第五章特征值和特征向量

1、第五章第五章 特征值和特征向量特征值和特征向量 矩陣的對角化矩陣的對角化u矩陣的特征值矩陣的特征值u矩陣的特征向量矩陣的特征向量u矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件1預(yù)備知識1.向量的內(nèi)積 在空間解析幾何中,向量的內(nèi)積(即數(shù)量積或點積)描述了內(nèi)積與向量的長度及夾角間的關(guān)系 內(nèi)積定義 ：夾角 ：向量的長度： cosx yx yarccosx yx yxx x123123112233( ,) (,)x x xy yyx yx yx y1122,nnxyxyxyxy內(nèi)積的坐標(biāo)表示式內(nèi)積的坐標(biāo)表示式 ：n定義1 設(shè)有 維向量 令1122 , ,nnx yx yx yx y稱為向量 與 的內(nèi)積內(nèi)積.

2、xy, ,x y z內(nèi)積性質(zhì)（其中 為 維向量， 為實數(shù)）:n , , ;x yy x（1）, , ;x yx y（2）, , , ;xy zx zy z（3）（4） 等號當(dāng)且僅當(dāng) 時成立. , 0,x x 0 x 22212 , nxx xxxx0;x ;xx.xyxy定義2 令 nx稱為 維向量 的長度長度（或范數(shù)范數(shù)）. 向量的長度具有下述性質(zhì)性質(zhì)： （1）非負(fù)性：（2）齊次性：（3）三角不等式：當(dāng) 時，稱 為單位向量單位向量. 1x x2 , , , x yx x y y , x yxy , 10 x yxyxy當(dāng)時Cauchy-Schwarz不等式不等式：或由此得任一非零向量除以它的

3、長度后就成了單位向量.這一過程稱為將向量單位化將向量單位化. 定義3 當(dāng) 時， 0,0 xy , arccosx yxy定義4 當(dāng) 時， , 0 x y nxy稱為 維向量 與 的夾角夾角. xy稱向量 與 正交正交（或垂直垂直）. 零向量與任何向量都正交定義5 若一個向量組中任意兩個向量都正交，則稱此向量組為正交向量組正交向量組. 12,r n定理定理2 若 維向量 是一組若一個正交向量組中每一個向量都是單位向量，則稱此向量組為正交規(guī)范向量組正交規(guī)范向量組或標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組正交向量組. 兩兩正交的非零向量組，則 12,r 線性無關(guān). 12111 ,1,12 求非零向量 ,使 成為正交向量組

4、. 3123, 1323,xxxTT13230,0 例例1 已知 解解 設(shè)則1231 110,1 120 xxx 即1 111 111 10,1 12003001112230,TTxxx由123,0 xxx 得11,0從而有基礎(chǔ)解系 3110取即為所求.與之等價的正交向量組 的方法： 12,r 11;2.Schmidt正交化方法 Schmidt正交化方法是將一組線性無關(guān)的向量1222111,;, 12,r 作如下的線性交換，化為一組1111,rrrrr12121122,rrrr 可以證明：12,r 兩兩正交，向量組 與12,k 12,k 等價.1kkr且對任何1121,11232311,1 ,

5、4110 例例2 將 正交規(guī)范化.123, 解解 先將 進行正交化，取 1222111, 32145111 ,63111 1323331211220,2 .,2 111211,61e333011 .21e 再將它們單位化，取 123,e e e則 即為所求. 22211131e定理3 為正交矩陣的充分必要條件是ATTAAA AE定義6 如果 階方陣 滿足 An3. 正交矩陣（即 ） 1TAA那么稱 為正交矩陣正交矩陣. AA的行（列）向量組為正交規(guī)范向量組. 定理4 設(shè)A，B都是n階正交方陣，則 （1）1;1A 或（2）T1,AAAB也是正交矩陣.正交矩陣舉例正交矩陣舉例：（1） n階單位矩陣

6、En；cossin.sincos（2）T.x xxTTTyy yx P Px設(shè) 為正交變換，則有yPxyPx定義7 若P為正交矩陣，則線性變換這說明，正交變換不改變向量的長度. 稱為正交變換正交變換.二 特征值和特征向量1. 概念定義1 設(shè)A是 n階方陣，如果數(shù)和n維非零列向量x使關(guān)系式Ax= x (1)成立，則稱是方陣A的特征值特征值；非零列向量x稱為A的對應(yīng)于特征值的特征特征向量向量. ()0(2)AE x（1）式也可寫為 1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa0(3)AE這是n個未知數(shù)n個方程的齊次線性方程組，即它有非零解的充要條件是系數(shù)行列式 方程組(2)的系數(shù)矩陣A

