全國中考數(shù)學壓軸題精選全解之一

1、全國中考數(shù)學壓軸題精選全解之一Revised as of 23 November 20202007耳企附各地中才武題委號總一1 (北京市)25 .我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地，我們定義：至少有一 組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形.(1)請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；A(2)如圖，在A8C中，點D石分別在A3, AC上，必？設 CD BE相交于點 0,若 ZA = 60。，/DCB = 4EBC = 1ZABC請你寫出圖中一個與4相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形；(3)在A8C中，如果44是不等于60。的銳角，點D £分

2、別在A8 AC上，且ZDCB = ZEBC = ZA .探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論.解：(1)回答正確的給1分(如平行四邊形、等腰梯形等).(2)答：與乙4相等的角是N8Q。(或NCQE).四邊形08CE是等對邊四邊形.(3)答：此時存在等對邊四邊形，是四邊形O8CE證法一：如圖1,作CGJ_8E于G點，作88交C。延長線于月點因為NOC8 = N£BC =，NA, 8C為公共邊, 2所以6CF 且 ZXCBG .所以8f=CG .因為 ZBDF = ZABE+NEBC + ZDCB,ZBEC = ZABE+ZA,所以 NBDF = NBEC .可

3、證8。E且CEG 所以BD = CE .所以四邊形O8CE是等邊四邊形.證法二：如圖2,以C為頂點作NEC6 = ND6C, CF交BE于F點、.因為NOCB = NEBC = ；NA, BC為公共邊，/所以ABDC名CF3 .所以 BD = CF , /BDC = /CFB .BC所以 NA3C = NCFE .因因為 ZADC = ZDCB + ZEBC+ZABE,AFEC = ZA +ZABE,所以 ZA£>C = "EC .所以 NFEC = NCFE .所以b = CE .所以BD = CE .所以四邊形O8CE是等邊四邊形.說明：當A8 = AC時，3&#

4、163;) = CE仍成立.只有此證法，只給1分.2 （上海市）25.已知：NMAN = 601點8在射線AM上，AB = 4 （如圖10） . P為直線AN上一動 點，以80為邊作等邊三角形8P。（點B, P,。按順時針排列）,。是BPQ的外心.（1）當點尸在射線4V上運動時，求證：點。在NAWV的平分線上；（2）當點尸在射線AN上運動（點尸與點A不重合）時，AO與外交于點C,設AP = x,ACAO = y,求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）若點。在射線AN上，AD = 2,圓/為A3。的內切圓.當43尸。的邊3尸或8Q與圓/相切 時，請直接寫出點A與點O的距離.圖10備用

5、圖(1)證明：如圖4,連結08 OP,是等邊三角形8P。的外心.OB = OP,360。圓心角 N8OP = = 120 .當08不垂直于AM時，作。H_LAM, OT±AN,垂足分別為“，T由 NHOT + ZA+ ZAHO +470 = 360 ,且 ZA = 60 ,ZAHO = ZATO = 90 , :.ZHOT = 20 .ZBOH = ZPOT .RtABO/YRtAPOT .OH = OT .，點。在NM4N的平分線上.當。3 J_ AM 時，ZAPO = 360 - ZA - ZBOP - ZOBA = 90 .即OP_L4V,，點。在NM4V的平分線上.綜上所述，

6、當點尸在射線AN上運動時，點。在NM4N的平分線上.（2）解：如圖5,v AO 平分乙MAN,且 /MAN = 60 ,:.ZBAO = ZPAO = 30 .由（1）知，OB = OP、ZBOP = 120 ,ZCBO = 30 , /. ZCBO = APAC ./ ABCO = ZPCA,ZAOB = ZAPC .:./ABOAACP .ar a（）-=.t AC»AO = AB.AP . y = 4xAC AP定義域為：x>0 .(3)解：如圖6,當8。與圓/相切時，AO = 2j3 ;4 L如圖7,當8P與圓/相切時，AO = -y/3 ；如圖8,當8。與圓/相切時，

7、AO = 0 .3 (天津市)26.已知關于x的一元二次方程/+以+。=%有兩個實數(shù)根內,，且滿足玉>0, 士 T >1。(1)試證明c>0 ；證明叱>2("2c)；(3)對于二次函數(shù))，= /+以+ c,若自變量取值為人，其對應的函數(shù)值為汽，則當。</<再 時，試比較先與巧的大小。解：(1)將已知的一元二次方程化為一般形式即 / +(-l)x + c = 0.演,2是該方程的兩個實數(shù)根 x +x2= _(b -1) f X, " x2 = c而xl > 05x2 > X1 + 1 > 0 /. c>0(2) (x

