數(shù)值分析部分

1、數(shù)值分析講義19 第1章 數(shù)值分析中的誤差 一、重點內(nèi)容 誤差 設精確值 x* 的近似值 x，差 exx* 稱為近似值 x 的誤差(絕對誤差)。 誤差限 近似值 x 的誤差限 e 是誤差 e 的一個上界，即 |e|xx*|。 相對誤差 er 是誤差 e 與精確值 x* 的比值， 。常用 計算。相對誤差限 是相對誤差的最大限度， ，常用 計算相對誤差限。 絕對誤差的運算： (x1±x2)(x1)(x2) (x1x2)|x1|(x2)|x2|(x1) 有效數(shù)字 如果近似值 x 的誤差限 是它某一個數(shù)位的半個單位，我們就說 x 準確到該位。從這一位起到前面第一個非 0 數(shù)字為止的所有數(shù)字稱

2、為 x 的有效數(shù)字。 關于有效數(shù)字： (1) 設精確值 x* 的近似值x， x±0.a1a2an×10 m a1，a2，an 是 09 之中的自然數(shù)，且 a10， |xx*|0.5×10 ml ，1ln則 x 有l(wèi)位有效數(shù)字.(2) 設近似值 x±0.a1a2an×10m 有 n 位有效數(shù)字，則其相對誤差限 (3) 設近似值 x±0.a1a2an×10m 的相對誤差限不大于 則它至少有 n 位有效數(shù)字。(4) 要求精確到103，取該數(shù)的近似值應保留 4 位小數(shù)。一個近似值的相對誤差是與準確數(shù)字有關系的，準確數(shù)字是從一個數(shù)的第

3、一位有效數(shù)字一直數(shù)到它的絕對誤差的第一位有效數(shù)字的前一位，例如具有絕對誤差 e0.0926 的數(shù) x20.7426 只有三位準確數(shù)字 2，0，7。一般粗略地說，具有一位準確數(shù)字，相對于其相對誤差為 10% 的量級；有二位準確數(shù)字，相對于其相對誤差為 1% 的量級；有三位準確數(shù)字，相對于其相對誤差為 0.1% 的量級。 二、實例 例1 設 x*p3.1415926近似值 x3.140.314×101，即 m1，它的誤差是 0.001526，有|xx*|0.0015260.5×1013即 l3，故 x3.14 有 3 位有效數(shù)字。x3.14 準確到小數(shù)點后第 2 位。又近似值

4、x3.1416，它的誤差是 0.0000074，有 |xx*|0.00000740.5×1015即 m1，l5，x3.1416 有 5 位有效數(shù)字。而近似值 x3.1415，它的誤差是 0.0000926，有 |xx*|0.00009260.5×1014即 m1，l4，x3.1415 有 4 位有效數(shù)字。這就是說某數(shù)有 s 位數(shù)，若末位數(shù)字是四舍五入得到的，那么該數(shù)有 s 位有效數(shù)字；若末位數(shù)字不是四舍五入得到的，那么該數(shù)有 s 位或 s1 位有效數(shù)字。例2 指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字，及其絕對誤差限和相對誤差限：2.000 4 0.002 00 9 000 9 000.

5、00解 因為 x12.000 40.200 04×101，它的誤差限 0.000 050.5×10 15，即 m1，l5，故 x12.000 4 有 5 位有效數(shù)字。相對誤差限 。x20.002 00，誤差限 0.000 005，因為 m2，l3，x20.002 00 有 3 位有效數(shù)字。相對誤差限 e r0.000 005/0.002 000.25%。 x39 000，絕對誤差限為 0.5，因為 m4，l4，x39 000 有 4 位有效數(shù)字，相對誤差限 e r0.5/9 0000.005 6%。x49 000.00，絕對誤差限 0.005，因為 m4，l6，x49 00

