高等數(shù)學(xué)上冊02極限的概念

1、主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：一、數(shù)列極限一、數(shù)列極限二、函數(shù)極限二、函數(shù)極限第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第二節(jié)第二節(jié) 極限的概念極限的概念“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽一、數(shù)列極限一、數(shù)列極限引例引例1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割

2、，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽“

3、割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓

4、周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽r正六邊形的面積正六邊形的面積1a正十二邊形的面積正十二邊形的面積2a正正 形的面積形的面積126 nna,321naaaas2 2、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211 x第一天截下的杖長為第一天截下的杖長為;212122 x為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnxn 天截下的杖長總和為天截下的杖長總和為第第nnx211 11、數(shù)列的定義、數(shù)列的定義例如：例如：;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n注：注

5、：1. 數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點(diǎn)列數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點(diǎn)列.可看作一可看作一動點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2. 數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn .)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn播放播放2、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn.)1(11時的變化趨

6、勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)

7、列觀察數(shù)列 nnn問題問題: 當(dāng)當(dāng) 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當(dāng)當(dāng)nxnnn 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:12limlimnnnnnnnnnnx nxa a xa xa nxxxxaxn,x ,x , 對對于于數(shù)數(shù)列列如如果果當(dāng)當(dāng) 無無限限增增大大時時，無無限限接接近近于于某某個個確確定定的的常常數(shù)數(shù) ， 那那么么就就稱稱 是是， 或或稱稱， 記記作作或或（）如如果果這這樣樣的的常常數(shù)數(shù)列列的的極極限限數(shù)數(shù)列列收收斂斂于于數(shù)數(shù)

8、列列發(fā)發(fā)數(shù)數(shù)不不存存在在， 就就說說數(shù)數(shù)列列沒沒有有極極限限， 或或稱稱( (習(xí)習(xí)慣慣上上也也定定常常表表達(dá)達(dá)為為“不不存存義義1 1：散散在在”). ).111lim0 lim1lim2lim12nnnnnn n n nn,按按照照此此定定義義， 在在前前面面的的四四個個數(shù)數(shù)列列中中， 我我（-1-1們們有有，而而和和）均均不不存存在在. .注：定義中的定義中的“當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時，xn無限接近于某個確定的數(shù)無限接近于某個確定的數(shù)a”的意思是：在的意思是：在n無限增大的過程中無限增大的過程中，xn與常數(shù)與常數(shù)a的距離的距離|xn-a|可以可以任意小任意小，要它多小就能有多小要它多小就

9、能有多小.12233111110101111010111101000nnnnknknnnnn x xnn xnx n x n nx nxn,n,nn.（- -1 1）以以數(shù)數(shù)列列為為例例， 若若要要只只要要即即從從第第1 10 01 1項(xiàng)項(xiàng)起起，以以后后的的一一切切項(xiàng)項(xiàng)均均能能滿滿足足要要求求；若若要要，只只要要；一一般般地地，若若要要， 只只要要由由此此可可見見， 無無論論要要求求與與 多多么么接接近近， 只只要要 足足夠夠大大后后， 就就可可以以使使（- -1 1）與與 有有那那么么接接近近， 這這就就是是 當(dāng)當(dāng) 無無限限增增大大時時， 無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù)1 1 的的含含義義.

10、.252523211130lim011nnnnnn x xnnnnxn. （ + +1 1）設(shè)設(shè)， 由由于于，而而當(dāng)當(dāng)時時， ，于于是是例例 、sinxf( x)x.x 觀觀察察函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時時的的變變化化趨趨勢勢播放播放1、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限二、二、函數(shù)極限函數(shù)極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx1、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx1、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx1、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀

11、察函數(shù) xxx1、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx1、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx1、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx1、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx1、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx1、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx1、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.

12、 0sin)(,無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察: xxxxxxxx. 我我們們把把自自變變量量 的的絕絕對對值值無無限限增增大大的的過過程程記記作作；如如果果當(dāng)當(dāng)自自變變量量 朝朝 軸軸正正方方向向絕絕對對值值無無限限增增大大，記記作作；如如果果當(dāng)當(dāng)自自變變量量 朝朝 軸軸反反方方向向絕絕對對值值無無限限增增大大，記記作作一一般般地地，limf xxxxf xa af xxf xa f xa x xxa af xxx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)（ ）對對絕絕對對值值充充分分大大的的 均均有有定定義義. .如如果果當(dāng)當(dāng)自自變變量量 的的絕絕

13、對對值值無無限限增增大大時時（記記作作），對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值（ ）無無限限接接近近于于某某個個確確定定的的常常數(shù)數(shù) ， 則則稱稱 為為函函數(shù)數(shù)（ ）當(dāng)當(dāng)趨趨于于無無窮窮大大時時的的極極限限， 記記為為 （ ）= = 或或（ ）（）. .如如果果當(dāng)當(dāng)（）時時，對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) ， 則則稱稱 為為（ ）當(dāng)當(dāng) 趨趨向向正正無無窮窮大大（負(fù)負(fù)定定義義2 2：無無窮窮大大）limlimf xa f xa xf xa f xa xxx 時時的的極極限限，記記作作 （ ）= = 或或（ ）（） （ ）= = 或或（ ）（）. . limx:f( x)a定定理理.)(

14、lim)(limaxfaxfxx 且且顯然，由定義可知有下述結(jié)論.limlim xxf( x)cf( x)c,ycyf( x).:如如果果或或則則稱稱直直線線是是函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形的的水水定定義義平平漸漸近近線線3 3101lim3010 xf xx xyf xxx. 由由于于當(dāng)當(dāng)時時（ ）= =無無限限接接近近于于 ， 故故有有 例例 、 直直線線是是曲曲線線（ ）的的水水平平漸漸近近線線（如如右右圖圖）. .xy1oxyarctan lim arctan lim arctan 22arc n4ta 22y=xx xyyy=x xx. 從從反反正正切切函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形可可觀觀察察到到

