選修2-1易錯題匯編(自編源于學生的錯題)

1、2013屆平時易錯題匯編第1章簡單的邏輯用語題型1：充分、必要條件的應用【例1】已知，若是的充分而不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.答案：【例2】已知，若是的必要而不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.答案：變式2-1已知，若是的必要而不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.答案：題型2：充要條件的證明及應用【例3】設(shè)為的三邊，求證：方程與有公共根的充要條件是變式3-1 求不等式恒成立的充要條件答案：變式3-2 函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是（）A B. C. D.變式3-2 已知關(guān)于的實系數(shù)方程有兩個實數(shù)根，求證：的充要條件是且變式3-3 已知關(guān)于的一元二次方程：(1) (2)其中,求方程(1)和(2)都有整數(shù)解的充要

2、條件.答案：【補充例題】1.（2010安徽理）設(shè)數(shù)列中的每一項都不為0.證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何都有2.已知數(shù)列滿足：，求證：數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列也是等差數(shù)列.題型3：三種命題及其真假判斷【例4】寫出命題“，則” 的逆否命題。答案：若則提示：邏輯聯(lián)接詞“且”的否定是“或”變式4-1命題：若，則或；命題點在直線上，則下列結(jié)論錯誤的是“”為假命題；“”為假命題；“”為真命題；“”為真命題；題型4：求參數(shù)的取值范圍【例5】設(shè)的定義域為，若命題與有且只有一個為真命題，求實數(shù)的取值范圍.答案：【例6】已知關(guān)于的方程的兩根均大于1,求的取值范圍.答案：變式6-1求實數(shù)的取值范圍，

3、使得關(guān)于的方程（1） 有兩個都大于1的實數(shù)根；（2） 至少有一個正實根答案：（1）；（2）【例7】給出兩個命題：命題甲：關(guān)于的不等式的解集為命題乙：函數(shù)為增函數(shù).(1)甲、乙至少有一個是真命題；(2)甲、乙中有且只有一個是真命題答案：(1)(2)變式7-1 已知定義在上的單調(diào)遞減函數(shù)使得對均成立，求的取值范圍.答案：【例8】已知函數(shù)(1) 是否存在實數(shù)，使不等式對于任意恒成立，并說明理由.(2) 若存在一個實數(shù)，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍。答案：(1)(2)【例9】已知偶函數(shù)的定義域為，當時，單調(diào)遞減，若命題是真命題，求的范圍.答案：輔助角公式：半角公式【例10】已知向量若是的充分條件，求

4、的范圍.答案：【例11】已知命題恒成立；命題在上是增函數(shù).當有且僅有一個真命題時，求的取值范圍.答案：或第2章圓錐曲線與方程2.1.1曲線與方程【例1】已知坐標滿足方程的點都在曲線上，那么（）A.曲線上的點的坐標都適合方程B.凡坐標不適合的點都不在上C.不在上的點的坐標必不適合D. 不在上的點的坐標有些適合，有些不適合答案：C【例2】方程表示的圖形是（）A.兩個點B.四個點C.兩條直線D. 四條直線答案：B變式2-1方程表示的圖形是什么？【例3】方程表示的曲線是什么？變式3-1方程表示的曲線是什么？變式3-2方程表示的曲線是什么？2.1.2 求曲線的軌跡題型一：直接法求曲線的軌跡例1 為定點，

5、線段在定直線上滑動，已知，到的距離為3，求的外心的軌跡方程。答案：變式1.為定點，線段在定直線上滑動，已知，到的距離為，求的外心的軌跡方程。答案：題型二：利用定義法求曲線的方程【例2】已知求直角頂點的軌跡方程.答案：變式2-1【點在圓上】已知圓過原點作圓的任意弦，求所作弦的中點的軌跡方程.答案：變式2-2【點在圓外】已知圓過作圓的任意弦，求所作弦的中點的軌跡方程.答案：變式2-3【點在圓內(nèi)】已知圓過作圓的任意弦，求所作弦的中點的軌跡方程.答案：題型三：用相關(guān)點法求曲線的方程三角形重心的坐標公式：【例3】已知的兩個頂點的坐標分別為頂點在曲線上運動，求重心的軌跡方程.2.2 橢圓I.橢圓的標準方程