6、0.00 有 6 位有效數(shù)字，相對誤差限為 e r0.005/9 000.000.000 056%。由 x3 與 x4 可以看到小數(shù)點之后的 0，不是可有可無的，它是有實際意義的。例3 ln20.69314718，精確到 103 的近似值是多少？解 精確到 1030.001，即絕對誤差限是 e0.05，故至少要保留小數(shù)點后三位才可以。ln20.693。三、練習題 1. 設某數(shù) x*，它的保留三位有效數(shù)字的近似值的絕對誤差是 。2. 設某數(shù) x*，它的精確到 104 的近似值應取小數(shù)點后 位。3. ( )的 3 位有效數(shù)字是 0.236×102。 (A) 235.54×101

7、 (B) 235.418 (C) 2354.82×102 (D) 0.0023549×1034. 設 a*2.718181828，取 a2.718，則有( )，稱 a 有四位有效數(shù)字。 (A) |aa*|0.5×104 (B) |aa*|0.5×1014 (C) |aa*|104 (D) |aa*|0.0003 5. 設某數(shù) x*，對其進行四舍五入的近似值是( )，則它有 3 位有效數(shù)字，絕對誤差限是 0.5×104。 (A) 0.315 (B) 0.03150 (C) 0.0315 (D) 0.003156. 以下近似值中，保留四位有效數(shù)字，

8、相對誤差限為 0.25×103。 (A) 0.01234 (B) 12.34 (C) 2.20 (D) 0.22007. 將下列各數(shù)舍入成三位有效數(shù)字，并確定近似值的絕對誤差和相對誤差。(1) 2.1514 (2) 392.85 (3) 0.0039228. 已知各近似值的相對誤差，試確定其絕對誤差：(1) 13267 e r0.1% (2) 0.896 e r10% 9. 已知各近似值及其絕對誤差，試確定各數(shù)的有效位數(shù)。 (1) 0.3941 e0.25×102 (2)293.481 e0.1 (3) 0.00381 e0.1×104 10. 已知各近似值及其相

9、對誤差，試確定各數(shù)的有效位數(shù)。 (1) 1.8921 e r0.1×102 (2) 22.351 e r0.15 (3) 48361 e r1% 四、練習題答案 1該數(shù)有效數(shù)字第四位的一半。 2 . 五 3. (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 7. (1)2.15, e0.14×102，e r0.65×103；(2) 393，e0.15，e r0.38×103；(3)0.00392，e0.2×105，e r0.51×103 8. (1) e0.13×10 2；(2) 0.9×101 9. (1) 2

10、；(2)3；(3)2 10.(1) 3；(2)1；(3)2 第15章 線性方程組的數(shù)值解法 一、重點內(nèi)容 1. 高斯順序消去法解線性方程組AXb，對增廣矩陣 順序作初等行變換，使矩陣A化為上三角形矩陣，再回代，從而得到線性方程組的解。要求作初等行變換消元過程中， 。 注意：本章討論線性方程組的解的方法，不討論解的存在性。 2. 高斯列主元消去法 在高斯順序消去法中，每次消元之前，要確定主元 ， ( k1，2，3，n1) 把第r行作為主方程，做第k次消元。 把系數(shù)矩陣化為上三角形矩陣，從而得到線性方程組的解。 3. 雅可比迭代法(簡單迭代法) 解線性方程組AXb的雅可比迭代法公式為 ( k0，1

11、，2，) 4. 高斯賽德爾迭代法 解線性方程組AXb的高斯賽德爾迭代法公式為 (i1，2，n；k0，1，2，) 5解的收斂性定理 【定理1】 高斯消去法消元過程能進行到底的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的各階順序主子式不為0；AXb能用高斯消去法求解的充分必要條件是A的各階順序主子式不為0。 【定理4】(迭代法基本定理) 設線性方程組XBXf對于任意初始向量X (0)及任意f，對應此方程組的迭代公式 X (k1)B (k)Xf 收斂的充分必要條件是 ,其中 i ( i1，2，n)為迭代矩陣B的特征根。當 i為復數(shù)時，| i|表示 i的模。 【定理6】(迭代法收斂的充分條件)設線性方程組AXb，(1)

