上海市初中九年級數(shù)學拓展Ⅱ教學參考資料(含練習冊答案)

1、初中數(shù)學拓展n課本教學參考材料X八八八人認八A人人八八人認八A八人八八人認八A八人八八人認八A人人八八人認八A人人八八人認八A八人八八人認八A八八八八人認八A人八八八4;編者的話1:數(shù)學課程標準 中安排的初中數(shù)學拓展II的內(nèi)容，是定向拓展內(nèi)容，提供希望在;初中畢業(yè)后進入普通高中學習的學生修習。根據(jù)數(shù)學課程標準編寫的“初中數(shù)學拓?展II ”課本（試驗本），用于九年級，現(xiàn)正在基地學校進行第一輪教學試驗。為了幫助執(zhí) ? t教老師理解課本、把握要求和開展實踐研究，教材編寫人員編寫了本冊課本的教學參考EE材料。這本教學參考材料，沒有經(jīng)過有關部門的審查，不是正式出版的“教學參考書”。t1由于編寫倉促，成稿

2、匆忙，材料內(nèi)容難免存在錯誤和不足，只是考慮到新課本進行第 E;一輪教學對參考材料的需要，所以將此很不成熟的材料公諸于眾。本材料提供:執(zhí)教老師在教學研究中參考使用，同時在使用中開展研究；通過對材料的使用和研：、:究，發(fā)現(xiàn)并糾正其中的錯誤，彌補不足，充實內(nèi)容，為編寫正式的“教學參考書”打好tE基礎。希望這本教學參考材料對執(zhí)教老師有參考作用，更期待執(zhí)教老師對此材料提出寶 ;貴意見和修改建議。:初中數(shù)學教材編寫組2007年8 ：；月：:X 八八八人尸.八 A 八八八八人尸.八八八八八八人尸.八八八八八八八八八八八八八八八八八八八八八八八八八 A 八八八八八八八 A 八八八八八八八 A 八八八八

3、63;一場二而辦亞詞卷初中數(shù)學拓展II課本（以下簡稱本冊課本），含“一元二次方程與二次函數(shù)”、“直線與圓”兩章內(nèi)容，還有配合各章內(nèi)容的練習部分。本冊課本內(nèi)容的確定，其依據(jù)是上海市中小學數(shù)學課程標準（試行本）»；內(nèi)容的安排，是在“二二分段，九年級分層”的框架下進行的。初中數(shù)學內(nèi)容的設計，整體上按照六、七年級和八、九年級進行分段，同時在九年級進行必要的分層處理。在初中階段，以全體學生必學的數(shù)學基本內(nèi)容為課程內(nèi)容的核心，著眼于所有學生未來發(fā)展的普遍需要， 構建共同的數(shù)學基礎； 再以學生定向選學的數(shù)學拓展 II 內(nèi)容，以及學生按興趣愛好選學的數(shù)學拓展I 內(nèi)容和課外活動材料，適當擴充數(shù)學基礎，

4、 形成具有差別性和層次性的數(shù)學， 滿足不同個性的學生的不同需要。 學生在六年級到九年級所學的數(shù)學基本內(nèi)容中， 包括 “實數(shù)知識基礎” 、“初等代數(shù)知識基礎” 、“平面幾何知識基礎與向量代數(shù)初步知識” 、 “初等代數(shù)函數(shù)的基礎與分析初步” 、 “概率與統(tǒng)計初步知識” 。這些知識內(nèi)容，是學生進一步學習和參與社會生活必備的數(shù)學基礎； 但是， 對于將要進入普通高中學習的學生，其數(shù)學知識基礎的準備還存在不足。 例如在高中數(shù)學中， 關于一元二次不等式解法的探討， 需要運用二次函數(shù)的圖像與x 軸的位置關系特征； 關于函數(shù)解析性質(zhì)的研究和理解， 需要借助于二次函數(shù)的直觀性質(zhì)； 關于集合與命題的討論、 正弦定理

5、以及在直角坐標平面上深入進行關于圓的研究等， 還需要更多的有關圓的知識。 因此， 安排拓展 II 的內(nèi)容并采用自主選擇的方式， 組織希望在初中畢業(yè)后進入普通高中的學生修習， 有助于這些學生充實數(shù)學基礎知識， 改善初、 高中數(shù)學的銜接。本冊課本的編寫， 注重于初中數(shù)學基礎知識的充實和內(nèi)容結構的完善， 關注學生進入普通高中學習數(shù)學基本內(nèi)容的需要。 同時， 重視與初中數(shù)學必學課本中有關內(nèi)容建立緊密的聯(lián)系， 體現(xiàn)內(nèi)容的整體性； 注意保持初中數(shù)學必學課本的編寫特點， 注意把握有關內(nèi)容的基礎性要求， 注意改善內(nèi)容呈現(xiàn)的方式和體現(xiàn)數(shù)學學習的過程。本冊課本第一章是 “一元一次方程與二次函數(shù)” 。 在必學課本中

6、討論一元二次方程與二次函數(shù)的基礎上， 本章著重研究一元二次方程的根與系數(shù)的關系、 二次函數(shù)的圖像相對于 x 軸的位置與一元二次方程的根的判別式之間的關系、 二次函數(shù)解析式的確定、 求二次函數(shù)的圖像與x 軸的交點坐標， 以及它們的簡單運用。同時， 通過建立二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系， 促進學生多角度地理解這兩部分知識內(nèi)容和形成整體性的認知結構， 領悟數(shù)學的思想和方法。 本章對一元二次方程的根與系數(shù)關系進行探究，既有理論意義（一元 n 次方程的根與系數(shù)關系定理是方程基本理論中的重要內(nèi)容） ，又有運用價值（可直接用于研究和解決相關問題） ；而觀察、發(fā)現(xiàn)、證明一元二次方程的根與系數(shù)關系定理的過程

