）實(shí)踐運(yùn)用如圖（3），過B點(diǎn)作弦BECD，連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB，BECD，CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對稱，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，BOC=30°，AOC=60°，EOC=30°，AOE=60°+30°=90°，OA=OE=1，AE=OA=，AE的長就是BP+AP的最小值故答案為；（3）拓展延伸如圖（4）點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中

21、經(jīng)常用到，同時(shí)熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱最短路徑問題3（2012涼山州）在學(xué)習(xí)軸對稱的時(shí)候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題如圖（1），要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問題的正確辦法他把管道l看成一條直線（圖（2），問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點(diǎn)P，使AP與BP的和最小他的做法是這樣的：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B連接AB交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求請你參考小華的做法解決下列問題如圖在ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，BC=6，

22、BC邊上的高為4，請你在BC邊上確定一點(diǎn)P，使PDE得周長最?。?）在圖中作出點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）請直接寫出PDE周長的最小值：8考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題專題：壓軸題分析：（1）根據(jù)提供材料DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作D點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D，連接DE，與BC交于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求；（2）利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出DE的值，即可得出答案解答：解：（1）作D點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D，連接DE，與BC交于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求；（2）點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，DE為ABC中位線，BC=6，BC邊上的高為4，DE=3，DD=4，DE=5，PDE周長的最小值為：DE

23、+DE=3+5=8，故答案為：8點(diǎn)評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑以及三角形中位線的知識，根據(jù)已知得出要求PDE周長的最小值，求出DP+PE的最小值即可是解題關(guān)鍵4（2010淮安）（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'，連接AB'，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值

24、為（2）實(shí)踐運(yùn)用：如（c）圖，已知O的直徑CD為4，AOD的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點(diǎn)P，使APB=APD保留作圖痕跡，不必寫出作法考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題分析：（1）首先由等邊三角形的性質(zhì)知，CEAB，在直角BCE中，BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的長度，從而得出結(jié)果；（2）要在直徑CD上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，設(shè)A是A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，連接AB，與CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P此時(shí)PA+PB=AB是最小值，可證OAB是

25、等腰直角三角形，從而得出結(jié)果（3）畫點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B，延長DB交AC于點(diǎn)P則點(diǎn)P即為所求解答：解：（1）BP+PE的最小值=（2）作點(diǎn)A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)A，連接AB，交CD于點(diǎn)P，連接OA，AA，OB點(diǎn)A與A關(guān)于CD對稱，AOD的度數(shù)為60°，AOD=AOD=60°，PA=PA，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，BOD=30°，AOB=AOD+BOD=90°，O的直徑CD為4，OA=OA=2，AB=2PA+PB=PA+PB=AB=2（3）如圖d：首先過點(diǎn)B作BBAC于O，且OB=OB，連接DB并延長交AC于P（由AC是BB的垂直平分線，可得APB=APD）點(diǎn)評：此題主

26、要考查軸對稱最短路線問題，解決此類問題，一般都是運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)，將求折線問題轉(zhuǎn)化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊5（2009漳州）幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A，連接AB交l于點(diǎn)P，則PA+PB=AB的值最?。ú槐刈C明）模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動點(diǎn)連接BD，由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是；（2）如圖2，O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在O上，OAOB，AOC=60&#

27、176;，P是OB上一動點(diǎn)，求PA+PC的最小值；（3）如圖3，AOB=45°，P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點(diǎn)，求PQR周長的最小值考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題專題：壓軸題；動點(diǎn)型分析：（1）由題意易得PB+PE=PD+PE=DE，在ADE中，根據(jù)勾股定理求得即可；（2）作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)A，連接AC，交OB于P，求AC的長，即是PA+PC的最小值；（3）作出點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)M，關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)N，連接MN，它分別與OA，OB的交點(diǎn)Q、R，這時(shí)三角形PEF的周長=MN，只要求MN的長就行了解答：解：（1）四邊形ABCD是正方形，AC垂直平分B