12、 若A是嚴格對角占優(yōu)矩陣，則雅可比迭代法和高斯賽德爾迭代法收斂；(2) 若A為對稱正定矩陣，則高斯賽德爾迭代法收斂。注：設矩陣A aij n，若 則稱矩陣A是嚴格對角占優(yōu)矩陣。二、實例 例1 用順序消去法解線性方程組 解 順序消元 于是有同解方程組 回代得解x31，x21，x11，原線性方程組的解為X(1，1，1)T。例2 取初始向量X(0)(0，0，0)T，用雅可比迭代法求解線性方程組 解 建立迭代格式 (k1，2，3，) 第1次迭代，k0X(0)0，得到X(1)(1，3，5)T第2次迭代，k1 X(2)(5，3，3)T 第3次迭代，k2 X(3)(1，1，1)T 第4次迭代，k3 X(4)

13、(1，1，1)T 例3 填空選擇題： 1. 用高斯列主元消去法解線性方程組 作第1次消元后的第2，3個方程分別為 。解 選a212為主元，作行互換，第1個方程變?yōu)椋?x12x23x33，消元得到 是應填寫的內(nèi)容。2. 用選主元的方法解線性方程組AXb，是為了( )(A) 提高計算速度 (B) 減少舍入誤差 (C) 減少相對誤差 (D) 方便計算答案：選擇(B)3. 用高斯賽德爾迭代法解線性方程組 的迭代格式中 (k0，1，2，)答案： 解答：高斯賽德爾迭代法就是充分利用已經(jīng)得到的結果，求x2的值時應該用x1的新值。4. 當a ( )時，線性方程組 的迭代解一定收斂。(A) 6 (B) 6 (C

14、) 6 (D) 6或6答案：(D)解答：當|a|6時，線性方程組的系數(shù)矩陣是嚴格對角占優(yōu)矩陣，由教材第10章定理6，迭代解一定收斂。三、練習題 1. 用高斯列主元消去法解線性方程組 2. 用高斯賽德爾迭代法求解線性方程組 取初始值(4.67，7.62，9.05)T，求二次迭代值。 3. 證明線性方程組 的迭代解收斂。 4. 用高斯順序消去法解線性方程組，消元能進行到底的充分必要條件是 5. 用列主元消去法解線性方程組 ，第1次消元，選擇主元為( ) (A) 3 (B) 4 (C) 4 (D)9 四、練習題答案 1. X(4，1，2)T 2. (4.666 19，7.618 98，9.047 5

15、3)T 3. 提示：系數(shù)矩陣是嚴格對角占優(yōu)矩陣。 4. 線性方程組的系數(shù)矩陣的各階順序主子式均不為0。 5. (C) 第2章 函數(shù)插值與最小二乘擬合 一、重點內(nèi)容 1. 函數(shù)插值 已知函數(shù)f(x)的n個函數(shù)值ykf(xk)，k0，1，2，n。構造一個多項式P(x)，使得P(xk)yk。P(x)就是插值多項式，f(x)就是被插函數(shù)，xk就是插值節(jié)點。誤差R(x)f(x)P(x)。 2. 拉格朗日多項式 稱n次多項式Pn (x)y0l0y1l1ynln 為拉格朗日插值多項式，其中基函數(shù) (i0，1，2，n) 當n1時，線性插值 P1(x)yklk(x)yk+1lk+1(x)其中基函數(shù) 。 當n2時

16、，得到二次多項式，就是二次插值。拉格朗日插值多項式的余項為 : ,其中(a，b)注意：過n1個互異點，所得的多項式應該是次數(shù)不超過n的多項式。3. 均差與牛頓插值多項式 函數(shù)值與自變量的差商就是均差，一階均差 (或記作fx0，x1)； 二階均差 (或記作fx0，x1，x2) 均差有兩條常用性質：(1)均差用函數(shù)值的線性組合表示；(2)均差與插值節(jié)點順序無關。 用均差為系數(shù)構造多項式，就是牛頓插值多項式Nn(x)f(x0)fx0，x1(xx0)fx0，x1，x2(xx0)(xx1) fx0，x1，x2，xn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn-1) 牛頓插值多項式的余項為：R n(x)f(x

