ch12101015數(shù)列收斂性的判別準(zhǔn)則

1、20101015南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1第第1章章 函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)、極限、連續(xù)第第1節(jié)節(jié) 集合、映射與函數(shù)集合、映射與函數(shù)第第2節(jié)節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限第第3節(jié)節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限第第4節(jié)節(jié) 無(wú)窮小量及無(wú)窮大量無(wú)窮小量及無(wú)窮大量第第5節(jié)節(jié) 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)2第第2節(jié)節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限n2.1 數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的概念n2.2 2.2 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)n2.32.3數(shù)列收斂性的判別準(zhǔn)則數(shù)列收斂性的判別準(zhǔn)則3數(shù)列極限的兩大問(wèn)題數(shù)列極限的兩大問(wèn)題n數(shù)列極限的存在性；數(shù)列極限的存在性； （此問(wèn)題為最關(guān)鍵的問(wèn)題）（此問(wèn)題為最關(guān)鍵的問(wèn)題）n數(shù)列極限值的大??；數(shù)列

2、極限值的大?。?（存在性成立后，（存在性成立后， 才想辦法計(jì)算極限）才想辦法計(jì)算極限）4幾種證明極限存在的方法：幾種證明極限存在的方法：n按照數(shù)列極限的定義證明。按照數(shù)列極限的定義證明。n利用夾逼性證明。利用夾逼性證明。最簡(jiǎn)單的思想是利用數(shù)列本身的性質(zhì)最簡(jiǎn)單的思想是利用數(shù)列本身的性質(zhì)證明數(shù)列極限的存在性證明數(shù)列極限的存在性5n（1）單調(diào)有界準(zhǔn)則）單調(diào)有界準(zhǔn)則n（2） 數(shù)列極限的歸并原理數(shù)列極限的歸并原理n（3） weierstrass(維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯)定理定理n（4） 柯西柯西(cauchy)收斂原理收斂原理2.3 2.3 數(shù)列極限存在的判別準(zhǔn)則數(shù)列極限存在的判別準(zhǔn)則6（1 1）單調(diào)

3、有界準(zhǔn)則）單調(diào)有界準(zhǔn)則x1a2a3a1na nana如果數(shù)列滿足條件如果數(shù)列滿足條件121,nnaaaa 單調(diào)增加單調(diào)增加121,nnaaaa 單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列幾何解釋幾何解釋:am更細(xì)致地，單調(diào)更細(xì)致地，單調(diào)增加增加且有且有上界上界的數(shù)列必有極限的數(shù)列必有極限.單調(diào)單調(diào)遞減遞減且有且有下界下界的數(shù)列必有極限的數(shù)列必有極限.用確界定理用確界定理證明證明7幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明： 定理中定理中 an 的單調(diào)性只要從某一項(xiàng)之后滿足即可的單調(diào)性只要從某一項(xiàng)之后滿足即可. .這是因?yàn)閿?shù)列的斂散性與前有限項(xiàng)無(wú)關(guān)。這是因?yàn)閿?shù)列的斂散性與前有限項(xiàng)無(wú)關(guān)。 此定理的條件為充分但非必要條件。此定理的條

4、件為充分但非必要條件。 ,.2 , 1,1)1( nnann 本定理只是證明了存在性。本定理只是證明了存在性。8例例6 6333().nan證明數(shù)列重根證明數(shù)列重根式 的極限存在式 的極限存在證證21,aa 然然( (顯顯1)1) ;na故是單調(diào)遞增的故是單調(diào)遞增的133,a （2 2又又）3,ka 假定假定13kkaa 33 , 3 ;na是有界的是有界的上上lim.nna存在存在13,nnaa 213,nnaa 21limlim(3),nnnnaa 23,aa113113,22aa解得解得(舍去舍去)113lim.2nna lim.nnaa （3）設(shè)（3）設(shè)1,kkaa 所以所以1,kka

5、a 設(shè)設(shè)13,kkaa 則3+則3+13,kkaa 3+3+9.11lim存在存在nnn 1(1)nnan 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 證明證明用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明.用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明.例例7證證00(1)()111!nniiiinin nnniincn 101(1)nnan).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn 11111(1)11(1)12!11121(1)(1)(1)!111112(1)(1)(1).(1)!111nnannnnnnnnnnnn 1,nnaa 顯然

6、顯然 ;na是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的正的正的1111112!nan 1212111 n1213 n, 3 ;na是有界的是有界的lim.nna存在存在ennn 11lim記為記為(2.718281828459045)e na是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的有有界界數(shù)數(shù)列列1(1)nnan).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn 1223lim() .2nnnn 求求exex22 24311lim()lim(1) (1)222nnnxnnnn 解解.2e 1lim(1) .nnn 求求111lim(1)lim(1)1111lim(1)(1)11nnnnnnnnnn .1e 解解ex

