更高更妙的物理：專(zhuān)題16熱力學(xué)基礎(chǔ)

1、專(zhuān)題16 熱力學(xué)基礎(chǔ)一、知識(shí)概要1、熱力學(xué)第一定律對(duì)于理想氣體等值過(guò)程的應(yīng)用等容過(guò)程 等容過(guò)程的特征是氣體體積保持不變，故，由熱力學(xué)第一定律可知，在等容過(guò)程中，氣體與外界交換的熱量等于氣體內(nèi)能的增量：。稱(chēng)做定容摩爾比熱容，為分子的自由度，對(duì)于單原子分子氣體，；對(duì)于雙原子分子氣體，；而對(duì)于多原子分子氣體。為摩爾氣體常數(shù)，。等壓過(guò)程 等壓過(guò)程的特征是氣體壓強(qiáng)保持不變，由熱力學(xué)第一定律可得，在等壓變化過(guò)程中氣體與外界交換的熱量為。稱(chēng)做定壓摩爾比熱容，而稱(chēng)為比熱容比。對(duì)于單原子分子氣體，；而雙原子分子氣體，；多原子分子氣體則有。、及均只與氣體分子的自由度有關(guān)而與氣體溫度無(wú)關(guān)。等溫過(guò)程 等溫過(guò)程的特征是

2、氣體溫度保持不變，由于理想氣體的內(nèi)能取決于溫度，故，由熱力學(xué)第一定律可知在等溫變化過(guò)程中氣體與外界交換的熱量為。理想氣體在等溫變化中，設(shè)氣體體積從膨脹到，壓強(qiáng)從減小到，所做的功為，將這個(gè)功（）等分，每份元功，即，兩邊取次方得。當(dāng)時(shí)，則 。 絕熱過(guò)程 氣體在不與外界發(fā)生熱交換的條件下所發(fā)生的狀態(tài)變化稱(chēng)做絕熱過(guò)程，其特點(diǎn)是，由熱力學(xué)第一定律可得。絕熱過(guò)程中氣體方程為，則對(duì)某一元過(guò)程有；而此元過(guò)程氣體做元功為，則有，即有 。若令，（，為一定值）則有，。同理可得，可知在絕熱過(guò)程中氣體的壓強(qiáng)與體積有關(guān)系，常量，此稱(chēng)泊松方程。通過(guò)消去泊松方程中的或，可得恒量；常量。絕熱過(guò)程的這三個(gè)方程中，常量各不相同，大

3、小與氣體的質(zhì)量及初始狀態(tài)相關(guān)，絕熱過(guò)程中、均改變，我們可按照問(wèn)題的性質(zhì)，適當(dāng)?shù)剡x取較方便的來(lái)應(yīng)用。 多方過(guò)程 我們可用常量（為一常量，稱(chēng)多方指數(shù)）來(lái)表示氣體發(fā)生狀態(tài)變化的實(shí)際過(guò)程，時(shí)為等溫過(guò)程；時(shí)為絕熱過(guò)程；時(shí)為等壓過(guò)程；當(dāng)時(shí)為等容過(guò)程。凡可滿(mǎn)足常量關(guān)系的過(guò)程均稱(chēng)為多方過(guò)程。通常的氣體變化過(guò)程均為多方過(guò)程，而等值過(guò)程只是多方過(guò)程的特例。在多方過(guò)程中氣體從狀態(tài)、進(jìn)入狀態(tài)、，所做的功為。氣體內(nèi)能的增量為，由熱力學(xué)第一定律知；若以表示多方過(guò)程的摩爾比熱容，則有，由上兩式并注意到，可得。2、熱力學(xué)第二定律 循環(huán)過(guò)程 若一系統(tǒng)由某一狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過(guò)任意的一系列的過(guò)程，最后又回到原來(lái)的狀態(tài)，這樣的過(guò)程稱(chēng)為循