17、)Nn(x) fx，x0，x1，x2，xn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn1)(xxn)4. 分段線性插值 已知n1個互異節(jié)點x0，x1，xn構造一個分段一次的多項式P(x)，且滿足：(1)P(x)在a，b上連續(xù)；(2) P(xk)yk (k0，1，2，n)；(3)P(x)在xk，xk+1上是線性函數(shù)。 分段線性插值函數(shù) 其中l(wèi)k(x)(k0，1，2，n)是分段線性插值基函數(shù)。 (i1，2，n1) 5. 三次樣條插值函數(shù) (k0，1，2，n1) (xkxxk1)其中S²(xk)mk (k0，1，2，n)，hkxk+1xk (k0，1，2，n1)，m 0，m1，mn滿足的方程組

18、是 (*)其中： ， (k1，2，n1) (1) 當已知S¢(x0)y¢0，S¢(xn)y¢n時，(*)式中 m01，ln1， (2) 當已知S²(x0)y²0m0，S²(xn)y²nmn時，(*)式化為 6. 最小二乘法用j(x)擬合數(shù)據(jù)(xk，yk) (k1，2，n)，使得誤差的平方和 為最小，求j(x)的方法，稱為最小二乘法。(1) 直線擬合 若 ，a0，a1滿足法方程組 (2) 二次多項式擬合 若 ，a0，a1，a2滿足法方程組 二、實例 例1 已知函數(shù)yf(x)的觀察數(shù)據(jù)為xk 2045yk 5131試構

19、造拉格朗日多項式Pn(x)，并計算P(1)。只給4對數(shù)據(jù)，求得的多項式不超過3次解 先構造基函數(shù) 所求三次多項式為 P3(x)= P3(1) 例2 已知函數(shù)yf(x)的數(shù)據(jù)如表中第1，2列。計算它的各階均差。解 依據(jù)均差計算公式，結果列表中。k xk f(xk)一階均差 二階均差 三階均差 四階均差 00.400.410 75 10.550.578 151.116 00 20.650.696 751.168 000.280 00 30.800.888 111.275 730.358 930.197 33 40.901.201 521.384 100.433 480.213 000.031 34

20、計算公式為 一階均差 (k0，1，2，3) 二階均差 (k0，1，2)三階均差 (k0，1)四階均差 例3 設x0，x1，x2，xn是n1個互異的插值節(jié)點，lk(x) (k0，1，2，n)是拉格朗日插值基函數(shù)，證明：(1) ；(2) (m0，1，2，n)證明 (1) Pn(x)y0l0y1l1ynln 當f(x)1時，1 由于 ，故有 (2) 對于f(x)xm，m0，1，2，n，對固定xm (0mn)，作拉格朗日插值多項式，有 當nm1時，f (n+1) (x)0，Rn(x)0，所以 注意：對于次數(shù)不超過n的多項式 ，利用上結果，有 = = 可見，Qn(x)的拉格朗日插值多項式就是它自身，即次

21、數(shù)不超過n的多項式在n1個互異節(jié)點處的拉格朗日插值多項式就是它自身。例4 已知函數(shù)ex的下列數(shù)據(jù)，用分段線性插值法求x0.2的近似值。x 0.100.150.250.30ex 0.904 8370.860 7080.778 8010.740 818 解 用分段線性插值，先求基函數(shù)。 所求分段線性插值函數(shù)為 所以，e0.2P(0.2)0.819 07×0.20.983 5690.819 755例5 已知數(shù)據(jù)如表的第2，3列，試用直線擬合這組數(shù)據(jù)。 解 計算列入表中。k xk yk xkyk 11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.5

22、 n5。a0，a1滿足的法方程組是 解得a02.45，a11.25。所求擬合直線方程為 y2.451.25x 例6 選擇填空題1. 設yf(x)，只要x0，x1，x2是互不相同的3個值，那么滿足P(xk)yk (k0，1，2)的f(x)的插值多項式P(x)是 (就唯一性回答問題)答案：唯一的解答：因為過3個互異節(jié)點，插值多項式是不超過2次的。設P(x)a2x2a1xa0，其中a2，a1，a0是待定數(shù)。P(xk)yk，即 這是關于a2，a1，a0的線性方程組，它的解唯一，因為系數(shù)行列式 所以，不超過2次的多項式是唯一的。 2. 通過四個互異節(jié)點的插值多項式P(x)，只要滿足( ), 則P(x)是

