1單側(cè)極限與無(wú)窮大

1、4. 單側(cè)極限與無(wú)窮大單側(cè)極限與無(wú)窮大1. 單側(cè)極限概念及其定義單側(cè)極限概念及其定義當(dāng)自變量趨于有限數(shù)時(shí)，函數(shù)極限 的數(shù)量化刻畫(huà)是 “ 語(yǔ)言 ” ：axfxxts)(0. .,0,00axfxx)(lim0000000 xxxxxxxx或axfxxxxxx)(,0,00000都可成立或者無(wú)論語(yǔ)言可以表為：這時(shí)有什么具體含義？便可成立當(dāng)如果,)(,0,000axfxxx 這時(shí)可以理解為：只考慮點(diǎn)只考慮點(diǎn) x0 的的 左鄰域左鄰域 內(nèi)，自變量?jī)?nèi)，自變量 從左邊趨于從左邊趨于 有限數(shù)有限數(shù) x0 時(shí)，時(shí)， 函數(shù)值函數(shù)值 f ( x ) 有向常數(shù)有向常數(shù) a 無(wú)限趨近的變化趨勢(shì)。無(wú)限趨近的變化趨勢(shì)。

2、這種情況下，稱函數(shù)這種情況下，稱函數(shù) f ( x ) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的的 左極限左極限 存在，記為：存在，記為： axfxx)(lim00只考慮點(diǎn)只考慮點(diǎn) x0 的的 右鄰域右鄰域 內(nèi)，自變量?jī)?nèi)，自變量 從右邊趨于從右邊趨于 有限數(shù)有限數(shù) x0 時(shí)，函時(shí)，函數(shù)值數(shù)值 f ( x ) 有有 向常數(shù)向常數(shù) a 無(wú)限趨近的變化趨勢(shì)。無(wú)限趨近的變化趨勢(shì)。 這種情況下，稱函數(shù)這種情況下，稱函數(shù) f ( x ) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的的右極限右極限 存在，記為：存在，記為： axfxx)(lim00這時(shí)的具體含義是：便可成立當(dāng)如果類似地，,)(:,0,000axfxxx 函數(shù)函數(shù) f ( x ) 在點(diǎn)在點(diǎn)

3、x0 的的 左極限左極限 與與 右極限右極限 統(tǒng)稱為函數(shù)統(tǒng)稱為函數(shù) f ( x ) 在在點(diǎn)點(diǎn) x0 處的處的 單側(cè)極限單側(cè)極限 。原規(guī)定的函數(shù)。原規(guī)定的函數(shù) f ( x ) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的的 極限極限 也也就常被稱為就常被稱為 雙側(cè)極限。雙側(cè)極限。利用單側(cè)極限定義利用單側(cè)極限定義 驗(yàn)證極限問(wèn)題驗(yàn)證極限問(wèn)題 02lim10 xx用定義驗(yàn)證：，取任意取定正數(shù)證：01xxaxfx11202)(0時(shí)，有：則當(dāng)1112x. 02lim10 xx根據(jù)函數(shù)極限定義，0)1(log12.定理：定理：函數(shù)函數(shù) f ( x ) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 點(diǎn)處有點(diǎn)處有（雙側(cè)）雙側(cè)） 極限極限 的充分必要條件是：的充分必要

4、條件是： 它在點(diǎn)它在點(diǎn) x0 處的處的 左極限左極限 與與 右極限右極限 均均 存在存在 并且并且 相等相等 。說(shuō)明說(shuō)明 (1)函數(shù)極限的函數(shù)極限的 四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則 對(duì)函數(shù)的對(duì)函數(shù)的 單側(cè)極限單側(cè)極限 也是成立的。也是成立的。則，）可換成（即若以下極限00000000limlim,)(lim,)(limxxxxxxxxbxgaxf;)()(lim)()(lim)(0000baxgxfxgxfixxxx亦存在，且有：.)()(lim)()(lim,0)(0000baxgxfxgxfbivxxxx且有：亦存在，則如果還有;)()(lim)()(lim)(0000baxgxfxgxfiix