4、環(huán)過(guò)程。循環(huán)過(guò)程中系統(tǒng)對(duì)外所做的功 如圖所示為某一系統(tǒng)的準(zhǔn)靜態(tài)循環(huán)過(guò)程。在膨脹過(guò)程段，系統(tǒng)對(duì)外所做的功（）是正的，其數(shù)值與面積相等；在壓縮過(guò)程段，系統(tǒng)對(duì)外做功（）為負(fù)，其數(shù)值與面積相等。在一循環(huán)中系統(tǒng)對(duì)外所做的功就是這兩段功的代數(shù)和（上述兩個(gè)“面積”的差），即面積面積面積。可見(jiàn)，在一循環(huán)中系統(tǒng)對(duì)外所做的功，數(shù)值上等于圖所示圖中閉合曲線的“面積”。 若循環(huán)沿順時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行，這個(gè)功是正的，相應(yīng)的循環(huán)稱(chēng)為正循環(huán)；若循環(huán)沿逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行，一個(gè)循環(huán)中系統(tǒng)對(duì)外所做的功為負(fù)，數(shù)值仍等于閉合曲線所包圍的面積，相應(yīng)的循環(huán)稱(chēng)為負(fù)循環(huán)。 設(shè)表示在狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)的內(nèi)能，表示在狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)的內(nèi)能，并設(shè)在膨脹過(guò)程中吸收了的熱量

5、，由熱力學(xué)第一定律可知：；同理，設(shè)在段壓縮過(guò)程，系統(tǒng)放出了熱量，由熱力學(xué)第一定律可知：，可知。此式表示，一循環(huán)中系統(tǒng)對(duì)外所做的功，等于一循環(huán)中系統(tǒng)吸收的凈熱量即吸收熱量與放出熱量的差。 熱機(jī)及其效率 設(shè)一系統(tǒng)做正循環(huán)，那么，系統(tǒng)在膨脹階段所吸收的熱量大于在壓縮階段放出熱量，其差值轉(zhuǎn)變?yōu)橐谎h(huán)中系統(tǒng)對(duì)外所做的功，能完成這種轉(zhuǎn)變的機(jī)械稱(chēng)為熱機(jī)，熱機(jī)的物理本質(zhì)就是系統(tǒng)做正循環(huán)。熱機(jī)的主要部分是：一個(gè)高溫?zé)嵩矗òl(fā)熱器），用來(lái)供給的熱量；一個(gè)低溫?zé)嵩矗ɡ鋮s器），用來(lái)吸取的熱量；一種工作物質(zhì)（如水、空氣或水蒸氣等），以及盛工作物質(zhì)的氣缸、活塞等。 對(duì)于熱機(jī)，最重要的問(wèn)題在于由高溫?zé)嵩次〉臒崃恐校烤褂卸?/p>

6、少可以轉(zhuǎn)變?yōu)楣?，至于低溫?zé)嵩此盏臒崃康亩嗌?，并不重要。因此定義了熱機(jī)的效率為：一循環(huán)中系統(tǒng)對(duì)外所做的功與由高溫?zé)嵩次〉臒崃康谋戎?，。熱機(jī)效率的大小，由循環(huán)的具體結(jié)構(gòu)、性質(zhì)而定。 制冷機(jī)及其效率 設(shè)一系統(tǒng)做負(fù)循環(huán)，則為負(fù)，為正，且，為負(fù)，即一循環(huán)中系統(tǒng)對(duì)外做了的負(fù)功；又系統(tǒng)從低溫?zé)嵩次樟溯^少的熱量，而在高溫?zé)嵩捶懦隽溯^多的熱量，因而一循環(huán)中放出的凈熱量為。所以系統(tǒng)在一負(fù)循環(huán)中，外界對(duì)系統(tǒng)做了功的結(jié)果為：系統(tǒng)在低溫?zé)嵩次霟崃窟B同轉(zhuǎn)變而成的熱量，一并成為的熱量放入高溫?zé)嵩矗Y(jié)果將熱量由低溫?zé)嵩摧斔偷礁邷責(zé)嵩?，這就是制冷機(jī)（也叫熱泵）的原理。對(duì)制冷機(jī)，要關(guān)心的問(wèn)題是：一循環(huán)中系統(tǒng)做了功后，有

