求最值問題的幾種方法

1、淺談求最值問題的幾種方法摘要：最值問題綜合性強，涉及到屮學數(shù)學的許多分支，因而這類問題題型廣，知識面寬，而且在解法 上靈活多樣，能較好體現(xiàn)數(shù)學思想方法的應用.在歷年的高考試題中，既有基礎題，也有一些小綜合 的中檔題，更有一些以難題的形式出現(xiàn).解決這類問題要掌握多方而的知識，綜合運用各種數(shù)學技 巧，靈活選擇合理的解題方法，木文就幾類最值問題作一探求.關鍵詞：數(shù)學；函數(shù)；最值；最人值；最小值1. 常見函數(shù)的最值問題.1.1 一次函數(shù)的最大值與最小值.一次函數(shù)y = kx + b在其定義域（全體實數(shù)）內是沒有最大值和最小值的，但是，如果對口變量兀的取值范圍有所限制時，一次函數(shù)就可能有最大值和最小值了

2、.例1.設a0且ohl, y = q +丄（1 一x）, （owx w1），求y的最人值與最小值.a解：）,=祇+丄（1一勸町化為:y = （a-丄）兀+丄.下面對一次項系數(shù)分兩種情況討論：aa a（1）當。1吋，q-丄0,于是函數(shù)y = （a-丄）兀+丄的函數(shù)值是隨著兀的增加而增加的，所aa a以當0時，y取最小值丄；a當x = l時,y取最人值g.（2）當0vdvl時，a-丄0,于是函數(shù)y = a-丄）兀+丄的函數(shù)值是隨著兀的增加而減少的,aa a所以當兀二0時,y取授大值丄；a當無二1時,y取最小值.例2. 知九y,z是非負實數(shù)，且滿足條件兀+ y + z = 30,3x+ y-z =

3、50.求u = 5x + 4y + 2z的最大值和最小值.分析：題設條件給出兩個方程，三個未知數(shù)，xz,當然，x,y,z的貝體數(shù)值是不能求出的. 但是,我們固定其中一個，不防固定兀，那么y,z都可以用兀來表示，于是況便是兀的函數(shù)了（需注 意x的取值范圍），從而我們根據(jù)已知條件，對求的最大值與最小值.1.2二次函數(shù)的最大值與最小值一般地，求二次函數(shù)y = 2+/?x + c(6z0)的最大值與最小值，都是根據(jù)二次函數(shù)的性質和圖 象來求解，即有：若。>0,則當兀二一2時，y有最小值為也一”；若go,則當兀=-±n4, 2a4a2a4-cic b?y有最大值這里我們給出另一種求二次函

4、數(shù)最值的方法判別式法.4a例3.已知小，兀2是方程兀2伙一2)兀+伙2+3£ + 5) = 0仏是實數(shù))的兩個實數(shù)根，求 彳+花2的最大值與最小值.分析：一般地，二次函數(shù)壬(刃，+厶(y)兀+.人(y) = 0 ,若方程有實根，其判別式 a = f2(y)24f1(y)f3(y) $0.如果關于y的不等式 $0,可以解出y的取值范圍，便可求出函數(shù) ),二/(兀)的最值，這就是求函數(shù)最值的判別式法.解：由于二次方程有實根，所以a = -a-2)2 -4伙2 一3£ + 5)$04解得4w£w3貝u f(k) = x/ +x22 =(兀+x2)2 - 2xjx2=伙-

5、2)2-2 伙？+3£ + 5)=-伙+ 5尸+194994由于f(k)在-4-±是減函數(shù),可見當k = -4 lit, f(k) = x,2 +兀2有最人值18,當k = - 時，/(燈二打+打有最小值曽.1.3三角函數(shù)的最大值與最小值三角函數(shù)的最值問題題型廣，涉及的知識面寬，而h.在解法上靈活多變，能較好的體現(xiàn)數(shù)學思 想方法的應用，因而一肓是學習中的熱點和重點.例 4.已知函數(shù) y = sin 2x-2(sinx + cosx) + <72r = sin x + cosx ,當 f 為何值時，y 取得最小值.解： t = sin x + cos x = v2 si

