數(shù)列求和常見的7種方法

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項(xiàng)消去法求和分段求和法（合并法求和）利用數(shù)列通項(xiàng)法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯位相減三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列

2、求和的最基本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式:2、等比數(shù)列求和公式：Snn(ai , an)2naiSn = 3(1 -qn) _ ai -anq i-q i-q(q =i)(q 二 i)3、. niSn = k n(n i) k i24、Snin(n i)(2n i) 6i5、i23n例1已知log3 x =，求x + x +x + x +的刖n項(xiàng)和.log 2 3解：由log3 x-ilog 2 3， ci=log 3 x - - log 3 2 = x =由等比數(shù)列求和公式得23nSn=x x x»-x(利用常用公式)11x(1-xn)_2(1-n1-12例 2設(shè) Sn= 1+

3、2+3+ - +n , nC N ,求 f (n)=Sn-的最大值.(n 32)511解：由等差數(shù)列求和公式得Sn=n(n+1),21，八，Sn =(n1)(n2)2(利用常用公式)f (n)=Sn(n 32)51n2n 34n 6412111=< 648 250n 34( . n -)5050nn8 r, ,、1當(dāng) Jn，即 n=8 時，f(n)max= . 850二、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an - bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例 3求和:Sn =1 +3x +5x2 +7x3 + +(

4、2n -1)xna 解：由題可知，(2n -1)xn的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列xn的通項(xiàng)之積設(shè) xSn =1x+3x2 +5x3 +7x4 +(2n-1)xn (設(shè)制錯位)一得(1 -x)Sn =1 +2x + 2x2 +2x3 +2x4 + + 2xn-(2n-1)xn(錯位相減)1 - xn 4再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1 -x)Sn =1 2x 1- -(2n-1)xn1 一 xSn(2n -1)xn 1 -(2n 1)xn (1 x)(1 -x)2例4求數(shù)列2,當(dāng)§；”,前n項(xiàng)的和.2 22 232n2n 1解：由題可知，丁的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)

5、列二的通項(xiàng)之積2n2n設(shè)Sn1 Sn22=一+222246 十22232n2nr1得(1 -)Sn2二2-一2221 nj+ -十一-十+ 34n2222n 2n 12n2n 1（設(shè)制錯位）（錯位相減）Sn = 4 -三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序）,再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n個（a1 +an）.例 5求證：C0 +3C： +5C2 + + (2n +1)C： =(n+1)2n證明： 設(shè) Sn =C0 +3C： +5C2 + - + (2n +1)Cn把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得Sn =(2n 1)Cn (2n -1)C -十+3C

6、： +C0又由cnm=c：R可得Sn =(2n 1)C0 (2n-1)C；3c尸 Cn+得 2Sn =(2n+2)(C0 +C； + + C：/+C：) = 2(n+1)，2n（反序）（反序相加）Sn =(n 1) 2n2'2'2'2'2例 6求sin 1 +sin 2 +sin 3 + +sin 88 +sin 89 的值2、2、2、2 工、2斛：設(shè) S = sin 1 sin 2 sin 3 d-sin 88 sin 89將式右邊反序得（反序）（反序相加）_2 J 242-2-2S =sin 89 sin 88 一 s i n 3 s i n 2 s i n

7、 122,又因?yàn)?sinx=cos(90 - x), sin x cos x=1+得2s = (sin21 +cos21 ) + (sin2 2 + cos2 2 )+ +(sin2 89 + cos2 89 )=89S= 44.52*題1已知函數(shù)(1)證明： /+/(1-加1;/fl+/fv-+/(-'l+f-求uojUoJ 1劃的值.解：(1)先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊 (2)利用第(1)小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，=右邊令S=/113兩式相加得:所以 2 .練習(xí)、求值:r 2£ = -77 + 7 + T HF -T :f+l2,站 32+82102+t四、

8、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可一111例 7求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和：1+1,+4，F(xiàn) + 7,：Fj+3n2, 一 a aa111 一 _、解：設(shè) Sn =(1 , 1) ,(一 , 4) ,(二, 7)上二(f 3n -2) a aa將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得111Sn = (1 _ 二 -nr)(1 4 7 -"3n -2)a a a當(dāng)a=1時，&i十正如=且更 22(分組)(分組求和)當(dāng)a#1時，Snan . (3n-1)n121 -na - a (3n -1)na

9、 -12例8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.解：設(shè) ak = k(k 1)(2k 1); 2k3 3k2 kSn =£ k(k+1)(2k+1) = £ (2k3 +3k2 十k)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得32Sn=2£ k +3£ k +z k（分組）= 2(13+23，n3)+3(12+22 -,n2)+(1 + 2，n)n2(n 1)2n(n 1)(2n 1) n(n 1)（分組求和）n(n 1)2(n 2)五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最