28、D，PB=PD，由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=；（2）作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)A，連接AC，交OB于P，PA+PC的最小值即為AC的長，AOC=60°AOC=120°作ODAC于D，則AOD=60°OA=OA=2AD=；（3）分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)M、N，連接OM、ON、MN，MN交OA、OB于點(diǎn)Q、R，連接PR、PQ，此時(shí)PQR周長的最小值等于MN由軸對稱性質(zhì)可得，OM=ON=OP=10，MOA=POA，NOB=POB，MON=2AOB=2×45°=90°，在RtMON中，MN=1

29、0即PQR周長的最小值等于10點(diǎn)評：此題綜合性較強(qiáng)，主要考查有關(guān)軸對稱最短路線的問題，綜合應(yīng)用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識6（2006湖州）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，3），B（4，1）（1）若P（p，0）是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，則當(dāng)p=時(shí)，PAB的周長最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個(gè)動點(diǎn)，則當(dāng)a=時(shí)，四邊形ABDC的周長最短；（3）設(shè)M，N分別為x軸和y軸上的動點(diǎn)，請問：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0）、N（0，n），使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請求出m=，n=（不必寫解答過程）；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；

30、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)專題：壓軸題分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)出并找到B（4，1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是B'，其坐標(biāo)為（4，1），進(jìn)而可得直線AB'的解析式，進(jìn)而可得答案；（2）過A點(diǎn)作AEx軸于點(diǎn)E，且延長AE，取A'E=AE做點(diǎn)F（1，1），連接A'F利用兩點(diǎn)間的線段最短，可知四邊形ABDC的周長最短等于A'F+CD+AB，從而確定C點(diǎn)的坐標(biāo)值（3）根據(jù)對稱軸的性質(zhì)，可得存在使四邊形ABMN周長最短的點(diǎn)M、N，當(dāng)且僅當(dāng)m=，n=；時(shí)成立解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)B（4，1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是B'，其坐標(biāo)為（4，1），設(shè)直線AB'的解析式為y=kx+b，把A

31、（2，3），B'（4，1）代入得：，解得，y=2x7，令y=0得x=，即p=（2）過A點(diǎn)作AEx軸于點(diǎn)E，且延長AE，取A'E=AE做點(diǎn)F（1，1），連接A'F那么A'（2，3）直線A'F的解析式為，即y=4x5，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），且在直線A'F上，a=（3）存在使四邊形ABMN周長最短的點(diǎn)M、N，作A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A，作B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B，連接AB，與x軸、y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、N，A（2，3），B（4，1），直線AB的解析式為：y=x，M（，0），N（0，）m=，n=點(diǎn)評：考查圖形的軸對稱在實(shí)際中的運(yùn)用，同時(shí)考查了根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線解

32、析式，運(yùn)用解析式求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等知識7（2007慶陽）需要在高速公路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場，使飛機(jī)場到A，B兩個(gè)城市的距離之和最小，請作出機(jī)場的位置考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題專題：作圖題分析：利用軸對稱圖形的性質(zhì)可作點(diǎn)A關(guān)于公路的對稱點(diǎn)A，連接AB，與公路的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置解答：解：點(diǎn)P就是飛機(jī)場所在的位置（5分）點(diǎn)評：本題主要是利用軸對稱圖形來求最短的距離用到的知識：兩點(diǎn)之間線段最短8（2006貴港）如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個(gè)新開發(fā)區(qū)A，B，已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角AON=30°，新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米（1）新開發(fā)區(qū)A到公路M

33、N的距離為8；（2）現(xiàn)要在MN上某點(diǎn)P處向新開發(fā)區(qū)A，B修兩條公路PA，PB，使點(diǎn)P到新開發(fā)區(qū)A，B的距離之和最短此時(shí)PA+PB=14（千米）考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題專題：計(jì)算題；壓軸題分析：（1）先求出OB的長，從而得出OA的長，再根據(jù)三角函數(shù)求得到公路的距離（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=11，再根據(jù)余弦概念求解解答：解：（1）BC=3，AOC=30°，OB=6過點(diǎn)A作AEMN于點(diǎn)E，AO=AB+OB=16，AE=8即新開發(fā)區(qū)A到公路的距離為8千米；（2）過D作DFAE的延長線（點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)），垂足為F則EF=CD=BC=

