集合12初等函數(shù)課件

1、集合12初等函數(shù)1內(nèi)內(nèi) 容容第一章 函數(shù)(Function)與極限(Limit)第二章 導(dǎo)數(shù)(Derivative)第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章 不定積分(Integral)第五章 定積分及其應(yīng)用集合12初等函數(shù)2第一章第一章 函數(shù)和極限函數(shù)和極限1.1 預(yù)備知識 一. 集合(Set)一切數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) 二. 實數(shù)(Real Number) 在微積分中，數(shù)就是指實數(shù)1.2 函數(shù)(Function) 函數(shù)是微積分學(xué)的運算和研究對象1.3 極限(Limit)1.4 函數(shù)的連續(xù)性集合12初等函數(shù)31.1 1.1 預(yù)備知識預(yù)備知識一、集合一、集合(Set)(Set)1.集合及其表示法集合及其表示法 例例. .

2、 廈大2010級全體學(xué)生構(gòu)成一個集合 所有大于0小于1的數(shù)構(gòu)成一個集合 定義定義(Definition) (Definition) 集合集合是指具有某種屬性的事物的全體; 組成這個集合的事物稱為該集合的元素。元素。 我們通常用大寫字母 A，B，C， 表示集合，用小寫字母 a,b,c, 表示集合中的元素。集合12初等函數(shù)4元素a屬于集合A: 記作 元素b不屬于集合A: 記作例. 若A是全體正數(shù)組成的集合，則 ， 。例.”廈大2010級全體新生中個子高的同學(xué)”是否構(gòu)成一個集合？ AaAbA1A1集合12初等函數(shù)5命題命題(Proposition) 集合元素的性質(zhì):1.確定性確定性：每一個對象都能確

3、定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合。2.獨立性獨立性：集合中的元素的個數(shù)、集合本身的個數(shù)必須為自然數(shù)(Nature Number,記為 )。3.互異性：互異性：集合中任意兩個元素都是不同的對象。 例例. 如寫成1，1，2，等同于1，2。集合12初等函數(shù)6命題命題(Proposition) 集合元素的性質(zhì):4.無序性無序性： 例例. 1,2, 2,1是同一個集合。 5.純粹性純粹性和完備性：完備性： 例例. 給定集合A： A是全體正數(shù)組成的集合。 集合A 中所有的元素都要符合x0(純粹性); 所有符合x0的數(shù)都在集合A中(完備性).集合12初等函數(shù)712 ,nAa aa集合的表示：

4、集合的表示：（1）列舉法列舉法列舉法優(yōu)點：列舉法優(yōu)點：簡明清楚例例. A=a，b，c，d，e 為5元集。列舉法缺點：列舉法缺點：有些集合無法表示列舉法適用范圍：列舉法適用范圍：包含有限個元素的有限 集或在沒有歧義情況下無限個可排列的元素的集合。 小于10的正整數(shù)集合： B=1,2,3, , 9集合12初等函數(shù)8（2 2）描述法）描述法例例.為集合中的元素。其中具有性質(zhì)aaaA , P|,0|xxB是全體正數(shù)所組成的集合。,1| ),(yxyxC是直角坐標(biāo)平面上的一條直線。不具有性質(zhì)具有性質(zhì)即，P P; aAaaAa集合的表示：集合的表示：集合12初等函數(shù)9定義定義. . 由有限個元素組成的集合

5、稱為有限集有限集； 由無限個元素組成的集合稱為無限集無限集； 不含任何元素的集合稱為空集，空集，記作 。 例例. . 大于一切自然數(shù)的數(shù)構(gòu)成空集。 表示獨點集。 為n元集。 自然數(shù)集 為無限集。a, 3 , 2 , 1n, 3 , 2 , 1 n集合12初等函數(shù)102 2 集合間的關(guān)系與運算集合間的關(guān)系與運算,ABBABA記作，也可稱 包含記為。子集子集 設(shè)A和B都是集合，如果 ， 那么就說A是B的子集，BxAx定義定義. . 設(shè)A和B都是集合， 記作 相等相等。 的真子集。是，則稱使得且存在若BAAxBxBA,BAABBA與就稱集合且若, ,.BA 例例. .,AACACBBA則且集合12初