7、 設(shè)設(shè)其中其中 ，證明，證明 收斂。收斂。,.2 , 1,1.31211 nnan 2 na13證明：證明： 遞增顯然，下面證明有上界，事實(shí)上遞增顯然，下面證明有上界，事實(shí)上： ex 設(shè)設(shè)其中其中 ，證明，證明 收斂。收斂。,.2 , 1,1.31211 nnan 2 nana2221.31211nan nn )1(1.3212111 1 2,nnn 14分別用定義，夾逼性及單調(diào)有界準(zhǔn)則三種方法分別用定義，夾逼性及單調(diào)有界準(zhǔn)則三種方法lim02nnn 證明證明進(jìn)一步考慮進(jìn)一步考慮lim0(1)nnnaa證明證明z 思考思考15 nnnnnnnn 32!321!2111)1(0lim aannn

8、證證明明)(n找找用用定定義義證證ex.證法證法1證法證法20lim nnan故由夾逼性得故由夾逼性得 )(1(01202 nnnnnann 01 a16.,.1,11nnnnxxeixxnnn 有有011111 lallnxnnannaananxnnnn令令 有極限有極限且且nnnxxnnx 0),(證法證法3111, nnnnanxanx)( 111111 naannnaanxxnnnnlxlxnnnn 1limlim設(shè)設(shè)17 子數(shù)列概念及其收斂性子數(shù)列概念及其收斂性定義定義+,n,nkan設(shè)設(shè)為為數(shù)數(shù)列列為為的的無(wú)無(wú)限限子子集集 且且12,knnn則則數(shù)數(shù)列列12,knnnaaa,.kn

9、naa稱稱為為的的子子列列 簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記為為注注,knnnaaa由由定定義義的的子子列列的的各各項(xiàng)項(xiàng)均均選選自自knnaa且且保保持持這這些些項(xiàng)項(xiàng)在在中中的的先先后后次次序序. .中中的的第第,.nkkkannk項(xiàng)項(xiàng)是是中中的的第第項(xiàng)項(xiàng) 故故總總有有（2 2） 數(shù)列極限的歸并原理數(shù)列極限的歸并原理18數(shù)列收斂與其子數(shù)列收斂的密切聯(lián)系數(shù)列收斂與其子數(shù)列收斂的密切聯(lián)系：定理定理 2.7 (數(shù)列極限的歸并原理數(shù)列極限的歸并原理)limlim.kknnnnnkaaaaaa對(duì)于的任意子列都有對(duì)于的任意子列都有l(wèi)im.0,.nnnaannnn aa設(shè)設(shè)則則當(dāng)當(dāng) .,knnkaank設(shè)設(shè)是是的的任任意意一一個(gè)個(gè)

10、子子列列 由由于于因因此此,.kknknnknaa 時(shí)時(shí)亦亦有有這這就就證證明明了了lim.knkaa 證明：必要性證明：必要性充分性，充分性，注意到注意到 是其自身的子數(shù)列！是其自身的子數(shù)列！na19推論推論 若數(shù)列存在兩個(gè)子數(shù)列分別收斂于不同的若數(shù)列存在兩個(gè)子數(shù)列分別收斂于不同的極限，則這個(gè)數(shù)列必發(fā)散極限，則這個(gè)數(shù)列必發(fā)散。注意注意 該推論是證明數(shù)列發(fā)散的很好的工具。該推論是證明數(shù)列發(fā)散的很好的工具。1( 1).n e ex x證證明明數(shù)數(shù)列列 . .是是發(fā)發(fā)散散的的 20例例8limnnaa求求證證的的充充要要條條件件是是212limlim.kkkkaaa 證明證明 ( (必要性必要性)

11、 ) 由定理由定理2.72.7212()limlim,0,kkkkaaakn充分性 設(shè)則充分性 設(shè)則 kk當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，12k+|aa | ，2k|aa |. 2,nknn令令當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,則則有有|,naa lim.nnaa 所所以以21數(shù)列收斂與其子數(shù)列收斂的密切聯(lián)系數(shù)列收斂與其子數(shù)列收斂的密切聯(lián)系：n1 若數(shù)列收斂，則其任意子數(shù)列也收斂（并且若數(shù)列收斂，則其任意子數(shù)列也收斂（并且收斂到同一極限）收斂到同一極限）n2 若數(shù)列的奇數(shù)列和偶數(shù)列都收斂到同一極限，若數(shù)列的奇數(shù)列和偶數(shù)列都收斂到同一極限，則原數(shù)列也收斂到該極限則原數(shù)列也收斂到該極限22證明提示證明提示：na的任意子數(shù)列收斂的任意子數(shù)

12、列收斂na數(shù)列收斂數(shù)列收斂c.6236321362636321633221limlim;limlim;limlim;limlimlimlim:kkkkkkkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaaa是，的子數(shù)列；是，的子數(shù)列；是，的子數(shù)列是，的子數(shù)列由例由例8得得,limnaa隱藏隱藏23（3） weierstrass定理定理考慮有界數(shù)列和收斂數(shù)列之間的關(guān)系考慮有界數(shù)列和收斂數(shù)列之間的關(guān)系收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界有界數(shù)列未必收斂有界數(shù)列未必收斂定理定理2.8(weierstrass定理定理) ) 有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明！用單調(diào)有界準(zhǔn)則證