6、n(x + ),- v2 < / < v24v = 1 + 2sin %cosx = 1 + sin 2x即有 sin 2x = t2 -1y =廠 _ 1 _ 2/ + a? =(/ )+ 匕2 _ , -2 w f s v2.當f = l時，y取得最小值a2-l.說明：求三角函數(shù)的最值時，方法很多，而在代數(shù)中求最值的方法均適用，如配方法(注意三 角函數(shù)的取值范圍)，換元法(注意換元后的范圍)，判別法，重要不等式(注意取等號的條件)等 等，這里不再贅述，只列舉出幾種常見的三角函數(shù)及最值的求法：(1) y = csinx + z?(或gcosx + z?)型，利用三角函數(shù)的值域，須

7、注意對字母的討論.(2) y = asinx + bcosx型，先引進輔助角化成y = y/a2 +b2 sin(x + 0),再利用有界性.(3) y = dsin? 兀 + bsinx + c型，配方后求二次函數(shù)的最值，須注意|sinx| < 1的約束.(4) y = asinx + b型，反解出$巾兀，化歸為sin % < 1解決.csinx + d(5) y= dsinx + f (或y = dcosx + ?)型，化歸為sin(兀+ 0)=g(y)利用三角函數(shù)的有界ccosx + dcsnx + d性求解，或用數(shù)形結合法(6) y = a(sin 兀+ cosx) + b

8、sinxcos兀+ c 型，常用至u換元法，令f = sin 兀 +cosx, t < v2 .1.4分式函數(shù)的最大值與最小值求分式函數(shù)y=勺兀+ 5的最大值與最小值問題，常用到的辦法是去分母后，化為關于a2x +b2x + c2x的二次方程，然后用判別式a 20,得出y的取值范圍，進而求出y的最大值和最小值.x2 -2x-3例5.求函數(shù)°的最值.2+2兀+ 1解：去分母,整理得 (2y l)%2+2(y + l)x + (y + 3) = 0當y-時，這是一個二次方程，因兀是實數(shù)，所以判別式 2即二2(y +1)2 -4(2y-1)(y + 3)>0解得 4wy<

9、l當 y = -4時，x =; 當 y = 1吋，x = -2. 3由此即知，當兀=-|時，y取最小值-4；當x = -2時，y取最大值1.說明：木題求最值的方法叫判別法，是一種常用的方法，但在用判別法時，應特別注意這個最值能否取到，即是否有與最值相應的x值.2. 一類無理函數(shù)的最值問題無理函數(shù)的最值是高中數(shù)學教學的一個難點，其形式多樣，解法繁雜，學生在解題時常感困惑,卜面就研究一類形如y二qax + b + qcx + d (a,b,c,d g r,ac < 0)的無理函數(shù)最值的解法.例6.求函數(shù)y = jx-4 + j18 - 3x(4 < x < 6)的最值，以及y取最

10、值時x的值.解法1.利用判別式顯然y>0 , 兩邊平方得)< =(14_2勸+ 2血_4)(18_3兀)移項，平方整理得16x2 + (4y2 -176)% + y4 - 28y2 + 484 = 0由 = (4y2 -176)2 - 64(y4 一 28y2 + 484) > 0得0<y2 <8乂 y 2 _( 4 _ 2朗二 2 j(兀 _ 4)(18 _ 3兀)a 0 及 y0得y > v14-2x > v242 <y< 2v2當兀二6 時,ymin = v2 ；當x=| 時,ymax = 2v2 . 解法2. 巧用三角變換.設77刁

11、 =ysin2(/),則x-4 = y2 sin4 cp ,v18-3x = ycos2 (p18-3x = j2 cos4 (p.消去兀得6y2 = 3sin4 © + cos4 (p = 4(cos2 )2 + ."44當 cos2 0 = 0 吋，即兀二6 吋， ymn = v2 .解法3.善用導數(shù).導數(shù)是高屮數(shù)學中的重要內容，用導數(shù)研究函數(shù)的性質尤其是函數(shù)最值問題成為強有力的手段, 要重視導數(shù)在解決一些復雜的函數(shù)最值上的作用，善于運用它體念它獨特的解題魅力，能使問題得 到簡潔，完美的解決.1 3對原函數(shù)求導可得y = 2 - /2厶-42718-3%,9令y =0 得 x = -2又x w 4,6計算端點和導數(shù)為零的函數(shù)值得y 1*4= y 1*6 二 y i）= 2v2.由此可得當x弓時，獨=2血,當心時，兒貯辰3. 其它函數(shù)的最值問題處理一般函數(shù)的最大值與最小值，我們常常用不等式來估計上界或下界，進而構造例子來說明 能取到這個最大值或者最小值。9 1例7.設兀是正實數(shù)，求函數(shù)y =+ 的授小值.解：先估