10、終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:(1)an二 f (n 1) - f(n)(2)sin 1=tan(n 1) - tan n cosn cos(n 1)(3)ann(n 1)(4)an(2n)2(2n -1)(2n 1)2 2n -1 2n 1(5)(6)(7)(8)anan=二n(n -1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)n(n 1) 2n例9求數(shù)列2(n 1)。nn(n 1)(An B)(An C)2nn 2nJ(n 1)2nC - B ( An B12,2. 3, , .n ，n 1解：設(shè)anAn C,的前n項(xiàng)和.，則 Sn =1-(n 1)2n（裂項(xiàng)）,111（裂

11、項(xiàng)求和）則 Sn1cos1：(tan89 -tanO ) =： cot1 = sin1sin1sin 1. .11.2.2.3n 、n 1=(、.2 - .1) (.3 - . 2) ( . n 1 - n)=.n 1 -1例 10在數(shù)列an中，an =十二一 + 一，+一n n 1 n 1 n 1_12n解：an =+，+n 1 n 1 n 1bn =J=8(1_,)n n Jn n 12 2數(shù)列b n的前n項(xiàng)和.2 ,又bn =,求數(shù)列bn的刖n項(xiàng)的和.an an 1n2(裂項(xiàng))（裂項(xiàng)求和）111111Sn=8(1-2)(2-)(-；)(-例 11求證:1=8(1一有8nn 1111 +

12、+ * + Zcos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89cos1.2 .sin 1111斛：設(shè) S =- -cos0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89sin1cosn cos(n 1)-=tan(n 1) -tan n（裂項(xiàng)）原等式成立答案:111一 一S =1E +1： + +1E(裂項(xiàng)求和)cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos891=(tan 1 -tan 0 ) (tan 2 - tan1 ) (tan 3 - tan 2 ) tan 89 - tan88 sin 1六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在

13、一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這 些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求 Sn.例 12 求 cos1° + cos2° + cos3° + cos178° + cos179° 的值.解：設(shè) Sn= cosl° + cos2° + cos3° + cos178° + cos179°（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）cos177° ） + （合并求和）cosn - _cos(180 -n )Sn=(cos1° + cos179° ) + ( cos2° + cos

14、178° ) + (cos3° + (cos89° + cos91° ) + cos90° =0例 13數(shù)列an： a =1,a2 =3, a3 =2且付二a9 -an,求 S2002.解：設(shè)S2002=a1a2a3 -，a2002由a1 =1,a2= 3,a3 = 2, an 電=an+ an 可得a4 = -1, a5 - -3, a6 = -2,a7 = 1, a 8 = 3,a9 = 2,a10 二 - 1,an 二 -3, a12 = -2,（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）（合并求和）' a6k-2 ' ' ' 

15、9; a6k 6 ）' a2002-log 3 a10 的值.（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）a6）（合并求和）a6k 1 =1，a6k2 =3, a6k3 = 2,a6k:：；4二 -1, a6k 5二 -3,a6k 6a6k 1 'a6k2 ' a6k 3 'a6k 4 'a6k 5' a6k 6 = 0S2002= a1 +a2 +a3 + +a2002=(a1a2a3a6) (a7a8a12)(a6k 1(a1993 ' a1994 ' ' ' ' ' a1998 ) ' a1999 ' a

16、2000 ' a2001= a1999 ' a 2000 . a2001 ' a2002=a6k 1 ' a6k 2 ' a6k 3 ' a6k 4=5例14在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6 =9,求1。93為+ log3 a2 + 11解：設(shè) Sn -log 3 a1 log 3 a2 - 一 log 3 a10由等比數(shù)列的性質(zhì) m n = p q= aman =apaq和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)loga M +loga N = loga M，N 得Sn = (log3 a1log 3a10)(log 3 a2log3 a9) (log 3 a5

17、log3=(log 3a1 aQ(log 3 a2 a9)1log 3 a5 a6)=log 3 9 log 3 9 - Tog 3 9=10七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來 求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個重要的方法.例 15求 1 +11 +111 +11工二1 之和.n個1解：由于 1111 =39999 =1(10k -1)仆1* 9 1 * 3k個19（找通項(xiàng)及特征） 1111111111n個1111o 1,1(10 -1)(10 - 1)(10 - 1)(10 - 1)9999（分組求和）1123n=-(101010 + 3。)91 (1111)1 10(10n -1) _n910 -19=(10n 1 -10-9n)81例16已知數(shù)列an： an(n 1)(n 3)解：丁 (n 1)(an -an 1)=8(n 1)(n 1)(n 3) (n 2)(n 4)（找通項(xiàng)及特征）(n 2)(n 4) (n 3)(n 4)（設(shè)制分組）11-)8(-n 4 n 34)（裂項(xiàng)）x (n - 1)(an -an 1) =4、()81n 1（分組、裂項(xiàng)求和）133提高練習(xí)：1 .已知數(shù)列中，Sn是其前n項(xiàng)和，并且Sn書=4an+2(n=1,2,|),ai=1