2022年六年奧數(shù)綜合練習(xí)題十一答案(工程問題)

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載六年奧數(shù)綜合練習(xí)題十一答案（工程問題）在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項任務(wù)，完成某項工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時間這三個量，它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是工作量 =工作效率×時間 .在學(xué)校數(shù)學(xué)中，探討這三個數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題”.舉一個簡潔例子 .一件工作，甲做 10 天可完成，乙做 15 天可完成 .問兩人合作幾天可以完成？一件工作看成 1 個整體，因此可以把工作量算作1.所謂工作效率，就是單位時間內(nèi)完成的工作量，我們用的時間單位是“天” ， 1 天就是一個單位，再依據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式，得到所需時間 =工作量

2、7;工作效率=6（天）·兩人合作需要 6 天.這是工程問題中最基本的問題，這一講介紹的很多例子都是從這一問題進展產(chǎn)生的.為了運算整數(shù)化（盡可能用整數(shù)進行運算），如第三講例 3 和例 8 所用方法，把工作量多設(shè)份額.仍是上題， 10 與 15 的最小公倍數(shù)是 30.設(shè)全部工作量為 30 份.那么甲每天完成 3 份，乙每天完成 2 份.兩人合作所需天數(shù)是30÷（ 3+ 2 ） = 6（天）數(shù)運算，就便利些. 2.或者說“工作量固定，工作效率與時間成反比例”.甲、乙工作效率的比是15 10=3 2.當(dāng)知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也需時間是因此，在下面例題的敘述中，

3、不完全采納通常教科書中“把工作量設(shè)為整體1”的做法，而偏重于“整數(shù)化”或“從比例角度動身”，或許會使我們的解題思路更敏捷一些.一、兩個人的問題標題上說的“兩個人” ，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體.例 1 一件工作，甲做9 天可以完成，乙做6 天可以完成 .現(xiàn)在甲先做了 3 天，余下的工作由乙連續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？答：乙需要做 4 天可完成全部工作 .解二： 9 與 6 的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是 18 份.甲每天完成 2 份，乙每天完成3 份.乙完成余下工作所需時間是（ 18- 2 × 3）÷ 3= 4（天） . 解三： 甲與乙的工作效率之

4、比是6 9= 2 3.甲做了 3 天，相當(dāng)于乙做了2 天.乙完成余下工作所需時間是6-2=4（天） .例 2 一件工作，甲、乙兩人合作30 天可以完成，共同做了6 天后，甲離開了，由乙連續(xù)做了40 天才完成 .假如這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？ 解： 共做了 6 天后，原先，甲做 24 天，乙做 24 天，現(xiàn)在，甲做 0 天，乙做 40=（ 24+16 ）天 .這說明原先甲 24 天做的工作，可由乙做16 天來代替 .因此甲的工作效率假如乙獨做，所需時間是假如甲獨做，所需時間是答：甲或乙獨做所需時間分別是75 天和 50 天.例 3 某工程先由甲獨做63 天，再由乙單獨做28 天即可完

5、成；假如由甲、乙兩人合作，需48 天完成 .現(xiàn)在甲先單獨做 42 天，然后再由乙來單獨完成，那么乙仍需要做多少天？ 解： 先對比如下：甲做 63 天，乙做 28 天；甲做 48 天，乙做 48 天.就知道甲少做 63-48=15（天），乙要多做 48-28=20 （天），由此得出甲的甲先單獨做 42 天，比 63 天少做了 63-42=21 （天），相當(dāng)于乙要做因此，乙仍要做28+28= 56 （天） .答：乙仍需要做56 天.例 4 一件工程， 甲隊單獨做 10 天完成， 乙隊單獨做 30 天完成 .現(xiàn)在兩隊合作， 其間甲隊休息了 2 天，乙隊休息了 8 天（不存在兩隊同一天休息）.問開頭到

