基于小波變換的數(shù)字圖像壓縮算法研究

1、 本科畢業(yè)論文（設計）題目： 基于小波變換的數(shù)字圖像壓縮算法研究姓 名： 易綱 學號： 2010000589 院（系）： 機電學院 專業(yè)： 通信工程 指導教師： 吳讓仲 職稱： 講 師 評 閱 人： 周群群 職稱： 講 師 2015 年 2 月學位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導師的指導下獨立進行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標注引用的內容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔。作者簽名： 年 月 日 學位論文版權使用授權書本學位論文作者完全了解學校有關保障、使用學位論文的規(guī)定，同意學校保留并向有關學位論文

2、管理部門或機構送交論文的復印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權省級優(yōu)秀學士學位論文評選機構將本學位論文的全部或部分內容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存和匯編本學位論文。本學位論文屬于1、 保密 ，在_年解密后適用本授權書。2、 不保密 。（請在以上相應方框內打“”）作者簽名： 年 月 日 導師簽名： 年 月 日中國地質大學（武漢）學士論文摘 要在現(xiàn)代多媒體通信中，音頻視頻傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量大，而且要求滿足實時傳輸功能，我們需要用數(shù)據(jù)壓縮技術對數(shù)據(jù)進行壓縮后再傳輸，減少傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量，提高信道的利用率。本文在Matlab平臺上仿真小波變換在數(shù)字圖像壓縮中的應用。由于

3、圖像數(shù)據(jù)之間存在著一定的冗余，所以使得數(shù)據(jù)的壓縮成為可能。信息論的創(chuàng)始人香農提出把數(shù)據(jù)看作是信息和冗余度的組合。所謂冗余度，是由于一副圖像的各像素之間存在著很大的相關性，可利用一些編碼的方法刪去它們，從而達到減少冗余、壓縮數(shù)據(jù)的目的。 小波分析是局部化時頻分析,它用時域和頻域聯(lián)合表示信號的特征,是分析非平穩(wěn)信號的有力工具。它通過伸縮、平移等運算功能對信號進行多尺度細化分析,能有效地從信號中提取信息。隨著小波變換理論的完善,小波在圖像壓縮中得到了廣泛的應用,與傳統(tǒng)的壓縮方法相比小波分析有著很大的優(yōu)勢,它能在壓縮的同時保留圖像細節(jié),得到原圖像的最佳恢復。本文首先對四種常見的小波基根據(jù)小波基的選取判

4、定標準進行了比較；然后，對四種經(jīng)典小波 ，包括Haar小波、Morlet小波、Mexican hat 小波和Gaussian小波，根據(jù)小波基選取的標準做出了分析；其次，給出了利用小波變換對圖像數(shù)據(jù)進行壓縮的兩個步驟，通過第一步驟分解過程對圖像lena進行了小波分解，由實驗結果中的邊界失真問題給出了幾點原因，并且給出了零樹編碼算法（EZW）。再次，在Matlab平臺上利用其自帶的小波基wavelet 2-D 中的五個常用的小波基函數(shù)haar、db8、sym2、coif2和dmey對六類圖像進行了壓縮并進行比較。最后，通過對lena圖像的多層分解得出了幾點結論，實現(xiàn)了對其兩層壓縮和重構過程，并對結

5、果做出了比較。關鍵詞：數(shù)據(jù)壓縮；小波變換；數(shù)字圖像壓縮；小波分析Abstract In the modern multimedia communication, audio and videos data transmits in a large amount, but also to meet the requirements of real-time transmission function, we need to use data compression techniques to compress the data before transmission, reducing the

6、amount of data transmission, to improve the channel utilization. The purpose of this paper is to simulate the application of wavelet transform in digital image compression on Matlab platform. Because of the existence of a certain redundancy of image data, it makes the data compression possible. Info

7、rmation theory founder Shannon puts forward the data as a combination of information and redundancy。The so-called redundancy, is due to the presence of significant correlation between each pixel of an image, can use some method of coding to delete them, so as to get the purpose of reducing the redun

8、dancy and data compression. Wavelet analysis is the analysis of frequency localization, it represents the signal features by combining time-domain and frequency-domain, is a powerful tool for analyzing non-stationary signal. Through the telescopic, translation operations，it can analyze the signal mo

9、re detailed, which can effectively extract information from signal. With the improvement of wavelet theory, wavelet transform has been widely used in image compression. Compared with traditional compression methods of wavelet analysis, it has a lot of advantages, it can compress images while preserv

10、ing details of the original image to get the best restoration.Based on wavelet selection criteria，this article firstly compares four common wavelet; Then, on four kinds of classic wavelet, including Haar wavelet, Morlet wavelet, Mexican hat wavelet and Gaussian wavelet, the analyzing them according

11、to the selected criteria of wavelet; later, the two steps to compress the image data by wavelet transformation is given, the first step is decomposing the image Lena through the process of the wavelet decomposition, and gives several reasons as the experimental results of the boundary distortion, an

12、d gives the zero-tree coding algorithm (EZW). Again, on six kinds of image compression and compared with the wavelet 2-D of five commonly used Haar wavelet function, db8, sym2, coif2 and dmey on the Matlab platform. Finally, through layers of Lena image decomposition some conclusions are obtained, a