7、，也是對學生探究學習的引導。 建立二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系， 讓學生運用函數(shù)的思想理解方程， 運用一元二次方程的知識研究二次函數(shù)的圖像， 不僅有助于提升學生的數(shù)學觀點， 同時使學生對二次函數(shù)的圖像與x 軸的位置關系獲得理性的認識。 關于二次函數(shù)解析式的確定， 在必學內(nèi)容中只涉及已知條件是函數(shù)的三組對應值 （即圖像上的三點坐標） 的情況， 這里擴展為已知條件與函數(shù)圖像特征或性質(zhì)有關， 既突出了待定系數(shù)法的運用， 又有利于學生對有關基本內(nèi)容的理解。第二章 “直線與圓” 是在必學課本中討論直線、 圓的基本知識以及直線與圓的位置關系的基礎上編寫的。 本章著重研究圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理， 切線

8、長定理； 兩圓的公切線及公切線的長； 圓周角和圓周角定理， 弦切角和弦切角定理；相交弦定理，割線定理，切割線定理；還有四點共圓等。這些內(nèi)容，把直線與圓的位置關系從數(shù)量關系特征討論轉(zhuǎn)到定性研究， 從一條直線與圓的位置關系討論擴展到兩條直線與圓的位置關系研究；還把“不共線的三點確定一個圓”引到“四點共圓”的研究。本章確立了一系列關于直線與圓的關系定理，學生通過本章的學習， 可以獲得關于圓的基礎知識的必要補充， 同時進一步得到演繹推理、分類討論、化歸等思想方法的演練。本章內(nèi)容的處理，特別強調(diào)基礎性和教育性；有關定理的運用，一般限為直接用于解決問題，對綜合運用的難度有嚴格控制。本冊內(nèi)容的呈現(xiàn)，主要采用

9、“過程模式”，通過“問題一一活動”的安排，引導學生探索求知。課本中保持有“問題“思考”、“操作”、“想一想”、“議一51議”等欄目，有邊款點撥、方框解說等版式，以指導學生開展數(shù)學活動，幫助學 生把握重點和釋疑解難，促進學生生動、活潑、主動地學習，深入地思考。在兩章的末尾，分別配備了 “探究活動”和“閱讀材料”。關于“公路隧道 設計的可行性分析”活動，旨在加強數(shù)學應用活動和引導學生探究學習； 關于“圓 的幕和兩圓的等幕軸”的材料，是對課本中“圓幕定理”的解說和擴展。數(shù)學練習部分中的習題安排，重視基本訓練，也有層次性。“試一試”欄目下的題目，一般有較高的難度，這樣的題目不要求所有學生都去做， 主要

10、提供給 有學習興趣的學生進行研究和討論， 進一步培養(yǎng)學生的探究意識和鉆研精神， 滿 足不同學生的學習需要。數(shù)學拓展II的教學課時，含在上海市中小學課程方案（試行本）所規(guī)定 的九年級數(shù)學課時中，一般控制為每周2節(jié)。本冊課本內(nèi)容設計的教學課時數(shù)為 29節(jié)，具體的教學計劃和進度，由教師根據(jù)學校和學生的實際情況進行制定。各章教學的課時數(shù)建議如下：第一章一元二次方程與二次函數(shù)13課時（11+2 ）第二章直線與圓16課時（14+2 ）第二部分各章說明第一章一元二次方程和二次函數(shù)一、 全章綜述1教學目標經(jīng)歷對于一元二次方程的根與系數(shù)關系的觀察、 分析和發(fā)現(xiàn)過程， 理解一元二次方程的根與系數(shù)是緊密聯(lián)系的 掌握

11、一元二次方程的根與系數(shù)關系的證明以及它的基本運用經(jīng)歷確定二次函數(shù)解析式所需獨立條件個數(shù)的探索過程 知道二次函數(shù)解析式的三種基本形式 , 會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式. 掌握待定系數(shù)法的基本運用 .建立起二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系，能以函數(shù)的觀點來理解一元二次方程，能根據(jù)相應的一元二次方程的根的判別式分析二次函數(shù)的圖像特征.通過二次函數(shù)解決簡單實際問題的舉例，體會二次函數(shù)的基本應用2課時安排本章教學共 13 課時，建議分配如下：11一元二次方程的根與系數(shù)的關系3課時12二次函數(shù)與一元二次方程3課時13二次函數(shù)解析式的確定5課時復習小結2 課時3設計說明本章內(nèi)容是在學生已學一元二次方程與二

12、次函數(shù)基本內(nèi)容的基礎上， 對一元二次方程與二次函數(shù)的基礎知識進行必要的擴充，并把一元二次方程與二次函數(shù)相互聯(lián)系起來.本章首先是對一元二次方程根與系數(shù)的關系進行探究， 得到一元二次方程的根與系數(shù)關系的定理； 在知道了這一知識的直接應用后， 又介紹了利用整體代入方法求代數(shù)式的值， 以及利用一元二次方程根與系數(shù)的關系建立新方程或者求已知兩數(shù)和與積的兩個未知數(shù)的值.其次是建立了一元二次方程與二次函數(shù)之間的聯(lián)系，由圖像上發(fā)現(xiàn)：如果二次函數(shù)yax2bx c(a 0)的圖像與x軸有公共點，那么公共點的縱坐標為0.由y=0,得到相應的一元二次方程ax2 bx c 0(a 0),則這個方程的實數(shù)根就是函數(shù)圖像與

13、x軸的公共點的橫坐標. 在學生能夠利用這一知識直接求二次函數(shù)y ax2 bx c(a 0) 的圖像與x軸的公共點坐標的基礎上，進一步發(fā)現(xiàn)拋物線y ax2 bx c(a 0)與x軸公共點的個數(shù)與一元二次方程根的判別式之間的聯(lián)系， 從而不需畫出二次函數(shù)的圖像就能利用相應的一元二次方程根的判別式的符號來判斷這拋物線與x 軸公共點的個數(shù) .最后介紹了確定二次函數(shù)解析式的三種方法. 在九年級第一學期數(shù)學課本中，已講述了由已知二次函數(shù)圖像經(jīng)過直角坐標平面上三點的條件確定其解析式的方法。 現(xiàn)在， 先將這一方法進行復習鞏固， 再講述由已知二次函數(shù)圖像的頂點坐標或圖像與x 軸兩交點坐標加上其他一個條件，確定其解