6、完工共用了多少天時間？解一： 甲隊單獨做 8 天，乙隊單獨做 2 天，共完成工作量余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數(shù)是2+8+ 1= 11 （天） .答：從開頭到完工共用了11 天.解二： 設(shè)全部工作量為 30 份.甲每天完成 3 份，乙每天完成 1 份.在甲隊單獨做8 天，乙隊單獨做 2 天之后， 仍需兩隊合作（ 30- 3 × 8- 1× 2）÷（ 3+1 ）= 1 （天） .解三： 甲隊做 1 天相當(dāng)于乙隊做 3 天.在甲隊單獨做8 天后，仍余下（甲隊）10-8= 2（天）工作量 .相當(dāng)于乙隊要做 2× 3=6（天） .乙隊單獨做 2天后，仍

7、余下（乙隊）6-2=4 （天）工作量 .4=3+1 ，其中 3 天可由甲隊 1 天完成，因此兩隊只需再合作1 天.例 5 一項工程，甲隊單獨做20 天完成，乙隊單獨做30 天完成 .現(xiàn)在他們兩隊一起做，其間甲隊休息了3天，乙隊休息了如干天.從開頭到完成共用了16 天.問乙隊休息了多少天？ 解一： 假如 16 天兩隊都不休息，可以完成的工作量是由于兩隊休息期間未做的工作量是乙隊休息期間未做的工作量是乙隊休息的天數(shù)是答：乙隊休息了 5 天半 .解二： 設(shè)全部工作量為 60 份.甲每天完成 3 份，乙每天完成 2 份.兩隊休息期間未做的工作量是（ 3+2 ）× 16- 60= 20 （份）

8、 .因此乙休息天數(shù)是（ 20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天） .解三： 甲隊做 2 天，相當(dāng)于乙隊做3 天.甲隊休息 3 天，相當(dāng)于乙隊休息4.5 天.假如甲隊 16 天都不休息，只余下甲隊4 天工作量，相當(dāng)于乙隊6 天工作量，乙休息天數(shù)是16-6-4.5=5.5 （天） .例 6 有甲、乙兩項工作，張單獨完成甲工作要10 天，單獨完成乙工作要15 天；李單獨完成甲工作要8天，單獨完成乙工作要20 天.假如每項工作都可以由兩人合作，那么這兩項工作都完成最少需要多少天？ 解： 很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙. 設(shè)乙的工作

9、量為 60 份（ 15 與 20 的最小公倍數(shù)） ，張每天完成4 份，李每天完成 3 份.8 天，李就能完成甲工作.此時張仍余下乙工作（60-4× 8）份.由張、李合作需要（ 60-4× 8）÷（ 4+3） =4（天） . 8+4=12（天） .答：這兩項工作都完成最少需要12 天.例 7 一項工程，甲獨做需10 天，乙獨做需 15 天，假如兩人合作，他要 8 天完成這項工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？解： 設(shè)這項工程的工作量為30 份，甲每天完成 3 份，乙每天完成 2 份.兩人合作，共完成3× 0.8 + 2 × 0.9=

10、 4.2（份） .由于兩人合作天數(shù)要盡可能少，獨做的應(yīng)是工作效率較高的甲.由于要在 8 天內(nèi)完成，所以兩人合作的天數(shù)是（ 30-3× 8）÷（ 4.2-3） =5（天） .很明顯，最終轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”型問題.例 8 甲、乙合作一件工作，由于協(xié)作得好，甲的工作效率比單獨做時假如這件工作始終由甲一人單獨來做，需要多少小時？ 解： 乙 6 小時單獨工作完成的工作量是乙每小時完成的工作量是兩人合作 6 小時，甲完成的工作量是甲單獨做時每小時完成的工作量甲單獨做這件工作需要的時間是答：甲單獨完成這件工作需要33 小時 .這一節(jié)的多數(shù)例題都進行了“整數(shù)化”的處理.但是，“整數(shù)化”并不

11、能使全部工程問題的運算簡便.例 8 就是如此 .例 8 也可以整數(shù)化，當(dāng)求出乙每有一點便利，但好處不大.不必多此一舉 .二、多人的工程問題我們說的多人，至少有3 個人，當(dāng)然多人問題要比2 人問題復(fù)雜一些，但是解題的基本思路仍是差不多.例 9 一件工作，甲、乙兩人合作36 天完成，乙、丙兩人合作45 天完成，甲、丙兩人合作要60 天完成 .問甲一人獨做需要多少天完成？解：設(shè)這件工作的工作量是1.甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨做需要90 天完成 .例 9 也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180 份，甲、乙合作每天完成5 份，乙、丙合作每天完成4 份，甲

