高一數(shù)學(xué)常用知識(shí)點(diǎn)整理

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載高中數(shù)學(xué)必修 2 學(xué)問(wèn)點(diǎn)一、直線與方程（1）直線的傾斜角定義： x 軸 正向 與直線 向上方向 之間所成的角叫直線的傾斜角；特殊地，當(dāng)直線與x 軸平行或重合時(shí) ,我們規(guī)定它的傾斜角為0 度；因此，傾斜角的取值范疇是0°180°（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率；直線的斜率常用k 表示；即 ktan；斜率反映直線與軸的傾斜程度；當(dāng)0 ,90在；時(shí)， k0；當(dāng)y290 ,180y1時(shí)， k0 ；當(dāng)90時(shí)， k 不存過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：kx2x1x1x2 留意下面四點(diǎn)：1 當(dāng)x1x2 時(shí)，公式右邊無(wú)意義，

2、直線的斜率不存在，傾斜角為90°；2 k 與 p1、p2 的次序無(wú)關(guān)； 3 以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；4 求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到；（3）直線方程點(diǎn)斜式：yy1k xx1 直線斜率 k，且過(guò)點(diǎn)x1, y1留意： 當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)， k=0 ，直線的方程是y=y1；當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因l 上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1 ；斜截式：ykxb ，直線斜率為k，直線在 y 軸上的截距為b兩點(diǎn)式：yy1xx1（ xx , yy ）直線兩點(diǎn)x , y，

3、x , yy2y1x2x112121122xy截矩式：1ab其中直線l 與 x 軸交于點(diǎn) a,0 ,與 y 軸交于點(diǎn) 0, b ,即 l 與 x 軸、 y 軸的 截距 分別為a,b ；一般式：axbyc0 （ a， b 不全為 0）留意： 1各式的適用范疇2 特殊的方程如：平行于 x 軸的直線：yb （ b 為常數(shù)）；平行于 y 軸的直線：xa （ a 為常數(shù)）；（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系平行于已知直線a0 xb0 yc00 （ a0 , b0 是不全為0 的常數(shù)）的直線系：a0 xb0 yc0 （ c 為常數(shù)）（二）過(guò)定點(diǎn)的直線系（ ）斜率為 k 的直線系：y

4、y0k xx0，直線過(guò)定點(diǎn)x0 , y0；（ ）過(guò)兩條直線為l 1 : a1xb1 yc10 ，l 2 :a2 xb2 yc20 的交點(diǎn)的直線系方程學(xué)習(xí)必備歡迎下載a1 xb1 yc1a2xb2 yc20 （為參數(shù)），其中直線l 2 不在直線系中；（6）兩直線平行與垂直當(dāng) l1 : yk1 xb1 ， l 2 : yk2 xb2 時(shí)，l1 / l2k1k2 , b1b2 ； l1l 2k1 k21留意：利用斜率判定直線的平行與垂直時(shí)，要留意斜率的存在與否；（7）兩條直線的交點(diǎn)l1 : a1 xb1 yc10l 2: a2 xb2 yc20 相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組a1 x a2 xb1 yc1b2

5、 yc20 的一組解；0方程組無(wú)解l1 / l 2；方程組有很多解l1 與 l 2 重合（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè) ax1 , y1 ，（b x2 , y2）是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，22就 | ab | xx yy 2121（9）點(diǎn)到直線距離公式： 一點(diǎn) p（10 ）兩平行直線距離公式x0 , y0到直線l1 : axbyc0 的距離 dax0by0c22ab在任始終線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解；二、圓的方程1、圓的定義：平面內(nèi)到肯定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑；2、圓的方程2（1）標(biāo)準(zhǔn)方程xa2ybr2，圓心a,b，半徑為r；（2）一般方程x2

6、y2dxeyf022當(dāng) de4 f0 時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為d ,e，半徑為 r221 d 22e 24 f當(dāng) d 2e 24f0 時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng) d 2e 24f0 時(shí)，方程不表示任何圖形；（3）求圓方程的方法：一般都采納待定系數(shù)法：先設(shè)后求； 確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，如利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出 a， b， r；如利用一般方程，需要求出d， e，f；另外要留意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置；3、直線與圓的位置關(guān)系：2直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情形，基本上由以下兩種方法判定：（1）設(shè)直線l : axbyc0 ，圓 c :xayb 2r

7、 2 ，圓心c a, b到 l 的距離為 daabbc22ab，就有 drl與c相離 ；drl與c相切 ；drl 與c相交（ 2）設(shè)直線l : axbyc0 ，圓 c :xa 2yb 2r 2 ，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為，就有20l 與c相離 ；0l與c相切 ；0l 與c 相交注：假如圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式xx0yy0r去解直線與圓相切的問(wèn)題，其中學(xué)習(xí)必備歡迎下載x0 , y 0表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r 表示半徑；3 過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程：圓 x2+y 2=r 2，圓上一點(diǎn)為x 0， y 0，就過(guò)此點(diǎn)的切線方程為xx0yy0r 2課本命題 圓 x-a 2+y-

8、b 2=r 2，圓上一點(diǎn)為x0，y0，就過(guò)此點(diǎn)的切線方程為x 0-ax-a+y 0-by-b= r 2課本命題的推廣2a2224、圓與圓的位置關(guān)系：通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（ d）之間的大小比較來(lái)確定；2設(shè)圓 c1 : xa12yb1r， c 2 :x2yb 2r兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（ d）之間的大小比較來(lái)確定；當(dāng) dr當(dāng) drr 時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；r 時(shí)兩圓外切，連心線過(guò)切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng) rrdrr時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng) drr 時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng) drr 時(shí)，兩

