數(shù)字信號課程設計(數(shù)字低通濾波器)

1、成 績數(shù)字信號處理課程設計題目：任務10：設計數(shù)字低通濾波器班級學號姓名任務分工工作量(%)2013級7班2013級7班2013級7班2013級7班 2013級7班2015年 12月數(shù)字低通濾波器的設計目錄1 低通、高通、帶通、帶阻濾波器的性能特點- 2 -1.1 低通濾波器的性能指標- 2 -1.2 高通濾波器的性能指標- 3 -1.3 帶通濾波器的性能指標- 4 -1.4 帶阻濾波器的性能指標- 5 -2 巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器的比較- 6 -2.1 從幅度特性比較- 6 -2.2 從過渡帶寬比較- 6 -2.3 從階次N比較- 6 -2.4 從濾波器對參數(shù)量化（變化）的靈敏性比較

2、- 6 -2.5 從相應響應（群延時）比較- 6 -3 巴特沃斯濾波器和切比雪夫模擬低通濾波器的設計方法- 6 -3.1 Butterworth濾波器設計步驟- 6 -3.2 切比雪夫低通濾波器設計步驟- 7 -4 模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）的設計流程- 8 -5 數(shù)字濾波器設計- 9 -5.1 設計題目- 9 -5.2 設計原理- 9 -5.3 設計思路- 10 -5.4 設計過程- 11 -6 Matlab數(shù)字濾波器仿真實驗- 12 -7 調(diào)試分析- 14 -8 附錄- 15 -1 低通、高通、帶通、帶阻濾波器的性能特點1.1 低通濾波器的性能指標低通濾波器，

3、是一種容許低于某一截至頻率的信號分量通過，而對高于該截止頻率以上的信號分量進行衰弱的電子濾波裝置。對于不同濾波器而言，每個頻率的信號的減弱程度不同。低通濾波器有很多種，最通用的就是巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器。電感阻止高頻信號通過而允許低頻信號通過，電容的特性卻相反。信號能夠通過電感的濾波器、或者通過電容連接到地的濾波器對于低頻信號的衰減要比高頻信號小，稱為低通濾波器。低通濾波器的主要技術指標.通帶增益Ap通帶增益是指濾波器在通頻帶內(nèi)的電壓放大倍數(shù)，如圖所示。性能良好的LPF通帶內(nèi)的幅頻特性曲線是平坦的，阻帶內(nèi)的電壓放大倍數(shù)基本為零。.通帶截止頻率fp其定義與放大電路的上限截止頻率相同，見圖

4、。通帶與阻帶之間稱為過渡帶，過渡帶越窄，說明濾波器的選擇性越好。圖1l 1:通帶的容限 l 2：阻帶容限 l 通帶截止頻率：fp(wp)又稱為通帶上限頻率。l 通帶衰減：Ap l 阻帶截止頻率：fs(ws)又稱阻帶下限截止頻率。l 阻帶衰減：As 1.2 高通濾波器的性能指標高通濾波器是一個使高頻率比較容易通過而阻止低頻率通過的系統(tǒng)。它去掉了信號中不必要的低頻成分或者說去掉了低頻干擾。其特性在時域及頻域中可分別用沖激響應及頻率響應描述。后者是用以頻率為自變量的函數(shù)表示，一般情況下它是一個以復變量j為自變量的復變函數(shù)，以H（j）表示。它的模H（）和幅角（）為角頻率的函數(shù)，分別稱為系統(tǒng)的“幅頻響應

5、”和“相頻響應”，它分別代表激勵源中不同頻率的信號成分通過該系統(tǒng)時所遇到的幅度變化和相位變化。最簡單的電子高通濾波器包括一個與信號通路串聯(lián)的電容器和與信號通路并聯(lián)的電阻。電阻與電容的乘積（RC）是時間常數(shù)；它與截止頻率成反比，在截止頻率上輸出信號的強度是輸入信號的一半（-3分貝（dB）：其中f的單位是赫茲（Hz），R的單位是歐姆（ohm），C的單位是法拉（farad），簡稱“法”。圖2l 通帶截止頻率：fp(wp)又稱為通帶下限頻率。l 通帶衰減：Ap l 阻帶截止頻率：fs(ws)又稱阻帶上限截止頻率。l 阻帶衰減：As 1.3 帶通濾波器的性能指標帶通濾波器是指能通過某一頻率范圍內(nèi)的頻率分