5、xxx亦存在，且有：;)()(lim)()(lim)(0000baxgxfxgxfiiixxxx亦存在，且有：?jiǎn)蝹?cè)極限單側(cè)極限 與與 雙側(cè)極限雙側(cè)極限 的相互關(guān)系顯然有以下的定理：的相互關(guān)系顯然有以下的定理：（2）“簡(jiǎn)單函數(shù)簡(jiǎn)單函數(shù) ” 的的 單側(cè)極限單側(cè)極限 已知結(jié)果仍然是：已知結(jié)果仍然是： .lim;(lim00000 xxcccxxxx為常數(shù)）（3）求）求 “整式函數(shù)整式函數(shù) ” 和和 “某些某些 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù) ” 的的 單側(cè)極限單側(cè)極限 時(shí)時(shí)， 代入法代入法 仍然成立仍然成立；求求 “另一些另一些 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù) ” 的的 單側(cè)極限單側(cè)極限 時(shí)時(shí)，消去零因式法消去

6、零因式法 仍然成立仍然成立 ；求；求 “某些某些 無(wú)理分式函數(shù)無(wú)理分式函數(shù) ” 的的 單側(cè)極限單側(cè)極限 時(shí)時(shí)，共軛因式法共軛因式法 也仍然成立也仍然成立 。2. 單側(cè)極限的應(yīng)用實(shí)例單側(cè)極限的應(yīng)用實(shí)例 函數(shù)函數(shù) f ( x ) 的的 單側(cè)極限單側(cè)極限 概念在研究概念在研究 分段函數(shù)分段函數(shù) 的極的極 限時(shí)有限時(shí)有 不可或缺不可或缺 的應(yīng)用。的應(yīng)用。)2(lim)(lim20101xxxfxx解：如果存在，求出其值。是否存在？試問(wèn)：，已知例)(lim1,1321,2)(.11222xfxxxxxxxxfyx132lim)(lim220101xxxxfxx2)(lim)(lim0101xfxfxx題

7、型題型 i：研究研究 分段函數(shù)分段函數(shù) 在在 分段點(diǎn)分段點(diǎn) 上的函數(shù)極限問(wèn)題上的函數(shù)極限問(wèn)題 .13lim01xxx.2)(lim)(lim11xfxfxx存在，且,2211代入法)1)(1()3)(1(lim01xxxxx,224代入法).(lim)2(.)(lim) 1 (1,1321,2)(. 221333xfxfxxxxxxxxfyxx求：如果存在，求出其值是否存在？試問(wèn)：，已知例.)(lim1不存在xfx132lim)(lim)2(3322xxxxfxx)2(lim)(lim) 1 (30101xxxfxx解：132lim)(lim330101xxxxfxx,22113代入法13li

8、m2201xxxxx)(lim235)(lim0101xfxfxx) 1)(1()3)(1(lim2201xxxxxxx.791)2(3)2(2)2(33代入法,35代入法。為某個(gè)正常數(shù)求極限)0(limaxxax，為某個(gè)正整數(shù)其中，滿足若解：kkaka1xkxxaxax1limlim則xkxxaxax1limlim00ak1;111aaakxxxxaxaxlimlim00。不存在此時(shí)xxaxlim;aa，為某個(gè)正整數(shù)其中，若kka xkxxaxax00limlim而;1ak。為整數(shù)不是整數(shù)，不存在即aaaaxxaxlim。求極限作業(yè)：)0(lim. 1axxax.)(lim. 20 xxxx

9、求極限題型題型 ii：已知已知 分段函數(shù)分段函數(shù) 在在 分段點(diǎn)分段點(diǎn) 上極限存在，求函數(shù)表示式中的上極限存在，求函數(shù)表示式中的 待定常數(shù)問(wèn)題待定常數(shù)問(wèn)題 .)(lim)(lim2,422,3)(.3223的值及常數(shù)求：存在，且，已知例xfaxfxaxxaaxxxfyxx.)(lim)(lim)(lim02022xfxfxfxxx存在，解：.4448aaa)3(lim)(lim30202aaxxxfxx由于)42(lim)(lim0202axxfxx.128)(lim)(lim022axfxfxx,8a代入法,44a代入法)1222(1222432lim)432(lim33302302xxxxb

10、xaxbxaxxx，）（解：1)(lim102xfx是否存在？的值及常數(shù)求存在，且，已知例)(lim)2(.)(lim,)1()(lim,1)(lim2,12224322,3)(.42020202333xfxfbaxfxfxxxbxaxxbaxxxfyxxxx)3(lim)(lim30202baxxxfxx而;1328ba)1222(lim1222432lim3023302xxxxbxaxxx, 0)1222(lim)(lim30202xxxfxx,328ba 代入法.22102381328bababa解;02384616)432(lim302bababxaxx代入法而)(lim1113)(l