14、析式的方法。這樣，關于確定二次函數(shù)解析式的方法就比較多樣了，可按已知條件中含“三點”或“頂點” 、 “兩根” ，選取二次函數(shù)解析式的適當形式，運用待定系數(shù)法來確定這個解析式. 課本中關于二次函數(shù)的應用主要體現(xiàn)在兩個方面，一是與幾何知識的綜合應用， 二是在實際生活中的初步應用， 從而幫助學生加深理解二次函數(shù)的基礎知識， 把握知識之間的聯(lián)系， 擴展知識的基本應用； 幫助學生學習將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，體驗數(shù)學建模，在解決實際問題的過程中，感受數(shù)學知識“源于實踐，又用于實踐” .本章內(nèi)容是中學數(shù)學中數(shù)形結合教學重要載體之一，應充分發(fā)揮其功能. 根與系數(shù)的關系定理(韋達定理)是方程理論中的重要內(nèi)容之

15、一，在高中數(shù)學中也有較多的應用 . 關于二次函數(shù)及其性質(zhì)， 進入高中后還要從解析的角度進一步研究； 初中階段所學的二次函數(shù)內(nèi)容，是高中階段繼續(xù)學習函數(shù)內(nèi)容的不可或缺的基礎. 因此，課程標準特別指出，本章內(nèi)容是希望進入普通高中的學生所必須修習的 .在本章的學習中， 重點是掌握一元二次方程與二次函數(shù)之間的聯(lián)系； 難點是如何發(fā)現(xiàn)一元二次方程與二次函數(shù)之間的聯(lián)系.教學中要充分展示知識發(fā)生的過程，讓學生從形、數(shù)兩方面真正理解一元二次方程與二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，融會貫通有關知識 .4教學建議重視學生的探索學習過程. 要在激發(fā)學生產(chǎn)生探究一元二次方程根與系數(shù)的關系、一元二次方程與二次函數(shù)之間的聯(lián)系等新知識

16、的欲望方面多下功夫， 讓學生積極參與探索活動和進行數(shù)學思考，真正感受知識發(fā)生的過程.注意運用類比、數(shù)形結合和化歸的數(shù)學思想.在新知識的教學過程中，可以利用圖形的直觀性，幫助學生建立新舊知識之間的聯(lián)系，促進已學知識向新知識的過渡和發(fā)展. 如課本中指出： “二次函數(shù) y ax2 bx c(a 0) 的圖像與 x 軸有公共點，那么公共點的縱坐標為 0. 由 y=0 ，得相應的 一元二次方程ax2bx c 0(a 0) ，則這個方程的實數(shù)根就是函數(shù)圖像與x軸的公共點的橫坐標”；“拋物線y ax2 bx c(a 0)與x軸的公共點的個數(shù)，由相應的一元二次方程ax2 bx c 0(a0)根的判別式b2 4

17、ac確定；反過來， 由拋物線與x 軸的公共點的個數(shù)， 也可以確定判別式的值的符號” 。 對這些內(nèi)容的教學，要利用圖像為學生提供直觀認識的支持， 形成抽象思維的基礎， 引導學生通過對代數(shù)的和幾何的表達形式進行比較、分析，逐步歸納結論.注意培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維能力。 應鼓勵學生積極思維，大膽發(fā)表意見和進行交流，讓學生感受逆用一元二次方程根與系數(shù)關系建立新方程的不唯一性、 有關題目解題方法的多樣性，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維能力 . 把握學習難度. 本章學習的內(nèi)容，是數(shù)學基礎知識的組成部分，有明確的定向要求，并充分注意到與高中數(shù)學的銜接，可滿足學生進入高中數(shù)學學習的需要。教學中不要再增加難度，不要盲目拔高

18、，可控制為以課本的練習與習題的難度為準.重視知識應用的教學。 課本中安排了有關知識的基本應用和實際應用的內(nèi)容， 在教學中要重視對問題的分析和解題思路的探索， 關注如何建立知識之間的聯(lián)系及其相互轉(zhuǎn)化， 關注如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學理解能力和應用能力 .5評價建議關注學生基礎知識和基本技能的獲得。 重視學生對一元二次方程根與系數(shù)的關系、一元二次方程根與二次函數(shù)的聯(lián)系等知識的理解和掌握， 以及有關技能的形成； 注重檢測學生落實教學基本要求的情況，引導學生確立必要的、扎實的知識基礎。關注學生對數(shù)學思想方法的體會和感悟.在課堂教學的點評與小結中，要重視對有關數(shù)學思想方法的點撥和交流，

19、 促進學生進行數(shù)學思想方法的反思和總結； 對學生的學習評價，應體現(xiàn)對于有關數(shù)學思想方法教學的要求.關注學生思維的靈活性. 在一元二次方程根與系數(shù)的關系及其應用中，要引導學生重視對于不同解法的比較和方法的合理選擇， 提供機會讓學生進行交流和小結； 對學生提出的不同解法和優(yōu)秀解法，應給予鼓勵性評價.關注學生對一元二次方程和二次函數(shù)的聯(lián)系及知識系統(tǒng)的構建和完善.學生在前面已經(jīng)分別學習了一元二次方程和二次函數(shù)的知識， 而對兩者之間的聯(lián)系， 是在本章學習的過程中逐步認識的。要引導和鼓勵學生對所學知識進行系統(tǒng)整理，并將其納入學習評價范圍 .關注學生學習方式和方法的改善. 引導學生積極主動學習， 運用已有的

20、一元二次方程和二次函數(shù)的基礎知識， 探究一元二次方程和二次函數(shù)的聯(lián)系， 并進行歸納總結； 鼓勵學生提出問題和開展探究活動，在獲取知識的過程中學會學習、學會思考.二、具體說明1 1 一元二次方程的根與系數(shù)關系1教學目標經(jīng)歷對于一元二次方程的根與系數(shù)關系的觀察、 分析和發(fā)現(xiàn)過程， 感受獲得新知識的成功喜悅 .理解并掌握一元二次方程的根與系數(shù)關系， 并會用于求關于兩根的對稱式的值、 建立其根與已知方程的根有關的新方程等.在參與數(shù)學活動和解決問題的過程中，領會化歸、整體代入和分類討論等數(shù)學思想2教材分析及教學建議課本中對于一元二次方程的根與系數(shù)的關系 （又稱韋達定理） 的探討， 首先請學生在表中填寫二