7、 - E 稱為A的特征矩陣特征矩陣;顯然，A的特征值就是A的特征方程的解，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，n階方陣A有n個特征值（重根按重數(shù)計算）. |A - E| 是的n次多項式,記作f() ，稱為A的特征多項式特征多項式; 式（3）稱為A的特征方程特征方程. A例例1 已知 是2125312Aab111, a b的一個特征向量，試確定參數(shù)解解 由特征值和特征向量的定義可知， 及特征向量 所對應(yīng)的特征值 . 3,0,1.ab 1, 2,1.ab 12,1ab212115311,1211ab即于是所以即所求解為2.特征值和特征向量的求法 ;AEAn（1）求出 階方陣 的特征多項式 求 階方陣 的特征值與特征向量

8、的步驟： An0AEi（2）求出特征方程 的全部根 ，i（3）把每個特征值 代入線性方程組（2），A 即是 的特征值； iA求出基礎(chǔ)解系，就是 對應(yīng)于 的特征向量，A基礎(chǔ)解系的線性組合（零向量除外）就是i對應(yīng)于 的全部特征向量34(7)(2),52例例2 求矩陣 的特征值和特征向量3452AA解解 的特征多項式為 A所以 的特征值為 122,7. 12 當(dāng) 時，對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 12540,540 xx 于是， 的對應(yīng) 的全部特征向量為A12 14.5p容易求得方程組的一個基礎(chǔ)解系為 12440,550 xx 當(dāng) 時，由 2711c p10c （ 為常數(shù)）21.1p 解得基礎(chǔ)解系 27A于

9、是， 的對應(yīng) 的全部特征向量為 22c p（ 為常數(shù)）20c 3.特征值和特征向量的性質(zhì) 定理1 設(shè) 是 階方陣，nA定理2 設(shè) 是方陣 的特征值， ,則 ,Nk mAkAk（1） 是 的特征值； （2）01( )mmfaaa是01( )mmf Aa Ea Aa A的特征值.則 與 有相同的特征值. TAA12,n n()ijAan定理3 設(shè) 階方陣 的 個特征值為1niiia11nniiiiia（1） ，其中 是 的主對Atr( ) ;AA角元之和，稱為矩陣矩陣 的跡的跡，記作1.niiA（2）推論 階方陣 可逆的充分必要條件是它的 任一特征值不等于零. An則m12,m A定理4 設(shè) 是方

10、陣 的 個特征值，1231,1,2 例例3 三階方陣 的三個特征值分別為A*32.AAE求12,mp pp依次是與之對應(yīng)的特征向量.12,m 如果 各不相等，則 12,mp pp線性無關(guān). 13,11,23, *132232 AAEAAEA*1.AA AA解解 可逆，所以1232,A 而故 232.xxx其中 A所以的特征值為于是 *32AAAE 1339. A例例4 是 的特征根， 可逆時，A11A是 的特征根.4. 應(yīng)用（發(fā)展與環(huán)保問題）為了定量分析工業(yè)發(fā)展與環(huán)境污染的關(guān)系，某地區(qū)提出如下增長模型： (1,2,)k 111181332733kkkkkkxxyyxy kkykx和 為第 個周

11、期后的污染損耗和工業(yè)產(chǎn)值. 0,.kkA210210,AAA 11811273kkkkxxyy即1(1,2,).kkAk或0由此模型及當(dāng)前的水平 ，可以預(yù)測若干發(fā)展周期后的水平：28133562733AE下面利用矩陣特征值和特征向量的有關(guān)性質(zhì)，A 的特征多項式為 122,3.A所以， 的特征值為A來計算 的冪.A為此，先計算 的特征值.20AE x121)對于特征值 ，解齊次線性方程組11.2p 的一個特征向量232)對于特征值 ，解齊次線性方程組30AE x的一個特征向量21.1p12A可得 的屬于23A可得 的屬于0111122nnnnnAA pp kn1p0如果當(dāng)前的水平 恰好等于 ，則