8、2 -X )2 = (X) + X1 一4x.x2= (Z?-1)2 -4c = Z?2 -2/?-4c + lr x2 -Xj > 1 .二(X2 一演)2 > 1于是從一加一4，+ 1>1,即尸一2一4c>0/. b2 >2( +2c)(3)當0vx°</時,有%>玉)'O = X： + bx0 + C , X： + 如 + C = X y0 一 $ = x： + bx0 + c (x： + bx + c)= (x0 -&)(x。+內 +h)-0 < x() < X, x0 -x, < 0又x2 - Xj

9、 >1 x2 > Xj +1, 演 + x2 > 2網(wǎng) +1Xj + X-, = (b 1) (b 1) > 2* +1于是2/+<00 < x0 < %) x0 + x1 +b <0由于 x() Xi v °, x0 + Xj + Z? < 0/. (xo-xl)(xQ+x+b)>Of 即y0T>0當0<x° V時，有凡 >玉4(重慶市)28 .已知，在RtOAB中，乙OAB = 90°, ZBOA = 30°, AB=2。若以O為坐標原 點，OA所在直線為軸，建立如圖所示的

10、平面直角坐標系，點B在第一象限內。將RtZXOAB沿 OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處。(1)求點C的坐標；(2)若拋物線)，="2+以(/0)經過c、A兩點，求此拋物線的解析式；(3)若拋物線的對稱軸與OB交于點D.點P為線段DB上一點，過P作y軸的平行線，交拋 物線于點M。問：是否存在這樣的點P,使得四邊形CDPM為等腰梯形若存在，請求出此時點P的 坐標；若不存在，請說明理由。注：拋物線y = ax1 +bx + c（手0）的頂點坐標為-2,處士 ,對稱軸公式為x = 2i 2a 4a ）la解：(1)過點C作CH_Lx軸，垂足為H在 Rs OAB 中,Z OAB = 90

11、。，N BO A = 30。，AB = 2r.OB = 4, OA= 273由折疊知，ZCOB = 30°, OC = OA = 2a/3r. ZCOH = 60°, OH =6 CH = 3C點坐標為(石，3)拋物線y = /+以(/0)經過C (V3, 3)、A (2V3, 0)兩點.3 =巴：+四解得:PlO =(2V5)Z + 2、Qbb = 2y3，此拋物線的解析式為：y = -x2+2y3x(3)存在。因為丁 = -/+2、&:的頂點坐標為(VJ, 3)即為點CMPJ_x軸，設垂足為N, PN二f,因為乙BOA = 30。，所以P (V3r, t)作PQ

12、_LCD,垂足為Q ME±CD,垂足為E把"=有"代入y = -V+2履得：y = -3t2+6t：.M (V3 /, -3r+6r) , E (73, -3t2+6t)同理：Q (6,，)，D (V3, 1)要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=QD 即3-（-獷+9）="1,解得：乙=:G=1 （舍）4 L 4，P點坐標為（二73,）4 l 4存在滿足條件的點P,使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為（，、8，-）5（河北?。?6.如圖16,在等腰梯形A8CQ中，AD/BC AB=DC=50l AD=75l 80135 .點尸從點8 出發(fā)沿折

13、線段氏4-4。切。以每秒5個單位長的速度向點C勻速運動；點。從點C出發(fā)沿線段C8方向以每秒3個單位長的速度勻速運動，過點。向上作射線QK_L8C交折線段 OD4-48于點E .點P、。同時開始運動，當點尸與點。重合時停止運動，點。也隨之停止.設點P、。運動的時 間是，秒Q0）.（1）當點尸到達終點c時，求，的值.并指出此時8。的長；（2）當點尸運動到上時，為何值能使尸。？（3）設射線。K掃過梯形A8CO的面積為S,分別求出點E運動到C。、D4上時，S與，的函數(shù)關系式；（不必寫出/的取值范圍）（4） /XPOE能否成為直角三角形若能，寫出，的取值范圍；若不能，度目明理由.圖16Q解：t= （50

14、 + 75 + 50） -5=35 （秒）時，點尸到達終點C.此時，00=35x3=105,8。的長為 135 - 105=30 .EK D一 Q H圖8（2）如圖8,若尸。OC 又6c 則四邊形PQCO 為平行四邊形，從而尸。二。，由QC=3f, BA+AP=5t A 得50 + 75-5匕3乙解得七四.8經檢驗當仁三時，有PQ/DC .8（3）當點E在C。上運動時，如圖9 .分別過點4、D ,配4 D K作A尸_L8C于點尸，D”_L5C于點H 則四邊形AO”尸為矩形，且aAB尸妾0C”，從而B G F H LC圖9FH=AD=75、于是8AC”=30.?！倍?=40.又。二3乙 從而。

15、石二QCtanC=3空.=4/ . CH（注：用相似三角形求解亦可）S=S/qce= - QE- 0C=6z2 ； 2當點E在。A上運動時，如圖8 .過點。作。H BC于點乩 由知DH=40, CH=30,又 QC=3t,從而 ED=QH=QC - CH=3t - 30 .S= S 梯形 qcde= i （ED + QC）DH =120 t - 600 . 2（4） APOE能成為直角三角形.當APOE為直角三角形時，f的取值范圍是0</W25且/X等或占35 . 8（注：（4）問中沒有答出住或仁35者各扣1分，其余寫法酌情給分）8下面是第（4）問的解法，僅供教師參考：當點尸在84 （包