13、chieved its two compression and reconstruction process, and make a comparison about the results.Key Words: data compression; wavelet transform; digital image compression; wavelets目 錄摘 要- 1 -Abstract- 2 -第一章 數(shù)據(jù)壓縮技術與發(fā)展1§1.1數(shù)據(jù)壓縮技術分類1§1.2數(shù)據(jù)壓縮技術的發(fā)展1§1.3 本文章節(jié)安排2第二章 數(shù)字圖像壓縮3§2.1圖像壓縮的可能性3

14、§2.2圖像壓縮原理3§2.3 數(shù)字圖像壓縮方法4§2.4 圖像壓縮的分類4第三章 小波分析理論基礎6§3.1從Fourier分析到小波分析6§3.2連續(xù)小波變換與離散小波變換7§3.3 多尺度分析與正交小波變換9§3.4 雙正交小波變換11第四章 基于小波變換的數(shù)字圖像壓縮技術13§4.1 圖像的小波分解13§4.2 小波基的選取14§4.3 量化技術15§4.4經(jīng)典小波15§4.5小波變換實現(xiàn)數(shù)字圖像壓縮19§4.6利用小波基函數(shù)對各類圖像壓縮的比較22

15、7;4.7 基于小波的數(shù)字圖像壓縮23結束語28致謝29參考文獻30附 錄31 第一章 數(shù)據(jù)壓縮技術與發(fā)展在多媒體計算系統(tǒng)中，信息從單一媒體到多種媒體；若要表示，傳輸和處理大量數(shù)字化了的聲音、圖片、影像視頻信息等，數(shù)據(jù)量是非常大的。如果不進行處理，計算機系統(tǒng)幾乎無法對它進行存取和交換。因此，在多媒體計算機系統(tǒng)中，為了達到令人滿意的圖像、視頻畫面質量和聽覺效果，必須解決視頻、圖像、音頻信號數(shù)據(jù)的大容量存儲和實時傳輸問題。解決的方法，除了提高計算機本身的性能及通信信道的帶寬外，更重要的是對多媒體數(shù)據(jù)進行有效的壓縮。§1.1數(shù)據(jù)壓縮技術分類 數(shù)據(jù)壓縮技術按不同的分類方法有著不同的分類，根據(jù)

16、解碼后數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)是否完全一致進行分類，可以分成兩種類型，一種叫做無損壓縮，另一種叫做有損壓縮。無損壓縮是指使用壓縮后的數(shù)據(jù)進行重構（或者叫做還原，解壓縮），重構后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)完全相同1；無損壓縮用于要求重構的信號與原始信號完全一致的場合。一個很常見的例子是磁盤文件的壓縮。根據(jù)目前的技術水平，無損壓縮算法一般可以把普通文件的數(shù)據(jù)壓縮到原來的1/2-1/4。一些常用的無損壓縮算法有霍夫曼(Huffman)算法和LZW(Lenpel-Ziv & Welch)壓縮算法。有損壓縮是指使用壓縮后的數(shù)據(jù)進行重構，重構后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)有所不同，但不影響人對原始資料表達的信息造成誤解。有損

17、壓縮適用于重構信號不一定非要和原始信號完全相同的場合。例如，圖像和聲音的壓縮就可以采用有損壓縮，因為其中包含的數(shù)據(jù)往往多于我們的視覺系統(tǒng)和聽覺系統(tǒng)所能接收的信息，丟掉一些數(shù)據(jù)而不至于對聲音或者圖像所表達的意思產生誤解，但可大大提高壓縮比。§1.2數(shù)據(jù)壓縮技術的發(fā)展數(shù)據(jù)壓縮新技術主要有兩種：1.基于分形的壓縮方法；2.小波變換在圖像壓縮中的應用。當前，壓縮域數(shù)據(jù)處理技術作為新興的技術還遠未成熟，許多問題有待解決，其中缺乏統(tǒng)一的理論支持是主要問題。未來的研究工作將主要集中在四個方面：(1)設計新的壓縮算法，支持對壓縮域數(shù)據(jù)直接操作；(2)研究用小波、矢量量化、分形等方法壓縮的多媒體數(shù)據(jù)的

18、壓縮域處理算法；(3)設計專用的壓縮域數(shù)據(jù)處理芯片；(4)如何將用于多媒體內容的傳輸和使用的各種標準結合起來，形成一個用于多媒體的統(tǒng)一的體系結構。本文主要研究的是小波算法研究在數(shù)據(jù)壓縮中關于數(shù)字圖像方面的應用，下面來討論有關于小波變換概念的提出與發(fā)展。20世紀80年代，法國地質學家J.Morlet在研究地下巖石油層分布時，對傅里葉變換和窗口傅里葉變換做了深入的研究，在此基礎上提出了“小波（Wavelet）”的概念2。盡管小波的出生到現(xiàn)在只有短短幾十年，但發(fā)展十分迅速，小波分析的理論和方法越來越引起人們的廣泛關注，并取得了令人矚目的發(fā)展，在信號分析、圖像處理、模式識別、語音分析、方程求解、分析力