7、多少熱量由低溫?zé)嵩摧斔偷礁邷責(zé)嵩慈チ耍虼税讯x為制冷機(jī)的制冷系數(shù)。有時(shí)也把叫做制冷機(jī)的效率，可以看出，制冷機(jī)的效率越高，制冷系數(shù)越小，經(jīng)濟(jì)效能越低。在技術(shù)上使用熱機(jī)的種類(lèi)很多，有蒸汽機(jī)、內(nèi)燃機(jī)和制冷機(jī)等，圖分別表示蒸汽機(jī)和制冷機(jī)的工作過(guò)程框圖。 卡諾循環(huán) 為方便研究熱機(jī)效率問(wèn)題，世紀(jì)年代，法國(guó)工程師卡諾設(shè)計(jì)了一個(gè)理想循環(huán)，即只在兩個(gè)有恒定溫度的高、低溫?zé)嵩次?、放熱，此即卡諾循環(huán)，按此種方式工作的熱機(jī)稱(chēng)為卡諾機(jī)。圖給出了卡諾機(jī)模型?？ㄖZ機(jī)中的工作物質(zhì)是理想氣體，被一個(gè)絕熱活塞封閉在氣缸中，缸的四壁是完全絕熱和光滑的，缸底則是理想導(dǎo)熱的；絕熱臺(tái)；一個(gè)溫度為的高溫?zé)嵩矗灰粋€(gè)溫度為的低溫?zé)嵩?，兩個(gè)熱

8、源的熱容量極大，溫度幾乎不變。 卡諾循環(huán)的過(guò)程可用圖狀態(tài)圖線表示，氣體從初始狀態(tài)（，）開(kāi)始，沿箭頭方向經(jīng)歷下列過(guò)程： ：將氣缸移到高溫?zé)嵩瓷?，讓它緩慢地做等溫膨脹，體積由膨脹到，在等溫過(guò)程中，溫度恒為，共吸收熱量，過(guò)程沿等溫線進(jìn)行； ：將氣缸移到絕熱臺(tái)上，讓它做絕熱膨脹，氣體溫度逐漸下降，到達(dá)狀態(tài)時(shí)，溫度已降為，體積膨脹到，過(guò)程沿絕熱線進(jìn)行； ：將氣缸移到低溫?zé)嵩瓷希瑢怏w壓縮，溫度保持在，壓縮中不斷放出熱量，一直壓縮到狀態(tài)，共放出熱量，狀態(tài)的體積為，它是過(guò)點(diǎn)的等溫線和過(guò)點(diǎn)的絕熱線的交點(diǎn)，過(guò)程沿等溫線進(jìn)行； ：將氣缸移到絕熱臺(tái)，經(jīng)過(guò)絕熱壓縮，氣體溫度逐漸升高，直到返回原來(lái)狀態(tài)，過(guò)程沿絕熱線進(jìn)行

9、。 這樣完成了一個(gè)卡諾循環(huán)過(guò)程，它是由兩個(gè)等溫過(guò)程、和兩個(gè)絕熱過(guò)程、組成。 卡諾循環(huán)中的能量轉(zhuǎn)化過(guò)程可用圖表示。 卡諾循環(huán)的效率 為使對(duì)卡諾循環(huán)的討論具有確切的意義，上面四個(gè)過(guò)程都必須是準(zhǔn) 靜態(tài)過(guò)程，一卡諾循環(huán)的結(jié)果是：工作物質(zhì)恢復(fù)到原來(lái)狀態(tài)，高溫?zé)嵩词チ说臒?量，表示等溫膨脹過(guò)程中系統(tǒng)對(duì)外所做的功；低溫?zé)嵩传@得了的熱量，是等溫壓縮過(guò)程中系統(tǒng)對(duì)外所做的功，一循環(huán)中系統(tǒng)對(duì)外所做的總功為：，其數(shù)值等于閉合曲線所包圍的面積，是正值。根據(jù)熱機(jī)效率的定義，卡諾循環(huán)的效率為在過(guò)程中吸收的熱量為，在過(guò)程中放出的熱量為。又、為絕熱過(guò)程，有常量，即，有，所以，。因此卡諾循環(huán)的效率為。同時(shí)也可推導(dǎo)出，即。 從結(jié)

