淺談構(gòu)造函數(shù),妙解數(shù)學(xué)難題.doc

1、2013年全市普通高中開放周論文封面論文題目: 淺談構(gòu)造函數(shù)，妙解數(shù)學(xué)難題 單位(全稱)： 龍 巖 四 中 作者姓名： 林 建 華 聯(lián)系電話：論文摘要：一、構(gòu)造一次函數(shù)，巧證不等式 二、構(gòu)造單調(diào)函數(shù)，巧證不等式 三、依題構(gòu)造函數(shù)，巧用函數(shù)思想解題 四、構(gòu)造二次函數(shù),利用圖象巧解題五、構(gòu)造三角函數(shù),巧證不等式 六、構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，巧解難題 七、構(gòu)造“準(zhǔn)"反函數(shù)的形式，巧求最值 八、構(gòu)造相應(yīng)函數(shù),巧用二項式性質(zhì)解題九構(gòu)造函數(shù)解恒成立問題淺談構(gòu)造函數(shù),妙解數(shù)學(xué)難題有些數(shù)學(xué)較難的題目，若從大家熟悉常用的方法去直接探求,常常感到繁難,甚至一籌莫展,思路堵塞。不妨轉(zhuǎn)換思

2、維角度，從題目的實際出發(fā)，巧妙構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)模型,頓覺抑暗花明又一村，常常得到簡捷清晰的解法，讓人有耳目一新的感覺，以下簡單介紹一下如何構(gòu)造函數(shù)妙解數(shù)學(xué)難題。一、構(gòu)造一次函數(shù)，巧證不等式例：已知證明：構(gòu)造一次函數(shù)二、構(gòu)造單調(diào)函數(shù)，巧證不等式例：已知求證:證：構(gòu)造函數(shù)，易證 當(dāng). 構(gòu)造方程法，巧得解析式 通過賦予不同變量構(gòu)造一組方程，通過解新的方程的方法求出的解析式。例：設(shè)滿足求函數(shù)的解析式.解：用 中的得 即 聯(lián)立消去得：三、依題構(gòu)造函數(shù),巧用函數(shù)思想解題例：已知a、b、c是實數(shù),函數(shù) （1）證明: （2）證明:當(dāng) （1）證明： 又 (2）證明：是一次函數(shù),是二次函數(shù)，用表示 可設(shè) 將右邊

3、化簡,多解調(diào)式得。 是實數(shù) 式成立的條件是 四、構(gòu)造二次函數(shù)，利用圖象巧解題例：若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。分析：此題是三角背景下的一道函數(shù)題,不等式的左邊可化為的二次函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上大于0恒成立的問題，固對稱軸x=m含有參數(shù),故分類為對稱軸在左邊，右邊函數(shù)三種情況討論，注意分類時不要遺漏區(qū)間的端點。解：依題意得： 即 設(shè) 再設(shè)，即化為，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍 在上恒成立（1） 即 得（2） 即 （3） 即 即 得綜合(1)(2）（3)得，五、構(gòu)造三角函數(shù),巧證不等式構(gòu)造三解函數(shù)模型引出三解代換，巧證不等式.已知：試證：（1) (2) （3）證明：令，則有(1）（2) = = （

4、3） = 六、構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),巧解難題 在高中數(shù)學(xué)有些題，若直接利用一般不等式方法證明則較困難,若采用構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，然后再利用求導(dǎo)的方法，利用函數(shù)的單調(diào)性來加以證明則要簡便多了.例：當(dāng)時，求證： 分析：可設(shè)函數(shù)為，因為在內(nèi)可導(dǎo)，從而通過考察的單調(diào)性來證明不等式. 證明：設(shè) 則 而在內(nèi)單調(diào)遞增. 又 時即. 七、構(gòu)造“準(zhǔn)”反函數(shù)的形式,巧求最值 例：求函數(shù)的最值。 解：將已知函烽化為 其中 又 當(dāng)時,函數(shù)取得最小值0。 當(dāng)時，函數(shù)取得最大值. 八、構(gòu)造相應(yīng)函數(shù),巧用二項式性質(zhì)解題例:證明：當(dāng) 分析：由次數(shù)是n聯(lián)想到及其展開式恰與不等式左、右兩邊結(jié)構(gòu)相似，再進行放縮事論證，必須對二項式系數(shù)性質(zhì)應(yīng)

5、達(dá)到一定的熟練程度。要把及諸聯(lián)系起來，做到見其一能想其三. 證明：設(shè) 即 當(dāng) 當(dāng) 九構(gòu)造函數(shù)解恒成立問題在解決恒成立問題時，我們經(jīng)常會遇到兩類題型：一是已知x的取值范圍求參數(shù)a的范圍；二是已知參數(shù)a的范圍求x的范圍，它們都可以用構(gòu)造函數(shù)的方法來解決.例1 已知不等式x2+ax+3a0,當(dāng)x2, 2時恒成立，求a的取值范圍.方法一：整體構(gòu)造法分析一：本題可構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)= x2+ax+3-a.若想使f(x）0在x2, 2上恒成立,只要使y= f(x)在x-2, 2上最小值g（a）0即可。解法一：設(shè)f（x)的最小值為g（a），則(i）當(dāng)又a4，故此時a不存在。(ii)當(dāng)，即6a2。又4a4，故-4a2.方法二:分離構(gòu)造法分析二：將參量a與x分離到不等號的兩側(cè)進行救解。解法二: 例2 求x 的取值范圍.分析：從表面上看，這是一個關(guān)于x的一元二次不等式，但實際是一個關(guān)于m的一元一次不等式，并且已知它的解集為2,2，求參