19、學等領域都已取得了具有科學意義和應用價值的重要成果。本文是在前人研究的基礎上，對小波分析在地質數(shù)據(jù)中關于靜態(tài)圖像的壓縮方面做出較為深入的分析和研究，并以此對小波概念的提出者地質學家J.Morlet做悼念。§1.3 本文章節(jié)安排本文首先給出了圖像壓縮的一般概念，回顧了圖像壓縮的原理和幾大方法。然后，介紹了小波分析的發(fā)展和一些基本理論。最后，結合小波分析，在圖像壓縮中的幾大應用，包括層分解、小波基的選取和量化技術；主要分析了基于小波變換的圖像分解和圖像壓縮技術，并用Matlab軟件對圖像進行分解，然后提取其中與原圖像近似的低頻信息，達到對圖像進行壓縮的目的。分別作第一層分解和第二層分解，

20、并比較圖像壓縮的效果。本文的內容安排：第一章簡要介紹了數(shù)據(jù)壓縮方面的一些知識，包括數(shù)據(jù)壓縮技術簡介、數(shù)據(jù)壓縮技術分類和數(shù)據(jù)壓縮技術的發(fā)展，闡述了數(shù)據(jù)壓縮的必要性。第二章主要介紹的是數(shù)據(jù)壓縮中有關圖像壓縮的要點，包括圖像壓縮的可能性、圖像壓縮的基本原理、圖像壓縮的分類和圖像壓縮的幾大方法，回顧了圖像壓縮的必要性3。第三章給出了小波分析的基本理論，重點描述了多尺度分析與正交小波變換和雙正交小波變換的有關知識，是下一章小波分析用于圖像壓縮的理論基礎。第四章較為深入的研究了小波分析在靜止圖像數(shù)據(jù)壓縮方面的應用,詳細分析了幾個常用小波基的特點,得出對于雙正交小波,在消失矩相同時應盡量保持重構小波正則性的

21、結論；指出了小波分析應用于靜止圖像數(shù)據(jù)壓縮的研究方向。 第二章 數(shù)字圖像壓縮 由于圖像數(shù)據(jù)之間存在著一定的冗余，所以使得數(shù)據(jù)的壓縮成為可能。信息論的創(chuàng)始人香農提出把數(shù)據(jù)看作是信息和冗余度的組合。所謂冗余度，是由于一副圖像的各像素之間存在著很大的相關性，可利用一些編碼的方法刪去它們，從而達到減少冗余、壓縮數(shù)據(jù)的目的。為了去掉數(shù)據(jù)中的冗余，常常要考慮信號源的統(tǒng)計特性，或建立信號源的統(tǒng)計模型。§2.1圖像壓縮的可能性 同一個信息可以用不同的數(shù)據(jù)集合來表示，我們說數(shù)據(jù)量大的數(shù)據(jù)集合存在著相對的數(shù)據(jù)冗余。圖像可以壓縮，是因為圖像中存在大量的冗余信息，圖像的冗余包括以下幾種4：(1)空間冗余：像

22、素點之間的相關性。(2)時間冗余：活動圖像的兩個連續(xù)幀之間的冗余。(3)信息熵冗余：單位信息量大于其熵。(4)結構冗余：圖像的區(qū)域上存在非常強的紋理結構。(5)知識冗余：有固定的結構，如人的頭像。(6)視覺冗余：某些圖像的失真是人眼不易覺察的。 §2.2圖像壓縮原理去除多余數(shù)據(jù)。以數(shù)學的觀點來看，這一過程實際上就是將二維像素陣列變換為一個在統(tǒng)計上無關聯(lián)的數(shù)據(jù)集合圖像壓縮是指以較少的比特有損或無損地表示原來的像素矩陣的技術，也稱圖像編碼。圖像數(shù)據(jù)之所以能被壓縮，就是因為數(shù)據(jù)中存在著冗余。圖像數(shù)據(jù)的冗余主要表現(xiàn)為：圖像中相鄰像素間的相關性引起的空間冗余；圖像序列中不同幀之間存在相關性引起

23、的時間冗余；不同彩色平面或頻譜帶的相關性引起的頻譜冗余。數(shù)據(jù)壓縮的目的就是通過去除這些數(shù)據(jù)冗余來減少表示數(shù)據(jù)所需的比特數(shù)。由于圖像數(shù)據(jù)量的龐大,在存儲、傳輸、處理時非常困難，因此圖像數(shù)據(jù)的壓縮就顯得非常重要。信息時代帶來了“信息爆炸”，使數(shù)據(jù)量大增，因此，無論傳輸或存儲都需要對數(shù)據(jù)進行有效的壓縮。在遙感技術中，各種航天探測器采用壓縮編碼技術，將獲取的巨大信息送回地面。圖像壓縮是數(shù)據(jù)壓縮技術在數(shù)字圖像上的應用，它的目的是減少圖像數(shù)據(jù)中的冗余信息從而用更加高效的格式存儲和傳輸數(shù)據(jù)5。§2.3 數(shù)字圖像壓縮方法 圖像壓縮就是在沒有明顯失真的前提下，將圖像的位圖信息轉變成另外一種能將數(shù)據(jù)量縮