23、不超過一次多項式。 (A) 初始值y00 (B) 一階均差為0 (C) 二階均差為0 (D)三階均差為0答案：(C)解答：因為二階均差為0，那么牛頓插值多項式為N(x)f(x0)fx0，x1(xx0)它是不超過一次的多項式。 3. 拉格朗日插值多項式的余項是( )，牛頓插值多項式的余項是( ) (A) (B) fx，x0，x1，x2，xn(xx1)(xx2) (xxn1)(xxn) (C) (D) fx，x0，x1，x2，xn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn1)(xxn)答案：(A)，(D)。見教材有關公式。4. 數(shù)據(jù)擬合的直線方程為ya0a1x，如果記 那么系數(shù)a0，a1滿足的方程組

24、是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：(B)解答：因為法方程組為 由第1個方程得到 ，將其代入第2個方程得到 整理得 故(B)正確。三、練習題 1. 已知函數(shù)yf(x)，過點(2，5)，(5，9)，那么f(x)的線性插值多項式的基函數(shù)為 。2. 過6個插值節(jié)點的拉格朗日插值多項式的基函數(shù)l4(x) 。3. 已知多項式P(x)，過點(0，0)，(2，8)，(4，64)，(11，1331)，(15，3375)，它的3階均差為常數(shù)1，一階，二階均差均不為0，那么P(x)是( ) (A)二次多項式 (B)不超過二次的多項式 (C) 三次多項式 (D) 四次多項式4. 已知yf(x)的均差 ，

25、 ， ， 。那么fx4，x2，x0( ) (A) 5 (B) 9 (C)14 (D) 85. 求數(shù)據(jù)擬合的直線方程ya0a1x的系數(shù)a0，a1是使 最小。6. 求過這三個點 (0，1)，(1，2)，(2，3)的拉格朗日插值多項式。7. 構造例2的函數(shù)f(x)的牛頓插值多項式，并求f(0.596)的近似值。8. 設l0(x)是以n1個互異點x0，x1，x2，xn為節(jié)點的格朗日插值基函數(shù) 試證明： 9. 已知插值條件如表所示，試求三次樣條插值函數(shù)。x 123y 2412y¢1 1 10. 已知數(shù)據(jù)對(7，3.1)，(8，4.9)，(9，5.3)，(10，5.8)，(11，6.1)， (1

26、2，6.4)，(13，5.9)。試用二次多項式擬合這組數(shù)據(jù)。四、練習題答案 1. 2. 3. C 4. B 5. 6. x1 7. 給定五對點，牛頓多項式是不超過4次的多項式。N4(x)0.410751.11600(x0.40)0.28000(x0.40)(x0.55) 0.19733(x0.40)(x0.55)(x0.65)0.03134(x0.40)(x0.55)(x0.65)(x0.80)將x0.596代入牛頓多項式N4(x)中，得到：f(0.596)N(0.596)0.631 928. 提示：求l0(x)的牛頓插值多項式。9. 10. y0.145x23.324x12.794 第4章

27、數(shù)值積分與微分 一、重點內(nèi)容 1. m次代數(shù)精度 求積公式 對于任意不超過m次的代數(shù)多項式都準確成立，而對某一個m1次代數(shù)多項式不成立。 2. 牛頓科茨求積公式： 截斷誤差 (1)科茨系數(shù)： (k0，1，2，n)，有兩條性質。(2) 牛頓科茨求積公式的求積系數(shù)：Ak (k0，1，2，n)(3) 常見牛頓科茨求積公式 梯形公式 截斷誤差： R1 f 復化梯形公式 截斷誤差： ，M2 拋物線公式 復化拋物線公式 截斷誤差： ， 科茨公式 3高斯勒讓德求積公式 ， 節(jié)點為 的零點(高斯點) 其余項： 4. 微分公式 (1)等距節(jié)點兩點求導公式： (k0，1，2，n1) (2)等距節(jié)點三點求導公式：

