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文檔簡介

1、.函數(shù) 函數(shù)是高考數(shù)學的重點內容之一,函數(shù)的觀點和思想方法貫穿整個高中數(shù)學的全過程,包括解決幾何問題.在近幾年的高考試卷中,填空題解答題中每年都有函數(shù)試題,而且??汲P?以基本函數(shù)為模型的應用題和綜合題是高考命題的新趨勢.考試熱點:考查函數(shù)的表示法定義域值域單調性奇偶性和函數(shù)的圖象.函數(shù)與方程不等式數(shù)列是相互關聯(lián)的概念,通過對實際問題的抽象分析,建立相應的函數(shù)模型并用來解決問題,是考試的熱點.考查運用函數(shù)的思想來觀察問題分析問題和解決問題,滲透數(shù)形結合和分類討論的基本數(shù)學思想.函數(shù)概念(一)知識梳理1.映射的概念設是兩個集合,如果按照某種對應法則,對于集合中的任意元素,在集合中都有唯一確定的元

2、素與之對應,那么這樣的單值對應叫做從到的映射,通常記為 ,f表示對應法則2.函數(shù)的概念(1)函數(shù)的定義:設是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種對應法則,對于集合中的每一個數(shù),在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應,那么這樣的對應叫做從到的一個函數(shù),通常記為 (2)函數(shù)的三要素:定義域值域和對應法則3.函數(shù)的三種表示法:圖象法列表法解析法(1).圖象法:就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關系;(2).列表法:就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關系;(3).解析法:就是把兩個變量的函數(shù)關系,用等式來表示.4.分段函數(shù) 在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).(二)考點分析考點1:映射

3、和函數(shù)的概念例1.若,則到的映射有 個,到的映射有 個,到 的函數(shù)有 個例2. 函數(shù)的圖象與直線交點的個數(shù)為 個.考點2:判斷兩函數(shù)是否為同一個函數(shù)例1. 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)?(1),; (2),(3),;(4),考點3:求函數(shù)解析式方法總結:(1)若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)二次函數(shù)),則用待定系數(shù)法;(2)若已知復合函數(shù)的解析式,則可用換元法或配湊法;(3)若已知抽象函數(shù)的表達式,則常用解方程組消參的方法求出題型1:由復合函數(shù)的解析式求原來函數(shù)的解析式例1 已知二次函數(shù)滿足,求例2.(09湖北改編)已知=,則的解析式可取為 題型2:求抽象函數(shù)解析式 例1.已知函數(shù)滿足,求考

4、點4:求函數(shù)的定義域題型1:求有解析式的函數(shù)的定義域(1)方法總結:如沒有標明定義域,則認為定義域為使得函數(shù)解析式有意義的的取值范圍,實際操作時要注意: 分母不能為0; 對數(shù)的真數(shù)必須為正; 偶次根式中被開方數(shù)應為非負數(shù); 零指數(shù)冪中,底數(shù)不等于0; 負分數(shù)指數(shù)冪中,底數(shù)應大于0; 若解析式由幾個部分組成,則定義域為各個部分相應集合的交集; 如果涉及實際問題,還應使得實際問題有意義,而且注意:研究函數(shù)的有關問題一定要注意定義域優(yōu)先原則,實際問題的定義域不要漏寫.例1.(08年湖北)函數(shù)的定義域為_.題型2:求復合函數(shù)和抽象函數(shù)的定義域例1.(2007·湖北)設,則的定義域為_.例2

5、已知函數(shù)的定義域為,求的定義域.例3 已知的定義域是,求函數(shù)的定義域.例4.已知的定義域是(-2,0),求的定義域.考點5:求函數(shù)的值域1 求值域的幾種常用方法(1)配方法:對于(可化為)“二次函數(shù)型”的函數(shù)常用配方法,如求函數(shù),可變?yōu)榻鉀Q(2)基本函數(shù)法:一些由基本函數(shù)復合而成的函數(shù)可以利用基本函數(shù)的值域來求,如函數(shù)就是利用函數(shù)和的值域來求.(3)判別式法:通過對二次方程的實根的判別求值域.如求函數(shù)的值域(4)分離常數(shù)法:常用來求“分式型”函數(shù)的值域. 如求函數(shù)的值域.(5)換元法:運用換元法時,要特別要注意新元的范圍.的值域為_. 的值域為_.(6)數(shù)形結合法.已知點在圓上,求及的取值范圍