24、減的表達形式。首先，盡管圖像中數(shù)據(jù)量很大，但數(shù)據(jù)之間不是完全獨立的，圖像中存各種各樣的相關性或冗余信息。即一部分數(shù)據(jù)可以由另一部分數(shù)據(jù)完全推算出來。其次，大部分圖像視頻信號的最終接收者都是人眼，而人類的視覺系統(tǒng)是一種高度復雜的系統(tǒng)，它能從極為雜亂的圖像中抽象出有意義的信息，并以非常精練的形式反映給大腦。人眼對圖像中的不同部分的敏感程度是不同的，如果去除圖像中對人眼不敏感或意義不大的部分，對圖像的主觀質量是不會有很大影響的。本文主要是利用小波變換壓縮對圖像進行壓縮，并對比了圖像壓縮前后的數(shù)據(jù)。§2.4 圖像壓縮的分類本小節(jié)主要介紹了三大類別的圖像壓縮方法，分別為1.基于分形的壓縮方法；

25、2.小波變換(Wavelet Transform)與圖像壓縮；3.基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(Artificial Neural Network，ANN)的圖像壓縮。下面是對三類壓縮方法的簡要闡述。2.4.1基于分形的壓縮方法基于分形的方法是近幾年來引起關注和爭議的一種圖像壓縮方法。對圖像壓縮而言，分形主要是利用自相似的特點，通過迭代函數(shù)系統(tǒng)來實現(xiàn)壓縮。利用分形特征對圖像進行描述和處理是很自然的。分形能取得更好的圖像質量，當然在較低壓縮比的情況下，JPEG是更好的選擇。分形壓縮方法計算量比較大，時間開銷長，因此加快分形壓縮方法速度是當前研究的熱點之一。2.4.2小波變換(Wavelet Transfor

26、m)與圖像壓縮小波變換(Wavelet Transform)在頻率精度方面稍差一些，但在時間的分析能力上更好一些，而且可以對時間和頻率同時進行分解，這是傳統(tǒng)傅立葉變換所做不到的。小波變換已經(jīng)開始應用到數(shù)字圖像數(shù)據(jù)壓縮等領域，主要是采用離散小波變換。在某些情況下，小波變換更優(yōu)于DCT等其他正交變換。2.4.3基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(Artificial Neural Network，ANN)的圖像壓縮利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(Artificial Neural Network，ANN)進行圖像壓縮是這個領域近幾年的又一研究熱點，并且取得了積極的進展。這是一種與視覺系統(tǒng)知識緊密相關的壓縮方法。ANN并分布的聯(lián)結

27、機制與人的視覺系統(tǒng)有某些相似之處，利用此原理及其改進的方法進行圖像壓縮可獲得較好的效果。 第三章 小波分析理論基礎小波分解方法是一種窗口大小(即窗口面積)固定，但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可改變的時頻局域化分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，被稱為“數(shù)學顯微鏡”。正是這種特性，使小波變換具有對信號的自適應性。使得小波分析應用于各個領域。§3.1從Fourier分析到小波分析 傳統(tǒng)的信號處理分析工具和方法是以Fourier分析基礎的，一個周期振動信號可看成是具有簡單頻率的簡諧振動的疊加，F(xiàn)ourier展開正

28、是這一無理過程的數(shù)學描述。Fourier變換定義了“頻率”的概念，用它可以分析信號的能量在各個頻率成分中的分布情況。對信號，其變換定義為 （3.1）逆變換定義為 （3.2）由式（3.1）知，F(xiàn)ourier變換將信號分解至純頻率項，頻率信息由變換函數(shù)提供。但我們同時發(fā)現(xiàn)，盡管Fourier變換一直是頻譜分析最有效的數(shù)學工具，但任何一個頻譜信息依賴于在上的所有值，而由式(3.2)，F(xiàn)ourier逆變換在的收斂性依賴于的任意小的鄰域值。此缺點在對聲音等非平穩(wěn)信號的壓縮和傳輸中尤為突顯，所給出的變換幾乎是無用的，人們必須等待無限長的時間去計算Fourier變換。也就是說，F(xiàn)ourier變換的致命缺點是

29、不能做局部分析。為了克服Fourier變換不能同時進行時間、頻率局部性分析，Gabor于1964年引入加窗Fourier變換，信號的窗口Fourier變換定義為： （3.3）其中函數(shù)g是給定的稱為窗函數(shù)（如Gauss函數(shù)）。此時有如下重建公式： （3.4）另外，參數(shù)和的值可以直接定義為離散值，并根據(jù)實際問題的需要適當選取時間步長與頻率步長，例如，由此得到窗口Fourier變換的表達式： （3.5）但值得注意的是，窗口Fourier變換的時域與頻域窗口的大小一旦選定就固定不變，與頻率無關。因此，它只適合分析所有特征、尺度大致相同的過程，窗口沒有自適性，不適合分析多尺度信號和突變過程，而且其離散形