16、括點A）上，即0<10時，如圖9.過點尸作PG_L8C于點G,則PG二PB-sinB=4f, 乂有QE=4t= PG,易得四邊形PGQE為矩形，此時PQE總能成為直角三角 形.當點P、E都在4。（不包括點A但包括點。）上，即10VW25時，如圖8.由QKJ_8C和AOBC可知，此時，ZPQ七為直角三角形，但點尸、E不能重合，即5r-5O+3r-3OW75,解得/W 呼.8當點尸在。上（不包括點。但包括點C）, 即 25W35 時.，如圖 10.由 ED>25X3-30=45, 可知，點尸在以。石=40為直徑的圓的外部，故NEP。不會是直角.由NPEQVNOE。，可知NPE0一定是銳

17、角.對于NPQE, /PQEW/CQE,只有當點尸與C重合，即占35時，如圖11, NPQE=90： APQE為直角三角形.綜上所述，當P0E為直角三角形時，的取值范圍是0Vf<25且/W空或占35. 86(河北省郴州市)27 .如圖，矩形"CO中，"=3, BC = 4,將矩形"CO沿對角線AC平移.平移后的矩形為EFGH (A、E、C、G始終在同一條直線上)，當點E與C重合時停止移動.平移中EF與BC交于點N. G"與8C的延長線交于點M EH與DC交于點P, FG與OC的延長線交于點。.設S表示矩形PCMH的面積f S'表示矩形NFQ

18、C的面積.(1) S與S'相等嗎請說明理由(2)設月七二%寫出S和x之間的函數(shù)關系式，并求出x取何值時S有最大值，最大值是多少(3)如圖11,連結BE,當4E為何值時，AABE是等腰三角形.解：(1)相等理由是：因為四邊形ABC。、EFGH是矩形,所以S皿;”=SSEGF所以S、EGH=S立GF - S、ECN - S、CGQ'即：S = S'(2) AB = 3, BC = 4, AC=5,設4E=x,則 EC = 5f pc = |(5-x), A/C = |x,所以 S = PCMC = x(5-x),即5 = 巳/+工、(04x4 5) 25255配方得：S =

19、 U(x*)2+3,所以當時，2522S有最大值3(3)當立"8二3或立二砥二港酢二時，酒是等腰三角形.7（山西?。?6.關于4的二次函數(shù)），= -/+（公一 4）x + 2攵-2以y軸為對稱軸，且與），軸的交點在工 軸上方.（1）求此拋物線的解析式，并在下面的直角坐標系中畫出函數(shù)的草圖；（2）設A是），軸右側拋物線上的一個動點，過點A作A8垂直于1軸于點8,再過點A作x軸的平行線交拋物線于點過點。作OC垂直于x軸于點得到矩形A8C。.設矩形A8C。的周長為 /,點A的橫坐標為X,試求/關于x的函數(shù)關系式;（3）當點A在y軸右側的拋物線上運動時，矩形A8CO能否成為正方形.若能，請求

20、出此時正方形的周長；若不能，請說明理由.參考資料：拋物線以+ c（"WO）的頂點坐標是一二，*土，對稱軸是直線x =-3 2a 4。2a解：據(jù)題意得：/-4 = 0,.k = ±2 .當攵=2時，22一2 = 2>0 .當左=一2 時，2-2 = -6<0 .又拋物線與y軸的交點在軸上方，./ = 2 .，拋物線的解析式為：），=3 + 2 .函數(shù)的草圖如圖所示.（只要與坐標軸的三個交點的象大致形狀正確即可）（2）解：令f *+2 = 0,得4 = ±>/J .不 0 v x v yf2 時，AD = 2x f =-x2 + 2 ,./= 2（4

21、用 + A1A） = -21+4x + 4 .當 x>四時，A2D2 = 2x,A2B2 =_（_爐 + 2）= /_2 .位置及圖/. / = 2（ A D? +） = 2x2 + 4x - 4 ./關于X的函數(shù)關系是：當 0cxe 四時，l = -2x2+4x + 4 ；當 時，/=2丁+4%一4 .（3）解法一：當0<x<應時，令AM=AR,得八2入一2 二 0 .解得x = _1_Q （舍）,或x = T + Q .將x = -l + 6 代入 / = -2./ +4x + 4,得/ = 8/-8 .當 時，令 A,B,=A,。,，得 /一2工一2 二 0 . 一解得