6、的推導：1.構(gòu)造共軛根式化簡（1）令（2）由知：（3）聯(lián)立（1）式和（3）式：兩式相加得：（4）兩式相減得：（5）將（4）式兩邊同時平方并化簡得：橢圓的焦半徑公式：兩邊同時除以得：令，化為對稱式：，其中。2.橢圓的參數(shù)方程：課本P47：例73.橢圓的一般式：3.橢圓的第二定義：在平面內(nèi)，到定點的距離與定直線（不過定點）的距離之比為定值為常數(shù)（）的軌跡是橢圓。其中定點是橢圓的焦點，定直線是橢圓的準線。課本P47例6練一練：求到定點的距離與定直線的距離之比為定值的點的軌跡。易錯題匯編題型一：橢圓的定義的應用【例1】已知橢圓的方程為若點是橢圓上第二象限內(nèi)的一點，且求的面積.答案：【例2】橢圓的焦點為

7、為橢圓上的一點，已知，求的面積。答案：面積為9推廣1：對于橢圓：，焦點為為橢圓上的一點，已知，的面積為：，其中推廣2：對于雙曲線：，焦點為為橢圓上的一點，已知，的面積為：，其中【例3】求適合下列條件的參數(shù)的值或范圍（1） 若方程表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；（2） 橢圓的一個焦點為，求的值.（3） 若方程表示橢圓，求的取值范圍.解：（1）；（2）或；（3）且變式3-1：已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍.解：變式3-2：已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍.解：題型二：利用橢圓的定義求最值問題【例4】是橢圓的左焦點，是橢圓上的一個動點，為定點，求的最小值。解析：連接并延長交橢圓于點

8、和，其中點是橢圓上的一個動點，連接因為在中，,所以即：(iff點與點重合時取等號)變式4-1：求的最大值.提示：利用“兩邊之差小于第三邊”可以確定，當點與點重合時取得最大值.【例5】已知橢圓內(nèi)有一點是橢圓的右焦點，在橢圓上求一點，使的值為最小.解答：題型三：利用待定系數(shù)法求橢圓的方程【例6】求中心在原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點的橢圓的標準方程.注解：在不確定橢圓的焦點位置時，設(shè)橢圓的一般式比較簡單，直接轉(zhuǎn)化為一個解二元一次方程的問題.橢圓的一般式方程：解：設(shè)所求橢圓的方程為，依題意得：,故所求的橢圓的方程為，所以橢圓的標準方程為變式6-1：求經(jīng)過點的橢圓的標準方程.答案：【例7】已知橢圓上

9、的一點，若,求橢圓的方程.解：設(shè)，則由，則，即，解得：設(shè)橢圓的標準方程為：，將代入解關(guān)于的一元二次方程，可得：。所求的橢圓的標準方程為：注解：1.一般地，將“”轉(zhuǎn)化為“”；2.具有相同焦點的橢圓系方程：3.具有相同的c的橢圓系方程：（1）焦點在軸上：（2）焦點在軸上：拓展思考：對于橢圓：，如何判斷在橢圓上是否存在，使得？當時，四個交點當時，兩個交點當時，沒有交點結(jié)論：當時，存在，使得！變式7-1 橢圓的左、右焦點分別為,點為其上的動點，當為鈍角時，求點的橫坐標的取值范圍。解法1：（向量法）由題意得：，由解得：解法2：（幾何法）由題意得：，以為圓心，作圓：聯(lián)立方程：,消去得：結(jié)合圖形知：當為鈍角

10、時，為銳角為鈍角為銳角變式7-2：雙曲線的左、右焦點分別為,點為其上的動點，當為銳角時，求點的橫坐標的取值范圍。要求：試用兩種解法分析，并得出一般性結(jié)論！【例8】橢圓和具有相同（）A.離心率 B.焦點 C.頂點 D.長短軸思考：橢圓和橢圓具有相同的離心率嗎？與橢圓具有相同的離心率的橢圓系方程：（1） 焦點在軸上：；（2） 焦點在軸上：；其中控制著橢圓的大小，離心率決定著橢圓的形狀?！纠?】與橢圓具有相同的離心率且過點的橢圓的標準方程。答案：或變式9-1：已知橢圓的對稱軸為坐標軸，為坐標原點，是一個焦點，是一個頂點，若橢圓的長軸長是6，且，求橢圓的方程.答案：或題型4：直線與橢圓的位置關(guān)系1.直

