樸素貝葉斯分類

1、樸素貝葉斯Naive Bayes重慶大學軟件信息服務工程實驗室余俊良條件概率1 定義若儀 是全集，A、B是其中的事件（子集）,P表示事件發(fā)生的概率，則-1 =Z為事件B發(fā)生后A發(fā)生的概率。乘法定理設 P(A) > 0,則有 P(AB) = P(B A)P(A) = P(A B)P(B).設A B.C為事件且P(AB) > 0,則有P(ABC) = P(A)P(BA)P(CAB).注：當P(AB)不容易直接求得時，可考慮利用V與 P0/Q的乘積或砒與P(A/B)的乘積間接求得。乘法定理的推廣推廣設為個事ft n > 2,且戶（£&4一1）> °

2、，則有p（a1a2.aj = p（a1）p（a2|a1）p（a3|a1a2）P（An|A1A2-An 1）、全概率公式1 集合（樣本空間）的劃分定義設0為試驗E的樣本空間也 為E的一組事件，若1° BjBj = 0, i, j = 1,2, , h;2° B,UB2U-UB/;=Q,則稱坊,也為樣本空間Q的一個劃分2.全概率公式定義設C為試驗E的樣本空間,A為E的事件, 妨,Q場為。的一個劃分,且P(BJ > 0 (21,2,加,則P(A) = P(A 丨 B)P(5) + P(A i B2)P(B2)+ - + P(ABn)P(BJn= P(B)P(ABi)i=全概

3、率公式證明 4 = AQ = 4n(qUB2U 色)二 AB1LW2U=> P(A) = P(BJP(A 丨 BJ + P(B2)P(A I 場)+ +P(Bn)P(AIBn)圖示說明 全概率公式的主要用途在于它可以將一個復雜事 件的概率計算問題，分解為若干個簡單事件的概率計算問 題，最后應用概率的可加性求出最終結果.例1有一批同一型號的產品，已知其中由一廠生產的占 30%,二廠生產的占50%,三廠生產的占20%又知這三個 廠的產品次品率分別為2%, 1% 1%問從這批產品中任取一 件是次品的概率是多少解 設事件月為“任取一件為次品”，事件Bj為任取一件為了廠的產品',i = 1

4、,2,3.B UB2 UB3=Q, BiBj = 0, ij = 1,2,3.由全概率公式得F二只引卩創(chuàng)血+卩厲屮+卩厲円沖鳥），P(B1) = 0.3, P(B2) = 0.5, P(B3) = 0.2,P(A|Bi)= 0.02, P(AB2) = 0.01, P(AB3) = 0.01,故 P(A) = P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.02x0.3 + 0.01x0.5 + 0.01x0.2 = 0.013.貝葉斯公式定義 設0為試驗E的樣本空間A為E的事件, Bpd，$為G的一個劃分，且P(A) > 0, P(BJ>0(心1

5、,2,加，則P(即 A)=心 1,2，山£p(AB,P(Bj)>1Bayes公式的意義假設導致事件A發(fā)生的“原因”有Bj （匸12?。﹤€。 它們互不相容?，F已知事件A確已經發(fā)生了，若要估計它是由“原 因” B所導致的概率，則可用Bayes公式求出.即可從結果分析原因.證明P(BA) =P(AIBJP(BJP(A) P(BJP(ABJn2P(B7.)P(AIBy) j=l乘法定理:設 P(A) > 0,則有 P(AB) = P(B A)P(A) = P(A| B)P(B).P(A) = P(3 )P(AIBJ + P(B2)P(A I 耳)+ +P(Bn)P(ABn)例2貝

6、葉斯公式的應用某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的根據 以往的記錄有 以下的數據:元件制造廠次品率提供元件的份額10.020.1520.010.8030.030.05設這三家工廠的產品在倉庫中是均勻混合的，且 無區(qū)別的標志.(1)在倉庫中隨機地取一只元件，求它是次品的 概率；（2）在倉庫中隨機地取一只元件，若已知取到的是 次品，為分析此次品出自何廠,求此次品出由 三家工廠生產的概率分別是多少.解設力表示”取到的是一只次品，比（7 = 1,2,3 表示所取到的產品是由第/家工廠提供時.則 B、, B2, B3是樣本空間G的一個劃分且 P（BJ = 0.15,P（B2） = 0.80

