用因式分解法求解一元二次方程備課素材

1、第二章一元二次方程4用因式分解法求解一元二次方程廠 素材一新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)情景導(dǎo)入置疑導(dǎo)入歸納導(dǎo)入場(chǎng)復(fù)習(xí)導(dǎo)入類比導(dǎo)入懸念激趣之情景導(dǎo)入在新城區(qū)規(guī)劃建設(shè)過程屮，測(cè)量土地時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一塊正方形土地和一塊長 方形土地，長方形土地的寬和正方形土地的邊長相等，長方形土地的長為80加，測(cè)人員：“正 方形土地面積是長方形土地面積的一半.”你能幫助工作人員計(jì)算一下正方形土地的面積 嗎？分析如果設(shè)正方形土地的邊長為x/,根據(jù)題意得2x2=80x,在解此方程時(shí)，我們可以 通過直接開平方法、配方法和公式法來解決，那么，一元二次方程除了上述解法外，還有其 他解法嗎？今天，我們進(jìn)一步探討一元二次方程的解法.(板書課題：4用因

2、式分解法求解 一元二次方程)說明與建議說明：回顧已學(xué)一元二次方程的解法，此方程會(huì)有多種不同的解法，在此 基礎(chǔ)之上加以引導(dǎo)，來探求更簡(jiǎn)便的解法，自然而然地就引入了本節(jié)課的課題.建議：利用 具體問題列出一元二次方程后，教師可以讓學(xué)生去思考怎樣解答，必要時(shí)可以讓學(xué)生思考教 材第46頁議一議提出的問題，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生的思維.要強(qiáng)調(diào)兩邊同時(shí)除以x的不合理性.復(fù)習(xí)導(dǎo)入 到現(xiàn)在為止，我們學(xué)習(xí)了解一元二次方程的三種方法：直接開平方法、配 方法、公式法.下而同學(xué)們來做一道練習(xí)題，用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)/4=0； (2用 3x+l=0； (3)(x+1)225=0.思考通過做題我們發(fā)現(xiàn)不同特點(diǎn)的方程選用不同

3、的解法繁雜程度不同，因此我們?cè)诮?方程的時(shí)候要合理的選擇方法，方法的多樣性也為我們解方程提供了更多的選擇，比如下面 的方程就有之前所學(xué)方程不具備的特點(diǎn)，你能根據(jù)己學(xué)知識(shí)用最簡(jiǎn)便的方法解嗎？(l) x(x14)=0； (2)(x l)(x3)=0； (3)(4x l)(5x+7)=0.說明與建議說明：學(xué)生已經(jīng)掌握了三種解一元二次方程的方法，通過以上題目解法的 選擇，既能鞏固一元二次方程的解法步驟，又能考查學(xué)生解題選擇的靈活性，鼓勵(lì)學(xué)生說岀 自己的不同解法，并進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)方法選擇的重要性.同時(shí)，讓學(xué)生感受因式分解法解一 元二次方程所要達(dá)到的形式，自然地引入到新課的探究中.建議：在練習(xí)中讓學(xué)生求解

4、方程 后說明自己選擇對(duì)應(yīng)方法的理由，而分解因式的引入中要著重分析、強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生 說出答案及依據(jù).讓學(xué)生感受“若a-b=0,則a=0或b=0”實(shí)際是對(duì)方程進(jìn)行“降次”， 從而達(dá)到求解的目的.|素材二 教材母題挖掘u教材母題第47頁例題解下列方程:(1)5x2=4x；(2)x(x_2)=x_2.【模型建立】因式分解法解一元二次方程，就是利用因式分解將一元二次方程的一般形式中等號(hào)左側(cè) 的多項(xiàng)式分解成因式乘積的形式，進(jìn)而得到各因式分別為0,最終達(dá)到降次的目的，即變2 次為1次.【變式變形】1 永州中茍 方程x2 2x=0的解是x丄=0, x?=2_2. 河南中考方程(x2)(x + 3)=0的