11、線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法：將橢圓的方程與直線方程聯(lián)立，消元（或），整理成形如的形式，對此關(guān)于的一元二次方程有：（1），直線與橢圓有兩個公共點，稱直線與橢圓相交；（2），直線與橢圓有一個公共點，稱直線與橢圓相切；（3），直線與橢圓沒有公共點，稱直線與橢圓相離；推廣：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷方法，即判別式法！2.弦長問題：弦長公式【例1】直線與橢圓總有公共點，求的范圍.解法1：直線恒過定點（0,1），定點在橢圓內(nèi)或上，即，且解法2：聯(lián)立方程求【例2】已知以為焦點的橢圓與直線有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為多少？解：設(shè)橢圓的方程為，由聯(lián)立得：由，解得，所以【例3】過橢圓的右焦點與軸垂直的直

12、線與橢圓交于兩點，求的長度。解：橢圓的右焦點為把代入中得：，【例4】已知橢圓過點作一弦，使弦在這點被平分，求此弦所在直線的方程。答案：變式4-1：已知橢圓試確定的取值范圍，使得橢圓上有兩個不同的點，關(guān)于直線對稱。解法一：設(shè)是橢圓上關(guān)于直線對稱的兩個點，則，設(shè)所在的直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去得：，解得又設(shè)的中點為，則點在直線上，解得當時，橢圓上有兩個不同的點關(guān)于直線對稱。解法二：設(shè)是橢圓上關(guān)于直線對稱的兩個點，則有，設(shè)的中點為，則，由解得又點在橢圓的內(nèi)部，所以當時，橢圓上有兩個不同的點關(guān)于直線對稱。變式4-2：已知橢圓及橢圓外一點，過這點引直線與橢圓交于兩點，求的中點的軌跡方程.答

13、案：題型5：與橢圓有關(guān)的綜合問題【例5】設(shè)是橢圓短軸的一個端點，為橢圓上的一個動點，求的最大值.解：依題意可設(shè)則在橢圓上，若則當時，取最大值若，則，當時，取最大值另：可利用橢圓的參數(shù)方程題型6：存在性問題【例6】已知橢圓的一個頂點為,焦點在軸上，若右焦點到直線的距離為3.(1) 求橢圓的方程；(2) 設(shè)直線為則是否存在實數(shù)，使直線與（1）中的橢圓有兩個不同的交點，使若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。答案：（1）；（2）不存在解：（1）依題意，設(shè)橢圓的方程為設(shè)右焦點為，則由點到直線的距離公式得：所求橢圓的方程為(2) 設(shè)，聯(lián)立方程得，又，解得滿足條件的的值不存在.2.2 雙曲線題型1：直線

14、與雙曲線的位置關(guān)系【例1】：已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，實軸長為（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線的左支交于兩點，求的取值范圍。解答：（1）（2）設(shè)，將與聯(lián)立，消去，得：由題意得：，解得【例2】雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點垂直于的直線分別交于兩點，已經(jīng)成等差數(shù)列，且與同向.(1) 求雙曲線的離心率；(2) 設(shè)被雙曲線所截得的線段長為4，求雙曲線的方程。解：（1）設(shè)由勾股定理可得：得由倍角公式得：解得故離心率（2）過的直線方程為與雙曲線方程聯(lián)立將代入，化簡得：解得：故所求雙曲線的方程為【例3】已知雙曲線方程為過的直線與雙曲線只有一個公共點，則的條數(shù)共

15、有（）A4條 B.3條 C.2條 D.1條答案：B變式3-1：斜率為2的直線過雙曲線的右焦點，且與雙曲線的左右兩支分別相交，則雙曲線的離心率的取值范圍是 答案：題型2：雙曲線與其他知識的綜合問題【例4】設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點，若點P在雙曲線上，且，則【解】【例5】雙曲線的兩焦點分別為以為邊作等邊三角形，若雙曲線恰平分三角形的另兩邊，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.答案：A【解答】：設(shè)交點分別為，而，即【變式5-1】：設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是 解析：當時，即。2.3拋物線【基礎(chǔ)知識】1拋物線定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 定點F叫做拋物

