高等數(shù)學(xué)無(wú)窮級(jí)數(shù)

1、第七章無(wú)窮級(jí)數(shù)10 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念及性質(zhì)1、定義P264ana1a2ann 1an 稱為一般項(xiàng)或通項(xiàng)Snu1u 2u n 稱為前 n 項(xiàng)部分和例 1、10.333331010210n1 23n1111(1) n 1n2、定義Snu KK1anSn 1 Sn如 Sn 收斂，則an 收斂n 13、幾個(gè)重要極限等比級(jí)數(shù)（幾何）aqn ，當(dāng) q1 收斂， q1發(fā)散；n 0P 級(jí)數(shù)1P1收斂，P1發(fā)散；nPn 11當(dāng) P1，又稱調(diào)和級(jí)數(shù)。n 1 n4、級(jí)數(shù)性質(zhì)P266性質(zhì) 5 是級(jí)數(shù)收斂的必要條件即an收斂l i man0n 1n例 1、n -1發(fā)散，lim anlimn110n 1 2n1nn2n12

2、例 2、3n發(fā)散， lim3n1 0n 3nn 1n 3nn例 3、1發(fā)散，但 lim10n 1nnn20 正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法u nu n0n 1正項(xiàng)級(jí)數(shù)部分和數(shù)列Sn 單調(diào)遞增正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和數(shù)列有上界1、比較判別法設(shè) Vnun ，如V n收斂，則un收斂n 1n 1如u n發(fā)散，則V n發(fā)散n 1n 1例、判別下列級(jí)數(shù)斂散性1sin2 n3（ 1）（2）2n2n 14nnn 1解（1）由于11114n2n4n2n25n 1 發(fā)散，原級(jí)數(shù)發(fā)散n 1 nsin2 n11（2）由于3，而收斂，原級(jí)數(shù)收斂n 2n 2n 1n 2比較判別法的極限形式如 limu nA 則有n Vn0 A時(shí)u n ，V

3、n ，同時(shí)收斂，同時(shí)發(fā)散n 1n 1A=0如V n收斂，則un 收斂n 1n 1A=+ 如u n收斂，則Vn 收斂n 1n 1判別下列級(jí)數(shù)斂散性例、lnn1n 1nln n11limn1 又發(fā)散，原級(jí)數(shù)發(fā)散n1n 1nn例、（ 1）1（2） (11lnncos )（3）n 1 n 21 nn 1nn 2 n1解：（ 1）由 limn 2nnlimn121nnnnnn1cos 1121（ 2）limnlim2nn1n12n 2n 21收斂原級(jí)數(shù)收斂n 1 n2（3） lnn1(n 3) 1發(fā)散，nnn 1 nlnn發(fā)散n 1n例、 P271例 7.7 7.82、比判別法設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)un 的一般項(xiàng)滿

4、足n 1limun 1n u n則當(dāng)1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，1 時(shí)發(fā)散，1不定3、根值法設(shè) un 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如 lim n u nn 1n則當(dāng)1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，1 時(shí)發(fā)散，1不定正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別其斂散性的步驟：0首先考察 lim u nn0發(fā)散需進(jìn)一步判別如 un 中含 n!或 n 的乘積通常選用比值法；如 un 是以 n 為指數(shù)冪的因子，通常用根值法，也可用比值法；如 un 含形如 n （ 可以不是整數(shù)）因子，通常用比較法；利用級(jí)數(shù)性質(zhì)判別其斂散性；據(jù)定義判別級(jí)數(shù)斂散性， 考察 lim Sn 是否存在，實(shí)際上考察Snn是否有上界。例、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性2n n!nn1（1）（2）（3）設(shè) a 0n 1

5、 n nn 1 2n 1n 11 an（4）6nn5n（ 5）nn 17nn 1 41 n（6）x nx 0 為常數(shù)n 1 1 x 1 x21 x nlnnncos2n（7）（ 8）3n 12n nn 14n2n 1n 1 !解：（ 1）u n 1limn1 n 1nlimu n2n!nnnn2nnlimnnn1lim2nn11n21收斂e（ 2）方法一：lim n u nlimn1收斂2n12nnnnnn1n方法二：12n22nn1收斂原級(jí)數(shù)收斂n 12limu n 1limx n 11 x 1 x 21 x nu n1x 1 x21 xn 1xnnnlimx1xn 1nx0x11x1級(jí)數(shù)收

6、斂20x1limun 1limln n12n nu n2n 1n 1lnnnnlim ln n 1n 110 收斂n2 l n nn2（）當(dāng)a 1 lim u nlim110發(fā)散322nn0 a 1 lim u nlim110發(fā)散1ann 0na 1111為公比 11的等比級(jí)數(shù)1anann1ana 收斂n6nn7n（4） lim 75nlimnn1675nn7n6n收斂，7n 1 原級(jí)數(shù)收斂nnn為奇數(shù)nn（5）n n3 u nn41nn為偶數(shù)35n對(duì)n limun 1limn1 3n1n 13nu n3n 1n1nn3nn 13n收斂，又由比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂n cos2 nnn（6） u

7、 n3，由此值法知收斂44 nn 1 4n原級(jí)數(shù)收斂3°交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性的判別法如 u n0 ，則稱n 1u1 u2u3 u 4為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。1 u nn 1萊伯尼茲判別法：如交錯(cuò)級(jí)數(shù)1n 1un 滿足：n 1( i )u n u n1( ii )lim u n0n8n 1則收斂，且和 s u11 unn1例、判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性。1P274 例 7.1321n1nnn 1解： lim u nlimn 1n lim10nnnn 1n u nn1n11n1nn 2n 1n2n1u n 1收斂31 n 11n 1nln n解： lim u nlim1lim 110nnnln nnnln n

8、1nn 1 ln n 1n ln n 1 ln 110n11即u nu n 1n 1 ln n 1n ln n收斂4°絕對(duì)收斂與條件收斂定義P275u n為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)n 1如u n收斂 稱u n絕對(duì)收斂n 1n 1如u n發(fā)散u n收斂 稱u n條件收斂n 1n 1n 1定理，如u n收斂 u n必收斂n 1n 1例、 P276例 7.177.18例、判斷級(jí)數(shù)的斂散性， 如收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂n n 1n10nn( 1 )1 2( 2 )b2 n1b 0n 1n 1nu n 1n 1 102 n1110解：( 1 ) limlim1u n2n 1n10lim 1n1nn2 n2原級(jí)數(shù)收斂，且絕對(duì)收斂。解： ( 2 )