數(shù)值積分與數(shù)值微分

1、1 2badxxfi)(對于積分badxxf)()()()(afbfxfba但是在工程技術(shù)和科學(xué)研究中,常會見到以下現(xiàn)象:4.1 數(shù)值積分概論例如求一條河道的某個截面積。10102,sindxedxxxx如果知道f(x)的原函數(shù)f(x)，則由newton-leibniz公式有(1) f(x)的解析式根本不存在，只給出了f(x)的一些數(shù)值;(2) f(x)的原函數(shù)f(x)求不出來，如f(x)不是初等函數(shù);(3) f(x)的表達式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，求原函數(shù)較困難。 chapter 4numerical integration4.1.1 數(shù)值求積的基本思想3 定積分的幾何意義： 是由曲線yf(x)，直線 x

2、=a，x=b，與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。由積分中值定理:)()()(, ,fabdxxfbaba i是以b-a為底,高為f()的矩形的面積。 f()稱為a,b上的平均高度。當f(x)在a,b上連續(xù)， chapter 4numerical integration4.1 數(shù)值積分概論4.1.1 數(shù)值求積的基本思想42 2、 中矩形公式)2()(baff)2()()(abfabdxxfba1 1、 梯形公式2)()()(bfaff)()(22)()()()(bfafabbfafabdxxfba取取 chapter 4numerical integration4.1 數(shù)值積分概論4.1.1 數(shù)值求

3、積的基本思想53 3、 simpson公式)(6)2(6)(4)(6)()2(4)(6)(bfabbafabafabbfbafafabdxxfba取)()2(4)(61)(bfbafaff chapter 4numerical integration4.1 數(shù)值積分概論4.1.1 數(shù)值求積的基本思想6機械求積公式: :在a,b中有n+1個互異的節(jié)點x0, x1, x2, xn。nkkknnbaxfaxfaxfaxfadxxf01100)()()()()(稱上式為機械求積公式，其中x0 xn為求積節(jié)點，ai(i=0,1,n)為求積系數(shù)(權(quán))。1 1、求積系數(shù)ak僅與節(jié)點xi的選取有關(guān), ,而不依

4、賴于被積函數(shù)f(x)的具體形式；注: :2 2、通過機械求積, ,把求積分值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值, ,避免了newton-leibnits求原函數(shù)的困難；3 3、機械求積是求定積分的近似方法。niiinxfaifr0)()(為求積公式的誤差或余項。 chapter 4numerical integration4.1 數(shù)值積分概論74.1.2 代數(shù)精度概念定義：若機械求積公式對所有不超過m次的多項式pm(x)都精確成立，即r (pm)=0，而對某一個m+1次多項式pm+1(x)近似成立，即r (pm+1) 0。則稱機械求積公式具有m次代數(shù)精度。判斷代數(shù)精度的方法當f(x)=1,x,x2,xm時, ,求

5、積公式精確成立, ,而f(x)= xm+1 時公式近似成立， 求積公式的代數(shù)精度為m次. . chapter 4numerical integration)()()()(1100nnbaxfaxfaxfadxxf4.1 數(shù)值積分概論8例：驗證梯形公式的代數(shù)精度為1。 chapter 4numerical integration4.1 數(shù)值積分概論9設(shè)有求積公式試確定系數(shù)a0,a1,a2，使這個公式具有最高的代數(shù)精度。 chapter 4numerical integration4.1 數(shù)值積分概論10利用插值多項式來構(gòu)造數(shù)值求積公式,具體步驟如下:上取一組節(jié)點在積分區(qū)間,babxxxan10次

6、插值多項式的作nxf)(4.1.3 插值型求積公式nkkknxlxfxl0)()()(為插值基函數(shù)), 1 , 0)(nkxlk)()!1()()(1)1(xnfxrnnn,baniinxxx01)()(kjnjjkjkxxxxxl0)()()()(xrxlxfnn chapter 4numerical integration4.1 數(shù)值積分概論11則，若計bakkdxxla)(badxxf)(這就是數(shù)值求積公式稱為求積系數(shù)其中kankkkxfa0)(badxxf)(bandxxl)( bankkkdxxlxf0)()(nkbakkdxxlxf0)()(有的近似作為被積函數(shù)用,)()(xfxl