5、解是(d)a. x = 2 b. x=3c. x = 2, x2=3 d. x=2, x2= 33. 方程(x+4)(x-5)= 1 的根為(d)a. x=4b. x = 5c. x = 4, x2=5d.以上結(jié)論都不對(duì)4. 實(shí)數(shù) a, b 滿足(a+b)2+a+b-2=0,貝0(a+b)2 的值為(d)a. 4 b. 1 c. -2 或 1 d 4 或 15. 解下列一元二次方程：(l) x(2x-3) = (3x+2)(2x-3)；(2)(x-l)2-2(x2-1)=0；(3) 2(t-l)2+t=l.3 1答案：(1)x1 = 1, x2=2 (2)x1 = 3, x2=l (3)t!

6、= 2» 上2=1m素材三考情考向分析命題角度1利用因式分解法求解一元二次方程因式分解法解一元二次方程，其原理就是利用因式分解將一元二次方程中的2次降為1 次，其結(jié)果的形式是兩個(gè)因式的積等于0.例如本課素材二教材母題挖掘，注意變式變形第3 題和第5(1)題這兩類易錯(cuò)題.命題角度2給岀兩根，列方程這類題目一般開放性較強(qiáng)，解題思路：利用因式分解(x+a)(x+b) = 0,得x】 = a和x? =-b是方程的解.例 請(qǐng)寫出一個(gè)根為x=l,另一個(gè)根滿足一1<xv1的一元二次方程:_答案不唯一， 女口 x?x=0.命題角度3用合適的方法解一元二次方程解一元二次方程的方法主要有直接開平方

7、法、配方法、公式法和因式分解法，其中直接 開平方法和因式分解法較為簡(jiǎn)便，但是不適用于所有方程，配方法和公式法可適用于所有方 程，所以解方程時(shí)優(yōu)先考慮直接開平方法和因式分解法，再考慮配方法和公式法.例選擇合適的方法解下列方程：(1) x2 + 3x=0；(2)5x2-4x-1 =0；(3)x2 + 2x3=0.答案：(l)xi=0, x2=3 (2)xi = i，x2=l (3)x| = 3, x2=l|素材四教材習(xí)題答案p47隨堂練習(xí)1. 用因式分解法解下列方程：(1) (x+2)(x-4)=0；(2) 4x(2x+l)=3(2x+l).解：(1)兀+2=0,或兀一4=0.= 2,兀2=4.(

8、2) 原方程可變形為4 兀(2丫+1)3(2兀+1) = 0,(2x+1)(4%-3)=0.2%+1=0,或 4%3=0.一_丄一3.兀| 2，兀2©2. 一個(gè)數(shù)平方的2倍等于這個(gè)數(shù)的7倍，求這個(gè)數(shù). 解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x,根據(jù)題意，得2x2 = 7x, 解得尤1=0,兀2=#答：這個(gè)數(shù)為0或弓.p47習(xí)題2.71. 用因式分解法解下列方程：(1) (4x-l)(5x+7)=0；(2) 3 兀(x1)=2一2%；(3) (2兀+3)2=4(2兀+3)；(4) 2(x-3)2=x2-9.解：(1)4兀一 1=0,或 5兀+7=0. 一丄 _z4，x25-(2) 原方程可變形為3x(x1)

9、+ 2(x1)=(),(x 1 )(3 兀+2)=0.%1=0,或 3兀+2=0. 2.兀=1, 兀2=亍(3) 原方程可變形為(2r+3)24(2x+3)=0,(2x+3)(2x1)=0.2x+3=0,或 2x1=0.3-2?(4) 原方程可變形為2(兀一3)2(兀+3)(兀一3)=0,(兀一3)2(兀一3)(x+3)=0,(x-3)(x-9)=0.兀一3=0,或 x-9=0. x = 31 兀2=9.2. 解下列方程：(1 )5(兀$ 兀)=3(* +兀)；(2) (x-2)2=(2x+3)2；(3) (x-2)(x-3)=12；2x+6 = (兀+3幾(5) 2)2+4)=y+2.解：原