6、量、但將其他范圍的頻率分量衰減到極低水平的濾波器，與帶阻濾波器的概念相對。一個模擬帶通濾波器的例子是電阻-電感-電容電路（RLC）。這些濾波器也可以用低通濾波器同高通濾波器組合來產(chǎn)生。一個理想的濾波器應該有一個完全平坦的通帶，例如在通帶內(nèi)沒有增益或者衰減，并且在通帶之外所有頻率都被完全衰減掉，另外，通帶外的轉(zhuǎn)換在極小的頻率范圍完成。實際上，并不存在理想的帶通濾波器。濾波器并不能夠?qū)⑵谕l率范圍外的所有頻率完全衰減掉，尤其是在所要的通帶外還有一個被衰減但是沒有被隔離的范圍。這通常稱為濾波器的滾降現(xiàn)象，并且使用每十倍頻的衰減幅度dB來表示。通常，濾波器的設計盡量保證滾降范圍越窄越好，這樣濾波器的性

7、能就與設計更加接近。然而，隨著滾降范圍越來越小，通帶就變得不再平坦開始出現(xiàn)“波紋”。這種現(xiàn)象在通帶的邊緣處尤其明顯，這種效應稱為吉布斯現(xiàn)象（Gibbs phenomenon）。下圖所示的是一個帶通濾波器的波德圖。如圖所示，和分別為低頻、高頻信號功率降低一半的點，即上下限截止頻率，兩個截止頻率中間的頻率范圍稱作“通帶寬度”，通帶中心的頻率稱作“中心頻率”。通帶范圍內(nèi)頻率的信號可以通過，頻率位于截止頻率兩側(cè)的信號則大幅衰減。圖3l 通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)。l 通帶衰減：Ap l 阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1

8、)。l 阻帶衰減：As1.4 帶阻濾波器的性能指標帶阻濾波器，是指一種能夠抑制某一阻帶的頻率分量，并允許阻帶外頻率分量通過的濾波器。帶阻濾波器可分為窄帶阻濾波器和寬帶阻濾波器，在實際電路中，常利用無源低通濾波器和高通濾波器并聯(lián)構(gòu)成無源帶阻濾波電路，然后接相同比例運算電路，從而得到有源帶阻濾波電路。帶阻濾波器是指能通過大多數(shù)頻率分量、但將某些范圍的頻率分量衰減到極低水平的濾波器，與帶通濾波器的概念相對。其中點阻濾波器（notch filter）是一種特殊的帶阻濾波器，它的阻帶范圍極小，有著很高的Q值（Q Factor）。將輸入電壓同時作用于低通濾波器和高通濾波器，再將兩個電路的輸出電壓求和，就可

9、以得到帶阻濾波器（如下圖所示），其中低通濾波器的截止頻率應小于高通濾波器的截止頻率。圖4l 通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)。l 通帶衰減：Ap l 阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1)。l 阻帶衰減：As 2 巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器的比較2.1 從幅度特性比較巴特沃斯濾波器在全頻段具有單調(diào)下降的幅度特性；切比雪夫型在通帶中是呈等紋波型的，在阻帶則是單調(diào)下降的；切比雪夫型在通帶是單調(diào)下降的，在阻帶是呈等紋波型的。2.2 從過渡帶寬比較當階次N，通帶最大衰減（dB）、阻帶最小衰減（dB）相同且通帶截止頻率p（或阻

10、帶截止頻率）相同時，巴特沃斯型的過渡帶寬最寬，切比雪夫、型較窄。2.3 從階次N比較若濾波器具有相同的幅度特性指標，則所需階次N巴特沃斯大于切比雪夫。2.4 從濾波器對參數(shù)量化（變化）的靈敏性比較巴特沃斯型量化靈敏度低于切比雪夫、型。2.5 從相應響應（群延時）比較巴特沃斯型在部分通帶中有線性相位，對線性相位的逼近優(yōu)于切比雪夫型濾波器。3 巴特沃斯濾波器和切比雪夫模擬低通濾波器的設計方法3.1 Butterworth濾波器設計步驟.確定階次N 已知c、s和As求Butterworth DF階數(shù)N 由： 求出N： 已知c、s和=p()的衰減Ap 求Butterworth DF階數(shù)N 已知p、s和

11、=p的衰減Ap 和As 求Butterworth DF階數(shù)N 由 .用階次N確定 根據(jù)公式： 在左半平面的極點即為的極點，因而 ，3.2 切比雪夫低通濾波器設計步驟.確定技術指標 歸一化： .根據(jù)技術指標求出濾波器階數(shù)N及： 其中 .求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)其中極點由下式求出：或者由和S直接查表得.去歸一化： 4 模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）的設計流程第一種,分兩步來實現(xiàn)。第一步，將設計出的歸一化樣本模擬低通濾波器經(jīng)模擬模擬頻帶變換法轉(zhuǎn)換成模擬各種（低通、高通、帶通、帶阻）濾波器；第二步，然后數(shù)字化（采用沖擊響應不變法、或雙線性變換法）成各相應頻帶的數(shù)字濾波器。如下圖a。