11、im0202xfxfxx1222432lim)(lim2330202xxbxaxxfxx這時(shí)）（）642)(2(22)(2(lim2202xxxxxxx64222lim2202xxxxx.)(lim2不存在xfx122246lim3302xxxxx,113226代入法.)(lim,)(lim1,71032111)(,. 511223xfxfxxxabxaxxxxbaxxfbaxx并算出存在的極限當(dāng)當(dāng)當(dāng)使得及確定例)2(lim2301abxaxxx另一方面，均存在，故存在，）（解：)(lim)(lim)(lim101011xfxfxfxxx)(lim)(lim0101baxxfxx)2(lim2

12、301abxaxxx,0)7103(71032lim222301xxxxabxaxxx;101abba,ba 代入法,1ba代入法.1)(lim)(lim)2(011baxfxfxx1423423abaa71032)1(lim22301xxaxaaxxx代入原極限.32ba732)1(lim201xaxaxx)73)(1(2)1()1(lim201xxaxaxxx,423a代入法3. 無(wú)窮大的概念及其定義無(wú)窮大的概念及其定義 現(xiàn)在考慮當(dāng)現(xiàn)在考慮當(dāng) x 0 時(shí)時(shí) ，函數(shù)，函數(shù) y = 1 /x 的的極限。極限。 從圖中可以看出，當(dāng)從圖中可以看出，當(dāng) x 0 時(shí)時(shí) ，函數(shù)函數(shù) y = 1 /x 的

13、取值沒(méi)有向某個(gè)的取值沒(méi)有向某個(gè)常數(shù)無(wú)限趨于的常數(shù)無(wú)限趨于的極限趨勢(shì)。根據(jù)極限趨勢(shì)。根據(jù)前面的函數(shù)極限概念，當(dāng)前面的函數(shù)極限概念，當(dāng) x 0 時(shí)時(shí) ，函數(shù)，函數(shù) y = 1 /x 的的極限不存極限不存在在 。但是，我們可以說(shuō)，。但是，我們可以說(shuō)，當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí) ，函數(shù)，函數(shù) y = 1 /x 的取值有一的取值有一個(gè)個(gè) 無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn) 的趨勢(shì)的趨勢(shì) ！ 為了為了對(duì)這種也有某種趨勢(shì)的情況進(jìn)行對(duì)這種也有某種趨勢(shì)的情況進(jìn)行研究，我們稱研究，我們稱 這種極限不存在的這種極限不存在的特殊情況特殊情況 為：為：當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí) ，函，函數(shù)數(shù) y = 1 /x 是無(wú)窮大是無(wú)窮大?！盁o(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)無(wú)

14、限遠(yuǎn)離原點(diǎn) ” 的含義，的含義，從數(shù)量化角度看，可以理解為：無(wú)論給從數(shù)量化角度看，可以理解為：無(wú)論給定多大的正數(shù)定多大的正數(shù) e , 函數(shù)值函數(shù)值 f ( x ) 與原點(diǎn)的距離與原點(diǎn)的距離 | f ( x ) | 要比要比 這這個(gè)個(gè) 正數(shù)正數(shù) e 大：大： | f ( x ) | e 。當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí) ，函數(shù)，函數(shù) y = f ( x ) = 1 /x 的取值有一個(gè)的取值有一個(gè) 無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn) 的趨勢(shì)的趨勢(shì), 從數(shù)量化角度看，便可理解為：從數(shù)量化角度看，便可理解為：無(wú)論給定多大的正數(shù)無(wú)論給定多大的正數(shù) e , 總可找到自變量總可找到自變量 x 非常接近原點(diǎn)的一個(gè)范圍，當(dāng)非常接近原