22、工=1-75 （舍）,或x = i + Q .將x = l + >/J代入/ = 2丁+4工-4,得/ = 8>/J+8 .綜上，矩形A8CD能成為正方形，且當工=g-1時正方形的周長為8/-8 ;當工=逐+1時，正方形的周長為86+ 8 .解法二：當0<x<應時，同“解法一”可得x = -l + 6 .，正方形的周長/ = 44=8x = 8>/58 .當x>企時，同“解法一"可得x = l + 6 .，正方形的周長/ = 443 =81=8/+8 .綜上，矩形A8C。能成為正方形，且當工=有-1時正方形的周長為80-8 ;當工=有+1時，正方形

23、的周長為8/5" + 8 .解法三：.點A在y軸右側的拋物線上，x > 0,且點A的坐標為（人,一/+2）.令A3 = AP,則卜Y+2| = 2x .-x2 + 2 = 2x, 1 或-x2 +2 = -2x由解得x = -l（舍），或x = T + g ；由解得x = l-Q (舍),或x = l + 6又/=8x, ,當工=一1 +6時/ = 8"8 ；當 x = l + >/J 時/ = 8氏8 .綜上，矩形A8CD能成為正方形，且當工=石-1時正方形的周長為86-8 ；當x = 6+l時，正方 形的周長為8力+ 8 .8（山西省太原市）29.如圖（1）

24、,在平面直角坐標系中，口 A8CO的頂點。在原點，點A的坐 標為（-2,0）,點8的坐標為（0,2）,點。在第一象限.（1）直接寫出點C的坐標；（2）將口A8CO繞點。逆時針旋轉，使0c落在y軸的正半軸上，如圖（2）,得口DEFG （點。 與點O重合）. FG與邊AB, x軸分別交于點。，點P .設此時旋轉前后兩個平行四邊形重疊部分 的面積為S。,求S。的值；（3）若將（2）中得到的口尸G沿x軸正方向平移，在移動的過程中，設動點。的坐標為（30）, 口。國G與口ABCO重疊部分的面積為S,寫出S與，（0V/W2）的函數(shù)關系式.（直接寫出結 果）(2) vA(-2,0), 8(0,2),/. O

25、A = OB=2 .ZBAO = ZABO = 45LJEFGD由口A8CO旋轉而成，.DG = OA = 2, ZG = ZBAO = 45y ./ OEFGD, :.FG/ DE,AFP A = ZEDA = 90在 Rt ZPOG 中，OP = OG -sin 45 = JI .ZAQP = 90 -ZBAO = 45 1PQ = AP = OA-OP = 2-j2 .S0 = g (PQ + OB)OP = J (2 一也+2).72 =22-1(3) 當口£FG£)運動到點/在A6上時，如圖，t = 2y/2-2 .當0<fW2五一 2,如圖，S=-產+ /

26、 + 2 點-1 .當2&-2V/W四時，如圖，S = -r+4y/2-3 .2當時，如圖，S /2,t + 4/2 .9(山西省臨汾市磔.如圖所示，在平面直角坐標系中，0”經過原點5且與*軸、y軸分別相交 于 4-6,0), 3(0, - 8)兩點.(1)請求出直線4?的函數(shù)表達式；(2)若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經過點M,頂點。在OM上，開口向下，且經過點3,求此拋物線的函數(shù)表達式；在，請求出點夕的坐標；若不存在，請說明理由(3)設 中的拋物線交、軸于D七兩點，在拋物線上是否存在點P,使得SfTs皿若存 解：(1)設直線相的函數(shù)表達式為，=心+"女工0),V 直線

27、AB 經過 4-6,0), 8(0, - 8),4 由此可得' 二丁°,解得, 1寸Jb = -8. 直線"的函數(shù)表達式為)，=-3-8 .(2)在 RtAAQB 中，由勾股定理，AB = yAO2+OB2 =V62 +82 =10,TOM 經過。A, B 三點,且 ZAO3 = 9(r ,為0M的直徑，半徑M4 = 5,設拋物線的對稱軸交x軸于點N, :MNLx,，由垂徑定理，得4N = ON=，04 = 32在Rt/XAMN 中，MnImNAN】=后_3? =4,：.CN = MC - MN = 5 4 = 1,二頂點C的坐標為(-3,) 設拋物線的表達式為丁

28、=。* + 3)2 +1, 它經過8(0,-8), ，把工=0, y = 8代入上式，得一8 = 4(0 +3)2 +11解得4 = 一1.拋物線的表達式為y (x + 3)- +1 = x 6x 8(3)如圖，連結AC, BC,S&w = S&wc + S &bmc =CAN + A/ CON = x5x3 + -x5x3 = 15在拋物線丁 = 一/一6工一8中，設y = 0,解得士=-2, &=4 D七的坐標分別是(Y，O)i (-2,0), :.DE = 2 ；設在拋物線上存在點PQ，y）,使得邑皿足=_xl5 = ll15貝 S&PDE = 5