12、第二種,直接導出由設計出的樣本模擬低通濾波器變換成各種通帶數(shù)字濾波器的方案，既包含頻帶變換又包含數(shù)字化，一步變換完成設計。如下圖b。第三種,將設計出的歸一化的樣本模擬低通濾波器先數(shù)字化成低通數(shù)字濾波器，然后再用數(shù)字數(shù)字頻帶變換法設計出各種通帶的數(shù)字濾波器。如下圖c。模擬模擬頻帶變換數(shù)字化模擬低通、高通、帶通、帶阻技術指標數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻樣本歸一化模擬低通（a）先模擬頻帶變換，再數(shù)字化技術指標數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻樣本模擬低通（b）把頻帶變換和數(shù)字化結(jié)合起來樣本歸一化模擬低通數(shù)字低通數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻技術指標數(shù)字數(shù)字頻帶變換數(shù)字化（c）先數(shù)字化，再進行數(shù)字頻帶變換5 數(shù)字濾

13、波器設計5.1 設計題目用窗函數(shù)法設計一個偶對稱的線性相位FIR低通濾波器，給定通帶截止頻率，阻帶截止頻率為，阻帶衰為5.2 設計原理設數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為，是與其對應的單位脈沖響應，為系統(tǒng)函數(shù)。=一般來說，是無限長的，需要求的一個逼近。采用窗函數(shù)設計方法時，可通過對理想濾波器的單位采樣響應加窗設計濾波器=其中，是一個長度有限的窗，在區(qū)間外值為0，且關于中點對稱=由卷積定理有：=理想的頻率響應被窗函數(shù)的離散時間傅里葉變換“平滑”了。采用窗函數(shù)設計法設計出來的濾波器的頻率響應對理想響應的逼近程度由兩個因素決定：. 主瓣的寬度；. 旁瓣的幅度大小。理想的情況是主瓣的寬度窄，旁瓣的幅度小。但對于長

14、度固定的窗函數(shù)來說，這些不能獨立的達到最小。5.3 設計思路.給定要求的理想頻率響應，一般給定分段常數(shù)的理想頻率特性。.由于是在時域設計故必須求出：=IDTFT=.由于是無限時長的，故要用一個有限時長的“窗函數(shù)”序列將加以截斷（相乘），窗的點數(shù)是N點，截斷后的序列為：=，窗的點數(shù)N及窗的形狀是兩個極重要的參數(shù)。.求出加窗后實際的頻率響應：=DTFT=DTFT= =.檢驗是否滿足的要求，不滿足，則需要考慮改變窗形狀或者改變窗長的點數(shù)N，重復（3）、（4）兩步，到滿足要求為止。5.4 設計過程.理想低通濾波器的Hd（ejw）及hd(n)可分別由理想線性相位低通過濾波器的頻率響應和單位抽樣響應得到。

15、且理想線性相位低通頻率響應的截止頻率.求窗函數(shù)由阻帶衰減確定窗形狀，查表可知漢寧窗阻帶最小衰減為44dB滿足要求。有過渡帶寬，故有：于是，漢寧窗為： .求線性相位FIR低通濾波器的,先將各參量，帶入式中，有： 則有： .求，檢驗各指標是否會得到滿足，如不滿足則需改變或窗形狀，重新計算，此題過渡帶寬不滿足要求，滿足其他要求，改選，仍用漢寧窗，可得過渡帶寬滿足要求，故：6 Matlab數(shù)字濾波器仿真實驗（1）%畫圖做出濾波器幅度響應曲線（2）自行產(chǎn)生信號f(n)( 例如f(n)=square(1:256,50)+randn(1,256)，這是一個長度為256點的信號，由占空比50%的方波疊加了高斯

16、噪聲而形成)，畫出f(n)的時域波形和頻域波形；（3）將信號f(n)通過設計的濾波器，畫出濾波之后的時域波形和頻域波形；（4）給出濾波結(jié)果的分析。從以上仿真結(jié)果看設計好的濾波器通帶截止頻率WP=0.942477796076938，WS= 1.570796326794897，deltaw=0.628318530717959，A=44，滿足設計指標要求。 由仿真圖可以看出，方波疊加了高斯噪聲而形成的信號是一段凌亂無規(guī)律、非周期信號，從經(jīng)過濾波后輸出信號的頻域波形可以看出，經(jīng)過濾波后高頻部分被濾除。同時時域波形也基本呈正弦波，也符合我們所學的知識：方波是由基波和一系列各次諧波所組成的。而低通濾波器只