28、(k1，2，n1)二、實例 例1 試確定求積公式 的代數(shù)精度。依定義，對xk (k0，1，2，3，)，找公式精確成立的k數(shù)值解 當f(x)取1，x，x2，計算求積公式何時精確成立。 (1) 取f(x)1，有 左邊 ， 右邊 (2) 取f(x)x，有 左邊 ， 右邊 (3) 取f(x)x2，有 左邊 ， 右邊 (4) 取f(x)x3，有 左邊 ， 右邊 (5) 取f(x)x4，有 左邊 ， 右邊 當k3時求積公式精確成立，而x4公式不成立，可見該求積公式具有3次代數(shù)精度。例2 試用梯形公式、拋物線公式和科茨公式計算定積分 (計算結果取5位有效數(shù)字) (1)用梯形公式計算 (2) 用拋物線公式 (

29、3)用科茨公式 系數(shù)為 如果要求精確到105，用復化拋物線公式，截斷誤差為 ， ， ， ，N2只需把0.5，1 4等分，分點為0.5，0.625，0.75，0.875，1 例3 用三點高斯勒讓德求積公式計算積分 高斯型求積公式只能計算1，1上的定積分解 做變量替換 ， 查表得節(jié)點±0.774 596 669 和0；系數(shù)分別為0.555 555 5556和0.888 888 8889 注：該積分準確到小數(shù)點后七位是0.9460831，可見高斯型求積公式的精度是很高的。教材的第12章12.2節(jié)，用多種方法計算過該積分，它們的精度請讀者自行比較。 例4 用三點公式計算 在x1.0，1.1，

30、1.2處的導數(shù)值。已知函數(shù)值f(1.0)0.250000，f(1.1)0.226757，f(1.2)0.206612 解 三點導數(shù)公式為 k1，2，3，n1本例取x01.0，x11.1，x21.2，y00.250000，y10.226757，y20.206612，h0.1。于是有計算 例5 選擇填空題1. 牛頓科茨求積公式與高斯型求積公式的關鍵不同點是 。解答：牛頓科茨求積公式的節(jié)點和求積系數(shù)確定后，再估計其精度；高斯型求積公式是由精度確定其節(jié)點和求積系數(shù)。2. 如果用復化梯形公式計算定積分 ，要求截斷誤差的絕對值不超過0.5×104，試問n( ) (A) 41 (B) 42 (C)

31、 43 (D) 40答案：(A)解答；復化的梯形公式的截斷誤差中 ，故 ，n40.8，取n41。故選擇(A)。3. 已知n3時，科茨系數(shù) ，那么 答案：1/8解答：由科茨系數(shù)的歸一性質， 三、練習題 1. 試確定求積公式的待定參數(shù)，使求積公式 A0f(0)A1f(1)A2f(2)的代數(shù)精度盡可能的高。2. 用復化拋物線公式計算定積分 。取n4，保留4位有效數(shù)字。3. 試用四點(n3)高斯勒讓德求積公式計算積分 4. 已知條件見例4。用兩點求導公式計算f ¢(1.0)，f ¢(1.1)。5. 若用復化拋物線公式計算積分 ，要求截斷誤差的絕對值不超過0.5×104，試

32、問n ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 36當n6時， ( ) 7. 用三點高斯勒讓德求積公式計算積分 ，具有 代數(shù)精度的。四、練習題答案 1. A0A21/3，A14/3 2. 0.1109 3. 3.141624 4. 0.23243；0.201455. (B) 6. (D) 7. 5次 第13章 方程求根 一、重點內(nèi)容 1. 二分法: 設方程f(x)0在區(qū)間a，b內(nèi)有根，用二分有根區(qū)間的方法，得到有根區(qū)間序列： 。 x*xn= (a0a，b0b)，n0，1，2， 有誤差估計式：½x*xn½ ，n0，1，2， 二分區(qū)間次數(shù)： 2. 簡單迭代法: 若方程