9、圓內(nèi)含；當(dāng) d0 時(shí)，為同心圓；三、立體幾何初步1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（ 1）棱柱：定義：有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行，由這些面所圍成的幾何體；分類(lèi) ：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等；表示 ：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱ad'abcdea ' b ' c ' d ' e ' 或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱幾何特點(diǎn) ：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形；（2）棱錐定義 ：有一個(gè)面是多邊形，其余各面

10、都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類(lèi) ：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示 ：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐pa ' b ' c ' d ' e '幾何特點(diǎn) ：側(cè)面、 對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相像，其相像比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方；（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類(lèi) ：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表示 ：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)pa ' b ' c ' d ' e '幾何特點(diǎn) ：

11、上下底面是相像的平行多邊形側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)（4）圓柱：定義 ：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾學(xué)習(xí)必備歡迎下載何體幾何特點(diǎn) ：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)矩形；（5）圓錐：定義 ：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特點(diǎn) ：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)扇形；（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特點(diǎn)： 上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)弓形；（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，

12、半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特點(diǎn)： 球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑；2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面對(duì)后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右） 、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度； 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度；3、空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn)：原先與 x 軸平行的線段仍舊與x 平行且長(zhǎng)度不變；原先與 y 軸平行的線段仍舊與y 平行，長(zhǎng)度為原先的一半；4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積（1）幾

13、何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和；（2）特殊幾何體表面積公式（c 為底面周長(zhǎng)， h 為高，h ' 為斜高， l 為母線）s直棱柱側(cè)面積chs圓柱側(cè)2rhs正棱錐側(cè)面積1 ch'2s圓錐側(cè)面積rls正棱臺(tái)側(cè)面積1 c12c2 h's 圓 臺(tái) 側(cè) 面 積 rr ls圓柱表2rrls圓錐表r rls圓臺(tái)表2rrl2rlr（3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式v柱shv圓柱s h2rhv1 s h錐312v圓錐r h 3臺(tái)v1 s's' sshv圓臺(tái)1 s's s's h1 r2rrr2h333學(xué)習(xí)必備歡迎下載3（4）球體的表面積和體積公式：v 球

14、 = 4r34、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系（1）平面； s 球面= 4r2 平面的概念：a. 描述性說(shuō)明；b. 平面是無(wú)限舒展的； 平面的表示：通常用希臘字母、表示，如平面（通常寫(xiě)在一個(gè)銳角內(nèi)）；也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面bc； 點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn) a 在平面內(nèi)，記作a；點(diǎn) a 不在平面內(nèi)，記作a點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn) a 的直線 l 上，記作： al ；點(diǎn) a 在直線 l 外，記作al ； 直線與平面的關(guān)系：直線 l 在平面內(nèi)，記作 l；直線 l 不在平面內(nèi)，記作l；（ 2）公理1：假如一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是全部的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)；（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)

15、過(guò)直線）應(yīng)用： 檢驗(yàn)桌面是否平；判定直線是否在平面內(nèi)用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1：al , bl , a, bl（3）公理 2： 經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；推論： 始終線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面；公理 2 及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)它是證明平面重合的依據(jù)（4）公理 3： 假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線符號(hào)： 平面和相交，交線是 a，記作a；符號(hào)語(yǔ)言：公理 3 的作用：pababl , pl它是判定兩個(gè)平面相交的方法；它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)；它可以判定

16、點(diǎn)在直線上，即證如干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)；（5）公理 4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交； 異面直線判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線 異面直線所成角：直線 a、b 是異面直線， 經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o，分別引直線aa，bb，就把直線a和 b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a 和 b 所成的角；兩條異面直線所成角的范疇是（ 0°，90°，如兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線相互垂直；說(shuō)明 ：（ 1）判定空間直線是異

17、面直線方法：依據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)o 是任取的，而和點(diǎn)o 的位置無(wú)關(guān)；求異面直線所成角步驟：a 、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上；b、證明作出的角即為所求角c、利用三角形來(lái)求角（7）等角定理：假如一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi) 有很多個(gè)公共點(diǎn)三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：aaaa（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒(méi)有公共點(diǎn)；相交有一條公共直線； b5、空間中的平行問(wèn)題（1）直線與平面平行的判定

18、及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,就該直線與此平面平行；線線平行線面平行線面平行的性質(zhì)定理：假如一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行；線面平行線線平行（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理（1）假如一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（線面平行面面平行） ，（2）假如在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行；（線線平行面面平行） ，（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行， 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理（1）假如兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行；（

19、面面平行線面平行）（2）假如兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行； （面面平行線線平行）7、空間中的垂直問(wèn)題（1）線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：假如兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線相互垂直；線面垂直： 假如一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直；平面和平面垂直：假如兩個(gè)平面相交，所成的二面角 （從一條直線動(dòng)身的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直；（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：假如一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面；性質(zhì)定

20、理：假如兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行；面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：假如一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；性質(zhì)定理： 假如兩個(gè)平面相互垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面；9、空間角問(wèn)題（1）直線與直線所成的角學(xué)習(xí)必備歡迎下載兩平行直線所成的角：規(guī)定為0 ；兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角；兩條異面直線所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)o，分別作與兩條異面直線a，b 平行的直線a ,b，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角；（2）直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為 0 ；平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為 90；平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角；求斜線與平面所成角的思路類(lèi)似于求異面直線所成角：“一作，二證，三運(yùn)算”；在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，在解題時(shí)，留意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（ 1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線； （ 2）過(guò)斜線上的一點(diǎn)或過(guò)斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線；（3）二面角和二面角的平面角二面角的定義： 從一