34、3，AF=AE+EF=AE+BC=11，過B作BGAE于G，BG=DF，BG=ABcos30°=5，連接PB，則PB=PD，PA+PB=PA+PD=AD=14（千米）點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生利用軸對稱的性質(zhì)來綜合解三角形的能力9（2006巴中）如圖：（1）若把圖中小人平移，使點(diǎn)A平移到點(diǎn)B，請你在圖中畫出平移后的小人；（2）若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上點(diǎn)P處喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，試在圖中畫出點(diǎn)P的位置考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；作圖-軸對稱變換；作圖-平移變換專題：作圖題分析：根據(jù)平移的規(guī)律找到點(diǎn)B，再利用軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，找到

35、點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，連接A1B與l相交于點(diǎn)P，即為所求解答：解：點(diǎn)評：本題考查的是平移變換與最短線路問題最短線路問題一般是利用軸對稱的性質(zhì)解題，通過作軸對稱圖形，利用軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短可求出所求的點(diǎn)作平移圖形時(shí)，找關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)也是關(guān)鍵的一步平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離，先確定一組對應(yīng)點(diǎn)；確定圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)；利用第一組對應(yīng)點(diǎn)和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；按原圖形順序依次連接對應(yīng)點(diǎn)，所得到的圖形即為平移后的圖形10（2003泉州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形ABB1A1的對稱軸為y軸（1）請畫出：點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)A2、B2（應(yīng)保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也

36、不必證明）；（2）連接A1A2、B1B2（其中A2、B2為（1）中所畫的點(diǎn)），試證明：x軸垂直平分線段A1A2、B1B2；（3）設(shè)線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4）、B（4，2），連接（1）中A2B2，試問在x軸上是否存在點(diǎn)C，使A1B1C與A2B2C的周長之和最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)（不必說明周長之和最小的理由）；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：作圖-軸對稱變換；線段垂直平分線的性質(zhì)；軸對稱-最短路線問題專題：作圖題；證明題；壓軸題；探究型分析：（1）根據(jù)中心對稱的方法，找點(diǎn)A2，B2，連接即可（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）依題意與（1）可得A1（x1，y1），B1（x2，y2

37、），A2（x1，y1），B2（x2，y2），得到A1、B1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是A2、B2，所以x軸垂直平分線段A1A2、B1B2（3）根據(jù)A1與A2，B1與B2均關(guān)于x軸對稱，連接A2B1交x軸于C，點(diǎn)C為所求的點(diǎn)根據(jù)題意得B1（4，2），A2（2，4）設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b則利用待定系數(shù)法解得，所以可求直線A2B1的解析式為y=3x10令y=0，得x=，所以C的坐標(biāo)為（，0）即點(diǎn)C（，0）能使A1B1C與A2B2C的周長之和最小解答：解：（1）如圖，A2、B2為所求的點(diǎn)（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）依題意與（1）可得A1（x1，y1），B1（x2，y2），A2（x1，

38、y1），B2（x2，y2）A1、B1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是A2、B2，x軸垂直平分線段A1A2、B1B2（3）存在符合題意的C點(diǎn)由（2）知A1與A2，B1與B2均關(guān)于x軸對稱，連接A2B1交x軸于C，點(diǎn)C為所求的點(diǎn)A（2，4），B（4，2）依題意及（1）得：B1（4，2），A2（2，4）設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b則有解得直線A2B1的解析式為y=3x10，令y=0，得x=，C的坐標(biāo)為（，0）綜上所述，點(diǎn)C（，0）能使A1B1C與A2B2C的周長之和最小點(diǎn)評：主要考查了軸對稱的作圖和性質(zhì)，以及垂直平分線的性質(zhì)要知道對稱軸垂直平分對應(yīng)點(diǎn)的連線會根據(jù)此性質(zhì)求得對應(yīng)點(diǎn)利用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解

39、析式是解題的關(guān)鍵11（2001宜昌）某大型農(nóng)場擬在公路L旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲藏、加工廠，將該農(nóng)場兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進(jìn)行儲藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益請你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置C，使A、B兩地到加工廠C的運(yùn)輸路程之和最短（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題專題：作圖題分析：作A關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)E，連接BE交直線L于C，則C為所求解答：答：如圖：點(diǎn)評：本題主要考查對軸對稱最短路線的問題的理解和掌握，根據(jù)題意正確畫出圖形是解此題的關(guān)鍵，12（2012淮安）閱讀理解如圖1，ABC中，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分