10、果可看出，卡諾循環(huán)的效率只由兩個(gè)熱源的溫度而定，越高，越低，效率越高。 熱力學(xué)第二定律 熱力學(xué)第二定律的克勞修斯表述：在低溫?zé)嵩次崃?，把它全部放人高溫?zé)嵩矗灰鹌渌兓遣豢赡艿?。這是從熱傳導(dǎo)的方向性來(lái)表述的，也就是說(shuō)，熱傳導(dǎo)只能是從高溫?zé)嵩聪虻蜏責(zé)嵩捶较蜻M(jìn)行的。 熱力學(xué)第二定律的開(kāi)爾文表述：從單一熱源吸取熱量，把它完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣Χ灰鹌渌兓遣豢赡艿摹＿@是從機(jī)械能與內(nèi)能轉(zhuǎn)化過(guò)程的方向來(lái)表述的，也就是說(shuō)，當(dāng)將內(nèi)能轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)械能時(shí)，若不輔以其他手段是不可能的。 上述兩種表述是完全等效的，若承認(rèn)其中一種表述，可以推出另一種表述。熱力學(xué)第二定律也使人們認(rèn)識(shí)到，自然界中進(jìn)行的涉及熱現(xiàn)象的宏觀過(guò)

11、程都具有方向。 熱力學(xué)第二定律與熱力學(xué)第一定律相比，后者表明能量在轉(zhuǎn)換中所遵從的數(shù)量守恒關(guān)系，指出第一類(lèi)永動(dòng)機(jī)是不可能造成的；而前者則指明了能量轉(zhuǎn)換過(guò)程進(jìn)行的方向，指出了第二類(lèi)永動(dòng)機(jī)是不能制成的。二者是不抵觸的，也不互相包容，是兩條獨(dú)立的定律。 熱力學(xué)第二定律的適用對(duì)象是與周?chē)h(huán)境沒(méi)有任何相互作用的、大量粒子組成的孤立系統(tǒng)，研究孤立系統(tǒng)中大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總體所反映出采的物理性質(zhì)及各種宏觀物理過(guò)程。 3、可逆過(guò)程與不可逆過(guò)程 可逆過(guò)程與不可逆過(guò)程 如圖所示，若一系統(tǒng)的狀態(tài)由起，經(jīng)、等到達(dá)狀態(tài)，就說(shuō)系統(tǒng)經(jīng)歷了過(guò)程。若系統(tǒng)能沿相反方向、經(jīng)相反次序，由起，經(jīng)、而返回狀態(tài)，且返回后，四周物質(zhì)并無(wú)任

12、何變化（如做多少功，吸放多少熱等）就說(shuō)過(guò)程（或）是一個(gè)可逆過(guò)程。凡不滿(mǎn)足上述要求的過(guò)程，稱(chēng)為不可逆過(guò)程。 如設(shè)圖的氣缸中有一定量的理想氣體，把它放在溫度為的熱源上。設(shè)活塞是光滑的，在它的上面放有很多個(gè)質(zhì)量極小的砝碼，由于它們的重力，使氣體受到一定的壓力。若將這些小砝碼一個(gè)一個(gè)地依次橫移到一系列與砝碼等高的平臺(tái)上，則氣體將逐漸膨脹，一點(diǎn)一點(diǎn)地從熱源吸收熱量，轉(zhuǎn)變?yōu)榈挚鬼来a重力所做的功，這些功又轉(zhuǎn)變?yōu)楦黜来a的重力勢(shì)能。這個(gè)過(guò)程一直進(jìn)行到活塞達(dá)到一定的位置，這就是一個(gè)等溫膨脹過(guò)程。然后將平臺(tái)上的砝碼一個(gè)一個(gè)橫移回到活塞上，氣體將逐漸地壓縮，砝碼的重力勢(shì)能減少，轉(zhuǎn)變?yōu)閴嚎s氣體所做的功，這些功又轉(zhuǎn)變?yōu)闊?/p>