30、式?jīng)]有正交展開。小波變換繼承和發(fā)展了窗口Fourier變換時域、頻域局部化的思想，同時又克服了窗口大小不隨頻率變化、沒有離散正交基的缺點。小波基函數(shù)相當于一個窗函數(shù)，小波基的平移相當于窗口平移，它在低頻區(qū)有大的時域窗口，頻率越高，則時域窗口越小，而且具有離散化的規(guī)范正交基。§3.2連續(xù)小波變換與離散小波變換 定義3.1 如果函數(shù) 且滿足： （3.6）則叫允許小波，條件（3.6）稱為允許性條件，此條件等價于 。 定義3.2 設 且 ， 則經(jīng)由函數(shù)伸縮和平移得到的函數(shù)族 （3.7）叫做分析小波或連續(xù)小波。 叫做基本小波或母小波。a為伸縮因子，b為平移因子。 連續(xù)小波的作用于Cabor變換

31、中的窗口函數(shù)是類似的，不同的是尺度參數(shù)a的作用，它雖然不改變窗口的面積，但使得窗口具有敏感的變焦特性。也就是說，具有適當于它們的頻率的時間寬度：高頻很窄，低頻很寬。這樣在信號中的瞬變現(xiàn)象分析中，小波變換比Gabor變換更好地“移近”觀察6。定義3.3 設是基本小波， 是按式（3.7）給出的連續(xù)小波，對信號 ，該信號的連續(xù)小波變換為： （3.8）此時有如下重建公式： （3.9）參數(shù)a的伸縮和參數(shù)b的平移為連續(xù)取值的小波變換是連續(xù)小波變換，主要用于理論分析方面。實際應用中需要對尺度參數(shù)a和定位參數(shù)b進行離散化處理，可以選取 ，m是整數(shù)， 是大于1的固定伸縮步長。在m=0時，取固定整數(shù)倍化b，當然必

32、須選取使 覆蓋整個實軸。因此，選 于是離散小波可以定義為 （3.10）相應的小波變換為： （3.11）稱為離散小波變換。為簡化數(shù)值計算，選取特殊的 及 ，此時的離散小波為： （3.12）稱為二進小波。§3.3 多尺度分析與正交小波變換在連續(xù)小波變換的情形下，當小波滿足允許性條件時可完全重構原信號。那么離散小波變換由變換系數(shù) 能否以數(shù)值穩(wěn)定的方法重構呢？如果我們構造小波 ，使得伸縮、平移函數(shù)族 是 的一組規(guī)范正交基，那么任意 有 ，即由系數(shù) 完全刻畫了函數(shù)的性質或信號的變化過程。為了有效的尋找 的基底，我們先從 的一個子空間出發(fā)建立基底，再利用簡單的變換把基底擴充到整個 ，而這也正是多

33、尺度分析基本思想。定義3.4 空間 中的多尺度分析是指 中的滿足如下條件一個空間序列 ：1. 一致單調性： 2. 漸進完全性： 3. 伸縮規(guī)則性： 4. 平移不變性： 5. Riesz基存在性： 存在 ，使得 ，構成的Riesz基。此處的函數(shù) 稱為尺度函數(shù)，也稱 生成了一個多分辨分析。對于如上定義的多尺度分析 ， 必滿足雙尺度方程，即： (3.13)對 進行正交化，可以得到一組標準正交基。 定理3.1 設 是多尺度分析 的生成元，滿足：（1） 是 的標準正交基；（2） 存在 使得： (3.14)現(xiàn)令 (3.15) 則有 （1） , 從而 （2） 是函數(shù)中的標準正交基，從而 是 中的標準正交基。

34、并且 的一種可能是 即： (3.16) 設 是 中的標準正交基，則對任意 有如下展開 (3.17)其中 (3.18)由于式（3.17）是一個無窮級數(shù)，其系數(shù)需按（3.18）式計算，而 一般不具有初等解析表達式。實際問題在 往往是數(shù)值方式給出的，因此用（3.18）式計算 是不方便的。所以希望代替式（3.18）得到一個離散算法，這就是著名的Mallat算法（此處不再敘述詳見7）。§3.4 雙正交小波變換雖然小波正交基用途廣泛，但也存在不足。其一是小波正交基的結構復雜，其次具有緊支集的小波正交基不可能具有對稱性。因此，它用作濾波器不可能具有線性相位，從而產生重構失真。解決的方法之一就是放棄

35、正交性，即用雙正交小波代替正交小波。雙正交小波的定義如下8：定義3.5 設 如果構成的Riesz基，且 （3.19）則稱是一個雙正交小波函數(shù)，和是對偶小波，和為雙正交的對偶小波基。由和的雙正交性可以得到的展開式 （3.20）類似于構造正交小波的途徑，構造雙正交小波函數(shù)的途徑是由兩個對偶的多分辨分析出發(fā)。定義3.6 設 和 分別是 的可能不同的多分辨分析。如果 ，則稱 和 是互相對偶的多分辨分析，稱 為雙正交尺度函數(shù)。 如果將數(shù)字濾波器 的Z變換 的復變量Z限制在單位圓上，用表示，即 則多分辨分析生成元 滿足如下二尺度方程， （3.21） （3.22）其中滿足 （3.23）其中，為單位矩陣。定理