21、次項系數(shù)為 1 的一元二次方程的兩個根，然后用問題形式提出： “每一個方程的兩根 x1 、 x2 的和或積與方程的系數(shù)之間有什么樣的關系？”指出了思考的方向，創(chuàng)設了探究的空間， 讓學生自主發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)關系； 再進行歸納， 引導學生將一般形式轉(zhuǎn)化為特殊形式，從而發(fā)現(xiàn)然后證明一元二次方程的根與系數(shù)的關系定理。在這一探究過程中， 關注學生對于從特殊到一般的研究問題方法的感受。 學生通過兩次填表，發(fā)現(xiàn)這些一元二次方程中兩根的和或積與方程系數(shù)a 、 b 、 c 的關系，再抽象到一般的一元二次方程的根與系數(shù)關系，然后加以嚴格證明，這樣既有利于激發(fā)學生的學習興趣，又有利于培養(yǎng)學生自主發(fā)現(xiàn)與證明

22、定理的能力 .一元二次方程的根與系數(shù)關系的應用， 首先要求在不解方程的前提下由已知一個根求另一個根及求方程中的待定系數(shù)， 把問題轉(zhuǎn)化為關于方程另一個根與待定系數(shù)為元的二元一次方程組， 通過解方程組可得到方程另一個根與方程中待定系數(shù)的值； 其次是利用一元二次方程的根與系數(shù)關系， 求與方程中的兩根有關的對稱式的值， 要求學生能根據(jù)已具有的相關知識， 對關于兩根的對稱式進行恒等變形， 將對稱式轉(zhuǎn)化為關于兩根和與積的代數(shù)式， 然后求代數(shù)式的值； 再次是求解以給出的兩個數(shù)為根的一元二次方程， 即一元二次方程的根與系數(shù)關系定理（韋達定理）的逆用，課本中仍然通過問題的提出和解決，讓學生了解：如果一元二次方程

23、ax2 bx c 0(a 0,b2 4ac 0)的兩個實數(shù)根是xi、x2 ,那么bXi X2一,aa成立；如果Xi、X2是一個一元二次方程的兩個實數(shù)根，那么這個一個一元cxi x2 一a二次方程可寫作a(xx1)(xx2)0 ,即 ax2x1x2xxix2=0,其中 a 0.由于a的值不確定，所以這樣的方程有無數(shù)個，由已知實數(shù)x1、x2為根的方程不唯一.在運用一元二次方程的根與系數(shù)關系的定理時，現(xiàn)階段必須強調(diào)要注意在實數(shù)范圍內(nèi)方程存在兩個根的前提條件(當然包含著二次項的系數(shù)不為零的條件)。對于這個問題，學生往往容易忽視.當然，學生到以后會知道，在復數(shù)范圍內(nèi)，這個定理也是適用的。求作一個新方程，

24、使新方程的根與已知方程的根符合給定的條件，如果已知方程是關于x的方程，那么新方程中未知數(shù)最好不要用字母x (如關于y的方程)，以免混淆.在教學中，要注意以下幾點：對于一元二次方程的根與系數(shù)關系的探究，教師要給于充足的時間，不要急于提示。 要讓學生真正由自己發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)的關系，經(jīng)歷數(shù)學抽象和符號化的過程， 享受探究成功過程的喜悅.在運用一元二次方程的根與系數(shù)關系時，必須強調(diào)這個方程應表示為一元二次方程的一般式.因此，學生在運用時，首先要觀察給出的方程是否是一元二次方程的一般式，若不 是，應將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程的一般式；其次，要利用根的判別式判斷方程是否存在實數(shù)根(此項計算可在草稿

25、紙上完成)，然后再確定兩根的和與積.運算時尤其要強調(diào)兩根和是一 次項系數(shù)與二次項系數(shù)商的相反數(shù)，“負號”不能漏.利用一元二次方程的根與系數(shù)關系，在不解方程前提下由已知一個根求另一個根及方程中的待定系數(shù).可以先將一根代入方程，求出方程中的待定系數(shù)；再解這個一元二次方程， 得到另一個根。但采用這種方法解題時通常較為繁瑣，也與一元二次方程的根與系數(shù)關系聯(lián)系不大.課本中所用的方法是利用一元二次方程的根與系數(shù)關系，建立了關于未知根與待定 系數(shù)為元的二元一次方程組，通過解方程組，得到方程的另一個根及方程中待定系數(shù)的值， 讓學生從中感受新學知識的橋梁作用和轉(zhuǎn)化的思想方法利用一元二次方程的根與系數(shù)關系，求關于

26、方程兩根的對稱式的值，學生必須具有進行代數(shù)式恒等變形的基本技能，通過正確的變形，得到關于兩根的和與積的代數(shù)式，然后求代數(shù)式的值。這里滲透了化歸和整體代入的數(shù)學思想方法課本中例題 4是利用一元二次方程的根與系數(shù)關系求方程的字母系數(shù)的值及方程的 兩根.在解題過程中，首先要判斷方程是否有實數(shù)根，在確定其有實數(shù)根的前提下，再利用 一元二次方程的根與系數(shù)關系轉(zhuǎn)化為關于未知系數(shù)的方程，求出未知系數(shù)的值；然后將未知系數(shù)的值代入方程，再求出滿足條件的方程的根.在教學中，要引導學生進行反思小結，從中體會方程的思想和分類討論的思想，體會數(shù)學知識之間的聯(lián)系和數(shù)學的嚴密性在例題5的教學中，要讓學生感受一元二次方程的根

27、與系數(shù)關系是可以逆用的，而且建立的方程是不唯一的，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力例題6是一元二次方程的根與系數(shù)關系的正逆兩方面的運用，可能是學生學習中的一個難點.教學時教師應站在學生的立場上思考問題，將難點分解，化難為易.對解題思路的分析，要關注基本過程：先設原方程的兩根，建立原方程的根與系數(shù)的關系；再設新方程的兩根，并根據(jù)題意建立新方程兩根與原方程兩根之間的聯(lián)系；然后求出新方程兩根和與積的值，逆用一元二次方程的根與系數(shù)關系，建立新方程.在解題過程中，要注意原方程的兩根與新方程的兩根應分別用不同的字母表示.例題7有其他解法。例如，根據(jù)題意，可以設兩個元，建立二元二次方程組，解方程 組得到這兩個數(shù)，但解