13、量，一點(diǎn)一點(diǎn)地傳回到熱源中去，砝碼全部放回，活塞回到了原位，這樣就說(shuō)明了無(wú)摩擦的等溫膨脹過(guò)程是一個(gè)可逆過(guò)程?？梢哉f(shuō)，無(wú)摩擦的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程都是可逆的，嚴(yán)格地說(shuō)，只有可逆過(guò)程才能畫(huà)在圖上。 如膨脹過(guò)程是迅速的，氣缸中的氣體上疏下密，但反向進(jìn)行，即迅速壓縮時(shí)上密下疏，過(guò)程就不能沿相同狀態(tài)依相反次序進(jìn)行，所以是不可逆的，這種過(guò)程由非平衡態(tài)組成，是不平衡地進(jìn)行的?？梢哉f(shuō)，一切不平衡地進(jìn)行的過(guò)程都是不可逆的。 一切實(shí)際過(guò)程都是不可逆的，可逆過(guò)程只是為了簡(jiǎn)化問(wèn)題設(shè)想的理想情況。 對(duì)于循環(huán)過(guò)程，如果循環(huán)過(guò)程中的每一步都是可逆的，則循環(huán)過(guò)程稱(chēng)為可逆循環(huán)。如果循環(huán)過(guò)程中有一步是不可逆的，便是不可逆循環(huán)。 從可逆與不

14、可逆過(guò)程的角度來(lái)說(shuō)，熱力學(xué)第二定律的開(kāi)爾文表述說(shuō)明功變熱是一個(gè)不可逆的過(guò)程；克勞修斯表述說(shuō)明熱傳導(dǎo)也是一個(gè)不可逆過(guò)程。 熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計(jì)意義 對(duì)大數(shù)事件，如在次實(shí)驗(yàn)中，某一事件出現(xiàn)的次數(shù)設(shè)為，則該事件的幾率可定義為。幾率只能近似地預(yù)言實(shí)驗(yàn)結(jié)果，不能十分精確地和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。為了更好地理解熱力學(xué)現(xiàn)象中的幾率問(wèn)題，下面以氣體在真空中的膨脹來(lái)說(shuō)明。 如圖所示，設(shè)一隔板將容器分成體積相等的、兩部分，最初部分中有個(gè)分子，設(shè)為、；部分真空。抽去隔板后，有的分子就可能進(jìn)入中，從宏觀角度說(shuō)，就是氣體膨脹進(jìn)入真空。由于分子運(yùn)動(dòng)的雜亂性，某一時(shí)刻可能、中各有個(gè)分子；也有可能中有個(gè)，中有個(gè)；也可能中個(gè)，中有個(gè)分

15、子；也有可能四個(gè)分子同時(shí)回到了中，如果這時(shí)把隔板加上，系統(tǒng)就回到了原來(lái)的狀態(tài)了，此時(shí)外界也沒(méi)有發(fā)生什么變化，所以對(duì)個(gè)分子來(lái)說(shuō)，氣體在真空中的膨脹現(xiàn)象是可逆的。那么這個(gè)分子同時(shí)回到部分的幾率是多大呢？即這種可逆過(guò)程的存在幾率有多大呢？不難理解應(yīng)為。那么當(dāng)中氣體的分子個(gè)數(shù)很多時(shí)（事實(shí)也往往如此），設(shè)為個(gè)，那么如上所述的幾率應(yīng)為。若以個(gè)計(jì)的話，可見(jiàn)其幾率是非常小的，小到了已沒(méi)有實(shí)際意義。即事實(shí)上，這種可逆過(guò)程的存在的幾率是極小的，所以該過(guò)程實(shí)為一不可逆過(guò)程。 又如摩擦生熱現(xiàn)象，根據(jù)熱力學(xué)第二定律，也是不可逆的，從統(tǒng)計(jì)的角度來(lái)看，就是要將摩擦所產(chǎn)生的熱全部自動(dòng)收集起來(lái)，全部轉(zhuǎn)化為機(jī)械功，這種自發(fā)現(xiàn)象的