36、3.2 按式（3.22）定義，和是滿足雙正交性： 與 第四章 基于小波變換的數(shù)字圖像壓縮小波圖像壓縮是利用小波變換同時具有好的空間分辨率和好的頻率分辨率的特性，使變換系數(shù)的能量同時在頻率上和空間上集中，達到去除像素冗余度的作用，以此達到壓縮的目的。§4.1 圖像的小波分解 數(shù)字圖像的小波分解是小波壓縮的第一步。一幅圖像可以看做是二維信號，使用二維離散小波變換對圖像進行分解,類似于子帶分解。數(shù)字圖像首先在行的方向進行分解，并對行方向進行下取樣,去除冗余信息；然后對列方向進行分解,再對列方向進行下取樣。重復地對低頻子帶系數(shù)進行這一過程，直到最低分辨率達到需要的尺度為止。由于這種多級分解就

37、獲得了圖像的一種由一組低分辨率系數(shù)和一系列細節(jié)系數(shù)表示的方法。小波變換將圖像的絕大部分能量壓縮到低頻子帶中,只有少數(shù)的能量分布在高頻子帶，結果得出數(shù)字圖像小波變換系數(shù)具有下面幾個統(tǒng)計特性8：空頻局部化;能量壓縮特性；子帶內小波系數(shù)的聚類特性；子帶間小波系數(shù)的相似性；小波系數(shù)幅值從低頻到高頻的衰減性。這些特性已被證實對數(shù)字圖像壓縮是至關重要的。利用小波變換進行數(shù)字圖像壓縮有以下優(yōu)點：(1)小波變換完善的重建能力保證了信號在分解過程中沒有信息丟失和冗余，即小波變換作為一組表示信號分解的基函數(shù)是唯一的；(2)小波變換把圖像分解為逼近圖像和細節(jié)圖像之和,它們分別代表了圖像的不同結構，因此原始圖像的結構

38、信息和細節(jié)信息很容易提??； (3)小波變換編碼不同于DCT塊編碼技術，它不會出現(xiàn)人的視覺非常敏感的方塊效應，這是因為小波變換對圖像信號進行全局分解，量化失真隨機分布于整幅圖像之中，人眼不易察覺；(4)二維小波分解為圖像的分析提供了方向選擇性，非常適合于人眼的視覺系統(tǒng)。§4.2 小波基的選取 小波變換是一種信息保持型的可逆變換，原來信號的信息完全保留在小波變換的系數(shù)中。理論上講，由分解后的信號可以準確地恢復到原信號，但并非所有的小波基都適合數(shù)字圖像數(shù)據(jù)的分解，選擇的小波基的合適與否直接影響到最終的壓縮效果。選擇小波基時應考慮以下幾個方面9：(l)正交性。用正交小波基由多尺度分解得到的各

39、子帶數(shù)據(jù)分別落在相互正交的子空間中,使各子帶數(shù)據(jù)相關性減小。但能準確重建的正交的線性相位有限沖擊響應濾波器組是不存在的，即除了Haar系小波外，沒有任何緊支集正交小波具有對稱性。因此一般放寬條件用雙正交濾波器。(2)支撐集。一般要求小波基是緊支撐集，緊支小波基的重要性在于它在數(shù)字信號的離散小波分解過程中可以提供系數(shù)有限的、更實際的FIR濾波器；非緊支小波基在實際運算時必須截斷，Daubechies小波是目前最常用的緊支正交小波之一。(3)對稱性。對稱濾波器具有兩個優(yōu)點：一方面人類的視覺系統(tǒng)對邊緣附近對稱的量化誤差較非對稱誤差更不敏感，另一方面對稱濾波器組具有線性相位，在對圖像進行處理時，線性相

40、位很重要,對圖像邊緣作對稱邊界延拓時，重構圖像邊緣部分失真較小有利于獲得高質量的重構圖像。(4)正則性。正則性刻畫了小波的光滑度，正則性與支撐集大小有關，支撐越大，正則性越好。小波基的正則性對最小量化誤差是很重要的，因此，正則性越大的小波基越好。(5)消失矩階數(shù)。消失矩表明了小波變換后能量集中程度，消失矩階數(shù)很大時，精細尺度下的高頻部分數(shù)值有很多是小的可以忽略的(奇異點除外)因此用消失矩越大的小波基進行分解后，圖像的能量越集中，壓縮的空間就越大。本文對常用的4種小波基根據(jù)以上的標準進行了比較10：表4-1 四種常用的小波基比較Daubechies-4Daubechies-20BrislawnA

41、ntonini光滑度0.52.91.01.4消失矩階數(shù)21014對稱性非對稱非對稱對稱對稱正交性正交正交正交雙正交緊支性緊支集緊支集非緊支集緊支集§4.3 量化技術 數(shù)字圖像壓縮編碼的第二級是量化，量化是使數(shù)據(jù)比特率下降的一個強有力的措施，其目標是將一個“連續(xù)”的圖像變換系數(shù)集映射為一個能很好逼近相應系數(shù)的有限的符號集合11。進而將小波系數(shù)轉化為字符流，使得所得的字符流的熵足夠小以便于在熵編碼時得到低比特率。量化方法通?？煞譃闃肆苛炕?SQ)和矢量量化(VQ)。標量量化對每一系數(shù)單獨量化，量化分層可以是均勻的,也可以是非均勻的。其中均勻量化器由于對信號的適應性以及實現(xiàn)的簡單性，仍是很