12、、丙合作每天完成 3 份.請試一試，運算是否會便利些？例 10 一件工作，甲獨做要12 天，乙獨做要 18 天，丙獨做要 24 天.這件工作由甲先做了如干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3 倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2 倍，最終做完了這件工作 .問總共用了多少天？解： 甲做 1 天，乙就做3 天，丙就做 3× 2=6 （天） .說明甲做了 2 天，乙做了 2× 3=6 （天），丙做 2× 6=12 天），三人一共做了2+6+12=20 （天） .答：完成這項工作用了20 天.此題整數(shù)化會帶來運算上的便利.12， 18， 24 這三數(shù)有一

13、個易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部工作量為72.甲每天完成 6，乙每天完成 4，丙每天完成3.總共用了例 11 一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13 天完成 .假如丙休息 2 天，乙就要多做 4 天，或者由甲、乙兩人合作 1 天.問這項工程由甲獨做需要多少天？解： 丙 2 天的工作量，相當(dāng)乙4 天的工作量 .丙的工作效率是乙的工作效率的4÷ 2=2 （倍），甲、乙合作 1天，與乙做 4 天一樣 .也就是甲做 1 天，相當(dāng)于乙做 3 天，甲的工作效率是乙的工作效率的3 倍.他們共同做 13 天的工作量，由甲單獨完成，甲需要答：甲獨做需要 26 天.事實上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效

14、率之比是32 1，就知甲做 1 天，相當(dāng)于乙、丙合作1 天.三人合作需 13 天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13 天來完成 .例 12 某項工作，甲組 3 人 8 天能完成工作，乙組4 人 7 天也能完成工作 .問甲組 2 人和乙組 7 人合作多少時間能完成這項工作？解一： 設(shè)這項工作的工作量是1.甲組每人每天能完成乙組每人每天能完成甲組 2 人和乙組 7 人每天能完成答：合作 3 天能完成這項工作 .解二： 甲組 3 人 8 天能完成，因此 2 人 12 天能完成；乙組 4 人 7 天能完成，因此7 人 4 天能完成 .現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：甲組獨做 12 天，乙組

15、獨做4 天，問合作幾天完成？學(xué)校算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特別性.解二是比例敏捷運用的典型，假如你心算較好， 很快就能得出答數(shù).例 13 制作一批零件， 甲車間要 10 天完成， 假如甲車間與乙車間一起做只要6 天就能完成 .乙車間與丙車間一起做，需要 8 天才能完成 .現(xiàn)在三個車間一起做，完成后發(fā)覺甲車間比乙車間多制作零件2400 個.問丙車間制作了多少個零件？解一： 仍設(shè)總工作量為 1.甲每天比乙多完成因此這批零件的總數(shù)是丙車間制作的零件數(shù)目是答：丙車間制作了4200 個零件 .解二： 10 與 6 最小公倍數(shù)是 30.設(shè)制作零件全部工作量為30 份.甲每天完成 3 份，甲、乙一起每天完成5

16、份，由此得出乙每天完成2 份.乙、丙一起， 8 天完成 .乙完成 8× 2=16（份），丙完成 30-16=14 （份），就知乙、丙工作效率之比是16 14=87.已知甲、乙工作效率之比是32= 12 8. 綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12 8 7.當(dāng)三個車間一起做時，丙制作的零件個數(shù)是2400÷（ 12- 8 ） × 7= 4200 （個） .例 14 搬運一個倉庫的貨物，甲需要10 小時，乙需要 12 小時，丙需要 15 小時.有同樣的倉庫 a 和 b ，甲在 a 倉庫、乙在b 倉庫同時開頭搬運貨物，丙開頭幫忙甲搬運，中途又轉(zhuǎn)向幫忙乙搬運.最終兩個倉

17、庫貨物同時搬完 .問丙幫忙甲、乙各多少時間？解： 設(shè)搬運一個倉庫的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2，所需時間是答：丙幫忙甲搬運3 小時，幫忙乙搬運5 小時 .解此題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運兩個倉庫的時間.此題運算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運一個倉庫全部工作量為 60.甲每小時搬運6，乙每小時搬運5，丙每小時搬運 4.三人共同搬完，需要60 × 2÷ （ 6+ 5+ 4） = 8（小時） .甲需丙幫忙搬運（ 60- 6× 8）÷ 4= 3（小時） .乙需丙幫忙搬運（ 60- 5× 8）÷ 4= 5（小時） .三、水管問題

