實(shí)際問題與反比例函數(shù)的導(dǎo)學(xué)案7頁

1、172 實(shí)際問題與反比例函數(shù) 教學(xué)目標(biāo) 1知識(shí)與技能 學(xué)會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)一步理解反比例函數(shù)關(guān)系式的構(gòu)造，掌握用反比例函數(shù)的方法解決實(shí)際問題 2過程與方法 感受實(shí)際問題的探索方法，培養(yǎng)化歸的數(shù)學(xué)思想和分析問題的能力 3情感、態(tài)度與價(jià)值觀 體驗(yàn)函數(shù)思想在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題 難點(diǎn)：構(gòu)建反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型 課時(shí)安排 2課時(shí) 教與學(xué)互動(dòng)設(shè)計(jì)第1課時(shí) （一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 一位司機(jī)駕駛汽車從甲地去乙地，他以80千米時(shí)的平均速度用6小時(shí)到達(dá)目的地 （1）當(dāng)他按原路勻速反回時(shí)，汽車的速度v與時(shí)間t有怎樣的函數(shù)關(guān)系？ （2

2、）若該司機(jī)必須在4個(gè)小時(shí)內(nèi)回到甲地，則返程的速度不能低于多少？ （二）合作交流，解讀探究 探究 （1）原路返回，說明路程不變，則80×6=480千米，因而速度v和時(shí)間t滿足：vt=480或v=的反比例函數(shù)關(guān)系式 （2）若要在4小時(shí)內(nèi)回到甲地（原路），則速度顯然不能低于=120（千米/時(shí)） 歸納 常見的與實(shí)際相關(guān)的反比例 （1）面積一定時(shí)，矩形的長與寬成反比例； （2）面積一定時(shí)，三角形的一邊長與這邊上的高成反比例； （3）體積一定時(shí)，柱（錐）體的底面積與高成反比例； （4）工作總量一定時(shí)，工作效率與工作時(shí)間成反比例； （5）總價(jià)一定時(shí)，單價(jià)與商品的件數(shù)成反比例； （6）溶質(zhì)一定時(shí)，溶

3、液的濃度與質(zhì)量成反比例 （三）應(yīng)用遷移，鞏固提高 例1近視眼鏡的度數(shù)y（度）與焦距x（m）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25m （1）試求眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）求1 000度近視眼鏡鏡片的焦距 【分析】 把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求反比例函數(shù)的解析式的問題 解：（1）設(shè)y=，把x=0.25，y=400代入，得400=， 所以，k=400×0.25=100，即所求的函數(shù)關(guān)系式為y= （2）當(dāng)y=1 000時(shí)，1000=，解得=0.1m 例2如圖所示是某一蓄水池每小時(shí)的排水量V（m3/h）與排完水池中的水所用的時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系圖象 （1）請(qǐng)你根據(jù)

4、圖象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； （2）寫出此函數(shù)的解析式； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小時(shí)的排水量應(yīng)該是多少？（4）如果每小時(shí)排水量是5 000m3，那么水池中的水將要多少小時(shí)排完？ 【分析】 當(dāng)蓄水總量一定時(shí)，每小時(shí)的排水量與排水所用時(shí)間成反比例 解：（1）因?yàn)楫?dāng)蓄水總量一定時(shí)，每小時(shí)的排水量與排水所用時(shí)間成反比例，所以根據(jù)圖象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量為：4 000×12=48 000（m3） （2）因?yàn)榇撕瘮?shù)為反比例函數(shù)，所以解析式為：V=； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小時(shí)的排水量為：V=8000（m3）； （4）如果每小時(shí)排水量是5 000m3，

5、那么要排完水池中的水所需時(shí)間為：t= =8000（m3） 備選例題 （2005年中考·四川）制作一種產(chǎn)品，需先將材料加熱到達(dá)60后，再進(jìn)行操作設(shè)該材料溫度為y（），從加熱開始計(jì)算的時(shí)間為x（分鐘）據(jù)了解，設(shè)該材料加熱時(shí)，溫度y與時(shí)間x完成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進(jìn)行操作時(shí)，溫度y與時(shí)間x成反比例關(guān)系（如圖所示）已知該材料在操作加工前的溫度為15，加熱5分鐘后溫度達(dá)到60 （1）分別求出將材料加熱和停止加熱進(jìn)行操作時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料的溫度低于15時(shí)，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了多少時(shí)間？ 【答案】 （1）將材料加熱時(shí)的關(guān)系式為：y=9x+