42、常用的量化技術。從信息論的角度來看，矢量量化總能獲得優(yōu)于標量量化的率失真性能，而且鑒于圖像小波變換后的小波系數(shù)所呈現(xiàn)出的一些統(tǒng)計特性6，基于小波變換的圖像編碼也常采用矢量量化技術。 在數(shù)字圖像的壓縮中，圖像可看成是一串數(shù)據(jù)。設這一串數(shù)據(jù)共m個,把它截成M段(一般是相等的,設k個數(shù)據(jù))，即把m個數(shù)據(jù)變成了M個數(shù)據(jù)向量X=(X,XZ,X），再把這M個向量分成N個組，對每個組挑選一個數(shù)據(jù)向量 作為代表向量。圖像上某個數(shù)據(jù)向量，如果滿足 （4.1）其中為矢量X，與碼字y之間的失真測度。則該數(shù)據(jù)向量屬于第j個組，則這個數(shù)據(jù)向量就用該組的代表向量凡代替。這時的編碼就是在碼字的相應位置上記下編號j，而不必記

43、下片本身。矢量量化的關鍵是訓練碼本，以獲得盡可能小的平均失真。在眾多的矢量算法中，LBG是最有代表性的基本算法，但其時間復雜度隨著比特率和矢量維數(shù)的增加呈指數(shù)規(guī)律兩上漲。由于圖像復雜多樣，形成的矢量變化多端，要建立一個囊括各種變化的大型碼字不太可能，且碼書越大，編碼所需的比特數(shù)越多，編碼和解碼速度越慢，影響其應用。§4.4經(jīng)典小波本小節(jié)主要介紹了幾種常見了經(jīng)典小波，包括Haar小波、Morlet小波、Mexican hat小波和Gaussian小波，并分別對其進行簡要的分析。4.4.1 Haar 小波Haar小波來自于數(shù)學家Haar于1910年提出的Haar正交函數(shù)集，其定義是： （

44、4.2）其波形如圖4-1（a）所示。的傅里葉變換是： （4.3） Haar小波有很多好的優(yōu)點，如：1. Haar小波在時域是緊支撐的，即其非零區(qū)間為（0，1）；2.若取，那么Haar小波不但在其整數(shù)位移處是正交的，即，而且在取不同值時也是兩兩正交的，即如圖4-1(b)和(c)所示。所以Haar小波屬正交小波；3. Haar波是對稱的。我們知道，離統(tǒng)的單位抽樣響應 (a) 若具有對稱性，則該系統(tǒng)具有線性相位，這對于去除相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯一的一個既具有對稱性又是有限支撐的正交小波；4. Haar小波僅取1和1，因此計算簡單。 (b) 但Haar小波是不連續(xù)小波，由于，因此在

45、處只有一階零點，這就使得Haar小波在實際的信號分析與處理中受到了限制。但由于 (c)Haar小波有上述的多個優(yōu)點，因此在教科書與論文中常被用作范例來討論。 圖4-1 Haar小波4.4.2.Morlet小波Morlet小波定義為 (4.4) 其傅里葉變換如公式4.5。 (4.5) 它是一個具有高斯包絡的單頻率復正弦函數(shù)?？紤]到待分析的信號一般是實信號，所以在MATLAB中將（圖4-3）式改造為公式4.6： (4.6)并取 。該小波不是緊支撐的，理論上講可取。但是當，或再取更大的值時，和在時域和頻域都具有很好的集中，如圖4-2所示。Morlet小波不是正交的，也不是雙正交的，可用于連續(xù)小波變換

46、。但該小波是對稱的，是應用較為廣泛的一種小波。 圖9.6.2 Morlet小波， (a)時域波形， (b)頻譜(a)時域波形 (b)頻譜圖4-2 Morlet小波4.4.3.Mexican hat 小波該小波的中文名字為“墨西哥草帽”小波，又稱Marr小波。它定義為 (4.7)式中，其傅里葉變換為 (4.8)該小波是由一高斯函數(shù)的二階導數(shù)所得到的，它沿著中心軸旋轉一周所得到的三維圖形猶如一頂草帽，故由此而得名。其波形和其頻譜如圖4-3所示。該小波不是緊支撐的，不是正交的，也不是雙正交的，但它是對稱的，可用于連續(xù)小波變換。由于該小波在處有二階零點，因此它滿足容許條件，且該小波比較接近人眼視覺的空

47、間響應特征，因此它在1983年即被用于計算機視覺中的圖像邊緣檢測12。 (a)時域波形 (b)頻譜圖4-3 墨西哥草帽小波4.4.4Gaussian小波高斯小波是由一基本高斯函數(shù)分別求導而得到的，定義為： (4.9) 式中定標常數(shù)是保證。該小波不是正交的，也不是雙正交的，也不是緊支撐的。當取偶數(shù)時正對稱，當取奇數(shù)時，反對稱。圖4-4給出了時的的時域波形及對應的頻譜。 (a)時域波形 (b)頻譜圖4-4 高斯小波，取 §4.5小波變換實現(xiàn)數(shù)字圖像壓縮 利用小波變換對圖像數(shù)據(jù)進行壓縮的具體過程主要分為以下兩個步驟：（1）利用二維離散小波變換將圖像分解為低頻分量以及分別對應不同方向高頻細節(jié)