6、.(7)導數(shù)法一般適用于高次多項式函數(shù),如求函數(shù),的最小值.(8)對勾函數(shù)法 像y=x+,(m>0)的函數(shù),m<0就是單調函數(shù)了 (1)如,求(2)x -1,0 )(0,4,求值域 (2)如 ,求(1)3,7上的值域 (2)單調遞增區(qū)間.(9)直接分析法.設函數(shù),若的定義域是R,求實數(shù)的取值范圍;若的值域是R,求實數(shù)的取值范圍.考點6:分段函數(shù):練1. 已知函數(shù)= .練2. 已知函數(shù)的定義在上的奇函數(shù),當時,則不等式的解集是 .函數(shù)的單調性(一)知識梳理1函數(shù)的單調性定義:設函數(shù)的定義域為,區(qū)間,如果對于區(qū)間內的任意兩個值,當時,都有,那么就說在區(qū)間上是單調增函數(shù),稱為的單調增區(qū)間

7、;如果對于區(qū)間內的任意兩個值,當時,都有,那么就說在區(qū)間上是單調減函數(shù),稱為的單調減區(qū)間.如果用導數(shù)的語言來,那就是:設函數(shù),如果在某區(qū)間上,那么為區(qū)間上的增函數(shù);如果在某區(qū)間上,那么為區(qū)間上的減函數(shù);2確定函數(shù)的單調性或單調區(qū)間的常用方法:(1)定義法(取值作差變形定號);導數(shù)法(在區(qū)間內,若總有,則為增函數(shù);反之,若在區(qū)間內為增函數(shù),則,(2)復合函數(shù)法:復合函數(shù)單調性的特點是同增異減(3)若與在定義域內都是增函數(shù)(減函數(shù)),那么在其公共定義域內是增函數(shù)(減函數(shù)).3單調性的說明:(1)函數(shù)的單調性只能在函數(shù)的定義域內來討論,所以求函數(shù)的單調區(qū)間,必須先求函數(shù)的定義域;(2)函數(shù)單調性定義

8、中的,有三個特征:一是任意性;二是大小,即;三是同屬于一個單調區(qū)間,三者缺一不可; (3)函數(shù)的單調性是對某個區(qū)間而言的,所以受到區(qū)間的限制,如函數(shù)分別在和內都是單調遞減的,但是不能說它在整個定義域即內是單調遞減的,只能說函數(shù)的單調遞減區(qū)間為和.4函數(shù)的最大(小)值設函數(shù)的定義域為,如果存在定值,使得對于任意,有恒成立,那么稱為的最大值;如果存在定值,使得對于任意,有恒成立,那么稱為的最小值.(二)考點分析考點1 函數(shù)的單調性題型1:基本函數(shù)的單調性例1.函數(shù)的單調增區(qū)間是_.例2.已知函數(shù)滿足對任意成立,則a的取值范圍是_.例3.若函數(shù)在區(qū)間(-,4上是減函數(shù),那么實數(shù)的取值范圍是_. 題型

9、2:復合函數(shù)的單調性.例1 求函數(shù)的單調區(qū)間.題型2:研究抽象函數(shù)的單調性例1.已知函數(shù)的定義域是的一切實數(shù),對定義域內的任意都有,且當時,(1)求證:是偶函數(shù);(2)在上是增函數(shù);(3)解不等式.解:(1)令,得,令,得,是偶函數(shù).(2)設,則,即,在上是增函數(shù).(3),是偶函數(shù)不等式可化為,又函數(shù)在上是增函數(shù),解得:,即不等式的解集為.題型3:函數(shù)的單調性的應用例2.已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍_. 考點2 函數(shù)的最值.題型1:求分式函數(shù)的最值例1.(2007上海)已知函數(shù)當時,求函數(shù)的最小值.題型2:利用函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍例2.(2008廣東)已知函數(shù)若對任意恒成立

10、,試求實數(shù)的取值范圍.函數(shù)的奇偶性(一)知識梳理偶函數(shù):.設()為偶函數(shù)上一點,則()也是圖象上一點.偶函數(shù)的判定:兩個條件同時滿足定義域一定要關于原點對稱,滿足,或,若時,.奇函數(shù):.設()為奇函數(shù)上一點,則()也是圖象上一點.奇函數(shù)的判定:兩個條件同時滿足定義域一定要關于原點對稱,滿足,或,若時,.注:函數(shù)定義域關于原點對稱是判斷函數(shù)奇偶性的必要條件,在利用定義判斷時,應在化簡解析式后進行,同時靈活運用定義域的變形,如,(f(x)0);定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)必定過原點(二)考點分析考點1 判斷函數(shù)的奇偶性及其應用題型1:判斷有解析式的函數(shù)的奇偶性例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)