33、f(x)0表成xj(x)，于是有迭代格式： xnj(xn1) （n1，2，） x*xn若存在0l1,|¢j(x)| l£,在區(qū)間a,b內(nèi)任一點為初始值進行迭代，迭代數(shù)列收斂。 3. 牛頓法:用切線與x軸的交點，逼近曲線f(x)與x軸的交點。迭代公式為 （n1，2，） 選初始值x0滿足f(x0)f ²(x0)0，迭代解數(shù)列一定收斂。 4. 弦截法: 用兩點連線與x軸交點逼近曲線f(x)與x軸的交點。迭代公式為 (n1，2，)二、實例 例1 證明方程1xsinx0在區(qū)間0，1內(nèi)有一個根，使用二分法求誤差不超過0.5×104的根要迭代多少次？證明 令f(x)1

34、xsinx， f(0)10，f(1)sin10 f(x)1xsinx0在0，1內(nèi)有根。又 f ¢(x)1cos x0 (xÎ0，1),故f(x)0在區(qū)間0，1內(nèi)有唯一實根。給定誤差限 e0.5×104，有 只要取n14。例2 用迭代法求方程x54x20的最小正根。計算過程保留4位小數(shù)。分析 容易判斷1，2是方程的有根區(qū)間。若建立迭代格式 ， (x(1，2)，此時迭代發(fā)散。建立迭代格式： ， (x(1，2)，此時迭代收斂。解 建立迭代格式 (x(1，2)，取初始值x01 取 例3 試建立計算 的牛頓迭代格式，并求 的近似值，要求迭代誤差不超過106。 分析首先建立迭

35、代格式。確定取幾位小數(shù)，求到兩個近似解之差的絕對值不超過106。 解 令 ，f(x)x3a0，求x的值。牛頓迭代格式為 (k0，1，)迭代誤差不超過106，計算結果應保留小數(shù)點后6位。當x7或8時，x3343或512， ，而 ，取x08，有 |x1x2|0.038122 |x2x3|0.000196 于是，取 例4 用弦截法求方程x3x210在x1.5附近的根。計算中保留4位小數(shù)點。分析 先確定有根區(qū)間。再代公式。 解 設f(x)x3x21，因為f(1)10，f(2)30，所以1，2為f(x)0的有根區(qū)間。 取x01，x12。 迭代格式： ，(n1，2，) 列表計算如下：nxnxn1f(xn)

36、f(xn1)xn1f(xn1)123456789101121.251.37661.43091.45241.46061.46371.46491.46531.46551.465612222222221.465530.6094 0.2863 0.1177 0.0457 0.0174 0.0066 0.0024 0.0010 0.00030.000113333333330.0003 1.251.37661.43091.45241.46061.46371.46491.46531.46551.46561.46560.6094 0.2863 0.1177 0.0457 0.0174 0.0066 0.002

37、4 0.0010 0.00030.0001 由于|x12x11|0.0001，故xx121.4656例4 選擇填空題1. 設函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，若滿足 ，則方程f(x)0在區(qū)間a，b一定有實根。答案：f(a) f(b)0解答：因為f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，在兩端點函數(shù)值異號，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，必存在c，使得f(c)0，故f(x)0一定有根。2. 用簡單迭代法求方程f(x)0的實根，把方程f(x)0表成xj(x)，則f(x)0的根是( )(A) yx與yj(x)的交點 (B) yx與yj(x)交點的橫坐標 (C) yx與x軸的交點的橫坐標 (D) yj(x)與x軸交點的橫坐標答

38、案：(B)解答：把f(x)0表成xj(x)，滿足xj(x)的x是方程的解，它正是yx與yj(x)的交點的橫坐標。3. 為求方程x3x210在區(qū)間1.3，1.6內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應的迭代公式，迭代公式不收斂的是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：(A)解答： 在(A)中 ， ，故迭代發(fā)散。在(B)中 ， ，故迭代收斂。 在(C)中， ， ，故迭代收斂。在(D)中，類似證明，迭代收斂。4牛頓切線法是用曲線f(x)上的 與x軸的交點的橫坐標逐步逼近f(x)0的解；而弦截法是用曲線f(x)上的 與x軸的交點的橫坐標逐步逼近f(x)0的解。答案：點的切線；兩點的連線解答