16、存在幾率也是極小的，因此是一不可逆過(guò)程。二、熱力學(xué)典型問(wèn)題例析【例1】定容摩爾熱容量為常量的某理想氣體，經(jīng)歷如圖所示的平面上的兩個(gè)循環(huán)過(guò)程和，相應(yīng)的效率分別為和，試比較和的大小。【分析與解】循環(huán)過(guò)程的效率為，其中是氣體經(jīng)循環(huán)過(guò)程對(duì)外所做的功，為氣體從外界吸收的熱量。本題與兩個(gè)循環(huán)過(guò)程的功，可從圖中的直角三角形面積所得。在循環(huán)過(guò)程中，階段氣體對(duì)外做功，內(nèi)能增大，吸收熱量；為等容降壓過(guò)程，溫度降低，放出的熱量為（為氣體的摩爾數(shù)）；為等壓過(guò)程，溫度降低，放出的熱量為。因此循環(huán)過(guò)程中的吸熱量就是過(guò)程的吸熱量。循環(huán)過(guò)程的情形也類(lèi)似。先計(jì)算循環(huán)過(guò)程效率，設(shè)氣體的摩爾數(shù)為。循環(huán)過(guò)程對(duì)外所做的功即為圖中三角形

17、的面積，為。式中和分別是理想氣體在狀態(tài)和時(shí)的壓強(qiáng)。 又過(guò)程是通過(guò)原點(diǎn)的直線，過(guò)程的方程可寫(xiě)為。因此，代入表達(dá)式，得。又直線過(guò)程是多方過(guò)程，指數(shù)為，過(guò)程方程式為常數(shù)，此多方過(guò)程的摩爾熱容量為，式中是氣體的絕熱指數(shù)。設(shè)和狀態(tài)的溫度分別為和，則有；，相減得，所以循環(huán)過(guò)程中所吸收的熱量為?？芍?，循環(huán)過(guò)程的效率為；同理，循環(huán)過(guò)程的效率為。 以上兩式表明，兩循環(huán)過(guò)程的效率與直線或的斜率大小無(wú)關(guān)，而只與及、有關(guān)，其中也與直線的斜率無(wú)關(guān)，因此只要相應(yīng)的和相同，效率就相同，所以，兩循環(huán)過(guò)程的效率相同，即。【例2】在兩端開(kāi)口的豎直形管中注入水銀，水銀柱的全長(zhǎng)為。將一邊管中的水銀下壓，靜止后撒去所加壓力，水銀便會(huì)振

18、蕩起來(lái)，其振動(dòng)周期為；若把管的右端封閉，被封閉的空氣柱長(zhǎng)，然后使水銀柱做微小的振蕩，設(shè)空氣為理想氣體，且認(rèn)為水銀振蕩時(shí)右管內(nèi)封閉氣體經(jīng)歷的是準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程，大氣壓強(qiáng)相當(dāng)水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)?？諝獾慕^熱指數(shù)為。試求水銀振動(dòng)的周期；求出與、的關(guān)系式?！痉治雠c解】右端封閉后，隨著水銀柱的振蕩，被封閉的空氣經(jīng)歷絕熱膨脹或絕熱壓縮過(guò)程；封閉端的空氣與外界空氣對(duì)水銀柱壓力差提供水銀柱做微小振動(dòng)的回復(fù)力，本題關(guān)注回復(fù)力的構(gòu)成及所循規(guī)律。 如圖所示，、分別表示水銀柱處于平衡位置、達(dá)到振幅位置時(shí)和有一任意小位移時(shí)的三個(gè)狀態(tài)。建立如圖坐標(biāo)，設(shè)水銀柱位移為時(shí)，封閉氣體的壓強(qiáng)為，形管橫截面積為，水銀柱總質(zhì)量為，水銀密度為