7、,P（B3） = 0.05,P(ABX) = 0.02, P(AB2) = 0.01, P(A|B3) = 0.03.(1)由全概率公式得P(A) = P(AB1)P(B1) + P(AB2)P(B2) + P(AB3)P(B3)=0.0125.由貝葉斯公式得P(B2A) =P(B3A) =砂|場)陀2)P(A)0.64,P(A)0.12.故這只次品來自第2家工廠的可能性最大先驗概率與后驗概率由以往的數據分析得到的概率，叫做先驗概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率叫做后驗概率.貝葉斯分類貝葉斯分類器是一個統計分類器。它們能夠預測類別所屬的 概率，女口：一個數據對象屬于某個類別的概率。貝葉

8、斯分類 器是基于貝葉斯定理而構造出來的。對分類方法進行比較的有關研究結果表明：簡單貝葉斯分類 器（稱為基本貝葉斯分類器）在分類性能上與決策樹和神經 網絡都是可比的。在處理大規(guī)模數據庫時，貝葉斯分類器已表現出較高的分類 準確性和運算性能。定義：設x是類標號未知的數據樣本。設H為某種假定，如 數據樣本X屬于某特定的類C。對于分類問題，我們希望確 定P(H|X),即給定觀測數據樣本X,假定H成立的概率。貝 葉斯定理給出了如下計算P(H|X)的簡單有效的方法：P(HX) =P(XP(H)是先驗概率,或稱H的先驗概率。P(X|H)代表假設H成 立的情況下，觀察到X的概率。P(H|X)是后驗概率，或稱條件

9、X下H的后驗概率。先驗概率泛指一類事物發(fā)生的概率，通常根據歷史資料或主觀判斷，未經實驗證實所確定的概率。而后驗概率涉及的是某個特定條件下一個具體的事物 發(fā)生的概率例如：P（X1 ）=0.9:細胞為正常細胞的概率0.9 （先驗概率）P（x2）=0.1:細胞為異常細胞的概率0.1 （先驗概率）對某個具體的對象y, P（xl |y）:表示y的細胞正常的概率 是0.82 （后驗概率）P（x2|y）:表示y的細胞異常的概率是0.18 （后驗概率）26樸素貝葉斯分類樸素貝葉斯分類的工作過程如下：（1）每個數據樣本用一個/7維特征向量后馬，電， 兀表示，分別描述對a個屬性月” A2, 、觀樣本的a個度量。假

10、定有加個類G，G"給定一個未知的數據樣 本x（即沒有類標號）,分類器將預測&屬于具有最高后驗 概率（條件x下）的類。也就是說，樸素貝葉斯分類將未 知的樣本分配給類G （i</</77）當且僅當pqx）> p（c.x）, 對任意的尸j 2、，叫j* 這樣，最大化pqx）o其 pqx）最大的類g稱為最大后驗假定。根據貝葉斯定理gix)=p(xicjp(g)PW（3）由于對于所有類為常數，只需要4X|g）*hg） 最大即可。如果G類的先驗概率未知，則通常假定這些類是等概 率的，即玖c）=p（c滬二玖因此問題就轉換為 對ixq的最大化（rxig）常被稱為給定g時數據

11、x 的似然度，而使p（xq）最大的假設g稱為最大似然假 設）。否則，需要最大化4£G）*RG）。注意，類的 先驗概率可以用p（q）二“ s計算，其中斥是類G中的訓練 樣本數，而S是訓練樣本總數。 (4)給定具有許多屬性的數據集，計算ixq)的開銷可能非 常大。為降低計算PXQ的開銷，可以做類條件獨立的樸 素假定。P(AB) = P(A)P(B)給定樣本的類標號，假定屬性值相互條件獨立，即在屬性 間，不存在依賴關系。這樣nP(XCi) = YPkCi)聯合概率分布k=29樸素貝葉斯分類 (5)對未知樣本X分類，也就是對每個類計算P(X| Q*P(Qo樣本頑指派到類q 當且僅當P(qx)