6、等函數(shù)11例題：例題：(1)(1) 給定集合： |10Ax xx 是素數(shù)2,3,5B試判斷它們之間是否存在包含或相等的關(guān)系。答：答：BA (2) (2) 判斷：判斷： 集合A=x|x1是空集 3. 空集是一切集合的子集 2. 空集屬于任何集合 集合12初等函數(shù)12 集合間的運算集合間的運算定義定義. . 設(shè)設(shè)A A、B B是兩集合，則是兩集合，則交交 “A B” x x A且且x B并并 “A B” x x A或或x B差差 “ AB” x x A但但x B 等價等價 AB 一一對應(yīng)的兩個集合等價一一對應(yīng)的兩個集合等價與自然數(shù)集合與自然數(shù)集合N等價的集合稱為可列集等價的集合稱為可列集 例例.

7、偶數(shù)集與奇數(shù)集都為可列集，且等價。定義定義 在一個具體問題中，如果所涉及的集合都是某個 集合的子集，則稱這個集合為全集全集，記作：I。如果， 為集合B在全集I中的余集余集(或補補集集)。B I,BIB則稱集合12初等函數(shù)13（4）對偶原理：對偶原理：（3）分配律分配律：（AB ) C =(A C) (B C) （AB ) C =(A C) (B C) （5）A(A B) =A, A(AB) =A定理定理(Theorem)（1）交換律交換律：A B= BA，AB =BA（2）組合律組合律：（AB )C =A(B C) (A B) C = A(B C).)( ,)(BABABABA集合12初等函數(shù)

8、14二、實數(shù)二、實數(shù)1.1.實數(shù)與數(shù)軸實數(shù)與數(shù)軸 全體自然數(shù)(Natural number)的集合n,0,1,2,3全體有理數(shù)(Rational number)的集合全體整數(shù)(Integer)的集合, 2, 1, 0nZ|0,|小數(shù)為有限小數(shù)或無限循環(huán)xxNqZpqpQ全體實數(shù)(Rational number)的集合Q|.|R10為無限不循環(huán)小數(shù)，或為小數(shù)xxxaaaxxn數(shù)軸數(shù)軸是具有方向、原點和單位長度的有向直線。 實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的.集合12初等函數(shù)152.2.絕對值絕對值 00 xxxxx; 0|xx;,yxyxyxyx)0(aax; axa)0(aax; axorax常用的

9、絕對值性質(zhì)常用的絕對值性質(zhì) 及不等式及不等式:;xxx; 00|xx|;| |;|2yxxyxx(2)(1)(3)集合12初等函數(shù)162.2.區(qū)間區(qū)間 (Interval)(Interval).,baRba且, bxaRx稱為開區(qū)間開區(qū)間,),(ba記作bxaRx稱為閉區(qū)間閉區(qū)間,ba記作oxaboxabbxaRx稱為左閉右開區(qū)間左閉右開區(qū)間,稱為左開右閉區(qū)間左開右閉區(qū)間,),ba記作,(ba記作bxaRx集合12初等函數(shù)17),xaRxa),(bxRxb無限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義區(qū)間長度的定義: :兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度區(qū)間的長度.oxaoxb).,(R集合12初等函

10、數(shù)18定義定義 的稱為點，開區(qū)間設(shè)aaa),(0).,(aUo記作稱為叫做這點,鄰鄰域域的的中中心心a. ),(axaRxaUxa a a ,鄰域的去心的點a. 0),(axRxaUo),(U,a記為鄰鄰域域鄰域的半徑鄰域的半徑.左鄰域左鄰域：),(aa右鄰域：右鄰域：),(aa3.3.鄰域鄰域集合12初等函數(shù)19定義定義, ,設(shè)有一個對應(yīng)規(guī)則f,使每個數(shù)xD， 都有一個(只有一個) 實數(shù)y與之對應(yīng)，則稱這個對應(yīng)規(guī)則f 為定義在D上的一個函數(shù)關(guān)系，或稱變量y是變量x的函數(shù)函數(shù)，記作y=f(x)，xD. x叫做自變量自變量， y叫做因變因變量量。集合D稱為函數(shù)的定義域定義域，也可以記做D(f),