28、題過程比較長。課本中的解法是利用一元二次方程的根與系數(shù)關系建 立一個新方程，通過解新方程求出這兩個數(shù)，讓學生感受一元二次方程的根與系數(shù)關系的應 用及其解決問題的簡捷之處.3.練習答案練習1.1(1)1 .略.C 小 1132 . 2 ；(2).3 . (1)3 ,7; (2)6 ,18 .練習1.1(2)1. (1)3 ; (2)7 ; (3) 51 ; (4) 6-.222.5, 3.練習1.1(3)1. 3, 4.2. (1) 2y2 3y 6 0；(2) 36y2 15y 4 0 .3. (1)7 ,3； (2) *2j- . (2)亙，3 ,豆/31. 2二次函數(shù)與一元二次方程1 .教

29、學目標(1)知道二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系，能用方程的知識討論二次函數(shù)的一些 問題，能以函數(shù)的觀點來理解一元二次方程的有關知識(2)會求拋物線與x軸的公共點的坐標，能根據(jù)相應一元二次方程的根的情況分析二 次函數(shù)的圖像特征.(3)經(jīng)歷探究二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系的過程，體會聯(lián)系、轉(zhuǎn)化的辯證思想以及化歸、類比、數(shù)形結合和分類討論的數(shù)學思想2 .教材分析及教學建議本節(jié)的內(nèi)容是二次函數(shù)與一元二次方程的整合，引導學生用函數(shù)的觀點重新認識一元二次方程，用方程的知識進一步研究二次函數(shù)，拓寬基礎知識，深化數(shù)學理解。數(shù)學各部分知識是相互聯(lián)系、相互滲透的；在數(shù)學發(fā)展過程在中，它們相互作用、相互促進。從把

30、握知識 的內(nèi)在聯(lián)系著手分析和研究新的問題，在較高觀點的指導下深入認識知識的本質(zhì)，這是深化數(shù)學學習的方法。本節(jié)的中心任務是建立二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系，并利用一元二次方程的知識探討二次函數(shù)的圖像與x軸的位置關系，幫助學生完善二次函數(shù)的知識基礎，提升數(shù)學觀點。在教學中，要注意以下幾點：(1) “問題1”的提出，主要是引起學生對二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系的思考，可 以放手讓學生解答.教師應向?qū)W生指出，二次函數(shù)描述了一個動態(tài)變化的過程，函數(shù)值隨著 自變量的值變化而變化；給定二次函數(shù)的一個值，就得到一個以自變量為元的一元二次方程， 可見一元二次方程所表達的是二次函數(shù)的某一特定狀態(tài)，反映了給定的

31、函數(shù)值與對應的自變量的值之間的關系，或者給定的函數(shù)值是不可能達到的。(2) “問題2”的提出，是引導學生探討二次函數(shù)圖像與x軸的公共點個數(shù)及公共點的坐標，是“問題1”的深化及其所得結論的初步運用。教學時可利用多媒體展示函數(shù)的圖像，提供充裕的時間讓學生觀察、發(fā)現(xiàn)、討論，看到二次函數(shù)圖像與 x軸的公共點個數(shù)可能有兩個、只有一個， 或者沒有公共點；再抓住x 軸的點的縱坐標為 0 的特征，歸納求公共點橫坐標的方法，進而確定公共點的坐標.（ 3）例題 1 展示了求二次函數(shù)圖像與x 軸的公共點的坐標的一般過程和表達要求，可讓學生先解題，然后通過講評進一步明確過程和要求。例題 2 引進了求二次函數(shù)圖像與 y

32、軸或直線 y m 的公共點的坐標的方法， 要重視解題思路的分析， 幫助學生理解思路， 把握聯(lián)系，舉一反三，靈活運用知識 .（ 4）在具體探求二次函數(shù)圖像與x 軸的公共點的坐標的基礎上，課本中提出了“怎樣判斷拋物線y ax2 bx c 與 x 軸公共點的個數(shù)”的問題，引導學生對公共點的情況進行一般的研究。教學中，可組織學生進行小組討論， 由學生自己解決問題。學生對二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系已有一定的認識， 聯(lián)想一元二次方程根的判別式可以判定一元二次方程的實數(shù)根的個數(shù)，可知運用一元二次方程根的判別式可以判定拋物線與x 軸公共點的個數(shù).要讓學生自己歸納和表述結論，教師再進行補充和完善.（ 5）例題

33、 3 的學習，主要是運用相應的一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）根的判別式判斷拋物線y ax2 bx c與x軸公共點的個數(shù).當拋物線y ax2 bx c與x軸有兩個公共點時，可稱公共點為拋物線與x 軸的交點；當拋物線y ax2 bx c 與 x 軸有且只有一個公共點時，這個公共點就是拋物線的頂點，對此只要求學生了解.（ 6）在例題 4 教學中，要強調(diào)解題的表達格式。本題的題意是為使拋物線與x 軸的公共點個數(shù)情況符合某種要求，探求拋物線表達式中字母系數(shù)m 應滿足的條件。由相應的一元二次方程根的判別式的值的符號， 可求出 m 的取值范圍； 解題過程的表達呈現(xiàn)為 “ > 0拋物線 y

34、ax2 bx c（a 0）與 x 軸有兩個公共點”等的形式。（ 7） 對于例題 5 ， 初學者可能在理解題意上存在一定的困難 . 在教學中， 重點應放在分析題意上， 可以畫一個符合條件的草圖讓學生進行觀察和思考， 感受到當拋物線開口向上時，如果拋物線上所有的點都在x 軸的上方， 那么拋物線與x 軸肯定沒有公共點。 在證明過程中，應該說明這一拋物線的開口向上， 相應的一元二次方程根的判別式的值一定大于零， 再指出結論。 其中判斷這一拋物線的開口向上的步驟不能省略， 可由此引導學生思考拋物線開口向下的情況，進一步獲得規(guī)律性的認識 .（ 8）例題 6 有多種解法，課本中給出了兩種基本解法，可以進行比