19、。對(duì)被封閉氣體的、狀態(tài)由泊松方程可知，其中 ，得 。由于，上式可近似為。對(duì)狀態(tài)，研究水銀柱受到的回復(fù)力，回復(fù)力即由高度差為的水銀柱的重力、內(nèi)外氣體壓力的合力提供，以位移方向?yàn)檎礊榱?得 ?？芍y柱的微小振蕩為一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其周期為。由上述和，得，故 ?！纠?】一熱機(jī)工作于兩個(gè)相同材料的物體和之間，兩物體的溫度分別為和（），每個(gè)物體的質(zhì)量為、比熱容恒定，均為。設(shè)兩個(gè)物體的壓強(qiáng)保持不變，且不發(fā)生相變。 假定熱機(jī)能從系統(tǒng)獲得理論上允許的最大機(jī)械能，求出兩物體和最終達(dá)到的溫度的表達(dá)式，給出解題的全部過(guò)程。 由此得出允許獲得的最大功的表達(dá)式。 假定熱機(jī)工作于兩箱水之間，每箱水的體積為，一箱水的溫度為

20、，另一箱水的溫度為。計(jì)算可獲得的最大機(jī)械能。 已知水的比熱容，水的密度?！痉治雠c解】為獲得最大的機(jī)械能，可設(shè)熱機(jī)工作的全過(guò)程由（）個(gè)元卡諾循環(huán)組成，第次卡諾循環(huán)中，卡諾熱機(jī)從高溫?zé)嵩矗囟仍O(shè)為）處吸收的熱量為，后，溫度降為；在低溫?zé)嵩矗囟仍O(shè)為）處放出的熱量為后，溫度升高為滿(mǎn)足。又 ，可知 ，令，（，為常數(shù)）有 ，即 ；，得 ，所以 。由卡諾熱機(jī)的循環(huán)過(guò)程可知：。根據(jù)題意代入數(shù)據(jù)即可得：?！纠?】已知（）的某理想氣體在時(shí)的定容熱容，在時(shí)的定容熱容，其中、均為大于的常量，該氣體經(jīng)歷的循環(huán)過(guò)程是如圖所示的矩形。試求狀態(tài)的溫度，并畫(huà)出循環(huán)過(guò)程中系統(tǒng)內(nèi)能隨溫度丁變化的圖線；試計(jì)算循環(huán)過(guò)程的效率?！痉治?/p>

21、與解】本題中理想氣體所經(jīng)歷的循環(huán)過(guò)程曲線呈矩形，其中：為等容升壓；為等壓膨脹；為等容降壓；為等壓壓縮。設(shè)狀態(tài)參量為、；狀態(tài)參量為、；狀態(tài)參量為、；狀態(tài)參量為、。由理想氣體狀態(tài)方程，可知，得 。 由此也可知，在過(guò)程中存在狀態(tài)，該狀態(tài)時(shí)的溫度為。本題中理想氣體內(nèi)能為，狀態(tài)內(nèi)能；其他狀態(tài)內(nèi)能依次為，又在、（溫度均為）狀態(tài)時(shí)，定容熱容量發(fā)生了突變，這意味著該理想氣體分子的某一運(yùn)動(dòng)自由度剛好在時(shí)被激發(fā)，因此，系統(tǒng)在狀態(tài)時(shí)會(huì)出現(xiàn)不升溫的吸熱，內(nèi)能變?yōu)?；在狀態(tài)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)不降溫的放熱，內(nèi)能變?yōu)?。所以和的關(guān)系應(yīng)完整地表達(dá)為循環(huán)過(guò)程中系統(tǒng)內(nèi)能隨溫度變化的圖線如圖所示。 注意，圖線中從狀態(tài)到狀態(tài)的等容過(guò)程并不經(jīng)過(guò)狀