11、值域值域記作Z(f) 。1.21.2初等函數(shù)初等函數(shù)一、函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念若D是一個非空實數(shù)集集合12初等函數(shù)20注意注意： 如f(x)=x和 g(x)=就不是同一個函數(shù)，為什么？ 2求定義域的方法：求定義域的方法：(1) 應(yīng)用題由實際意義確定；例例. 從甲地到乙地，行李收費如下：每公斤收費2元，10公斤起運。設(shè)行李重為x, 以f(x)記其運費，則 f 是一函數(shù)： , f 的定義域是(2)形式題就是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值。1.當(dāng)兩個函數(shù)的定義域定義域和對應(yīng)法則對應(yīng)法則都相等時，兩者才是同一個函數(shù)。) 1 , 1(,11)(;1 , 1,1)(22DxxfDxxf看一下課本

12、第6頁例1例例.10|xRxxxf2)(xx2集合12初等函數(shù)21 函數(shù)表示法函數(shù)表示法（一）三種表示法（一）三種表示法1、公式法：例如y=sinx2、表格法：如例13、圖表法：如例2oxy3 2682638例1.設(shè) ,則右表定義了一個函數(shù)f. 8 , 6 , 2 , 3A 例2.集合12初等函數(shù)22（二）分段函數(shù)（二）分段函數(shù)一般在定義域的不同范圍有不同的表達(dá)式例如：10( )10 xf xxx1-1y0集合12初等函數(shù)23常用的分段函數(shù)還有：常用的分段函數(shù)還有： (1) 符號函數(shù)符號函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)y1-1xoxxx sgn集合12初等函數(shù)24-4 -3 -2

13、 -1 1 2 3 4 5 -2-4 4 3 2 1 -1-3xy階梯曲線階梯曲線(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過表示不超過 的的最大整數(shù)最大整數(shù)x1 1 , 35 . 2 , 3 , 053如集合12初等函數(shù)25 是無理數(shù)時是無理數(shù)時當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時是有理數(shù)時當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(有理數(shù)點有理數(shù)點無理數(shù)點無理數(shù)點xyo(3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)函數(shù)集合12初等函數(shù)26(4) 最大值和最小值函數(shù)最大值和最小值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg集合12初等函數(shù)271.1.單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù)(Mo

14、notone Function),)(DIDxf區(qū)間的定義域為設(shè)函數(shù),2121時當(dāng)及上任意兩點如果對于區(qū)間xxxxI;)(的上是在區(qū)間則稱函數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加Ixf),()() 1 (21xfxf恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI二、具有某種特性的函數(shù)二、具有某種特性的函數(shù)集合12初等函數(shù)28)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(的上是在區(qū)間則稱函數(shù)單單調(diào)調(diào)減減少少Ixf,)(DIDxf區(qū)間的定義域為設(shè)函數(shù),2121時當(dāng)及上任意兩點如果對于區(qū)間xxxxI),()()2(21xfxf恒有集合12初等函數(shù)29M-Myxoy=f(x)X有界(Bounded)無界(Unbounded

15、)K-KyxoX0 xMxfXxMDX)(, 0,有若2.2.有界函數(shù)有界函數(shù)(Bounded Function):.)(否則稱無界上有界在成立，則稱函數(shù)Xxfs.t.(such that),0|0XxxRxRK.| )(|0Kxf集合12初等函數(shù)303.3.奇奇( (偶偶) )函數(shù)函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)(Even Function)有有對對于于關(guān)關(guān)于于原原點點對對稱稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf.為偶（奇）函數(shù))()()(xfxfxf稱）（或- 奇函數(shù)奇函數(shù)(Odd Function)yx)(xfox-x)(xfy )( xf 集合12初等函數(shù)314