29、。石|y|=5 x 2 x 3 = 1 .y = ±li當），=1 時，-x第26題圖解：（1）解方程 X210x+16=0 得 x1 = 2, a-2=8.,點8在x軸的正半軸上，點C在），軸的正半軸上，且08<。.點8的坐標為（2, 0），點。的坐標為（0, 8） 又拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線a = -2 .由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（-6, 0） .,點。（0, 8）在拋物線丫小+6+。的圖象上-6x-8 = 1,解得玉=一3, .4（3,1）;當），=7 時，_/_6工_8 = 7,解得再=3 + 0, =-3-72, .鳥（-3+>/1 -1

30、）,鳥（一3&, -1）.綜上所述，這樣的尸點存在，旦有三個，10（沈陽市） 26.已知拋物線y=<*+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,其中點8在x軸的正半 軸上，點。在,，軸的正半軸上，線段。8、。的長（OB<OC）是方程Y-10x+16=0的兩個根，且拋物線的對稱 軸是直線工=一2.（1）求A、B、。三點的坐標：（2）求此拋物線的表達式：（3）連接AC、BC,若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點3不重合），過點E作EFA。交3。于點 F,連接CE,設AE的長為小，的而積為S,求S與小之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量?的取值范圍；（4）在（3）的基礎上試說

31、明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判 斷此時ABCE的形狀；若不存在，請說明理由.，c=8,將A (6, 0)、B (2, 0)代入表達式，得第26題圖(批卷教師用圖)0=364 -6A+8P=-3解R7 Q，所求拋物線的表達式為尸一舒一(+8 JJ(3)依題意,AE=m,則 BE=8一八OA=6, OC=8, ：.AC=09EF/AC ：. ABEFsABAC EF_BE EF 8-/n99AC=AB N 70= 8405/?；EF=r-4過點 F作 FGJ_A8,垂足為 G,貝ij sinNFEG=sinNCAB= J405m-4-=8fS=Sbce -

32、Sbfe=< (8/n) x8-X (8-1)(8 一?)=z (8-n?) (8 - 8+？) =z (8-/n)z,rr+4/?i乙乙乙自變量機的取值范圍是0<?<8(4)存在.理由：VS= /n24-4/n = 1 (w4) 2+8且一：V0,.當機=4時，S有最大值，S 大值=8陽=4,點E的坐標為(-2, 0)J BCE為等腰三角形.11(遼寧省十二市課改實驗區(qū))26 .如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形0MM7,點”的坐標為(-8, 0),點N的坐標為(-6, -4).(1)畫出直角梯形0MM/繞點。旋轉180。的圖形。48c并寫出頂點A B, C的坐標(點M的對

33、應點為4,點N的對應點為8,點的對應點為C)；(2)求出過A, B. C三點的拋物線的表達式；(3)截取旦旦F. G分別在線段CO, OA, AB 求四加舷8E/G的面積S與/之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量/的取值范圍；面積S是否存在最小值若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由；(4)在(3)的情況下，四邊形8EFG是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請直接寫出此時機的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由. AyH (-8, 0)V0 WN (-6. -4).第26題圖解：(1)利用中心對稱性質，畫出梯形OA8C.VA, B, C三點與M N "分別關于點。中心對稱，(0.

34、4) . B (6, 4) f C (8. 0)(2)設過A, B. C三點的拋物線關系式為y = at'+公+ J拋物線過點4 (0, 4),；。=4 .貝IJ拋物線關系式為、=，隊二+H + 4 .將8 (6, 4) , C (8, 0)兩點坐標代入關系式，得36a + 6b + 4 = 4,64。+ 8 + 4 = 0.1"=一一，解得J 4b = -.212(遼寧省旅順口)26 .已知拋物線)，=,r+以+。經過尸(/3),目¥，0及原點0(00).(1)求拋物線的解析式.(2)過P點作平行于x軸的直線PC交y軸于。點，在拋物線對稱軸右側且位于直線PC下方的

35、拋物 線上，任取一點過點。作直線。平行于)，軸交X軸于A點，交直線PC于8點，直線QA與直線 PC及兩坐標軸圍成矩形Q48C .是否存在點。，使得與aPOB相似若存在，求出。點的坐 標；若不存在，說明理由.附加題：如果符合(2)中的。點在X軸的上方，連結。，矩形OA8C內的四個三角形OPC,XPQB,OQP,XOQA之間存在怎樣的關系為什么解：（1）由已知可得：3a + 6b = 3755后門b = 042c = 0q、，日25y/3解N得，。=一1，b = , c = 0因而得，拋物線的解析式為：)，=-;/+¥工(2)存在.設0點的坐標為(?，)，則 =3 + 2團2 _芷加要使