6、15（0x5），停止加熱進(jìn)行操作時(shí)的關(guān)系式為y=（x>5）；（2）20分鐘 （四）總結(jié)反思，拓展升華 1學(xué)會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)來源于實(shí)際生活又服務(wù)于實(shí)際生活這一原理 2能用函數(shù)的觀點(diǎn)分析、解決實(shí)際問題，讓實(shí)際問題中的量的關(guān)系在數(shù)學(xué)模型中相互聯(lián)系，并得到解決 （五）課堂跟蹤反饋 夯實(shí)基礎(chǔ) 1A、B兩城市相距720千米，一列火車從A城去B城 （1）火車的速度v（千米/時(shí)）和行駛的時(shí)間t（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系是 v= （2）若到達(dá)目的地后，按原路勻速原回，并要求在3小時(shí)內(nèi)回到A城，則返回的速度不能低于 240千米/小時(shí) 2有一面積為60的梯形，其上底長是下底長的，若下底長

7、為x，高為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系是 y= 3（2005年中考·長沙）已知矩形的面積為10，則它的長y與寬x之間的關(guān)系用圖象大致可表示為 （A） 4下列各問題中，兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是反比例函數(shù)的是（C） A小明完成100m賽跑時(shí)，時(shí)間t（s）與他跑步的平均速度v（m/s）之間的關(guān)系 B菱形的面積為48cm2，它的兩條對(duì)角線的長為y（cm）與x（cm）的關(guān)系 C一個(gè)玻璃容器的體積為30L時(shí)，所盛液體的質(zhì)量m與所盛液體的體積V之間的關(guān)系 D壓力為600N時(shí)，壓強(qiáng)p與受力面積S之間的關(guān)系 提升能力5面積為2的ABC，一邊長為x，這邊上的高為y，則y與x的變化規(guī)律用圖象表示大致是（C） 開放

8、探究 6為了預(yù)防流行性感冒，某學(xué)校對(duì)教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒已知，藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖所示）現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克，請(qǐng)你根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題： （1）藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為： y=x ，自變量的取值范圍是： 0<x<8 ；藥物燃燒后y與x的函數(shù)關(guān)系式為： y= ； （2）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過 30 分鐘后，學(xué)生才能回到教室；（3）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量

9、不低于3毫克且持續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí)，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？【答案】 有效，因?yàn)槿紵龝r(shí)第4分鐘含藥量開始高于3毫克，當(dāng)?shù)降?6分鐘含藥量開始低于3毫克，這樣含藥量不低于3毫克的時(shí)間共有16-4=12分鐘，故有效第2課時(shí) （一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 公元前3世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)了著名的“杠桿定律”：若兩物體與支點(diǎn)的距離反比于其重量，則杠桿平衡也可這樣描述：阻力×阻力臂動(dòng)力×動(dòng)力臂 為此，他留下一句名言：給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬動(dòng)地球！ （二）合作交流，解讀探究 問題：小偉想用撬棍撬動(dòng)一塊大石頭，已知阻力和阻力臂不變，分別是1200N和

10、0.5m （1）動(dòng)力F和動(dòng)力臂L有怎樣的函數(shù)關(guān)系？當(dāng)動(dòng)力臂為1.5m時(shí)，撬動(dòng)石頭至少要多大的力？ （2）若想使動(dòng)力F不超過第（1）題中所用力的一半，則動(dòng)力臂至少要加長多少？ 【分析】 （1）由杠桿定律有FL=1200×0.5，即F=，當(dāng)L=1.5時(shí)，F(xiàn)=400 （2）由（1）及題意，當(dāng)F=×400=200時(shí)，L=3（m）， 要加長3-1.5=1.5（m） 思考 你能由此題，利用反比例函數(shù)知識(shí)解釋：為什么使用撬棍時(shí)，動(dòng)力臂越長越省力？ 聯(lián)想 物理課本上的電學(xué)知識(shí)告訴我們：用電器的輸出功率P（瓦）兩端的電壓U（伏）、用電器的電阻R（歐姆）有這樣的關(guān)系PR= u2 ，也可寫為P=

11、 （三）應(yīng)用遷移，鞏固提高 例1在某一電路中，電源電壓U保持不變，電流I（A）與電阻R（）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示 （1）寫出I與R之間的函數(shù)解析式；（2）結(jié)合圖象回答：當(dāng)電路中的電流不超過12A時(shí)，電路中電阻R的取值范圍是什么？ 【分析】 由物理學(xué)知識(shí)我們知道：當(dāng)電壓一定時(shí)，電流強(qiáng)度與電阻成反比例關(guān)系 解：（1）設(shè)，根據(jù)題目條件知， 當(dāng)I=6時(shí)，R=6，所以， 所以K=36，所以I與R的關(guān)系式為：I= （2）電流不超過3A，即I=12，所以R3（） 注意 因?yàn)镽>0，所以由12，可得R 例2某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（千帕）是氣球體積V（m3）的反比例