12、 時，12 ,2.nnnnxy即n它表明，經(jīng)過 個發(fā)展周期后，工業(yè)產(chǎn)值已達12n到一個相當(dāng)高的水平，但其中一半被2n污染損耗 所抵消，造成資源的嚴(yán)重浪費.10 2320 23nnnn1210 23nnpp01119如果當(dāng)前的水平 ，則不能直接應(yīng)用上述方法分析.01210nnnnAA pA p于是01210,pp此時由于4241,x 4n 特別地，當(dāng) 時，污染損耗為由上面的分析可以看出：4239y 工業(yè)產(chǎn)值為 ，損耗已超過了產(chǎn)值，經(jīng)濟將出現(xiàn)負(fù)增長.2pA盡管 的特征向量 沒有實際意義0但任一具有實際意義的向量都可以表示為1,p2p的線性組合2p從而在分析過程中， 仍具有重要作用. 2p因 中含負(fù)

13、分量三 相似矩陣1.概念與性質(zhì) ,Pn,A B定義1 設(shè) 都是 階方陣，若有可逆矩陣A則稱 是 的相似矩陣相似矩陣，或說矩陣 與 相似. ABB1P APAA對 進行運算 稱為對 進行相似變換相似變換.P可逆矩陣 稱為把 變成 的相似變換矩陣相似變換矩陣. BA1P APB使 n, ,A B C設(shè) 為 階方陣，則相似矩陣有下列（1）反身性 ；（2）對稱性 ；（3）傳遞性.BA定理1 若 與 相似，則 BA（1） 與 有相同的特征多項式和特征值； ;AB（2）( )( );R AR B（3）mAmmB（4） 與 也相似，其中 為正整數(shù). 基本性質(zhì)：2.矩陣可對角化的條件 PA把方陣 對角化方法，

14、即求相似變換矩陣nAn定理2 階方陣 相似于 階對角矩陣的nnA推論 如果 階方陣 有 個互不相等特征值， 1P AP 使 為對角陣.充要條件是nA有 個線性無關(guān)的特征向量. A則 與對角矩陣相似.例例1 已知矩陣10002000By200223 11Ax與相似.yx（1）求 與 ；（2）求一個可逆矩陣 ，使 1;P APBP100.A（3）求(1)(2)()y2(2)(1)2xx20010022020 ,31100 xy AEBEBA解解 （1）因 與 相似，故 即1230012 ,1 ,0111ppp 1 0 x 將 代入有 ；A（2） 的特征值為1，2，2，2.y 2 將 代入有()0A

15、E x解齊次線性方程組A可分別求得 的對應(yīng)特征向量111 112123300P1001001,APBP123001(,)210 ,111Pp pp 于是所求可逆矩陣 1.P APB使1APBP（3）由于 ，于是 100100100( 1)0002000( 2)001210111100A所以11 1121233001001011001011001001013 200122222231 22121四 實對稱矩陣的相似矩陣1.實對稱矩陣特征值的性質(zhì) 定理1 實對稱矩陣的特征值為實數(shù). 定理3 設(shè)是n階實對稱矩陣A的r重特征值， 則矩陣AE的秩為nr ， 從而對應(yīng)特征值恰有r個線性無關(guān)的特征向量. 定

16、理2 實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征 向量相互正交. 2.實對稱矩陣的相似理論 A定理4 任意實對稱矩陣 都與對角矩陣相似. 定理5 設(shè) 為 階實對稱矩陣，則存在正交矩 陣 ，使 ，其中 是以 的 個特征值為對角元素的對角矩陣 A1P APPnAn3.實對稱矩陣對角化方法 An 階實對稱矩陣 對角化的具體步驟:0AE（1）求出特征方程()0iAE xi（2）對每一特征值 ，解齊次線性方程組12,;iiiir求得它的一個基礎(chǔ)解系 12,s 所有不同的根Ai(1,2, );isir其中 為 的 重特征值 12,)ssssr1211121212(,rrP12,(1,2, );iiiiris（3）

17、利用Schmidt正交化方法，（4）記P則 為正交矩陣，使12,iiiir 把 正交化，12,iiiir得到正交向量組再單位化，得到正交單位向量組121122diag(,)srrrss 1P AP并且排列順序與P中正交規(guī)范向量組的排列順序相對應(yīng). iir其中，矩陣 的主對角線元素 的重數(shù)為2(3)(1)100021012AE100021 ,012A例例1 設(shè)P求一個正交矩陣 ，使 為對角矩陣.1P APA解解 的特征方程為 (3 )0AE x13當(dāng) 時，解方程組 得101 ,1 基礎(chǔ)解系101121p 單位化后得 ()0AE x當(dāng) 時，解方程組2311233,1.A故 的特征值為 231010 ,1.201pp 23100 ,1.01 得基礎(chǔ)