15、，直直例例線線和和均均為為曲曲線線的的、水水平平漸漸近近線線. .2xy2arctan y=xo、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限000222lim f xxxxxxxf xxxx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)（ ）=2 +1=2 +1，是是一一個個給給定定的的值值. .當(dāng)當(dāng)自自變變量量趨趨于于 時時（記記作作），對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值就就無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù)5 5， 這這時時我我們們說說當(dāng)當(dāng)時時，（ ）=2 +1=2 +1的的極極限限是是5 5， 并并記記作作 （2 +12 +1）=5.=5.xf x（ ）x2xf x（ ）5oy00000000liim4mlxxf xx xx xxf xaaf xxx

16、 f xa f xaxxa xxf xf xxx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)（ ）在在點(diǎn)點(diǎn) 的的某某個個去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義， 如如果果當(dāng)當(dāng) 趨趨于于 （）時時， 對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值（ ）無無限限接接近近于于某某個個確確定定的的常常數(shù)數(shù) ， 就就說說 是是函函數(shù)數(shù)（ ）當(dāng)當(dāng)時時的的極極限限， 記記作作（ ）= =或或 （ ） （）. . 如如果果這這樣樣的的常常數(shù)數(shù) 不不存存在在， 則則說說當(dāng)當(dāng)時時（ ）沒沒有有極極限限. . 為為定定義義 ：了了方方便便， 常常表表述述為為“（ ） 不不存存在在”. .0000000000 xx xxxxx xx xxxf xaxxf xaxx f xax

17、x f x.（1 1）“ 趨趨向向于于 （）”是是自自變變量量的的變變化化過過程程，指指 無無限限接接近近于于而而永永遠(yuǎn)遠(yuǎn)不不等等于于在在的的過過程程中中，可可以以取取大大于于 的的值值也也可可以以取取小小于于 的的值值；“對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值（ ）無無限限接接近近于于某某個個確確定定的的常常數(shù)數(shù) ”是是因因變變量量的的變變化化過過程程， 它它是是由由自自變變量量這這一一變變化化過過程程而而引引起起的的（并并不不排排除除（ ）取取常常數(shù)數(shù) 的的情情況況）. .（2 2）“當(dāng)當(dāng)時時， （ ）無無限限接接近近于于 ”的的含含義義是是：在在 趨趨向向說說明明：的的過過程程中中， （ ）與與00a

18、f xax-xxx常常數(shù)數(shù) 的的接接近近程程度度沒沒有有任任何何限限制制， 也也就就是是說說， （ ）- -可可以以變變得得任任意意小小，你你要要它它多多小小就就能能有有多多小小， 只只要要當(dāng)當(dāng)變變得得足足夠夠小小以以后后（但但）即即可可. .000l50imf xf xc cx xx f xcf xcc cxx.（1 1）設(shè)設(shè)（ ）是是常常數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)， 即即（ ） （ 為為常常數(shù)數(shù)），則則對對于于任任一一定定值值 ， 在在 趨趨向向的的過過程程中中， 總總有有 （ ）- -，這這表表明明（ ）已已無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) 了了，即即 例例00000limf xf xxxxxf xxx

19、xx xx.（2 2）設(shè)設(shè)（ ）是是恒恒等等函函數(shù)數(shù)， 即即（ ）= = ， 對對任任一一定定值值，當(dāng)當(dāng)時時，（ ）= =， 即即21611xxfxx .討討 論論時時 ， 函函 數(shù)數(shù)（= =例例）的的 極極 限限221111111lim21f xxf xxxff xxxxf xxxx.解解：（ ）在在= =1 1處處沒沒有有定定義義，但但（ ）當(dāng)當(dāng)時時的的極極限限與與（1 1）是是否否存存在在沒沒有有關(guān)關(guān)系系. . 由由于于（ ）= =，故故當(dāng)當(dāng)時時，（ ）無無限限接接近近于于2 2. . 因因此此有有 下面我們引進(jìn)函數(shù)的“左極限”和“右極限”的概念.0000000000limli5mxxx

20、xxf xaaf xxxxxf xbbf xxf xf xf xf xxx如如果果當(dāng)當(dāng) 從從左左側(cè)側(cè)趨趨向向時時，函函數(shù)數(shù)（ ）無無限限接接近近于于某某個個確確定定的的常常數(shù)數(shù) ，則則稱稱是是（ ）在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的左左極極限限；當(dāng)當(dāng) 從從右右側(cè)側(cè)趨趨向向時時，函函數(shù)數(shù)（ ）無無限限接接近近于于某某個個確確定定的的常常數(shù)數(shù) ，則則稱稱是是（ ）在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的右右極極限限. . 左左極極限限記記為為（ ）或或（）；右右極極限限記記為為（ ）或或（定定義義 ：）. .由定義可知，顯然有下列結(jié)論：0000limxf xf xxf xf xx（ ）存存在在（ ）在在處處的的左左、右右極極限限都都存存在在且且相相等等，即即 （）= =（）. .1sgn 0 x ,f xx=, x=-xx.證證明明函函數(shù)數(shù)， 當(dāng)當(dāng) （ ）= =當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)時時，極極限限例例7 7不不存存在在 sgn f xx （ ）= =o11xy0000000limlim11limlim1 limlimlim f xf x f xf xf xxxxxxxx 由由于于（ ）= =， （ ）= =（-1-1），（ ）與與（ ）不不相相等等，所所以以（ ）不不存存在在( (如如上上圖圖).