10、方程可變形為2?弘=0, 2x(兀 _ 4)=0.2x=0,或 x4=0.*»x =0,也=4.(2) 原方程可變形為 (x-2)2-(xv+3)2=0, (3x+l)(-x-5)=0.3卄 1=0,或一兀一5=0.兀=也=5.(3) 原方程可變形為x2-5x-6=0, (x-6)(x+l)=0.x6=0,或 x+l=0./% = 1 9 兀2 = 6.原方程可變形為(x+3)2-2(x+3) = 0, (兀+3)(兀+1)=0.兀+3=0,或x+1 =0. 兀1 = 3 9 兀2= 1 (5) 原方程可變形為2)，()，+2)(y+2)=0, (y+2)(2y1)=0.y+2=0,

11、或 2y-l=0.yi = 2, )j2=2-3. 公園原有一塊正方形空地，后來從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花（如圖），原空地 一邊減少了 lm,另一邊減少了 2 m,剩余空地面積為12 m2,求原正方形空地的邊長.<2>1211f解：設(shè)原正方形空地的邊長為xm,根據(jù)題意，得（x1）（兀一2）= 12.解得兀1=5,兀2=2（舍去）.所以原正方形空地的邊長為5 m.素材五圖書增值練習(xí)專題一分解因式法解一元二次方程1. 三角形兩邊長分別為3和6,第三邊是方程6x+8=0的解，則這個(gè)三角形的周 長是（）a. 11b13c. 11 或 13d.不能確定2. 求證：如果一個(gè)一元二次方程的

12、一次項(xiàng)系數(shù)等于二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之和，則此 方程必有一根是一1.3. 閱讀題例，解答下題：例解方程?-|x- 1| - 1=0.解：（1）當(dāng) x - 1 0,即兀21 時(shí)¥ -（兀-1） - 1=0,x2 - x=0; （2）當(dāng) x - 1 <0,即 x< 時(shí)¥+ （x - 1） - l=0,x2+x - 2=0;解得：x1 =0 （不合題設(shè)，舍去），x2=l.解得xl1 （不合題設(shè)，舍去）戀二2.綜上所述，原方程的解是尸1或x=-2.依照上例解法，解方程?+2|x+2| - 4=0.4.探究下表小的奧秘，并完成填空:一元二次方程兩個(gè)根二次三項(xiàng)式因式分解x2 2

13、x+l=0x=l, x2=lx2 - 2x+l= (x - 1) (x - 1)x2- 3x+2=0x=l x2=2x2 - 3x+2= (x- 1) (x-2)3x2+x - 2=0x| , x?= - 1 3 一3x2+x - 2=3 (x - ) (x+1)32x2+5x+2=0xj=-丄，x?= _ 22912x"+5x+2=2 (x+) (x+2)274x+13x+3=0xl=， x2=4x2+13x+3=4 (x+)(x+)將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一般化，并寫岀來.專題二換元法解方程5.小明用下面的方法求出方程2低-3 = 0的解，請(qǐng)你仿照他的方法求出下面另外兩個(gè)方程的解，并把你的

14、解答過程填寫在下面的表格屮.方程換元法得新方程解新方程檢驗(yàn)求原方程的解2 長 _3 = 0令 a/x =6則 23 = 03 t = -2t = ->0229所以x = -4x+2>/x - 3 = 0x+/兀-2 -4 = 0-6=0,求 a2+b2 的值.【知識(shí)要點(diǎn)】1. 會(huì)用分解因式(提公因式法、公式法)解某些簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。2. 能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法。體會(huì)解決問題方法的 多樣性。3. 體會(huì)用因式分解實(shí)行降次化歸的思想方法.【溫馨提示】一元二次方程的常見解法有四種：直接開平方法，配方法，公式法，分解因式法。要學(xué) 會(huì)根據(jù)方程本身的特點(diǎn)選