35、較和講評。第一種解法中，設點 A 在點 B 的左邊，結合線段AB=6 的條件，簡化了解題過程；第二種解法中，利用了 ABX2這一關系式，邊款中還提示可進一步得到ABXi X24X1X2,希望學生了解.關于例題6,還可提出其他解法。如：由已知拋物線y X2 4X m的對稱軸是直線X 2,線段AB=6 ,可設A、B兩點的坐標分別為(5, 0)和(1, 0),可知5和12是一兀一次萬程 X 4x m 0的兩個實數(shù)根，所以 m= (5)x 1=5。這一解法涉及到軸對稱性質(zhì)的運用，學生不太熟悉，因此課本中沒有給出，可鼓勵學生嘗試3 .練習答案練習1.2(1)1. (1)(網(wǎng),0) , (V5 , 0)；

36、 (2)(0 , 0) , (3,0);(1，0)，(1,0)；(4) (1,0) , (3,0).22. (1)(4 ,2) , (1 ,2); (2) (4,2),(2,2).練習1.2(2)1. (1) 兩個； (2) 一個； (3)沒有.2. (1) k <1 且 k 0; (2) k=1 ;(3) k > 1 .練習1.2(3)1. k2 20 > 0 .2 y X2 2x, (0, 0) , (2 , 0).1. 3二次函數(shù)解析式的確定1 .教學目標(1)經(jīng)歷對于確定二次函數(shù)解析式所需獨立條件的個數(shù)的探索過程，體會待定系數(shù)的 個數(shù)與所需獨立條件的個數(shù)之間的關系。(

37、2)在已知二次函數(shù)圖像上三點的坐標的情況下，還有已知圖像頂點的坐標或圖像與 X軸兩交點的坐標以及另一條件的情況下，會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.(3)通過解決現(xiàn)實生活中簡單實際問題的舉例，體會二次函數(shù)的基本應用.2 .教材分析及教學建議關于二次函數(shù)解析式的確定，在九年級第一學期數(shù)學課本中已有已知二次函數(shù)圖像上三點坐標求解析式的內(nèi)容. 本節(jié)在復習這一內(nèi)容的的基礎上， 進一步研究根據(jù)其他已知條件確定二次函數(shù)解析式的問題。主要涉及：已知二次函數(shù)圖像的頂點坐標和其他一個條件，求函數(shù)的解析式； 已知二次函數(shù)圖像與x 軸的兩個交點坐標和其他一個條件， 求二次函數(shù)解析式 . 這兩類問題的解決，同樣采用待定

38、系數(shù)法；但是所設二次函數(shù)解析式通常不用一般形2式， 而是取 y a（x m） k 或 y a xx1xx2 的形式。 這時， 式中的 m 、 k 或 x1 、 x2是已知數(shù)， 再由另一個條件可確定待定系數(shù) a 。 引進二次函數(shù)解析式的這兩種表示形式， 一是體現(xiàn)了二次函數(shù)圖像的重要特征及其有效運用； 二是待定系數(shù)的個數(shù)減少為 1 個從而使求解過程簡便。這樣， 既充實了有關二次函數(shù)的基礎知識， 又促進了知識的靈活運用。從理論上來說，給定有關二次函數(shù)的三個獨立條件（已知一個頂點坐標其實是已知兩個條件） ，總可以利用待定系數(shù)法確定這個函數(shù)的解析式， 但有時會遇到復雜的計算、 變形或解方程問題，因此課本

39、中有關確定二次函數(shù)解析式的內(nèi)容要求， 仍限于較為簡單的情況， 注意對難度進行控制。在研究二次函數(shù)解析式的確定的同時，本節(jié)進一步研究了二次函數(shù)的直觀性質(zhì)。課本中由二次函數(shù)圖像在對稱軸兩側分別上升、 下降的特征， 引出了函數(shù)值隨自變量的值增大而增大或減小的性質(zhì)。 這一直觀性質(zhì)， 其實是函數(shù)單調(diào)性的直觀描述，現(xiàn)在讓學生了解它，是為學生這高中學習函數(shù)的單調(diào)性打下認識基礎。本節(jié)還介紹了二次函數(shù)的實際應用， 展示了如何將與拋物線有關的實際問題抽象為數(shù)學問題，運用所學的知識和方法，求拋物線的表達式和進行問題解決.在教學中，要注意以下幾點：（ 1）例題 1 、 2、 3 的安排，著重于復習已經(jīng)學過的二次函數(shù)有

40、關知識，主要是由已知二次函數(shù)圖像上三點坐標求解析式的方法， 關于二次函數(shù)圖像特征的討論， 求二次函數(shù)圖像與坐標軸的公共點的坐標等。 同時， 在分析例題 1 和例題 2 中函數(shù)圖像特征并進行一般歸納的基礎上，提出了“函數(shù)值隨自變量的值增大而增大或減小”的性質(zhì)，引導學生關注“函數(shù)值的增減變化情況” ，對函數(shù)的單調(diào)性獲得直觀的認識。由于本節(jié)初學這一性質(zhì)，因此教師要進行適當?shù)闹v解，并結合例題3，指導學生初步學會它的運用和表達。（ 2）課本在“想一想”欄目中提出了“已知二次函數(shù)圖像的頂點坐標和其他一個條件求解析式”的問題，通過例題 4 指出了求解析式的方法和過程， 并在邊款中指導學生進行歸納小結。學生知

41、道了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式時，可設解析式為 y a（x m）2 k ，于是設計了例題 5 ，引導學生靈活運用所學知識解題。教學中，要展示解題思路的分析和形式的過程，幫助學生在知識的運用中加深對知識的理解。（ 3）例題6 的教學，首先要引導學生認真審題，理解 “圖像的頂點在坐標軸上”這一條件的含義， 并聯(lián)想到坐標軸上的點的坐標特征、 頂點坐標與解析式中系數(shù)的關系； 然后分析解題思路。要注意“坐標軸”是x 軸和 y 軸的統(tǒng)稱，所以要分兩種情況進行討論。本題給出了兩種不同的解法， 反映了兩個不同方向的思考方法。 要指導學生周密思維， 鼓勵學生靈活思維。（ 4）例題7 的條件中，直接給出了二次函數(shù)圖