39、：見它們的公式推導。三、練習題 1. 用二分法求方程f(x)0在區(qū)間a，b內(nèi)的根xn，已知誤差限 e，確定二分的次數(shù)n是使( ) (A) bae (B) |f(x)|e (C) |x*xn|e (D) |x*xn|ba2. 設方程f(x)x42x0，在區(qū)間1，2上滿足 ，所以f(x)0在區(qū)間1，2內(nèi)有根。建立迭代公式 x42xj(x)，因為 ，此迭代公式發(fā)散。3. 牛頓切線法求解方程f(x)0的近似根，若初始值x0滿足( )，則解的迭代數(shù)列一定收斂。 (A) 0 (B) 0 (C) 0 (D) 04. 設函數(shù)f(x)區(qū)間a，b內(nèi)有二階連續(xù)導數(shù)，且f(a)f(b)0，當 時，則用弦截法產(chǎn)生的解數(shù)

40、列收斂到方程f(x)0的根。5. 用二分法求方程x3x10在區(qū)間1.0，1.5內(nèi)的實根，要求準確到小數(shù)點后第2位。6. 試用牛頓切線法導出下列各式的迭代格式：(1) 不使用除法運算； (2) 不使用開方和除法運算。四、練習題答案 1. (C) 2. f(1)0，f(2)0； >1 3. (B) 4. f¢(x)0 5. 1.32 6. (1) xn12xncxn2，(2) xn11.5xn0.5cxn3第8章 常微分方程的數(shù)值解法 一、重點內(nèi)容 1. 歐拉公式： (k0，1，2，n1) 局部截斷誤差是O(h2)。2. 改進歐拉公式： 或表示成： 平均形式： 局部截斷誤差是O(h

41、3)。3. 四階龍格庫塔法公式： 其中 k1f(xk，yk)；k2f(xk+0.5h，yk+0.5hk1)；k3f(xk+0.5h，yk+0.5hk2)；k4f(xk+h，yk+hk3)， 局部截斷誤差是O(h5)。二、實例 例1 用歐拉法解初值問題 取步長h0.2。計算過程保留4位小數(shù)。解 h0.2，f(x，y)yxy2。首先建立歐拉迭代格式 0.2yk(4xkyk) (k0，1，2)當k0，x10.2時，已知x00，y01，有y(0.2)y10.2×1(40×1)0.8當k1，x20.4時，已知x10.2，y10.8，有y(0.4)y20.2×0.8×

42、;(40.2×0.8)0.6144 當k2，x30.6時，已知x20.4，y20.6144，有y(0.6)y30.2×0.6144×(40.4×0.6144)0.4613例2 用歐拉預報校正公式求解初值問題 取步長h0.2，計算 y(1.2)，y(1.4)的近似值，小數(shù)點后至少保留5位。解 步長h0.2，此時f(x，y)yy2sinx歐拉預報校正公式為： 有迭代格式： 當k0，x01，y01時，x11.2，有 y0(0.80.2y0sinx0)1×(0.80.2×1sin1)0.63171y(1.2)y1 1×(0.90.1

43、×1×sin1)0.1(0.631710.631712sin1.2)0.71549當k1，x11.2，y10.71549時，x21.4，有 y1(0.80.2y1sinx1)0.71549×(0.80.2×0.71549sin1.2)0.47697y(1.4)y2 0.71549×(0.90.1×0.71549×sin1.2)0.1(0.476970.476972sin1.4)0.52611例3 寫出用四階龍格庫塔法求解初值問題 的計算公式，取步長h0.2計算y(0.4)的近似值。至少保留四位小數(shù)。解 此處f(x，y)83y，四階龍格庫塔法公式為 其中 k1f(xk，yk)；k2f