17、能允許基波附近的頻率通過，而其余的都被阻斷。因此只能得到接近于正弦函數(shù)圖像噪聲信號也被部分濾除，基本上達到了設計要求。7 調(diào)試分析通過翻書查資料編好程序后，運行的過程還是存在很多問題。但通過請教老師、與同學討論，最終還是將程序調(diào)試好。在程序調(diào)試過程中開始就由于兩個函數(shù)沒有定義，程序一直出錯，花費了很多時間。特別是不同函數(shù)的運用，很容易搞混淆，不過經(jīng)過耐心的學習，最終還是得到了滿意的結(jié)果。在畫圖的過程中開始由于橫坐標和縱坐標長度取值不但，導致畫出的波形無規(guī)律，看不出波形的特性。經(jīng)過反復修改和調(diào)試最終畫出了時域和頻域的波形。程序的運行結(jié)果如上圖所示，通過濾波前后的時域、頻域波形的比較我們可以清楚的

18、看出濾波器的特性和功能。本次實驗結(jié)果較好地反映出了用漢寧窗函數(shù)法設計數(shù)字FIR低通濾波器的特性，也基本上達到了課程設計的要求和初衷。 8 附錄程序%窗函數(shù)法設計線性相位FIR低通濾波器clc;clear allwp=0.3*pi;ws=0.5*pi;deltaw=ws-wp; %確定過度帶寬N0=ceil(6.2*pi/deltaw); % 確定濾波器階數(shù) ，ceil是向上取整函數(shù)N=N0+mod(N0+1,2); %若需要N=奇數(shù)，必須加詞語句wd=(hanning(N)' %求漢寧窗wc=(ws+wp)/2; % 截止頻率hd=ideal_lp(wc,N); %理想低通的單位沖擊響

19、應b=hd.*wd; db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,1);%檢查各項設計指標n=0:N-1;dw=2*pi/1000; Rp=-(min(db(1:wp/dw+1); %檢查通帶最大衰減As=-round(max(db(ws/dw+1:501); %檢查阻帶最小衰減 %畫圖做出濾波器幅度響應曲線figure(1);subplot(2,2,1);stem(n,b);axis(0,N,1.1*min(b),1.1*max(b);title(' 實際脈沖響應'); xlabel('n');ylabel('h(n)'); subp

20、lot(2,2,2);stem(n,wd); axis(0,N,0,1.1);grid;title('漢寧窗函數(shù)特性');xlabel('n');ylabel('wd(n)'); subplot(2,2,3);plot(w/pi,db);axis(0,1,-80,10);grid;title('幅度頻率響應'); xlabel('頻率');ylabel('H(ejomega)'); set(gca,'XTickMode','manual','XTick'

21、;,0,wp/pi,ws/pi,1); set(gca,'YTickMode','manual','YTick',-50,-20,-3,0);subplot(2,2,4);plot(w/pi,pha);axis(0,1,-4,4);title('相位頻率響應'); xlabel('頻率');ylabel('phi(omega)'); set(gca,'XTickMode','manual','XTick',0,wp/pi,ws/pi,1); set(g

22、ca,'YTickMode','manual','YTick',-3.1416,0,3.1416,4);grid;%產(chǎn)生一個信號in=square(1:256,50)+randn(1 ,256)omega=pi/4;k=1:256;x1=square(omega*k,50); %占空比為50%的方波信號stem(k,x1);N=256; k=0:N-1; x2=randn(1,N); %噪聲信號stem(k,x2); in=x1+x2; %疊加信號out=filter(b,1,in); %濾波過程 NFFT = 2nextpow2(N);%繪出輸

23、入信號的時域波形和頻域波形figure(2);subplot(2,1,1); stem(x1);xlabel('n'); ylabel('Magnitude');title('方波信號'); axis(0 50 -1 1);subplot(2,1,2); stem(x2);xlabel('n'); ylabel('Magnitude');title('隨機產(chǎn)生干擾信號'); axis(0 50 -1 1);figure(3);subplot(2,1,1); stem(in);xlabel('n'); ylabel('Magnitude');title('輸入信號時域波形'); axis(0 50 -1 1);subplot(2,1,2); stem(out);xlabel('n'); ylabel('Magnitude');title('濾波后時域波形