36、OOS依C則有等=¥ 即-¥ 解之得，g=26也=& .當町=2小時， =2,即為。點，所以得。(26,2) 解之得，“=3m2 = >/3 ,當1 = 6時，即為P點，要使OC尸sQ8尸，則有?=竺/ 3 V3當叫=35/3時， =一3,所以得。(36-3).故存在兩個Q點使得OC尸與尸8。相似.。點的坐標為(2/2),(3逐-3).附力口題：在RtAOCP中，因為tan 4cop =工=工.所以ZCOP = 30當。點的坐標為(26,2)時，/BPQ = NCOP = 30 .所以 NOPQ = 4OCP = /B = ZQAO = 90 .因此，OPC&

37、#163;PQ8ZQPQ,ZQ4Q都是直角三角形.又在 RtZQ4。中，因為 tanNQOA = S = .所以/。4 = 3。.AO 3即有/00。= /。0八=/。P8 = /。0尸=30.所以 AOPC s PQ8 s OQ尸 s oqa ,又因為。尸 OR QA ±OA ZPOQ = ZAOQ = 30 , 所以OQAgZXOQP.13(吉林省)28 .如圖，在邊長為80cm的正方形A8C。中，E,/是對角線AC上的兩個動點，它們分別從點4 點C同時出發(fā)，沿對角線以lcm/s的相同速度運動，過E作£7/垂直AC交AC。的直角邊于；過尸作R7垂直AC交RtZAC。的直

38、角邊于G,連接G, EB .設HE, EF, FG, GH圍成的圖形面積為加，AE, EB, 84圍成的圖形面積為S?(這里規(guī)定：線段的面積為0).七到達C,尸到達A停止.若E的運動時間為人，解答下列問題：(1)當0<xv8時，直接寫出以E F, G,”為頂點的四邊形是什么四邊形，并求工為何值時，(2)若)，是加與名的和，求,，與x之間的函數(shù)關系式.(圖為備用圖)解：（1）以上，F(xiàn), G, ”為頂點的四邊形是矩形.,正方形邊長為8",.4。= 16 .vAE = x,過B作8Q_LAC于。，則30 = 8 .二 S) = 4x;HE = x, EF = 6-2x, /. 5I=

39、x(16-2x)當 S1=S2時，x(16-2x) = 4x . 解得M=。(舍去)，X = 6 ，當 x = 6 時，5=S».I o(2)當0Wxv8時, y = x(16-2x) + 4x = -2x?+20x .當 8xW16 時，AE = xy CE = HE=6-x,EF = 16 2(16 x) = 2x 16 .$ =(16-x)(2x 16).y = (16-x)(2x-16) + 4x = -2x2 + 52x-256解法1 ：當0Wxv8時，y = -2x2 + 2O.v = -2(x2 - 1 Ox + 25) + 50 = -2(x 5)2 + 50 ,，當

40、工=5時，y的最大值為50 當時，)，=-2x2 + 52x - 256 = -2(x -13)2+82,，當x = 13時，y的最大值為82 .綜上可得，y的最大值為82.解法 2： y = -2x2 + 20x(0 < x < 8),當x = :=5時,y的最大值為502x(-2)y = -2x2 + 52x - 256(8 W x W16),57當x = _ - - 二13時,y的最大值為82 2x(-2)綜上可得，y的最大值為82.14（吉林省長春市）26 .如圖，在平面直角坐標系中，直線y =-白+貼>0）分別交X軸，），軸于4 8兩點，以04 08為邊作矩形。4c

41、8,。為8C的中點.以M（4Q）, N（8,0）為斜邊端點作等腰直角三角形PMN,點P在第一象限，設矩形Q4C3與尸MV重疊部分的面積為S（1）求點P的坐標.（1分）（2）當值由小到大變化時，求S與的函數(shù)關系式.（4分）若在直線），=-白+仇人。）上存在點。，使NOQM等于90>,請:i套自由人的取值范圍.（2 分）(4)解：（1）作于K,在方值的變化過程中，若PC。為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的值.（3分）:.KO = 6, .P(6,2)（2）當0vW2時，如圖，5=0當N4時，如圖,（此問不畫圖不扣分）（3） 0<bW 有+1 .（提示：以為直徑作圓，與此圓相切時，人

42、=6+1 .）（4） 的值為4, 5, 8±2痣（提示：當尸。=電>時， =4 .當PC = 8時 4=2 （舍），4=5 .當。時,Z? = 8±2>/6 .)15（哈爾濱市）28.如圖，梯形ABC0在平面直角坐標系中，上底AO平行于x軸，下底8c交軸于點 4& 點C （4, -2）,點0（1,2）, BC = 9, sinZABC =-.（1）求直線A8的解析式；（2）若點的坐標為（-1,-1）,動點G從8出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿著BC邊向C點運動（點 G可以與點6或點C重合），求"GE的面積S （SH0）隨動點G的運動時間秒變化的函數(shù)