48、分量13 （2）對所得到的低頻分量 以及高頻細節(jié)分量 ，根據(jù)人類的視覺生理特征分別作不同策略的量化和編碼處理。例如，對于低頻分量可以采用快速余弦變換、“之”字型掃描、非均勻量化結合Huffman編碼的方法進行數(shù)據(jù)壓縮。對于其它3個方向的高頻分量可以采用閥值量化或時頻域局部化并結合Huffman編碼的方法進行數(shù)據(jù)壓縮。對于高頻分量的閥值量化意味著取門限，令 （4.10）門限的大小可根據(jù)要求重建圖像的PSNR或均方誤差來確定。 對人眼的視覺生理實驗表明:在重建圖像中人眼能覺察出的失真不僅取決于該圖像的總均方誤差，而且取決于這一誤差在低頻分量和各個高頻分量中的分配。人眼對刺激的響應靈敏度與空間方向也

49、有關，對水平方向和垂直方向的靈敏度要高，對45。方向最低。由于二維小波變換將原始圖像分解為獨立的頻帶以及水平、垂直和45。三個方向的分量，因此可以通過改變各高頻分量取閥值量化引起的均方誤差，使之與人的視覺頻率特征和空間方向特征一致，以便得到最佳的數(shù)據(jù)壓縮效果。在解碼端則采用逆小波變換、熵編碼方法可在允許一定失真的條件下近似恢復原始圖像。下圖為圖像lena經(jīng)過一次小波分解后的低頻分量和3個方向的高頻分量。 圖4-5 小波分解后的低頻分量和3個方向的高頻分量如上頁圖4-5所示，lena圖像分解后低頻方向上的分量存在邊界失真問題，而邊界失真主要是正交鏡像濾波器的非線性相位特性、信號自身在邊界附近的相

50、關性以及對變換結果亞抽樣所造成的。在信號的子帶分析中,子帶分析重構系統(tǒng)必須滿足下列兩個條件:(l)完全重構性:原始信號可以由它的子帶信號完全重構。正交鏡像濾波器組組成的系統(tǒng)是完全重構的系統(tǒng)。(2)子帶信號的數(shù)據(jù)點數(shù)的總和不應多于原始信號的數(shù)據(jù)點。對于無限長度的信號,它們的頻帶是嚴格受限的,根據(jù)抽樣定理,其子帶信號進行嚴格抽樣就能滿足條件(l)和(2)。然而,對于有限長度的信號,信號經(jīng)小波變換濾波,的數(shù)據(jù)點的總和大于原始信號的數(shù)據(jù)點數(shù),從而引起邊界外延。如果滿足條件(l)的完全重構性,子帶信號在嚴格抽樣時的數(shù)據(jù)點將不斷增加,不能滿足條件(2)。如果去掉因濾波而增加的點數(shù)以滿足條件(2),則由于信

51、息的丟失,重構信號將產生畸變,不能滿足條件(l)。為了同時滿足兩個條件,必須對原始信號進行邊界周期延拓,形成一個無限信號,以減少信息的丟失。嵌入式零樹編碼（EZW）算法EZW算法的主要特點是：EZW利用了一幅圖像的小波變換在不同級之間的相似性。Shapiro假定：如果在粗分辨率一個小波系數(shù)是無效的，所有在同一空間位置和方向上的系數(shù)也極有可能是無效的。結果表明，這個假定是相當有效的。Shapiro把小波系數(shù)組織成一系列的四叉樹形結構，如下圖4-6所示。零樹根節(jié)點意味著所有在此子樹上的小波系數(shù)都是不重要的，因而除了要對樹根進行編碼外，其他的節(jié)點都不需要編碼。為了獲得很低的比特率，零樹根符號的概率必

52、須很高。各系數(shù)編碼的順序如圖8.6-2所示。掃描從最低頻率子帶LL3（假定是三級分解）開始，結束于HH1。在移到下一子帶之間，要把當前子帶的系數(shù)全部掃描完，所有的父節(jié)點先于子節(jié)點被掃描。顯然，這種掃描方式在編碼端和譯碼端都是一樣的。 LL3 HL3 LH1 HH1 HL2 HL1 LH2 HH2 LH1 HH1 圖4-6 三級DWT時的父子依賴關系 LL3 HL3 HL2 LH3 HH3 HL1 LH2 HH2 LH1 HH3圖4-7 三級小波的掃描順序在按圖4-7所定義的掃描順序對意義圖（即有效小波系數(shù)的位置）進行主編碼過程，使用了如下碼字：POS(positive significant),NEG(negative significant)IZ(isolated zero/insignificant),andZTR(root of a zerotree).在輔助編碼過程中，對單個比特信息進行編碼，該單比特信息用于解碼時確定某小波系數(shù)是否被認為是有效的。EZW