12、> p(q|JO, *換言之，磁指派到其P(X|q*p(q最大的類。30“打網球”的決定No.天氣氣溫濕度風類別No.天氣氣溫濕度風類別1晴熱高無N8晴適中高無N2晴熱高有N9晴冷正常無P3多云熱高無P10雨適中正常無P4雨適中高無P11晴適中正常有P5雨冷正常無P12多云適中高有P6雨冷正常有N13多云熱正常無P7多云冷正常有P14雨適中高有N實例No.天氣氣溫濕度風類別1睛熱高無N2晴熱高有N3多云熱高無P4雨適中高無P5雨冷正常無P6雨冷正常有N7多云冷正常有PNo.天氣氣溫濕度風類別8晴適中高無N9晴冷正常無P1()雨適中正常無P11晴適中正常有P12多云適中高有P13多云熱正常

13、無P14雨適中高有N統計結果天氣溫度濕度有風打網球PNPNPNPNPN晴2/93/5熱2/92/5高3/94/5否6/92/59/145/14云4/90/5暖4/92/5正常6/91/5是3/93/5雨3/92/5涼3/91/5統計結果天氣E1溫度E2濕度E3有風E4打網球PNPNPNPNPN晴2/93/5執(zhí) 八、2/92/5高3/94/5否6/92/59/145/14云4/90/5暖4/92/5正常6/91/5是3/93/5雨3/92/5涼3/91/5對下面的情況做出決策:天氣溫度濕度有風打網球晴涼高疋?統計結果天氣E1溫度E2濕度E3有風E4打網球DPNPNPNPNPN晴2/93/5熱2/

14、92/5高3/94/5否6/92/59/145/14云4/90/5暖4/92/5正常6/91/5是3/93/5雨3/92/5涼3/91/5對下面的情況做出決策:決策：P(D = noE)>P(D = yes IE)?貝葉斯公式：P(D I E)=P(DE) _ P(E 丨 D)P(D)P(E)二 P(E)E為第二個表中的 取值、分別計算 D=yes/no的概率天氣溫度濕度有風打網球晴涼是?模型： E=ECE2CE3CEa統計結果對下面的情況做出決策:天氣溫度濕度有風打網球晴涼髙是?P(D I E)=P(DE)P(E)P(E I D)P(D)P(E)Pyes IE)=P(DE)P(E)P(

15、ED)P(D)P(yes I E)=2 3 3 3 9xxxX9 9 9 9 14P(E)0.0053P(E)天氣El溫度E2濕度E3有風E4打網球DPNPNPNPNPN晴2/93/5熱2/92/5高3/94/5否6/92/59/145/14云4/90/5暖4/92/5正常6/91/5是3/93/5雨3/92/5涼3/91/5P( E, n E2 n E? c E41 yes)P(yes)P(E)PE I yes)PE21 yes)PE, I yes)PEA I yesPyes)P(E)2 3 3 39已經計算出：9 X9X9X9XH = 0.0053P(E)P(E)3 14 35同理可計算：

16、P(WOIE)=5X5X5X5X14 =0.0206P(E)P(E)利用公式：P(yes 1 E) + Pno 1E) = 1最后得到：Pyes IE) = 20.5% P(no IE) = 79.5%決策:Pyes IE) < P(no IE) 不去打球天氣E1溫度E2濕度E3有風E4打網球DPNPNNPNPN晴2/93/5熱2/92/5高3/95/5否6/92/59/145/14云4/90/5暖4/92/5正常6/90/5是3/93/5雨3/92/5涼3/91/5對下面的情況做出決策:天氣溫度濕度有風打網球云涼正常是?利用樸素貝葉斯對文檔分類為了對文檔進行分類，首先我們需要把文檔進行