42、像與 x 軸、 y 軸的公共點的坐標，求這個函數(shù)的解析式時，所設解析式取y a xx1xx2 的形式，使解題過程更為簡便。學生初次運用這一形式， 要適當進行講評， 讓學生注意已知條件的特點和對所設計解析式的表達。（ 5）例題8 是幾何與代數(shù)的綜合題，要求學生通過相似三角形的判定與性質(zhì)，得到拋物線與 y 軸的交點坐標， 歸結為如同例題 7 的問題求解。 由已知幾何條件確定點的坐標， 是 教學的難點，要適當進行指導。（ 6）為求二次函數(shù)的解析式，所設解析式可以是yax2bx c、y a（x m）2 k或y a x x1xx2 ，要指導學生注意分析已知條件的特點，選用適當?shù)男问?。為方便起見，這三種形

43、式的解析式，可約定分別稱為“一般式” 、 “頂點式” 、 “兩根式” ，但不作為專門的“術語” ，課本中沒有引入。學生只要知道，這三種形式的解析式中都分別含有三個待定系數(shù)， 需要三個獨立條件才能確定； 可根據(jù)已知條件的特點選用其中一種形式設為二次函數(shù)的解析式。（ 7）例題 9 中的條件，與二次函數(shù)圖像的對稱軸有關，學生容易想到用“頂點式”確定二次函數(shù)解析式。要引導學生仔細分析 “圖像在 x 軸上截得的線段長為8 ”這一條件，提示學生由二次函數(shù)圖像的對稱性， 可將已知條件轉(zhuǎn)化為圖像與 x 軸的兩個公共點坐標， 于是利用“兩根式”確定二次函數(shù)解析式，這樣更加簡便. 這時要注意，由已知截得線段長為8

44、 和圖像的對稱性確定圖像與x 軸的兩個公共點坐標，是教學的一個難點，可畫一個草圖幫助學生分析。課本中在上一節(jié)例題6，利用圖像的軸對稱性來解題是很最好的方法，但學生不容易想到，理解也可能會有困難中，因此回避了這樣的難點?，F(xiàn)在的例題 9 ，題中給出了圖像的對稱軸， 有啟發(fā)作用； 而利用圖像的對稱性來解題是較好的方法， 因此不在回避圖像對稱性的運用并希望學生了解，所以采用了這一解法。 “想一想”提出的解法，可讓學生在課外進行嘗試，再與給出的解法作比較，從中體會圖像的對稱性所起的作用。(8)例題10是一道代數(shù)與幾何的的綜合題， 對綜合運用有關知識和方法有較高的要求,分設三個小題，形成層次，其用意是培養(yǎng)

45、學生綜合運用的意識和能力。教學中，要引導學生體會如何進行幾何關系與代數(shù)關系的轉(zhuǎn)化。第(3)小題判斷 PBC的形狀，顯然它是一個等腰三角形，關鍵是利用勾股定理的逆定理判斷這個三角形是否是直角三角形，有利于培養(yǎng) 學生思維的深刻性例題11與例題12是數(shù)學應用問題。教學中要關注學生分析問題的能力，如何將實際 問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題3.練習答案練習1.3(1)21) (1) y x 6x 10；22) ) y 2x2 12x 16；(3) y2. (1)拋物線開口向上，最低點的坐標是的值增大而減小，點A在圖像上；在直線 x313(-,8),在直線x -的左側，y的值隨x2221一的右側，y的值隨x的值增大而

46、增大，點B在2圖像上.(2)拋物線開口向上，最低點的坐標是5 一 14,122),在直線x-的左側，y的值隨x的4值增大而減小，點A不在圖像上；在直線x 5的右側，y的值隨4x的值增大而增大，點B在圖像上.練習1.3(2)22.1. (1) y 2x 8x 5； y 2x 4x 6.c12C2. y x x 3.4223. y x 6x 9 或 y x 6x 9 .練習1.3(3)22. y x 2x 3.1 21. y x x 4.2練習1.3(4)21. y 2x 4x 6.,、1222. (1) y - x 2；(2) P x 4x 4( 2Vx<0)；2(3) x 4x 4 9,

47、推出 16 4 5<0,無解，所以不可能等于 9.練習1.3(5)1 21. t 5.2. (1) y一x2;(2)4.25三、專題解說公路隧道設計的可行性分析1 .設計意圖提出公路隧道的一個設計方案，讓學生運用所學的有關知識對方案的可行性進行分析，經(jīng)歷提出分析方法、 進行操作實施、作出合理判斷的過程，培養(yǎng)學生的探究精神、合作精神以及數(shù)學應用意識、質(zhì)量和效率意識，鍛煉學生分析問題和解決問題的能力。2 .活動建議學生在本章學習中，對二次函數(shù)在隧道設計中的簡單應用已有初步的了解。這一探 究活動，在知識應用的層次上有所提高，而如何進行可行性分析和選用適當方法進行實施， 則是學生面臨的新問題。建

48、議組織有興趣的學生，采用小組討論的方式開展活動。如果學生對提出分析方法感到困難，那么可指導學生根據(jù)“提示”進行討論。要求學生按活動小組寫出可行性分析報告，再組織交流活動，進行鼓勵性評價。第二章直線和圓一、全章綜述1 教學目標掌握圓的切線的判定定理與性質(zhì)定理；掌握切線長定理并會作簡單運用；理解三角形內(nèi)切圓的概念并會求特殊三角形的內(nèi)切圓半徑；了解兩圓位置關系與兩圓公切線條數(shù)間的關聯(lián)性并會求兩圓公切線的長 .在角與圓的相對運動中認識圓周角、圓內(nèi)角、圓外角和弦切角；理解圓周角的概念，掌握圓周角定理及其推論；知道弦切角的概念， 初步掌握弦切角定理； 會利用圓周角和弦切角定理解決一些簡單的問題 .理解相交

49、弦定理、割線定理、切割線定理，會利用這些定理解決一些簡單的計算問題，并知道這些定理揭示了兩條相交直線與圓有特殊位置關系時所成圖形的度量性質(zhì)知道圓內(nèi)接四邊形和四點共圓的概念， 理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理和判定定理， 并會利用定理判定簡單的四點共圓體會幾何由實驗歸納到推理論證的過程， 了解幾何研究的基本方法， 認識圓的有關知識內(nèi)容的基本結構，進一步認識轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想方法2 課時安排本章教學共 16 課時，建議分配如下：2.1 圓的切線6課時2.2 與圓有關的角4 課時2.3 與圓有關的線段2課時2.4 圓內(nèi)接四邊形2課時復習小結2 課時3 設計說明本章內(nèi)容是九年級第二學期數(shù)學課本中 “圓