12、函數(shù)，其圖象如圖所示（千帕是一種壓強(qiáng)單位） （1）寫出這個(gè)函數(shù)的解析式； （2）當(dāng)氣球體積為0.8m3時(shí)，氣球內(nèi)的氣壓是多少千帕？（3）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于144千帕?xí)r，氣球?qū)⒈?，為了完全起見，氣球的體積應(yīng)不小于多少？ 【分析】 在此題中，求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵 解：設(shè)函數(shù)的解析式為P=，把點(diǎn)A（1.5，64）的坐標(biāo)代入，得k=96，所以所求的解析式為P=； （2）V=0.8m3時(shí)，P=120（千帕）； （3）由題意P144（千帕），所以144，所以V=（m3）即氣體的體積應(yīng)不小于m3 備選例題 1（2005年中考變式·荊州）在某一電路中，電流I、電壓U、電阻R三者之間滿足關(guān)系I= （

13、1）當(dāng)哪個(gè)量一定時(shí)，另兩個(gè)量成反比例函數(shù)關(guān)系？（2）若I和R之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖，試猜想這一電路的電壓是_伏2（2005年中考·揚(yáng)州）已知力F對(duì)一個(gè)物體作的功是15焦，則力F與此物體在力在方向上移動(dòng)的距離S之間的函數(shù)關(guān)系式的圖象大致是（ ） 【答案】 1（1）當(dāng)電壓U一定時(shí)，電流I與電阻R成反比例函數(shù)關(guān)系，（2）10；2B （四）總結(jié)反思，拓展升華 1把實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，通過分析、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系 2利用構(gòu)建好的數(shù)學(xué)模型、函數(shù)的思想解決這類問題 3注意學(xué)科之間知識(shí)的滲透 （五）課堂跟蹤反饋 夯實(shí)基礎(chǔ) 1在一定的范圍內(nèi)，某種物品的需求量與供應(yīng)量成反比例現(xiàn)已知當(dāng)需求量為5

14、00噸時(shí)，市場供應(yīng)量為10 000噸，試求當(dāng)市場供應(yīng)量為16 000噸時(shí)的需求量是 312.5噸 2某電廠有5 000噸電煤 （1）這些電煤能夠使用的天數(shù)x（天）與該廠平均每天用煤噸數(shù)y（噸）之間的函數(shù)關(guān)系是 y= ； （2）若平均每天用煤200噸，這批電煤能用是 25 天； （3）若該電廠前10天每天用200噸，后因各地用電緊張，每天用煤300噸，這批電煤共可用是 20 天 提升能力 3一種電器的使用壽命n（月）與平均每天使用時(shí)間t（小時(shí)）成反比例，其關(guān)系如圖所示 （1）求使用壽命n（月）與平均每天使用時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式是 n= ；（2）當(dāng)t=5小時(shí)時(shí)，電器的使用壽命是 96（月

15、） 4某人用50N的恒定壓力用氣筒給車胎打氣 （1）打氣所產(chǎn)生的壓強(qiáng)P（帕）與受力面積S（米2）之間的函數(shù)關(guān)系是： P= （2）若受力面積是100cm2，則產(chǎn)生的壓強(qiáng)是 5 000P ； （3）你能根據(jù)這一知識(shí)解釋：為什么刀刃越鋒利，刀具就越好用嗎？為什么坦克的輪子上安裝又寬又長的履帶呢？ 【答案】 接觸面積越小，壓強(qiáng)越大，故刀具越好用，反之可解釋坦克裝履帶現(xiàn)象 開放探究 5一封閉電路中，當(dāng)電壓是6V時(shí)，回答下列問題： （1）寫出電路中的電流I（A）與電阻R（）之間的函數(shù)關(guān)系式是 I= （2）畫出該函數(shù)的圖象 【答案】 略 （3）如果一個(gè)用電器的電阻是5，其最大允許通過的電流為1A，那么只把這個(gè)用電器接在這個(gè)封閉電路中，會(huì)不會(huì)燒壞？試通過計(jì)算說明理由 【答案】 可能燒壞 6如圖所示是某個(gè)函數(shù)圖