11、f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=(x-1)·(3);(4)題型2:證明抽象函數(shù)的奇偶性例1 .(09年山東)定義在區(qū)間上的函數(shù)f (x)滿足:對任意的,都有. 求證f (x)為奇函數(shù);例2.設函數(shù)對于任意的,都有,且時,(1)求證是奇函數(shù);(2)試問當時,是否有最值?如果有,求出最值;如果沒有,說出理由.考點2 函數(shù)奇偶性單調性的綜合應用例1.若定義在R上的偶函數(shù)在上是減函數(shù),且=2,則不等式的解集為_.例2.已知是偶函數(shù),定義域為,則=_.例3.已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若,求實數(shù)的取值范圍.例4.若為奇函數(shù),則實數(shù)=_.函數(shù)的周期性(一)知識梳理1.函數(shù)的周

12、期性的定義:對于函數(shù),如果存在一個非零常數(shù),使得定義域內的每一個值,都滿足,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期.2.周期性的性質:類比“三角函數(shù)圖像”得:(1)若圖像有兩條對稱軸,則必是周期函數(shù),且一周期為;(2)若圖像有兩個對稱中心,則是周期函數(shù),且一周期為;(3)如果函數(shù)的圖像有一個對稱中心和一條對稱軸,則函數(shù)必是周期函數(shù),且一周期為;(4)若f(x+a)=f(x+b) 則T=|b-a|;函數(shù)滿足,則是周期為2的周期函數(shù);若恒成立,則;若恒成立,則.3.函數(shù)圖像變換:圖象作法:描點法(注意三角函數(shù)的五點作圖)圖象變換法導數(shù)法圖象變換: 平移變換:,左“+”右“-”; 上“+

13、”下“-”; 伸縮變換:, (縱坐標不變,橫坐標伸長為原來的倍;, (橫坐標不變,縱坐標伸長為原來的倍; 對稱變換:; ; 翻轉變換:右不動,右向左翻(在左側圖象去掉);上不動,下向上翻(|在下面無圖象);(二)考點分析考點2函數(shù)的周期性與對稱性例1函數(shù)的圖象關于直線對稱.則_.例2若曲線與有兩個公共點,則的取值范圍是_. 例3.函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)有_個.例4.如若函數(shù)是偶函數(shù),則函數(shù)的對稱軸方程是_.考點2 函數(shù)奇偶性周期性的綜合應用 例1 .(09年江蘇題改編)定義在上的偶函數(shù)滿足對于恒成立,且,則 _ .例2.定義在R上的函數(shù)滿足,且,當時,則_.2.5 二次函數(shù)(一)知識梳理1二

14、次函數(shù)解析式的三種設法:一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a0) 頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a0) 兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2) .2二次函數(shù)的性質:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的性質定義域R值 域a>0 a<0 奇偶性當b=0時是偶函數(shù);當時為非奇非偶函數(shù)單調性a>0a<0在上遞減;在上遞增在上遞增;在上遞減圖象圖象特點 (1)對稱軸: (2)頂點:3三個“二次”之間的關系:二次函數(shù)一元二次不等式和一元二次方程是一個有機的整體,要深刻理解它們之間的關系,運用函數(shù)方程的思想方法將它們進行相互轉化,才是準確迅速答題的關鍵. 二次方程ax2+bx+c=0的兩根

15、即為不等式ax2+bx+c>0(<0)解集的端點值,也是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與軸的交點的橫坐標4利用二次函數(shù)的知識解決實系數(shù)二次方程ax2+bx+c=0(a0)實根分布問題:(1)二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的區(qū)間根問題.一般情況下,需要從四個方面考慮: 開口方向;判別式的符號;區(qū)間端點函數(shù)值的正負;對稱軸 x=-b/2a 與區(qū)間端點的關系注:在討論方程根的分布情況時,要寫出其充要條件,注意觀察對應的函數(shù)圖象是避免將充要條件寫成必要條件的有效辦法. 配方法二次函數(shù)(二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類:一是求閉區(qū)間上的最值;二是求區(qū)間定(動),對稱軸動(定)的最值

16、問題求二次函數(shù)的最值問題,勿忘數(shù)形結合,注意“兩看”:一看開口方向;二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系).典型例題訓練例1已知函數(shù),若,且,則_(用“>”或“=”或“<”連接).例2.若關于的不等式的解集是,則實數(shù)的值是_.例3.二次函數(shù)的二次項系數(shù)為負,且對任意實數(shù),恒有,若,則的取值范圍是_.例4.當時,不等式恒成立,則a的取值范圍是_.例5.若函數(shù)的圖象關于直線對稱,則.(二)考點分析考點1.二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題例1.已知函數(shù)f(x)= - x2+2ax+1-a在0x1時有最大值2,求a的值.思維分析:一般配方后結合二次函數(shù)圖象對字母參數(shù)分類討論解:f(x)= -(x-

