高三數學導數的定義導數與切線導數與單調區(qū)間例題解析人教版

1、高三數學導數的定義、導數與切線、導數與單調區(qū)間例題解析一. 本周教學內容：導數的定義、導數與切線、導數與單調區(qū)間二. 重點、難點：1. 定義f x0 limyx0xlimx0f x0xfx x0 2. 常見函數的導數（1） ycy0n（2） yxn 1ynx（3） ylog a x1ylog a e x（4） ya xya x ln a（5） ysin xycos x（6） ycosxysin x（7） ytan x1y2cos x（8）3. 運算ycot x1ysin 2 x（1） f xg xfxg x（2） f xg xf xg xf xg x（3） cf xcfx（4） 1f xf x

2、 /f 2 x （f x0 ）（5） f x f x g xf xg x（ g x0 ）g xg 2 x4. 復合函數的系數yf u ug xyf xf g xf xfug x其中 ug x5. 切線 p（x0 ，y0 ）在 yf x 上，以 p 為切點，f x為切線： yy0fx0 xx0 6. 單調區(qū)間（1） yf x 在區(qū)間（ a ， b ）內可導且 x（ a ， b ）總有f x0（ a ， b ）為 yf x 的增區(qū)間（2） yf x 在區(qū)間（ a ， b ）內可導且 xa, b 總有 fx0（ a ， b ）為 yf x 的減區(qū)間【典型例題】 例 1用定義求函數yx 的導函數解：y

3、xxylimxxx0xxxlimx0xxxx1x 2x 例 2yf x 在 xx 處可導，且limf x02xf x0 1 ，求 f x 00x0x解： limf x02xf x0 lim2 f x02xf x0 x2 f0 x0 1xfx0 2 x02x12 例 3求證 yf x| x | ，在 x00 處連續(xù)且不行導證明：f xx x0x x0limf xlimf xf x0x0x0limf xlimx01limf xlimx1x0xx0xx0xx0xlimf x不存在 不行導x0x 例 4求以下函數的導數x23x2（1） y（2） yf xf xxx1x2（3） yf x1sin x1

4、cos x（4） yf xsin 3xsin 3 x（5） y（6） yf xf x2 xx5 3413xx114（7） yx sin x（8） yx x解：（1） y31x 23x 212 x21y3 x 22133 x 2x22（2） y1x2 1x x2 22x1x 21x 2 2（3） ysin xcos x11cos x 2（4） ycos x33 x23 sin 2 xcos x（5） y62 x2453x1123x331 2 x563x13 2 x5 2 7 x9（6） y2x1x11y2 2x112x111x1x1（7） ysin xln xeesin x ln xyesin

5、x ln xsin xln xesin x ln x cos x ln x1 sin x x（8） ln yx ln x1 yln x1 yyxxln x1 例 5求曲線 yx 2 在點 p（2， 4）處的切線方程；解： p（ 2， 4）在 yx2 上y2xk4l 切 ： y44x24xy40 例 6曲線 y2 x23x26 在點 a 處的切線的斜率為15，求切線方程；解： 設切點為a （ x0 ，y0 ）y4x34x0315x03y01l 切 ： y115 x3 15xy440 例 7過點 p（ 2， 0）且與曲線y11相切的直線方程；x解： y2x1p（ 2， 0）不在 y上，設切點a （

6、 x0 ，xy0 ）l 切 ：y0yy01x01 xx20x0 x010y01x2 20x0 y01l 切 ： y1x1xy20 例 8yx 2 與 yx 1交點處的兩條切線的夾角1yx2解：1yxx1y2 1， y1y1x3x2k1 tan2k21|21 |1123arctan 13 例 9求過 p（ 2，2 ）與曲線y3xx 3 相切的切線方程解： 設切點 a （ a ， b ）2y33 xl 切 ： yb33a 2 xa b3a2ba 333a 2 2aa 33a 240 a1 a2 20a1b2l 切 ： y2a2b2l切 ： 9xy160 例 10求曲線 c1： yx2 ，曲線 c2