43、關 系式（寫出自變量/'的取值范圍）；7（3）在（2）的條件下，當廠=L秒時，點G停止運動，此時直線G”與y軸交于點N .另一動點尸 2開始從8出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿著梯形的各邊運動一周，即由8到A,然后由A到。，再由 。到C,最后由C回到8 （點P可以與梯形的各頂點重合）.設動點P的運動時間為/秒，點用為 直線HE上任意一點（點“不與點”重合），在點P的整個運動過程中，求出所有能使NPMW與 47NE相等的/的值.（第28題圖）（第28題備用28.解：(1)如圖 1,過 A 作 AF1.BC ,C(4,-2) .,.CE=4,而 BC=9 .BE=5 .出(-5,-2) vD(

44、l,2) .AF=4 vsinZ.ABC=A .BF=3 .EF=2，A(-2,2),1 分設直線AB的解析式為y=kx+b-5k+b=-2 , 1-2k+b=243-丫-4/1414 ,“產3 3（2）如圖1,由題意:情況一 ：G在線段BE上且不與點E .GE=5-t' S=(5-T)xlxa§-京情況二:G在線段CE上且不與點E重合.，GE=C-5S=（t,-5）xlx±=±t*-A-1分情況一中的自變址的取值范圍：owe<5 情況二中的自變址的取值范圍：5<t'W91分B（3）如圖2,當秒時,GE=5-方=等,C（V ,-2）,直

45、線GH解析式為y=2x+l /.N（OJ） 當點M在射線HF上時,有兩種情況：情況一：當點P運動至點P,時,乙P|HM=Z.HNE.過點Pi作平行于y軸的宜線，交直線HE于點Q1,交BC于點R.I分1分由 BPj=t|,sinZ.ABC=-，可得,BR=-yi,PR=削, aRE=Q|R=5-|»tj,.*.PiQi=5-2 (4 DJ由PiQH-AHEN 得轉獸=舞, 7ViH HN5Tt - V2 QVT(4牛) 33當秒時，乙BWHNE田1a（p5）0 TBQ,1分Qi情況二:當點P運動至點P2時，乙P2HM二乙HNE.設直線P2H與x軸交于點T,直線HE與x軸交于點Q* 此時

46、，O/thsehn.籍=需解得Qgj. .-.t（-A,o）置線HT的解析式為y=-3x-4.此時直線HT恰好經過點A（-2,2）.點P2與點A旗合，即BP2=5.1尸5當1產5秒時二乙HNE若點M在射線HE上時（點M記為點M）,行兩種情況：情況三：當點P運動至點丹時，乙P3HM產乙HNE.過點1、作平行于y軸的直線1駛3,交直線 HE于點Q3,可用求點R同樣的方法.b=15當產15秒時.乙P3HM尸乙HNE 情況四：當點P運動至點P,時，乙PJIMk乙HNE.可得ILHEaTHQz HE=TQ尸& 口尸胃? o33當1產17亍秒時，乙&HM產乙HNE綜上所述；當秒或t=5秒或

47、t=15秒或t=17/秒時，4PHM=ZJINE（以上各題如有不同解法并且正確，請按此步驟給分）1616（南京市）27 .在平面內，先將一個多邊形以點。為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多 邊形對應線段的比為3并且原多邊形上的任一點尸，它的對應點P在線段OP或其延長線上；接 著將所得多邊形以點。為旋轉中心，逆時針旋轉一個角度氏 這種經過和旋轉的圖形變換叫做旋轉 相似變換，記為。(女，夕)，其中點o叫做旋轉相似中心，k叫做相似比，e叫做旋轉角.(1)填空：如圖1,將ABC以點A為旋轉相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉60 ,得到ADE,這個旋轉相似變換記為A (, )；如圖2, A6C

48、是邊長為1cm的等邊三角形，將它作旋轉相似變換A(/90) 得到力。已則線段80的長為 cm ；(2)如圖3,分別以銳角三角形48c的三邊A3, BC, C4為邊向外作正方形AOE8, BFGC、CHIA,點、0口 02l O,分別是這三個正方形的對角線交點，試分別利用A。?與AW, AC/B解：2, 60 ；(2) AO.經過旋轉相似變換A(、歷,45。),得到A8/,此時，線段。2變?yōu)榫€段似；C73經過旋轉相似變換C W，45。,得到CAO?,此時，線段W變?yōu)榫€段AO /V >/2x= 1, 45 +45'=90 ,2/. 0.0.= AO. O.O. ± AO.,

49、17 (蘇州市)29 .設拋物線y = 6+A,-2與x軸交于兩個不同的點A(1, 0)、B(m, 0),與y軸交于點C.且NACB=90。.求m的值和拋物線的解析式;(2)已知點D(l, n)在拋物線上，過點A的直線y = x+l交拋物線于另一點E .若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與4AEB相似，求點P的坐標.(3)在(2)的條件下，ZkBDP的外接圓半徑等于 .AE BD 772 x 372 42解：令 x=0,得 y= - 2 C(0, 2) . VACB=90°, CO±AB,.nr- ?AAOC ACOB, . /.OA OB=OC2 ； /.OB=