40、沿B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，BAC是ABC的好角小麗展示了確定BAC是ABC的好角的兩種情形情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角BAC的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合探究發(fā)現(xiàn)（1）ABC中，B=2C，經(jīng)過兩次折疊，BAC是不是ABC的好角？是（填“是”或“不是”）（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了BAC是ABC的好角，請?zhí)骄緽與C（不妨設(shè)BC）之間的等

41、量關(guān)系根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊BAC是ABC的好角，則B與C（不妨設(shè)BC）之間的等量關(guān)系為B=nC應(yīng)用提升（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15°、60°、105°，發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個(gè)角都是此三角形的好角請你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）專題：壓軸題；規(guī)律型分析：（1）在小麗展示的情形二中，如圖3，根據(jù)根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知B=2C；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知A1A2B2=C+A2B2C

42、=2C；根據(jù)四邊形的外角定理知BAC+2B2C=180°，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知BAC+B+C=180°，由可以求得B=3C；利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：B=nC；（3）利用（2）的結(jié)論知B=nC，BAC是ABC的好角，C=nA，ABC是ABC的好角，A=nB，BCA是ABC的好角；然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個(gè)角的度數(shù)可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°解答：解：（1）ABC中，B=2C，經(jīng)過兩次折疊，BAC是ABC的好角；理由如下：小麗展示的情形二中，如圖3，沿BAC的平分線AB1

43、折疊，B=AA1B1；又將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合，A1B1C=C；AA1B1=C+A1B1C（外角定理），B=2C，BAC是ABC的好角故答案是：是；（2）B=3C；如圖所示，在ABC中，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿B2A2C的平分線A2B3折疊，點(diǎn)B2與點(diǎn)C重合，則BAC是ABC的好角證明如下：根據(jù)折疊的性質(zhì)知，B=AA1B1，C=A2B2C，A1 B1C=A1A2B2，根據(jù)三角形的外角定理知，A1A2B2=C+A2B2C=2C；根據(jù)四邊形的外角定理知，BAC+B+AA

44、1B1A1 B1C=BAC+2B2C=180°，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，BAC+B+C=180°，B=3C；由小麗展示的情形一知，當(dāng)B=C時(shí)，BAC是ABC的好角；由小麗展示的情形二知，當(dāng)B=2C時(shí)，BAC是ABC的好角；由小麗展示的情形三知，當(dāng)B=3C時(shí)，BAC是ABC的好角；故若經(jīng)過n次折疊BAC是ABC的好角，則B與C（不妨設(shè)BC）之間的等量關(guān)系為B=nC；（3）由（2）知設(shè)A=4°，C是好角，B=4n°；A是好角，C=mB=4mn°，其中m、n為正整數(shù)得4+4n+4mn=180如果一個(gè)三角形的最小角是4°，三角形另外兩

45、個(gè)角的度數(shù)是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°點(diǎn)評：本題考查了翻折變換（折疊問題）解答此題時(shí)，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì)難度較大13（2013青羊區(qū)一模）如圖，ABC中AB=AC，BC=6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點(diǎn)P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長；（2）如圖，過點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由；考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；

46、全等三角形的判定與性質(zhì)專題：幾何綜合題；壓軸題；分類討論分析：（1）過點(diǎn)P做PF平行與AQ，由平行我們得出一對同位角和一對內(nèi)錯角的相等，再由AB=AC，根據(jù)等邊對等角得角B和角ACB的相等，根據(jù)等量代換的角B和角PFB的相等，根據(jù)等角對等邊得BP=PF，又因點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同即BP=CQ，等量代換得PF=CQ，在加上對等角的相等，證得三角形PFD和三角形QCD的全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊邊相等得出DF=CD=CF，而又因P是AB的中點(diǎn)，PFAQ得出F是BC的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)已知的BC的長，求出CF，即可得出CD的長（2）分兩種情況討論，第一種情況點(diǎn)P在線段AB上，根據(jù)等腰三角形的三