7、： y x2 2 的公切線解： 公切線 l 與 c1 、c2 切點為 a （ a ， a 2 ） b（ b ，b2 2 ）2l1 ： yal2 ： yb2 a x2 2a2b2 xb l1 、 l2 為同一條直線l1 ： y2axa 2l2 ： y2b2 xb 242a2b2即：a 2b 24a 2a0或b 0b2 兩公切線：y4 x4 ， y0 例 11求以下函數的單增區(qū)間（1） y（2） yx 31 x22x 21 x2 x5（3） ykx （ k0 ）2x（4） y2 x2ln x解：（1） y3 x2x202x, 31 ,（，x 22），（ 1，）31（2） y20xx, 0 0 ,

8、0 0 ,2（3） y1k0x 2x,k k ,（8 ，k ），（ k ，）（4） y4 x1 x4 x 210x1*定義域（ 0，）x,2 例 12證明不等式x2x2（1） x0 ,xln1x 2x21x（2） sinx2xx0 , 2（3） x解：sin xtan xxx0 , 2x 2（1）令f xln1x x 2f x1x21x1x1xx0 ,fx0f 00 任取 x0 ,f xf 00 恒成立即ln1x xx22令 g x xx221xln1xg x4x 214x2x 2122x 2241x1x41xx0 ,g x0g 00 任取 x0 ,g xg 00 恒成立x 2x21xln1x

9、（2）原式sin x2x令 f xsin x xf xcos x xx 2tan xx0 , 2sin x2xfx0即 sin xf2 x xf 2（3）令f xtan x2xsin xf xsec2 x2cos x12 cos 2 xcos3 x1cos xcos xsin 2 xcos 2 xcos x 2x0 , 2f x0x0 ,2f x0x0 ,2f xf 00tan xxxsin x 例 13函數 yf x32xmx2 x m1 為增函數，求m 的取值范疇；解： f x3x 22mx224m2406m6 例 14求證方程xlg x1 在區(qū)間（ 2， 3）有且僅有一個實根；解： 設

10、yf xx lg x1ylg xlg elg exx（ 2， 3）時， y0f 22 lg 21lg 0.40f 33 lg 31lg 2.70 在（ 2，3）內x lg x10 有且僅有一個實根1. 已知 ar ，求函數f xx 2e ax 的單調區(qū)間；2. 已知函數f x1ax3313x22x1 為 r 上減函數，求a 的取值范疇；3. 函數f xx 3axa21x1 在區(qū)間（ 1，4）內為減區(qū)間，在區(qū)間（6，）為增區(qū)間，求a 的范疇；4. 函數f xax 3bx 23x已知過 a （ 0， 16）作曲線yf x 的切線，求切線方程；5. yf x ， x1時，f x3 ， fx2 ，求l

11、imf 2 x96. 關于 x 的多項式函數yf x ，對 xr 有 f xx1x f x1fxf x2 x32x1，求 yf x 的增區(qū)間；1. f x 2 xax 2 eax參考答案 （1）如 a0x0 ,f x0x, 0fx0（2）如 a02 xax 202x或 x0ax,2 af x0x0 ,f x0x2 a, 0f x0（3）如 a02 xax 200x2axx2 ,a, 0f x0f x0x0 ,2 afx02. f x23ax6 x1xrf x0 恒成立a0a003612a0a33. f xx 2axa1 x1 xa10x11x2a1（1）如 a11a2f x在（， 1），（ a1，）（ 1， a1）a14a165a7（2）如 a11a2f x在（， a1），（ 1，）（ a1 ，1）無解4. yx 33xa 不 在 yf x 上設切點為p（ a ， b ）y3 x 23l 切： yb3a 23 xa16bba 33a 23a1 0a 16a 33a3a 33aa 38a2b2l 切： 9 xy1605. limf 2 x9limf 2 xf 2 1x1x1x1x1limf xf 1 f xf 1x 1x1limf x