50、與正多邊形” 一章內(nèi)容的延續(xù)， 是在學習了圓的基本性質(zhì)以及直線與圓、 圓與圓的位置關系等內(nèi)容的基礎上， 進一步學習由直線與圓構成的圖形的一些基本性質(zhì)， 進一步認識圓的有關性質(zhì)， 完善平面幾何的知識基礎， 展示平面幾何研究的基本思想方法在本章內(nèi)容的編寫中，有以下幾點基本思考：關于“實驗幾何”與“論證幾何” 整個初中平面幾何的編寫，遵循了由“實驗幾何”逐步進入“論證幾何”的過程， 通過實驗幾何對平面幾何進行探源和奠基， 在論證幾何中對平面幾何進行嚴格化和系統(tǒng)化 本章內(nèi)容作為初中平面幾何的最末一章， 希望能體現(xiàn) “論證幾何”中“定義-判定與性質(zhì)-運用”的基本結構特征。另外，平面幾何的許多結論首先來自

51、于實踐經(jīng)驗， 但也有一些則是純思辨的結果， 平面幾何也有其自身的處理問題的基本方式，如常從判定定理的逆命題出發(fā)，探索其性質(zhì)定理，這些也是學習平面幾何的價值所在之一關于“圖形運動” 我們將圖形間的不同位置關系理解為由圖形的相對運動而形成的，并且可以用某些量來加以描述； 不同位置關系間的轉(zhuǎn)換可視為某個量由一個臨界范圍進入了另一個臨界范圍， 這也從某種意義上反映了數(shù)與形的內(nèi)在一致性 本章第 2 節(jié)關于與圓有關的角和線段， 總體上是以運動的觀點來引出有關概念。 如弦切角概念的引入， 采用的是由圓周角來逼近，體現(xiàn)量變到質(zhì)變的思想關于幾何處理問題的基本方式 幾何研究總是由簡單向復雜， 同時對復雜問題總是設

52、法 分解為簡單問題來解決 學生在九年級第二學期數(shù)學課本中， 學習了最簡單的直線與圓、 圓與圓的位置關系， 本章學習的內(nèi)容中很多是關于兩直線與圓、 兩圓與直線的特殊位置關系情況下的有關判定、 性質(zhì)以及度量關系， 這體現(xiàn)了數(shù)學研究不斷深化的過程， 同時對于更為復雜的問題， 則是通過將其分解進而轉(zhuǎn)化為一些簡單的基本問題來解決的 如圓周角定理揭示的是兩相交直線與圓在特殊位置情況下關于角度的數(shù)量關系， 而對圓外角、 圓內(nèi)角、 弦切角等，都是設法化歸為圓周角來加以解決的4 教學建議把握核心內(nèi)容，建立知識結構 .本章的核心內(nèi)容，一是圓的切線的判定與性質(zhì)；二是圓周角與圓周角定理 一方面， 圓的切線的判定與性質(zhì)

53、是九年級第二學期數(shù)學課本中圓與直線相切的延續(xù)，同時它也是進一步學習切線長定理與有關公切線計算的前提；另一方面，圓周角與圓周角定理是研究一個圓與兩條相交直線的出發(fā)點， 圓內(nèi)角、 圓外角、 弦切角的研究都化歸為圓周角問題來加以處理的。相交弦定理、割線定理、切割線定理的證明，都依賴于圓周角， 它們只是從另一個角度來研究了一個圓與兩條相交直線的度量關系； 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定， 也都由圓周角作為切入口 有了這兩個核心內(nèi)容， 全章中的其它知識點才得以被有機地串聯(lián)起來， 知識結構才得以建立， 從而在整體上把握所學的數(shù)學內(nèi)容 掌握了上述兩個核心內(nèi)容，全章的內(nèi)容才能掌握。落實問題驅(qū)動，提高教學有效性.“問

54、題”是數(shù)學研究的中心，一般地說，任何數(shù)學方法都是為解決問題而存在的。同時， “問題”也是學生學習數(shù)學的興趣與動力所在，如果學生感受不到數(shù)學學習的價值與目的， 那么他的學習態(tài)度通常是消極、 被動的， 最終也必然是失敗的因此在教學中，要注意“問題”的設計，尤其是在教學的引入部分。 “問題”能給學生以明確的目標，能吸引學生的注意力，提高學習興趣。當然這里所指的“問題” ，可以是一些實際問題，也可以是數(shù)學內(nèi)部問題另外在“問題”的設計上應注意適切性，要考慮學生的現(xiàn)有能力在本冊課本編寫中，已設計了一些“問題” ，引導學生探究學習。在具體教學中， 可根據(jù)學生的實際情況自行編擬一些問題，不必生搬硬套 一旦學生

55、明確了 “問題” 的目標所在， 他在解決問題的過程中所學習到的知識、 技能就能更好地被已有知識同化，有機地納入其數(shù)學知識結構中，這樣有利于學生對教學內(nèi)容的掌握，提高課堂教學效率。把握基本要求，控制運用難度.本章作為拓展n中的內(nèi)容，是為進入普通高中的學生進一步學習數(shù)學提供必要的數(shù)學基礎。 對于圓的切線的判定與性質(zhì)、 圓周角與圓周角定理 等核心內(nèi)容，務必要求學生掌握，而其他一些知識，一般以了解、認識為主，但應該讓學生認識到在利用核心內(nèi)容解決其他內(nèi)容過程中的基本思想方法， 這也是學生學習數(shù)學的基本要求同時，在教學中應注意對例題、習題難度的認識。作為拓展內(nèi)容，不應視課本中有關例題、 習題的難度要求為最低標準， 要求所有學生達到； 而應視為目標要求， 認識到達到例題、習題的難度要求即可滿足高中數(shù)學學習的要求，不必再作提高關注數(shù)學思想，弘揚理性精神.在數(shù)學學習中，就大部分人而言，他在學校所學的數(shù)學知識、 方法等， 會隨時間的推移而逐漸淡化， 伴隨他