47、線合一得BE=EF，再又第一問的全等可知DF=CD，所以ED=，得出線段DE的長為定值；第二種情況，P在BA的延長線上，作PM平行于AC交BC的延長線于M，根據(jù)兩直線平行，同位角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角ABC，根據(jù)等量代換得到角ABC等于角PMB，根據(jù)等角對等邊得到PM等于PB，根據(jù)三線合一，得到BE等于EM，同理可得PMD全等于QCD，得到CD等于DM，根據(jù)DE等于EM減DM，把EM換為BC加CM的一半，化簡后得到值為定值解答：解：（1）如圖，過P點(diǎn)作PFAC交BC于F，點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，BP=CQ，PFAQ，PFB=ACB，DPF=CQD，又AB=AC，

48、B=ACB，B=PFB，BP=PF，PF=CQ，又PDF=QDC，證得PFDQCD，DF=CD=CF，又因P是AB的中點(diǎn)，PFAQ，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，即FC=BC=3，CD=CF=；（2）分兩種情況討論，得ED為定值，是不變的線段如圖，如果點(diǎn)P在線段AB上，過點(diǎn)P作PFAC交BC于F，PBF為等腰三角形，PB=PF，BE=EF，PF=CQ，F(xiàn)D=DC，ED=，ED為定值，同理，如圖，若P在BA的延長線上，作PMAC的延長線于M，PMC=ACB，又AB=AC，B=ACB，B=PMC，PM=PB，根據(jù)三線合一得BE=EM，同理可得PMDQCD，所以CD=DM，綜上所述，線段ED的長度保持不變點(diǎn)評：此

49、題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題14（2012東城區(qū)二模）已知：等邊ABC中，點(diǎn)O是邊AC，BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M，N分別在直線AC，BC上，且MON=60°（1）如圖1，當(dāng)CM=CN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，請寫出AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)CMCN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在BC 的延長線上時(shí)，請直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊

50、三角形的性質(zhì)分析：（1）在AM上截取AN=CN，連接ON，OC，OA，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線得出OCN=OAN=30°，OC=OA，證OCNOAN推出ON=ON，CON=AON，求出NOM=MON，根據(jù)SAS證MONMON，推出MN=MN，即可求出答案；（2）結(jié)論還成立，證明過程與（1）類似；（3）結(jié)論是MN=CN+AM，延長CA到N，使AN=CN，連接OC，OA，ON，證OCNOAN推出ON=ON，CON=AON，求出NOM=MON，根據(jù)SAS證MONMON，推出MN=MN，即可求出答案；解答：解：（1）MN=AMCN，理由是：在AM上截取AN=CN，連接ON，OC，

51、OA，O是邊AC和BC垂直平分線的交點(diǎn)，ABC是等邊三角形，OC=OA，O也是等邊三角形三個(gè)角的平分線交點(diǎn)，OCA=OAB=OCN=×60°=30°，AOC=180°30°30°=120°，NCO=OAN，在OCN和OAN中，OCNOAN（SAS），ON=ON，CON=AON，COA=120°，NOM=60°，CON+COM=60°，AON+COM=60°，即NOM=NOM，在NOM和NOM中，NOMNOM，MN=MN，MN=AMAN=AMCN，MN=AMCN（2）MN=AMCN，證明

52、：理由是：在AM上截取AN=CN，連接ON，OC，OA，O是邊AC和BC垂直平分線的交點(diǎn)，ABC是等邊三角形，OC=OA，由三線合一定理得：OCB=OCA=OAC=30°，AOC=180°30°30°=120°，OCN=OAN=30°，在OCN和OAN中，OCNOAN（SAS），ON=ON，CON=AONNON=COA=120°，又MON=60°，MON=MON=60°在NOM和NOM中，NOMNOM，MN=MN，MN=AMAN=AMCN，MN=AMCN（3）解：MN=CN+AM，理由是：延長CA到N，使AN=CN，連接OC，OA，ON，O是邊AC和BC垂直平分線的交點(diǎn)，ABC是等邊三角形，OC=OA，由三線合一定理得：OCA=OAB=30°，AOC=180°30°30°=120°，OCN=OAN，在OCN和OAN中，OCNOAN（SAS），ON=ON