7、nbannbanndxxnfdxxrir)()!1()()()(11 chapter 4numerical integration4.1 數(shù)值積分概論4.1.3 插值型求積公式4.2 newton-cotes數(shù)值求積公式 chapter 4numerical integration,banabhix), 2 , 1 , 0(niihaxi)(ixf 選取一個簡單的函數(shù)選取一個簡單的函數(shù)(x)近似代替近似代替f(x)，得，得 牛頓牛頓-柯特斯的思想：選取柯特斯的思想：選取(x) 為插值多項式為插值多項式pn(x)，推，推導(dǎo)出實用的數(shù)值積分公式。導(dǎo)出實用的數(shù)值積分公式。 再推導(dǎo)出簡便實用的計算公式

8、。再推導(dǎo)出簡便實用的計算公式。 babadxxdxxf)()( 4.2 newton-cotes數(shù)值求積公式 chapter 4numerical integration基本思想：基本思想：4.2 newton-cotes數(shù)值求積公式 chapter 4numerical integration在在a, b作等距的插值基點作等距的插值基點 a=x0 x1xn=b ，1, 1 , 0,)(1 nihnabxxii)()!1()()()()(1) 1(00 xnfxrxxxxxfxlnnnninjijjjijin)()()(xrxpxfnn )()()(),(101nnxxxxxxxba niix

9、f0)( banbanjijjjijdxxrdxxxxx)(0令令 ,0)(dxxxxxcbanjijjjijni bannndxxnffr)()!1()()(1)1( )()()()(0frcxfdxxfnniniibababannbaxrdxxldxxf)()()(,0)(dxxxxxcbanjijjjijni 由由 ,jhaxihaxji 積分作代換積分作代換x= a+th, 則則 推導(dǎo)具體計算公式推導(dǎo)具體計算公式nabhhjixxji ,)(dx=hdt, 當當x=a時時t=0，當當x=b時時t=n，xxj=(sj )h,)()()(110niiiiiixxxxxxxx =i(i-1)

10、1(-1)(-2)(-(n-i) hn nnnijjnindthhjthini00)()!(!) 1()(nic nnijjindtjtiniab00)()!(!) 1()( nnijjinnidtjtininc00)()()!(!) 1(= (-1)n-i i! (n-i)! hn4.2 newton-cotes數(shù)值求積公式 chapter 4numerical integration16)()()(0)(xcjbanjnjfabdxxfn 1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/6 3 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 柯特斯

11、系數(shù) ()00( 1)()!()!ninnnijjictj dtn ini chapter 4numerical integration17下面分別考慮幾種特殊請況。 （一）梯形公式（一）梯形公式 若積分區(qū)間x0,x1兩端點處的函數(shù)值f0,f1為已知，可應(yīng)用線性插 值公式l1(x)在區(qū)間x0,x1上的積分來近似,這就是n=1的 情況。當n =1時，c0(1)= c1(1)= 1/2，于是有 上式稱為梯形公式。 積分的這種近似計算方法稱為梯形法則。 它的幾何意義是用四邊梯形x0 abx1的面積(x1x0)(f0+f1)/2代 替曲邊梯形 的面積 。 )f(f2xxdxf(x)10 xx10011

12、0 xxdxf(x) chapter 4numerical integration18 )()(1)1(10)1(0 xfcxfcabdxxfba 10)1(0) 1(dttc)()(2)(bfafabdxxfba nnijjinnidtjtinic00)()()!(!) 1(當當n=1時時, 有有 niinibaxfcabdxxf02110)1(1tdtc1022) 1( t,21 （一）梯形公式（一）梯形公式19當n=1時，為梯形公式)()(2)(bfafabdxxfba chapter 4numerical integration20（二）辛普森（二）辛普森(simpson)(simps

