求最值問(wèn)題的幾種方法

1、淺談求最值問(wèn)題的幾種方法摘要：最值問(wèn)題綜合性強(qiáng)，涉及到屮學(xué)數(shù)學(xué)的許多分支，因而這類(lèi)問(wèn)題題型廣，知識(shí)面寬，而且在解法 上靈活多樣，能較好體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.在歷年的高考試題中，既有基礎(chǔ)題，也有一些小綜合 的中檔題，更有一些以難題的形式出現(xiàn).解決這類(lèi)問(wèn)題要掌握多方而的知識(shí)，綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技 巧，靈活選擇合理的解題方法，木文就幾類(lèi)最值問(wèn)題作一探求.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；函數(shù)；最值；最人值；最小值1. 常見(jiàn)函數(shù)的最值問(wèn)題.1.1 一次函數(shù)的最大值與最小值.一次函數(shù)y = kx + b在其定義域（全體實(shí)數(shù)）內(nèi)是沒(méi)有最大值和最小值的，但是，如果對(duì)口變量兀的取值范圍有所限制時(shí)，一次函數(shù)就可能有最大值和最小值了

2、.例1.設(shè)a0且ohl, y = q +丄（1 一x）, （owx w1），求y的最人值與最小值.a解：）,=祇+丄（1一勸町化為:y = （a-丄）兀+丄.下面對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)分兩種情況討論：aa a（1）當(dāng)。1吋，q-丄0,于是函數(shù)y = （a-丄）兀+丄的函數(shù)值是隨著兀的增加而增加的，所aa a以當(dāng)0時(shí)，y取最小值丄；a當(dāng)x = l時(shí),y取最人值g.（2）當(dāng)0vdvl時(shí)，a-丄0,于是函數(shù)y = a-丄）兀+丄的函數(shù)值是隨著兀的增加而減少的,aa a所以當(dāng)兀二0時(shí),y取授大值丄；a當(dāng)無(wú)二1時(shí),y取最小值.例2. 知九y,z是非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足條件兀+ y + z = 30,3x+ y-z =

3、50.求u = 5x + 4y + 2z的最大值和最小值.分析：題設(shè)條件給出兩個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)，xz,當(dāng)然，x,y,z的貝體數(shù)值是不能求出的. 但是,我們固定其中一個(gè)，不防固定兀，那么y,z都可以用兀來(lái)表示，于是況便是兀的函數(shù)了（需注 意x的取值范圍），從而我們根據(jù)已知條件，對(duì)求的最大值與最小值.1.2二次函數(shù)的最大值與最小值一般地，求二次函數(shù)y = 2+/?x + c(6z0)的最大值與最小值，都是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖 象來(lái)求解，即有：若。>0,則當(dāng)兀二一2時(shí)，y有最小值為也一”；若go,則當(dāng)兀=-±n4, 2a4a2a4-cic b?y有最大值這里我們給出另一種求二次函

4、數(shù)最值的方法判別式法.4a例3.已知小，兀2是方程兀2伙一2)兀+伙2+3£ + 5) = 0仏是實(shí)數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求 彳+花2的最大值與最小值.分析：一般地，二次函數(shù)壬(刃，+厶(y)兀+.人(y) = 0 ,若方程有實(shí)根，其判別式 a = f2(y)24f1(y)f3(y) $0.如果關(guān)于y的不等式 $0,可以解出y的取值范圍，便可求出函數(shù) ),二/(兀)的最值，這就是求函數(shù)最值的判別式法.解：由于二次方程有實(shí)根，所以a = -a-2)2 -4伙2 一3£ + 5)$04解得4w£w3貝u f(k) = x/ +x22 =(兀+x2)2 - 2xjx2=伙-

5、2)2-2 伙？+3£ + 5)=-伙+ 5尸+194994由于f(k)在-4-±是減函數(shù),可見(jiàn)當(dāng)k = -4 lit, f(k) = x,2 +兀2有最人值18,當(dāng)k = - 時(shí)，/(燈二打+打有最小值曽.1.3三角函數(shù)的最大值與最小值三角函數(shù)的最值問(wèn)題題型廣，涉及的知識(shí)面寬，而h.在解法上靈活多變，能較好的體現(xiàn)數(shù)學(xué)思 想方法的應(yīng)用，因而一肓是學(xué)習(xí)中的熱點(diǎn)和重點(diǎn).例 4.已知函數(shù) y = sin 2x-2(sinx + cosx) + <72r = sin x + cosx ,當(dāng) f 為何值時(shí)，y 取得最小值.解： t = sin x + cos x = v2 si

6、n(x + ),- v2 < / < v24v = 1 + 2sin %cosx = 1 + sin 2x即有 sin 2x = t2 -1y =廠(chǎng) _ 1 _ 2/ + a? =(/ )+ 匕2 _ , -2 w f s v2.當(dāng)f = l時(shí)，y取得最小值a2-l.說(shuō)明：求三角函數(shù)的最值時(shí)，方法很多，而在代數(shù)中求最值的方法均適用，如配方法(注意三 角函數(shù)的取值范圍)，換元法(注意換元后的范圍)，判別法，重要不等式(注意取等號(hào)的條件)等 等，這里不再贅述，只列舉出幾種常見(jiàn)的三角函數(shù)及最值的求法：(1) y = csinx + z?(或gcosx + z?)型，利用三角函數(shù)的值域，須