16、線的焦點，定直線叫做拋物線的準線。2拋物線的準線方程： (1), 焦點:，準線：(2), 焦點:，準線：(3), 焦點:，準線：(4) , 焦點:，準線：p的幾何意義：焦點F到準線l的距離相同點：(1)拋物線都過原點；(2)對稱軸為坐標軸；(3)準線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關(guān)于原點對稱 它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的，即不同點：(1)圖形關(guān)于x軸對稱時，x為一次項，y為二次項，方程右端為、左端為；圖形關(guān)于y軸對稱時，x為二次項，y為一次項，方程右端為，左端為（2）開口方向在x軸（或y軸）正向時，焦點在x軸（或y軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在x軸（或y軸）負向時，焦

17、點在x軸（或y軸）負半軸時，方程右端取負號3拋物線的幾何性質(zhì)（1）范圍因為p0，由方程可知，這條拋物線上的點M的坐標(x，y)滿足不等式x0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸（2）對稱性以y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸（3）頂點拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點在方程中，當y=0時，x=0，因此拋物線的頂點就是坐標原點（4）離心率拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示由拋物線的定義可知，e=14拋物線的焦半徑公式：拋物線，拋物線， 拋物線， 拋

18、物線，5.焦點弦公式： 拋物線， 拋物線， 拋物線， 拋物線，6直線與拋物線：（1）位置關(guān)系：相交（兩個公共點或一個公共點）；相離（無公共點）；相切（一個公共點）將代入，消去y，得到關(guān)于x的二次方程 （*）若，相交；，相切；，相離綜上，得：聯(lián)立，得關(guān)于x的方程當（二次項系數(shù)為零），唯一一個公共點（交點）當，則若，兩個公共點（交點）若，一個公共點（切點）若，無公共點 （相離）（7）常用結(jié)論：和和弦長公式：【易錯題匯編】題型1：拋物線定義的應用【例1】拋物線上的一點到焦點的距離是則點的橫坐標為 （ ）A. B. C. D. 答案：B【例2】在拋物線 y2=8x 上求一點P，使P到焦點F 的距離與到

19、 Q(4 ，1)的距離的和最小，并求最小值 . 【變式2-1】已知直線和直線求拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值。提示：當時，最小值為2.題型二：焦點弦問題初探【例3】過拋物線的焦點的直線與拋物線相交于A,B兩點，自A,B向準線作垂線，垂足分別為,，求證：解答：由拋物線定義知則，又，則結(jié)論：拋物線焦點弦的兩個端點在準線上的射影和焦點的連線互相垂直。由知是直角三角形且由射影定理得，即因異號，所以 結(jié)論2拋物線焦點弦的兩個端點的同名坐標之積分別為常數(shù)和。結(jié)論3以拋物線焦點弦在準線上的射影為直徑的圓必與焦點弦相切于焦點。證明：點F在圓上，只需證明，設(shè) 所以，以為直徑的圓與AB相切于點F。結(jié)

20、論 以拋物線焦點弦為直徑的圓必與此拋物線的準線相切。證：提示：專題I：探究圓錐曲線中的定值和定點問題【前景展望】圓錐曲線中的定值問題是高考命題的一個熱點，也是圓錐曲線問題中的一個難點解決這個難點的基本思想是函數(shù)思想，可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等不受變量所影響的一個值，就是要求的定值具體地說，就是將要證明或要求解的量表示為某個合適變量的函數(shù)，化簡消去變量即得定值【熱點難點精析】在圓錐曲線中，某些幾何量在特定的關(guān)系結(jié)構(gòu)中，不受相關(guān)變元的制約而恒定不變，則稱該變量具有定值特征解答此類問題的基本策略有以下兩種：1、把相關(guān)幾何量的變元特殊化，在特例

21、中求出幾何量的定值，再證明結(jié)論與特定狀態(tài)無關(guān)2、把相關(guān)幾何量用曲線系里的參變量表示，再證明結(jié)論與求參數(shù)無關(guān)【典例精析】例1：過拋物線：（0）的焦點作直線交拋物線于兩點，若線段與的長分別為，則的值必等于（ ）A B C D解法1：（特殊值法）令直線與軸垂直，則有：，所以有解法2：（參數(shù)法）如圖1，設(shè)，且，分別垂直于準線于，圖1拋物線（0）的焦點，準線 ：又由，消去得， 例2：過拋物線（0）上一定點0），作兩條直線分別交拋物線于，求證：與的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率為非零常數(shù)【解析】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為由 相減得，故 同理可得， 由傾斜角互補知： 由 相減得， 直線的斜率為非零常數(shù)例3：已知定點在拋物線：（0）上，動點且求證：弦