階線性方程[1]

1、 常微分方程 綿陽師范學(xué)院階線性方程最新11.4 一階一階線性方程線性方程0)()()( xcyxbdxdyxa一階線性微分方程的一般形式一階線性微分方程的一般形式的的區(qū)區(qū)間間上上可可寫寫成成在在0)( xa( )( )(1)dyP x yf xdx ( )0(2)dyP x ydx 稱稱為為一一階階齊齊次次線線性性方方程程)2(若若 0fx (1)稱為一階非齊次線性方程稱為一階非齊次線性方程.注意注意(1)(1)與與(2)(2)的的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系, ,從從(2)(2)的解入手找的解入手找(1)(1)的解法的解法 常微分方程 綿陽師范學(xué)院階線性方程最新21.4.1一階線性微分方程的解法一階線

2、性微分方程的解法-常數(shù)變易法常數(shù)變易法解解對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程01( )dyp x ydx 得得對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程解解常常數(shù)數(shù)變變易易法法求求解解02)1(),(的的解解使使它它為為的的待待定定函函數(shù)數(shù)變變?yōu)闉閷⒊３?shù)數(shù)xcxc ( ),p x dxycec 為為任任意意常常數(shù)數(shù). .1 1. .3 36 6( )( )(1),p x dxyc x e 令令為為的的解解 則則 常微分方程 綿陽師范學(xué)院階線性方程最新3( )( )( )( ) ( )p x dxp x dxdydc xec x p x edxdx 代入代入(1)得得()( )( )p x dxdc xf x ed

3、x 積分得積分得( )( )( )p x dxc xf x edxc 03(1)故故的的通通解解為為( )( )( )(3)p x dxp x dxyef x edxc 注注 求求(1)的通解可直接用公式的通解可直接用公式(3).( )( )(1*)dyP x yQ xdx ()()( )(3*)p x dxp x dxyeQ x edxc 若把若把(1)寫成寫成則通解則通解 常微分方程 綿陽師范學(xué)院階線性方程最新4求方程求方程1)1()1( nxxenydxdyx通解通解, ,這里為這里為n n常數(shù)常數(shù)解解: 將方程改寫為將方程改寫為nxxeyxndxdy)1(1 1) 1)首先首先, ,求

4、齊次方程求齊次方程yxndxdy1 的通解的通解從從yxndxdy1 分離變量得分離變量得dxxnydy1 11lnlncxny 兩邊積分得兩邊積分得例例1 常微分方程 綿陽師范學(xué)院階線性方程最新5故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為nxcy)1( 其次應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解其次應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解,代入得代入得為原方程的通解為原方程的通解令令,)1)(nxxcy nxnnnxexxncxxncxdxxdc)1()1)()1)()1()(11 即即xedxxdc )(積分得積分得)(cexcx 故通解為故通解為為為任任意意常常數(shù)數(shù)),()1(ccexyxn ndx

5、xndxxpxccecey)1(1)( 或直接用或直接用(3) 常微分方程 綿陽師范學(xué)院階線性方程最新6例例2 求方程求方程22yxydxdy 通解通解.解解:，y的的線線性性方方程程原原方方程程不不是是未未知知函函數(shù)數(shù)但將它改寫為但將它改寫為yyxdydx22 即即yxydydx 2，yx為為自自變變量量的的線線性性方方程程為為未未知知函函數(shù)數(shù)它它是是以以,故其通解為故其通解為)()()(cdyeyQexdyypdyyp )(22cdyeyedyydyy 。ccyy為為任任意意常常數(shù)數(shù)),ln(2 常微分方程 綿陽師范學(xué)院階線性方程最新7例例3 求值問題求值問題1)1(, 1432 yxyx

6、dxdy的解的解.解解:先求原方程的通解先求原方程的通解)()()(cdxexQeydxxpdxxp )14(323cdxexedxxdxx )1)14(323cdxxxx 常微分方程 綿陽師范學(xué)院階線性方程最新8)21ln4(23cxxx 3432lnxcxxx 代入后得代入后得將初始條件將初始條件1)1( y23 c故所給初值問題的通解為故所給初值問題的通解為223ln343xxxxy )1) 14(323cdxxxx 常微分方程 綿陽師范學(xué)院階線性方程最新9()Bernoulli伯伯努努利利方方程程形如形如nyxQyxpdxdy)()( 的方程的方程,稱為伯努利方程稱為伯努利方程.。xx

7、QxP的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)為為這這里里)(),(解法解法:方方程程變變?yōu)闉橐肴胱冏兞苛孔冏儞Q換,110nyz )()1()()1(xQnzxPndxdz 求以上線性方程的通解求以上線性方程的通解02變量還原變量還原031.4.2 常微分方程 綿陽師范學(xué)院階線性方程最新10例例4 求方求方程程yxxydxdy222 的通解的通解.解解:, 1, nBernoulli方方程程這這是是代入方程得代入方程得令令,2yz 21xzxdxdz 解以上線性方程得解以上線性方程得)(121cdxexezdxxdxx 321xcx :2為為代代入入得得所所給給方方程程的的通通解解將將yz 3221xcxy

8、常微分方程 綿陽師范學(xué)院階線性方程最新11例例5 5 R-LR-L串聯(lián)電路串聯(lián)電路.,.,由電感由電感L L, ,電阻電阻R R 和電源所和電源所組成的串聯(lián)電路組成的串聯(lián)電路, ,如圖所示如圖所示, ,其中其中電感電感L L, ,電阻電阻R R和和電源的電動(dòng)勢(shì)電源的電動(dòng)勢(shì)E E均為常數(shù)均為常數(shù), ,試求當(dāng)開關(guān)試求當(dāng)開關(guān)K K合上后合上后, ,電電路中電流強(qiáng)度路中電流強(qiáng)度I I與時(shí)間與時(shí)間t t之間的關(guān)系之間的關(guān)系. . 二二 線性微分方程的應(yīng)用舉例線性微分方程的應(yīng)用舉例電路的電路的KirchhoffKirchhoff第二定律第二定律: :在閉合回路中在閉合回路中, ,所有支路上所有支路上的電壓的代數(shù)和為零的電壓的代數(shù)和為零. . 常微分方程 綿陽師范學(xué)院階線性方程最新12則電流經(jīng)過電感則電流經(jīng)過電感L, 電阻電阻R的電壓降分別為的電壓降分別為 ,RIdtdIL.ERIdtdIL 解線性方程解線性方程:解解:于是由于是由Kirchhoff第二定律第二定律, 得到得到 設(shè)當(dāng)開關(guān)設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后合上后, 電路中在時(shí)刻電路中在時(shí)刻t的電流強(qiáng)度為的電流強(qiáng)度為I(t),取開關(guān)閉合時(shí)的時(shí)刻為取開關(guān)閉合時(shí)的時(shí)刻為0,. 0)0( I即即.LEILRdtdI 得通解為得通解為:REcetItLR )( 常微分方程 綿陽師范學(xué)院階線性方程