17、向 量化，而組成這個向量的分量，通常是一個文檔集 合中重要的關鍵詞。Bag of words,也叫做“詞袋”,在信息檢索中， Bag of words model假定對于一個文本，忽略其詞序 和語法，句法，將其僅僅看做是一個詞集合，或者 說是詞的一個組合，文本中每個詞的岀現都是獨立 的，不依賴于其他詞是否岀現，或者說當這篇文章 的作者在任意一個位置選擇一個詞匯都不受前面句 子的影響而獨立選擇的。將多個文檔轉換成一個詞袋矩陣后，即可通過樸素 貝葉斯方法對文檔進行分類。擴展：使用0,1方式表達的詞袋模型雖然簡單，但 它并不能表達出不同詞語的重要性，因此在 信息檢索領域，TF-IDF模型更常用。TF

18、（定義）關鍵詞在該文檔中出現的次數除以該文檔的總字數。 我們把這個商稱為“關鍵詞的頻率”，或者單文本 詞頻term frequency, TF）對關鍵詞的次數進行歸一化，以防止它偏向長的文 件。（同一個詞語在長文件里可能會比短文件有更高 的詞頻，而不管該詞語重要與否。）TF （舉例）短語“原子能的應用”可以分成三個關鍵詞：原子 能、的、應用 在某個一共有J000詞的文檔中，其中"原子能”、“的”和“應用”分別出現了2次、35次和5次,那 么它們的詞頻就分別是0.002、0.035和0.005。我們 將這三個數相加，其和0.042就是相應文檔和查詢“原子能的應用”的"單文本詞

19、頻”TF（概括），度量文檔和查詢的相關性，有一個簡單的方就是直接使用各個關鍵詞在文檔中岀現的總詞具體地講，如果一個查詢包含N個關鍵詞W7, %，w”，它們在一個特定文檔中的詞頻分別 是：TF,TF2，.,TFn。那么，這個查詢和該文檔 的相關性就:TF.+TF2+. . . +TFno由上例可知:詞"的”占了總詞頻的80%以上，而它對確定文檔的主題 幾乎沒有用處這種詞叫“停止詞”，也就是說，在度量相關性時不應考慮它 們的頻率忽略這些停止詞后，上述文檔和查詢的相關性就變成了0.007,其中“原子能”貢獻了0.002,0.005“應用”貢獻了在漢語中，“應用”是個很通用的詞，而'

20、'原子能”是 個很專業(yè)的詞，后者在相關性排名中比前者重要。因此, 我們需要給漢語中的每一個詞給一個權重。權重（設定條件）這個權重的設定必須滿足下面兩個條件：一個詞預測主題的能力越強，權重就越大，反之, 權重就越小。在文檔中看到“原子能”這個詞， 或多或少地能了解文檔的主題。而看到“應用” 一詞，則對主題基本上還是一無所知。因此，“原子能“的權重就應該比“應用”大 停止詞的權重應該是零。權重（概括）很容易發(fā)現，如果一個關鍵詞只在很少的文檔中出 現，通過它就容易鎖定搜索目標，它的權重也就應 該大。反之，如果一個詞在大量文檔中出現，看到 它仍然不很清楚要找什么內容，因此它的權重就應 該小概括地講，假定一個關鍵詞W在Dw個文檔中出現過, 那么0”越大，W的權重越小，反之亦然IDF（逆向文件頻率）A在言息檢索中，使用最多的權重是"逆齊本頻率 指數"（Inverse document frequency 縮寫為ZDF）, 它的公式為bg（D/Dw）其中。是全部文檔數。A比如，假定中文文檔數是D二10億，停止詞“的” 在所有的文檔中都出現，即Dw二10億，那么它的 IDF=log （70億/"億）=log =0A假如專用詞“原子能”在200萬個文檔中岀現，即 Dv =200萬，則它的權重IDF=log （50