13、on)公式公式 如果已知步長的三個等距節(jié)點x0 x1x2處的函數(shù)值f0、f1和f2， 則可應(yīng)用二次插值公式(拋物線插) l2(x)值在區(qū)間x0,x2上進行積分。這就是牛頓柯特斯求積公式中n=2的情況。 這里， c0(2) =1/6 , c1(2) =2/3 , c2(2) =1/6 可得 式中h=(x2 -x0)/2, 它通常稱式為辛普森公式或拋物線公式辛普森公式或拋物線公式。它的幾何意義是用拋物線y=l2(x)圍成的曲邊梯形面積代替由y=f(x)圍成的曲邊梯形面積。 20 xx210)ff4(f3hdxf(x) chapter 4numerical integration21 )()()(2

14、)2(21)2(10)2(0 xfcxfcxfcabdxxfba 20)2(1,64)2(21dtttc)()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba nnijjinnidtjtinic00)()()!(!) 1( niinibaxfcabdxxf0牛頓柯特斯求積公式牛頓柯特斯求積公式當當n=2時有時有 ) 4638(41 20)2(261) 1(41dtttc20)2(0) 2)(1(2! 21dsttc202) 23(41dttt2023)2233(41ttt,61 22 chapter 4numerical integration23 chapter 4numerical inte

15、gration誤差分析 作為插值型求積公式的公式至少具有n次代數(shù)精度。由定理1可得：定理定理3：當階n為偶數(shù)時， 公式至少具有n+1次代數(shù)精度。24試證梯形公式的代數(shù)精確度為試證梯形公式的代數(shù)精確度為1。 證明證明 梯形公式是梯形公式是 )()(2)(bfafabdxxfba ),(, )(12)()(31bafabfr 誤差誤差 當當f(x)=0,x 時，梯形公式成為準確等式。時，梯形公式成為準確等式。當當f(x)=x2 時，根據(jù)梯形公式，左時，根據(jù)梯形公式，左= 3332abdxxba 右右=)(222baab 左左因此，公式的代數(shù)精確度為因此，公式的代數(shù)精確度為1。 chapter 4n

16、umerical integration誤差分析 25試證拋物線公式的代數(shù)精確度為試證拋物線公式的代數(shù)精確度為3。 證明證明 拋物線公式是拋物線公式是 誤差誤差 當當f(x)=0,x,x2,x3 時時, 拋物線公式成為準確等式。拋物線公式成為準確等式。 當當f(x)=x4 時，時，因此，公式的代數(shù)精確度為因此，公式的代數(shù)精確度為3。)()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba ),(, )(2880)()()4(52bafabfr 拋物線公式不能準確成立。拋物線公式不能準確成立。 chapter 4numerical integration誤差分析 26梯形公式的求積余項：),(, )

17、(12)()(31bafabfr 梯形公式的誤差取決于插值多項式l1(x)的誤差。誤差分析 辛普森公式的求積余項為：),(, )(2880)()()4(52bafabfr chapter 4numerical integrationbababadxxrdxxldxxf)()()(11dxbxaxfdxxlxfdxxldxxffrbabababa)(! 2)()()()()(1127 chapter 4numerical integreation 從積分余項可以看到，積分區(qū)間越小，可使求積公式的截斷誤差變小。因此，我們經(jīng)常把積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個小區(qū)間上采用次數(shù)不高的插值公式，如梯形公式

18、或拋物線公式，構(gòu)造出相應(yīng)的求積公式，然后再把它們加起來得到整個區(qū)間上的求積公式，這就是復(fù)化復(fù)化求積公式的基本思想求積公式的基本思想。 復(fù)化求積公式克服了高次newton-cotes公式計算不穩(wěn)定的問題，其運算簡單且易于在計算機上實現(xiàn)。 常用的復(fù)化求積公式是復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式和復(fù)化拋物線公式復(fù)化拋物線公式 28 將區(qū)間 n等分，記分點為: 并在每個小區(qū)間 上應(yīng)用梯形公得： ,a b,(.0,1, )ib axa ih hinn 111100( )( )2iinnbxiiaxiihf x dxf x dxf xf x11( ) 2( )( )2niihf af xf b1,iix x chapter 4numerical integration29 在每個小區(qū)間 上,用辛普生公得 : 記: 其中 為 的中點，即 1,iix x11102( )( ) 4 ()()6nbiiaiihf x dxf xf xf x 111012( ) 4() 2( )6nniiiihf af xf xf b111012( ) 4() 2( )( )6nnniiiihsf af xf xf b12ix1 ,iix x1212i