18、從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于一項工程，注水量或排水量就 是工作量 .單位時間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同.例 15 甲、乙兩管同時打開， 9 分鐘能注滿水池 .現(xiàn)在，先打開甲管， 10 分鐘后打開乙管，經(jīng)過3 分鐘就注滿了水池 .已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6 立方米水，這個水池的容積是多少立方米？甲每分鐘注入水量是乙每分鐘注入水量是因此水池容積是答：水池容積是 27 立方米 .例16有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現(xiàn)在按預(yù)定時間注滿水池，假如開頭時

19、就打開10 根水管，中途不增開水管，也能按預(yù)定時間注滿水池.問開頭時打開了幾根水管？答：開頭時打開 6 根水管 .例 17 蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3 小時，單開丙管需要 5 小時 .要排光一池水，單開乙管需要、乙、的次序輪番打開1 小時，問多少時間后水開頭溢出水池？，否就開甲管的過程中水池里的水就會溢出.以后（ 20 小時），池中的水已有此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進了枯井的青蛙，它要往上爬30 尺才能到達井口，每小時它總是爬 3 尺，又滑下 2 尺.問這只青蛙需要多少小時才能爬到井口？看起來它每小時只往上爬3- 2= 1（尺），

20、但爬了 27 小時后，它再爬 1 小時，往上爬了3 尺已到達井口 .因此，答案是 28 小時，而不是 30 小時 .例 18 一個蓄水池，每分鐘流入4 立方米水 .假如打開 5 個水龍頭， 2 小時半就把水池水放空，假如打開8個水龍頭， 1 小時半就把水池水放空.現(xiàn)在打開 13 個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？ 解： 先運算 1 個水龍頭每分鐘放出水量.2 小時半比 1 小時半多 60 分鐘，多流入水4 × 60= 240（立方米） .時間都用分鐘作單位，1 個水龍頭每分鐘放水量是240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90） = 8 （立方米），8

21、 個水龍頭 1 個半小時放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90 分鐘內(nèi)流入水量是4 × 90，因此原先水池中存有水8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米） .打開 13 個水龍頭每分鐘可以放出水8× 13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（ 8 × 13- 4） =54 （分鐘） .答：打開 13 個龍頭，放空水池要54 分鐘 .水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解此題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含

22、著的 .例 19 一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的 .打開 a 管， 8 小時可將滿池水排空， 打開 c 管， 12 小時可將滿池水排空 .假如打開 a ，b 兩管， 4 小時可將水排空 .問打開 b ，c 兩管，要幾小時才能將滿池水排空？解： 設(shè)滿水池的水量為 1.a 管每小時排出a 管 4 小時排出因此， b ， c 兩管齊開，每小時排水量是b ，c 兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是答： b， c 兩管齊開要 4 小時 48 分才將滿池水排完.此題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由于不知詳細數(shù)量，像工程問題不知工作量的詳細數(shù)量一樣 .這里把兩種水量分別

23、設(shè)成“1”.但這兩種量要防止混淆.事實上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8 與 12的最小公倍數(shù)24.17 世紀英國宏大的科學(xué)家牛頓寫過一本普遍算術(shù)一書，書中提出了一個“牛吃草”問題，這是一道饒好玩味的算術(shù)題 .從本質(zhì)上講， 與例 18 和例 19 是類同的 .題目涉及三種數(shù)量： 原有草、 新長出的草、 牛吃掉的草 .這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的.例 20 有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一草； 21 頭牛 9 星期吃完其次片牧場的草.問多少頭牛 18 星期才能吃完第三片牧場的草？解： 吃草總量 =一頭牛每星期吃草量×牛頭數(shù)×星期數(shù).依據(jù)這一運算公式，可以設(shè)定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計量單位.原有草 +4 星期新長的草 =12× 4.原有草 +9 星期新長的草 =7× 9.由此可得出，每星期新長的草是（ 7× 9-12× 4）÷（ 9-4） =3.那么原有草是7× 9-3× 9