7、注意對(duì)字母的討論.(2) y = asinx + bcosx型，先引進(jìn)輔助角化成y = y/a2 +b2 sin(x + 0),再利用有界性.(3) y = dsin? 兀 + bsinx + c型，配方后求二次函數(shù)的最值，須注意|sinx| < 1的約束.(4) y = asinx + b型，反解出$巾兀，化歸為sin % < 1解決.csinx + d(5) y= dsinx + f (或y = dcosx + ?)型，化歸為sin(兀+ 0)=g(y)利用三角函數(shù)的有界ccosx + dcsnx + d性求解，或用數(shù)形結(jié)合法(6) y = a(sin 兀+ cosx) + b

8、sinxcos兀+ c 型，常用至u換元法，令f = sin 兀 +cosx, t < v2 .1.4分式函數(shù)的最大值與最小值求分式函數(shù)y=勺兀+ 5的最大值與最小值問(wèn)題，常用到的辦法是去分母后，化為關(guān)于a2x +b2x + c2x的二次方程，然后用判別式a 20,得出y的取值范圍，進(jìn)而求出y的最大值和最小值.x2 -2x-3例5.求函數(shù)°的最值.2+2兀+ 1解：去分母,整理得 (2y l)%2+2(y + l)x + (y + 3) = 0當(dāng)y-時(shí)，這是一個(gè)二次方程，因兀是實(shí)數(shù)，所以判別式 2即二2(y +1)2 -4(2y-1)(y + 3)>0解得 4wy<

9、l當(dāng) y = -4時(shí)，x =; 當(dāng) y = 1吋，x = -2. 3由此即知，當(dāng)兀=-|時(shí)，y取最小值-4；當(dāng)x = -2時(shí)，y取最大值1.說(shuō)明：木題求最值的方法叫判別法，是一種常用的方法，但在用判別法時(shí)，應(yīng)特別注意這個(gè)最值能否取到，即是否有與最值相應(yīng)的x值.2. 一類(lèi)無(wú)理函數(shù)的最值問(wèn)題無(wú)理函數(shù)的最值是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，其形式多樣，解法繁雜，學(xué)生在解題時(shí)常感困惑,卜面就研究一類(lèi)形如y二qax + b + qcx + d (a,b,c,d g r,ac < 0)的無(wú)理函數(shù)最值的解法.例6.求函數(shù)y = jx-4 + j18 - 3x(4 < x < 6)的最值，以及y取最

10、值時(shí)x的值.解法1.利用判別式顯然y>0 , 兩邊平方得)< =(14_2勸+ 2血_4)(18_3兀)移項(xiàng)，平方整理得16x2 + (4y2 -176)% + y4 - 28y2 + 484 = 0由 = (4y2 -176)2 - 64(y4 一 28y2 + 484) > 0得0<y2 <8乂 y 2 _( 4 _ 2朗二 2 j(兀 _ 4)(18 _ 3兀)a 0 及 y0得y > v14-2x > v242 <y< 2v2當(dāng)兀二6 時(shí),ymin = v2 ；當(dāng)x=| 時(shí),ymax = 2v2 . 解法2. 巧用三角變換.設(shè)77刁

11、 =ysin2(/),則x-4 = y2 sin4 cp ,v18-3x = ycos2 (p18-3x = j2 cos4 (p.消去兀得6y2 = 3sin4 © + cos4 (p = 4(cos2 )2 + ."44當(dāng) cos2 0 = 0 吋，即兀二6 吋， ymn = v2 .解法3.善用導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)是高屮數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)尤其是函數(shù)最值問(wèn)題成為強(qiáng)有力的手段, 要重視導(dǎo)數(shù)在解決一些復(fù)雜的函數(shù)最值上的作用，善于運(yùn)用它體念它獨(dú)特的解題魅力，能使問(wèn)題得 到簡(jiǎn)潔，完美的解決.1 3對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)可得y = 2 - /2厶-42718-3%,9令y =0 得 x = -2又x w 4,6計(jì)算端點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為零的函數(shù)值得y 1*4= y 1*6 二 y i）= 2v2.由此可得當(dāng)x弓時(shí)，獨(dú)=2血,當(dāng)心時(shí)，兒貯辰3. 其它函數(shù)的最值問(wèn)題處理一般函數(shù)的最大值與最小值，我們常常用不等式來(lái)估計(jì)上界或下界，進(jìn)而構(gòu)造例子來(lái)說(shuō)明 能取到這個(gè)最大值或者最小值。9 1例7.設(shè)兀是正實(shí)數(shù)，求函數(shù)y =+ 的授小值.解：先估