50、 - = = 4 /. m=4 .OA 1將為(-1, 0)，尿4, 0)代入y =歷:-2 , 口 = 2- J拋物線的解析式為尸=Lx2-1x-(2)2(1,刀)代入得力二一3 .由二；'飛 得(=7' J=6,22尸不/_一？，必=0；1為=7.E (6, 7).過后作EHLx軸于用 則廳(6, U). AHEH7.二乙EAH = 45。.過D作以尸_Lx軸于死則F(l, 0).耳9=。尸=3.NDBF-450 NERH=N£©P=450.：ND5Hn1350, 90q < ZEBA < 135°.則點尸只能在點B的左例，有以下兩

51、種情況，若的噓嚕；.明=鬻二需邛15 1313二。.4-亍=."(左0).若力陷5歷ie則絲.N吧 AE ABAB422222。月=學-4 工?. 二巴(一?.0).綜合、，得點尸的坐標為：片(*0)或舄(-日,0).14(3)巫或返.18 （無錫市） 已知ABC中，乙4 = 90 , N8 = 675,請畫一條直線，把這個三角形分割成 兩個等腰三角形.（請你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來.只需畫圖，不 必說明理由，但要在圖中標出相等兩角的度數(shù)）PPI 111111（2）已知48C中，NC是其最小的內角，過頂點8的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三 角形，請?zhí)?/p>

52、求ZA8C與NC之間的關系.解：（1）如圖（共有2種不同的分割法）名田圖名田圖(2)設ZA8C = y, ZC = x,過點8的直線交邊AC于。.在08C中，若NC是頂角，如圖1,則ZAO3>90 ,ZCBD = ZCDB = 1(180 - x) = 90 - L, ZA = 180 - x - y . 22此時只能有NA = NAQ, B|J180 -x-y = y- 90 ,3/. 3x+4y = 540 ,即 ZABC = 135 一一 ZC.4若NC是底角，則有兩種情況.第一種情況：如圖2,當O8 = 1DC時，則N£)8C = x,A3。中，ZADB = 2x, Z

53、ABD = y-x.1°.由 AB = A£),得2x=y - x,此時有)，= 3x,即 NA8C = 3NC.2'.由 =得 18O'-x-y = 2x,此時3x+y = 180 ,即448C = 180 -3NC .3"由=得 180 -x-y = y - x,此時 y = 90% 即 NA8C = 90 , NC 為小于45° 的任意銳角.第二種情況，如圖3,當3c時，ZBDC = x, 2408 = 180 x>90。，此時只能有A£> = 8。, 從而44 = N48O = LnCv/C,這與題設NC是最

54、小角矛盾.2，當NC是底角時，BD = BC不成立.19 (南通市)28 .已知等腰三角形48c的兩個頂點分別是40, “、8(0, 3),第三個頂點C在工軸的正半軸上.關于y軸對稱的拋物線丁=G + bx + c經過A、"3. -2)、尸三點，且點尸關于直線4c的對稱點在x軸上.(4求直線8c的解析式；(2)求拋物線)，=012 +以+。的解析式及點P的坐標；(3)設M是)，軸上的一個動點，求PM+CM的取值范圍解：(1) v 4(0,1), 8(0,3), AB = 2,/XABC是等腰三角形，且點C在x軸的正半軸上，AC = A8 = 2,(第28題圖)oc=>Jac2-

55、oa2 =73 .，c(6o)設直線8C的解析式為y = H + 3,一瓜+ 3 = 0, ./=-/J直線8c的解析式為)，= -VJx + 3 .(2) .拋物線)，= +/* + t關于y軸對稱，."=。又拋物線)，=r+公+。經過40,1), 0(3, - 2)兩點. 1C = 1，. _z_ CI = 9 "cc解得39a + c = -2fc = 1.，拋物線的解析式是y = -.在RtZXAOC中，04 = 1, AC = 2,易得ZACO = 30 .在RtZXBOC中，08 = 3, OC = B 易得N8CO = 60，C4是N8co的角平分線.直線BC

56、與軸關于直線AC對稱.點P關于直線AC的對稱點在x軸上，則符合條件的點P就是直線BC與拋物線y = Y +1的交 占 八、 點P在直線BC ：），= 一氐+ 3上，故設點尸的坐標是（%，- J§x + 3）.又點P （x，-5+ 3）在拋物線y = -x2+l±,3>/3 + 3 = 4-1 .解得 = >/3 ,巧=25/3 .故所求的點尸的坐標是6（/0）, 6（2/-3）.（3）要求PM+CM的取值范圍，可先求PM+CM的最小值.I）當點尸的坐標是（、/§，0）時，點尸與點。重合，故PM+CM=2CM .顯然CM的最小值就是點C到），軸的距離為6, ,點/是y軸上的