22、態(tài)，從態(tài)到態(tài)的等壓過(guò)程并不經(jīng)過(guò)狀態(tài)，同樣從態(tài)到態(tài)的等容過(guò)程中不經(jīng)過(guò)態(tài)，但經(jīng)過(guò)狀態(tài)。又、狀態(tài)因?yàn)闇囟认嗤?，所以?xún)?nèi)能也相同，圖中用同一點(diǎn)表示，另外、狀態(tài)的溫度剛好是定容熱容量發(fā)生突變的溫度，出現(xiàn) 了不升溫的吸熱或放熱，導(dǎo)致內(nèi)能變化，所以，兩者在圖中是一段等溫線。同樣狀態(tài)也不是過(guò)程中的狀態(tài)，但與過(guò)程中某狀態(tài)具有相同的內(nèi)能和溫度。一個(gè)循環(huán)過(guò)程中，氣體對(duì)外所做功的大小為圖中矩形面積，即為。又 ，所以有 。循環(huán)過(guò)程中屬吸熱過(guò)程的是、和在狀態(tài)時(shí)因定容熱容量發(fā)生突變而造成的吸熱，吸收的熱量分別為、：；。則一循環(huán)中吸收的總熱量為；，所以循環(huán)過(guò)程的效率為。1、理想氣體做絕熱膨脹，由初狀態(tài)（，）至末狀態(tài)（，），試證

23、明在此過(guò)程中氣體所做的功為。2、為了測(cè)定氣體的（），有時(shí)用下列方法：一定量的氣體的初始溫度、壓強(qiáng)和體積分別為、。用一根通有電流的鉑絲對(duì)它加熱。設(shè)兩次加熱的電流和時(shí)間都相同。第一次保持氣體體積不變，溫度和壓強(qiáng)各變?yōu)楹停旱诙伪３謮簭?qiáng)不變，而溫度和體積各變?yōu)楹?。試證明。3、設(shè)有一以理想氣體為工作物質(zhì)的熱機(jī)循環(huán)，如圖所示，試證明其效率為。4、理想氣體在之間完成一卡諾循環(huán)。在等溫線上，起始體積為，最后體積為，計(jì)算氣體在此過(guò)程中所做的功，以及從高溫?zé)嵩次盏臒崃亢蛡鹘o低溫?zé)嵩吹臒崃俊?、如圖所示為單原于理想氣體的兩個(gè)封閉熱循環(huán)：和，比較這兩個(gè)熱循環(huán)過(guò)程的效率哪個(gè)高？高多少倍？6、用（）的理想氣體作為熱機(jī)

24、的工作物質(zhì)，隨著熱機(jī)做功，氣體的狀態(tài)變化，完成一個(gè)循環(huán)，如圖所示，過(guò)程和在圖象中是直線段，而過(guò)程可表達(dá)為，式中是一個(gè)未知常量，是圖示坐標(biāo)軸上標(biāo)出的給定絕對(duì)溫度。求氣體在一個(gè)循環(huán)中做的功。7、兩個(gè)相同的絕熱容器用帶有活栓的絕熱細(xì)管相連，開(kāi)始時(shí)活栓是關(guān)閉的，如圖，容器里在質(zhì)量為的活塞下方有溫度、摩爾質(zhì)量的單原子理想氣體：容器里質(zhì)量為的活塞位于容器底且沒(méi)有氣體。每個(gè)容器里活塞與上頂之間是抽成真空的。當(dāng)打開(kāi)活栓時(shí)容器里的氣體沖向容器活塞下方，于是此活塞開(kāi)始上升（平衡時(shí)未及上頂），不計(jì)摩擦，計(jì)算當(dāng)活栓打開(kāi)且建立平衡后氣體的溫度，取。8、一反復(fù)循環(huán)運(yùn)轉(zhuǎn)的裝置在水流速度為的海洋上將大海的熱能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能?？紤]深度的海水最上層的溫度，而與水面相鄰的空氣溫度為。裝置在垂直于水流方向上的寬度為。估計(jì)該裝置所能提供的最大功率，已知水的比熱容為，水的密度。9、在大氣壓下用電流加熱一個(gè)絕熱