人教初中數(shù)學(xué)22.3第3課時拱橋問題和運動中的拋物線

1、111第3課時拱橋問題和運動中的拋物線1掌握二次函數(shù)模型的建立，會把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題2利用二次函數(shù)解決拱橋及運動中的有關(guān)問題3能運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行決策一、情境導(dǎo)入某大學(xué)的校門是一拋物線形的水泥建筑物(如圖所示)，大門的寬度為8米，兩側(cè)距地面4米高處各掛有一個掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，請你確定校門的高度是多少？二、合作探究探究點一：建立二次函數(shù)模型【類型一】運動軌跡問題 某學(xué)校初三年級的一場籃球比賽中，如圖，隊員甲正在投籃，已知球出手時離地面高米，與籃圈中心的水平距離為7米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運行軌跡為拋物線，籃圈距地面3米(

2、1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，問此球能否準(zhǔn)確投中？(2)此時，若對方隊員乙在甲面前1米處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1米，那么他能否獲得成功？解析：這是一個有趣的、貼近學(xué)生日常生活的應(yīng)用題，由條件可得到出手點、最高點(頂點)和籃圈的坐標(biāo)，再由出手點、頂點的坐標(biāo)可求出函數(shù)表達(dá)式；判斷此球能否準(zhǔn)確投中的問題就是判斷代表籃圈的點是否在拋物線上；判斷蓋帽攔截能否獲得成功，就是比較當(dāng)x1時函數(shù)y的值與最大摸高3.1米的大小解：(1)由條件可得到球出手點、最高點和籃圈的坐標(biāo)分別為A(0，)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是拋物線的頂點設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為ya(xh)2k，將點A、B的坐標(biāo)代入

3、，可得y(x4)24.將點C的坐標(biāo)代入解析式，得左邊右邊，即點C在拋物線上，所以此球一定能投中(2)將x1代入解析式，得y3.因為3.13，所以蓋帽能獲得成功【類型二】拱橋、涵洞問題 如圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面寬4米時，拱頂(拱橋洞的最高點)離水面2米水面下降1米時，水面的寬度為_米解析：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)這條拋物線為yax2，把點(2，2)代入，得2a×22，a，yx2，當(dāng)y3時，x23，x±.故答案為2.方法總結(jié)：在解決呈拋物線形狀的實際問題時，通常的步驟是：(1)建立合適的平面直角坐標(biāo)系；(2)將實際問題中的數(shù)量轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；(3)設(shè)出拋物線的

4、解析式，并將點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)解析式；(4)利用函數(shù)關(guān)系式解決實際問題 如圖，某隧道橫截面的上下輪廓線分別由拋物線對稱的一部分和矩形的一部分構(gòu)成，最大高度為6米，底部寬度為12米現(xiàn)以O(shè)點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(1)直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標(biāo)；(2)求出這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3)若要搭建一個矩形“支撐架”ADDCCB，使C、D點在拋物線上，A、B點在地面OM上，則這個“支撐架”總長的最大值是多少？解析：解決問題的思路是首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，挖掘條件確定圖象上點的坐標(biāo)M(12，0)和拋物線頂點P(6，6)；已知頂點坐標(biāo)，可設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為ya(x6)26

5、，可利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)關(guān)系式；再利用二次函數(shù)上某些點的坐標(biāo)特征，求出有關(guān)“支撐架”總長ADDCCB二次函數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最值，從而解決問題解：(1)根據(jù)題意，分別求出M(12，0)，最大高度為6米，點P的縱坐標(biāo)為6，底部寬度為12米，所以點P的橫坐標(biāo)為6，即P(6，6)(2)設(shè)此函數(shù)關(guān)系式為ya(x6)26.因為函數(shù)ya(x6)26經(jīng)過點(0，3)，所以3a(06)26，即a.所以此函數(shù)關(guān)系式為y(x6)26x2x3.(3)設(shè)A(m，0)，則B(12m，0)，C(12m，m2m3)，D(m，m2m3)即“支撐架”總長ADDCCB(m2m3)(122m)(m2m3)m218.因為此二次函數(shù)的圖象開口向下所以當(dāng)m0