15、取最優(yōu)方法.如果方程直接給出的是(x+m)2=«的形式，就用直接開 平方法解題；如果方程各項(xiàng)都有含有x的公因式，首選方法應(yīng)該是提公因式，把方程分解成(兀+加)(x+w) =0的形式；如果形如(vc +z?x + c = 0(70)的方程左邊能容易的進(jìn)行十字相 乘分解，也首選因式分解法如果以上各種特點(diǎn)都不具備，就用萬能方法一公式法；也可以使 用配方法優(yōu)先選取順序依次為：直接開平方法f分解因式法f公式法f配方法.學(xué)會(huì)選取最 優(yōu)方法，在解一元二次方程時(shí)可以省時(shí)省力.答案1. b【解析】(x - 2) (x - 4) =0, x - 2=0 或 x-4=0, .尤=2,兀2=4.因?yàn)槿切蝺?/p>

16、邊的長分別為3和6,所以第三邊的長為4,周長二3+6+4二13.故選b2. 證明：設(shè)這個(gè)一元二次方程為 屁+(°+少+(?二0(°工0),則仏+c)(兀+1)=0.ax+c=0 或 x+1=0, x=，兀2= 1.a3. 解:當(dāng)x+20,即 心 2時(shí)，原方程可化為+2 (x+2) - 4=0, x2+2x=0, 解得兀 1二0, x2= - 2；當(dāng)x+2v0,即兀 -2時(shí)，原方程可化為x2 - 2 (x+2) - 4=0, , - 2a - 8=0, 解得“二4 (不合題設(shè)，舍去)，x2=-2 (不合題設(shè)，舍去).綜上所述，原方程的解是尸0或尸2.4. 解：填空：丄，3；

17、4,+13x+3=4 (x+丄)(x+3)44發(fā)現(xiàn)的一般結(jié)論為：若一元二次方程加+eo gh0)的兩個(gè)根為兀1、比，則 2ax +bx+c=a (x - xi)(兀-尤2)5.解:方程換元法得新 方程解新方程檢驗(yàn)求原方程的解x+2>/x - 3 = 0令y/x =t,則尸+2/ 3 = 01=1，&=-3zj = 1 > 0,/2 = 3 < 0（舍去）x = 1,所以x = 1x+y/ x 2 - 4 = （.令jx_2=t,則f2+f_2 = 04=1，t2 = 2zj = 1 > 0,z2 = 2 < 0（舍去）v72=i,所以x 2 = l x =

18、 36.解：設(shè)a2+b2=yf據(jù)題意得j2 - y - 6=0,解得刃=3,旳二2. v a2+&2>0,ct+b2=3.m素材六數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升一元二次方程的補(bǔ)充解法十字相乘法一、什么叫做十字相乘法一般地，由多項(xiàng)式乘法，(x+a) (x+b) =x2+ (a+b) x+ab,反過來 x'+q+blx+ab二(x+a) (x+b)。我們知道，(g+c)(吋+ 6)=aa2x2 + cic2x + a2c?r + c©=ci a+ (a© + a2c1) x + eg反過來，就得到aya2x2 +（qc2 +色5）工 +徑= （g + c】）（吋+ cj我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)的系數(shù)q分解成ag,常數(shù)項(xiàng)c分解成eg,并且把a(bǔ)】，a2, c, c：排列如下：這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到a. c: + a2 c-,如果它們正好等于ax' +bx + c的一次項(xiàng)系數(shù)b ,那么ax' +hx + c就可以分解成（7廬+ $）（6丫 + 6）,其中a：, c：位于上圖的上一彳亍，a2, c2位于下一行.像這種借助畫十字交叉分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 一般地我們也可以用這種方法進(jìn)行解一元二次方程.二、十字相乘法舉例1、十字相乘法的方法：十字左邊相乘等于二次頂系數(shù)，右邊相乘等