17、a)2+a2-a+1(0x1),對稱軸x=a10 a<0時, 20 0a1時 30 a>1時,綜上所述:a= - 1或a=2例2.已知y=f(x)=x2-2x+3,當xt,t+1時,求函數(shù)的最大值和最小值.答案:例3.已知函數(shù)的最大值為,求的值 .分析:令,問題就轉二次函數(shù)的區(qū)間最值問題.解:令,對稱軸為,(1)當,即時,得或(舍去).(2)當,即時,函數(shù)在單調遞增,由,得.(3)當,即時,函數(shù)在單調遞減,由,得(舍去).綜上可得:的值為或.考點2.一元二次方程根的分布及取值范圍例1. 已知函數(shù)與非負軸至少有一個交點,求的取值范圍.解法一:由題知關于的方程至少有一個非負實根,設根為

18、則或,得.解法二:由題知或,得.考點3.函數(shù)與方程:要認真區(qū)分函數(shù)的零點的概念,方程的解概念.會用圖像研究解的區(qū)間.例1.已知方程的解在區(qū)間內,是的整數(shù)倍,則實數(shù)的值是_.例2.函數(shù)的零點的個數(shù)是_.指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(一)知識梳理(三)指數(shù)與對數(shù):(1)n次方根的定義:若xn=a,則稱x為a的n次方根,“”是方根的記號.(2)方根的性質:當n為奇數(shù)時,=a.當n為偶數(shù)時,=|a|=(3)分數(shù)指數(shù)冪的意義:a=(a>0,mn都是正整數(shù),n>1).a=(a>0,mn都是正整數(shù),n>1).(4)對數(shù)的定義:如果ab=N(a>0,a1),那么b叫做以a為底N的對數(shù),記作lo

19、gaN=b.(2)指數(shù)式與對數(shù)式的關系:ab=NlogaN=b(a>0,a1,N>0).兩個式子表示的abN三個數(shù)之間的關系是一樣的,并且可以互化.(5)對數(shù)運算性質:loga(MN)=logaM+logaN.loga=logaM-logaN.logaMn=nlogaM.(M>0,N>0,a>0,a1)對數(shù)換底公式:logbN=(a>0,a1,b>0,b1,N>0).(四)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質:指數(shù)函數(shù):()圖像性質定義域R,值域為(),過定點(0,1)x>0時,y>1; x<0時,0<y<1x>0時,0<

20、;y<1; x<0時,y>1定義域上為增函數(shù),值越大,越靠近軸定義域上為減函數(shù),值越小,越靠近軸(五)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質:對數(shù)函數(shù):()圖像性質定義域(),值域為R,過定點(10,)x>1時,y>0; 0< x <1時,y <0x>1時,y<0; 0< x <1時,y>0定義域上為增函數(shù),值越大,越靠近軸定義域上為減函數(shù),值越小,越靠近軸指對數(shù)函數(shù)圖像特點指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)圖像對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)圖像例1.當且時,函數(shù)的圖像恒過點,若點在直線上,則的最小值為 . 例2.已知函數(shù)f(x)=loga| x |在(0,+)上單

21、調遞增,則f(-2) f(a+1).(填寫“<”,“=”,“>”之一)例3.已知是上的減函數(shù),那么的取值范圍是_. 例4.若,且,求實數(shù)的取值范圍.(六)冪函數(shù):一.冪函數(shù)定義:一般地,形如的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中為常數(shù).二.冪函數(shù)的性質(1)所有的冪函數(shù)在(0,+)都有定義,并且圖象都過點(1,1);(2)時,冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地,當時,冪函數(shù)的圖象下凸;當時,冪函數(shù)的圖象上凸;(3)時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內,當從右邊趨向原點時,圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當趨于時,圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.例1.冪函數(shù)的圖象經過點,則滿足=27的x的值是 .例2.已知冪函數(shù)為偶函數(shù),且在區(qū)間上是單調減函數(shù),則m=_.函數(shù)與方程(一)知識梳理1.函數(shù)零點概念:對于函數(shù),把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標.即:方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點.(二)考點分析題型1:方程的根與函數(shù)零點例1.(1)方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為_.(2)設a為常數(shù)

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