15、點(diǎn)的一個(gè)范圍，當(dāng) x 在此范圍中時(shí)，在此范圍中時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值相應(yīng)的函數(shù)值 f ( x ) 與原點(diǎn)的距離必定大于這個(gè)正數(shù)與原點(diǎn)的距離必定大于這個(gè)正數(shù) e . 據(jù)此，據(jù)此，我們可以給出以下我們可以給出以下 “ 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí) ，函數(shù)，函數(shù) y = 1 /x 是無(wú)窮大是無(wú)窮大 ” 的的 數(shù)量化定義數(shù)量化定義“ x 0 ” 的含義，或者說(shuō)的含義，或者說(shuō) ，“ x 無(wú)限接近點(diǎn)無(wú)限接近點(diǎn) 零零 ” ，從數(shù)量化角從數(shù)量化角度度 看，可以理解為：動(dòng)點(diǎn)看，可以理解為：動(dòng)點(diǎn) x 與原點(diǎn)的距離與原點(diǎn)的距離 | x - - 0 | 小于一個(gè)小于一個(gè) 很小的很小的 正數(shù)正數(shù) ： | x - - 0 | 0 , 使

16、得對(duì)于滿足不等式使得對(duì)于滿足不等式 0 | x - x - x0 | e ， 則稱則稱 “ 當(dāng)當(dāng)自變量自變量 x 趨于趨于點(diǎn)點(diǎn) x 0 時(shí)，函時(shí)，函數(shù)數(shù) f ( x ) 時(shí)無(wú)窮大時(shí)無(wú)窮大 ” ，簡(jiǎn)記為：簡(jiǎn)記為：”時(shí)，“當(dāng)或記為)(:;)(lim00 xfxxxfxx以上函數(shù)極限時(shí)無(wú)窮大的數(shù)量化說(shuō)法，也可簡(jiǎn)明地表示為：以上函數(shù)極限時(shí)無(wú)窮大的數(shù)量化說(shuō)法，也可簡(jiǎn)明地表示為：, 0,0)(lim0exfxxexfxxts)(0. .0注意注意 ：(1) “ 無(wú)窮大無(wú)窮大 ” 不是一個(gè)很大的數(shù)，它只表示具有不是一個(gè)很大的數(shù)，它只表示具有 “ 無(wú)限無(wú)限遠(yuǎn)遠(yuǎn) 離原離原 點(diǎn)點(diǎn) ” 趨勢(shì)趨勢(shì) 的一種函數(shù)的一種函

17、數(shù) 。 (2) 函數(shù)是函數(shù)是 “ 無(wú)窮大無(wú)窮大 ” 不是函數(shù)不是函數(shù) 極限存在極限存在 的一種情況，故的一種情況，故極極 限的限的 四則運(yùn)四則運(yùn) 算法則算法則 不能直接運(yùn)用于不能直接運(yùn)用于 “ 無(wú)窮大無(wú)窮大 ” 。(3) “ 無(wú)窮大無(wú)窮大 ” “ 無(wú)窮大無(wú)窮大 ” “ 無(wú)窮大無(wú)窮大 ” 。 反例：反例：.1)111lim,1lim;11lim111xxxxxxxxx（但來(lái)進(jìn)行討論。）（可換成程無(wú)窮大的自變量極限過(guò)xxxxx,0)5(00(4) “ 無(wú)窮大無(wú)窮大 ” 必須在說(shuō)明自變量的具體極限過(guò)程下，才有意義。必須在說(shuō)明自變量的具體極限過(guò)程下，才有意義。4. 用定義驗(yàn)證函數(shù)是無(wú)窮大的應(yīng)用實(shí)例用定

18、義驗(yàn)證函數(shù)是無(wú)窮大的應(yīng)用實(shí)例.3lim12)1(11xx）用定義驗(yàn)證：（，取任意取定很大的正數(shù)證：1e0log13e22)1(1)1(133)(xxxf時(shí)，有：則當(dāng)1) 1(0 xx.3lim2)1(11xx根據(jù)無(wú)窮大定義，.321exx102lim)2(用定義驗(yàn)證：，取任意取定正數(shù)證：1exxxfx1122)(0時(shí)，有：則當(dāng).2111ex.2lim10 xx根據(jù)函數(shù)極限定義，0log12e，我們已有結(jié)論注意：02lim10 xx亦不是無(wú)窮大。既不存在，這說(shuō)明：xx102lim.212lim32xxx）用定義驗(yàn)證：（212)(,20 xxxfx時(shí)則當(dāng)03e225) 2( 25xx，取任意取定正數(shù)證：0e212xx.212lim2xxx根據(jù)定義，12 x312x.e.13232lim4321xxxx）用定義驗(yàn)證：（，取任意取定正數(shù)證：0e01e11351223222xxx13232)(1032xxxxfx有：時(shí)，則當(dāng)1