16、 4周期函數(shù)周期函數(shù)(Periodic Function)（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定義域為的定義域為設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)如如果果存存在在一一個個不不為為零零的的)()(xflxf 且且為周為周則稱則稱)(xf.)( ,DlxDxl 使得對于任一使得對于任一數(shù)數(shù).)(,的周期的周期稱為稱為期函數(shù)期函數(shù)xfl.恒成立恒成立看一下課本P7例2集合12初等函數(shù)32三、隱函數(shù)，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)三、隱函數(shù)，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1.隱函數(shù)隱函數(shù)(Implicit Function).xyyx0)yF(x,yxyx隱隱函函數(shù)數(shù)的

17、關(guān)于們將這種函數(shù)關(guān)系稱作隱含在方程中，通常我的依賴關(guān)系與所確定，而將的二元方程與含有之間的函數(shù)關(guān)系由一個與因變量如果自變量0),(yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化.)(形式稱為顯函數(shù)xfy 集合12初等函數(shù)33注注1：習(xí)慣上把習(xí)慣上把x作為自變量，作為自變量，y作為因變量，因此把作為因變量，因此把y=f(x)的反函數(shù)記為的反函數(shù)記為如果設(shè)函數(shù)( )yf x的定義域為D，值域為()Zf D如果對于Z中的每一個y，在D中都有滿足關(guān)系( )yf x的唯一的數(shù)x與之對應(yīng)，則稱這樣的對應(yīng)法則1f為f的反函數(shù)反函數(shù)，記為1( )xfy1( )yfx注注2：求反函數(shù)的步驟11( )( )yf xxfy（）反解

18、112( )( ),xfyyfxx y（ ）交換2.2.反函數(shù)反函數(shù)集合12初等函數(shù)34注注3：函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系：1.1.直接函數(shù)的直接函數(shù)的定義域定義域（或值域或值域）是其反函數(shù)的）是其反函數(shù)的值域值域（或定義域或定義域）;)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函數(shù)數(shù)2. 把直接函數(shù)把直接函數(shù)y=f(x)和反函數(shù)和反函數(shù)y=y= (x)(x) 的圖形畫在同一個的圖形畫在同一個坐標(biāo)平面上，這兩個圖形關(guān)于直線坐標(biāo)平面上，這兩個圖形關(guān)于直線y=xy=x是對稱的。是對稱的。集合12初等函數(shù)35例例:求下列函數(shù)的反函數(shù)131yx（）222xyx

19、（ ）(3)1lg(2)yx 集合12初等函數(shù)363 3復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 引入：引入：設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) y=uy=u2 2 和函數(shù)和函數(shù) u=1-sinx,u=1-sinx,則則 y=(1-sinx)y=(1-sinx)2 2是兩者的是兩者的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)。一般地一般地: :若函數(shù)若函數(shù)y=y=f(u)(u)的定義域為的定義域為D D（f),), u=g(x)u=g(x)的值域為的值域為Z(g)Z(g)且且Z(g) D( f ) , ,其中其中x x為自變量為自變量,y,y為因變量，為因變量，u u稱為中間變量。稱為中間變量。注注1 1：函數(shù)還可進(jìn)行三重，四重和多重復(fù)合。函數(shù)還可進(jìn)行三重，四重和多重復(fù)合。則稱則稱y=y=f（g(x)g(x)）為）為復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)。集合12初等函數(shù)37注注2 2：條件條件Z(g) D( f ) 必不可少，必不可少，否則兩個函數(shù)否則兩個函數(shù)就不一定能構(gòu)成一個復(fù)合函數(shù)。就不一定能構(gòu)成一個復(fù)合函數(shù)。和和u=2+xu=2+x2 2就不能構(gòu)成一個復(fù)合函數(shù)。就不能構(gòu)成一個復(fù)合函數(shù)。(值域為2,+)，定義域 為-1，1)如如y=arcsinuy=arcsinu12,2lg(sin )2aaayax分別就，討論是不是思考：復(fù)合函數(shù)？看一下課本P9例3集合12初