13、明！引理引理 從任意數(shù)列中必可取出一個(gè)單調(diào)的從任意數(shù)列中必可取出一個(gè)單調(diào)的子數(shù)列子數(shù)列先給出以下引理先給出以下引理證明：設(shè)證明：設(shè)an 是有界數(shù)列，由引理從中可取出一個(gè)單是有界數(shù)列，由引理從中可取出一個(gè)單調(diào)的子數(shù)列調(diào)的子數(shù)列ank ,它顯然是有界的，由單調(diào)有界準(zhǔn)則它顯然是有界的，由單調(diào)有界準(zhǔn)則得得ank是收斂的。是收斂的。引理引理 從任意數(shù)列中必可取出一個(gè)單調(diào)的從任意數(shù)列中必可取出一個(gè)單調(diào)的子數(shù)列子數(shù)列24引理引理 從任意數(shù)列中必可取出一個(gè)單調(diào)的從任意數(shù)列中必可取出一個(gè)單調(diào)的子數(shù)列子數(shù)列（2）若數(shù)列中只有有限多項(xiàng)可作為）若數(shù)列中只有有限多項(xiàng)可作為“龍頭龍頭”，這時(shí)取，這時(shí)取最后一個(gè)最后一個(gè)“龍

14、頭龍頭”的下一項(xiàng)，記作的下一項(xiàng)，記作an1，由于由于an1不是不是“龍頭龍頭”，在它的后邊必有一項(xiàng)，在它的后邊必有一項(xiàng)an2（n2n1)滿足滿足an1 an2，如此進(jìn)行下去就得到一個(gè)子列，如此進(jìn)行下去就得到一個(gè)子列ank,它是它是一個(gè)嚴(yán)格遞增子列。一個(gè)嚴(yán)格遞增子列。證明證明 先引進(jìn)一個(gè)定義：若數(shù)列中的一項(xiàng)大于等于在先引進(jìn)一個(gè)定義：若數(shù)列中的一項(xiàng)大于等于在這項(xiàng)之后的所有各項(xiàng)，則稱這一項(xiàng)是一個(gè)這項(xiàng)之后的所有各項(xiàng)，則稱這一項(xiàng)是一個(gè)“龍頭龍頭”。 分二種情況討論。分二種情況討論。（1）若數(shù)列中存在著無(wú)窮多個(gè)）若數(shù)列中存在著無(wú)窮多個(gè)“龍頭龍頭”，那么把這些，那么把這些可作為可作為“龍頭龍頭”的項(xiàng)依次地取

15、下來(lái)，顯然得到一個(gè)的項(xiàng)依次地取下來(lái)，顯然得到一個(gè)遞減的數(shù)列。遞減的數(shù)列。252.數(shù)列的任意收斂子數(shù)列的數(shù)列的任意收斂子數(shù)列的極限極限稱為該數(shù)列的稱為該數(shù)列的極限點(diǎn)極限點(diǎn),也稱為也稱為聚點(diǎn)聚點(diǎn). .說(shuō)明說(shuō)明1.定理定理2.8也稱為也稱為致密性定理致密性定理 ; ;數(shù)列的數(shù)列的聚點(diǎn)原理聚點(diǎn)原理.定理定理2.8(weierstrass定理定理) ) 有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列10n比如: 是的一個(gè)聚點(diǎn);比如: 是的一個(gè)聚點(diǎn); 11, 1( 1).nn是的兩個(gè)聚點(diǎn)是的兩個(gè)聚點(diǎn)1( 1)n 1 1和和- -1 1均均是是數(shù)數(shù)列列 的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)。注意：聚點(diǎn)可以屬于數(shù)列中的點(diǎn)也可以不屬于！

16、注意：聚點(diǎn)可以屬于數(shù)列中的點(diǎn)也可以不屬于！26（4 4） 柯西柯西(cauchy)(cauchy)收斂原理收斂原理1）cauchy數(shù)列（基本數(shù)列）數(shù)列（基本數(shù)列）: cauchyna則則稱稱數(shù)數(shù)列列（基基本本數(shù)數(shù)列列）是定義定義2.2 如果對(duì)如果對(duì)|,nmaa 0,nnn mn ，使得，na為基本數(shù)列為基本數(shù)列nana有界有界思考思考:證明證明27na設(shè)是基本列設(shè)是基本列na有界有界0+1,n , ,nnn 取取, 101 nnaa11 nnnnaaaa11 nnnaaa11 na ,1 ,max121 nnaaaam取取,.nnnam 則對(duì)有則對(duì)有補(bǔ)充補(bǔ)充：證明：證明證證2）柯西收斂原理）柯

17、西收斂原理定理定理 2.92.9 ( (柯西收斂原理柯西收斂原理) )收斂收斂為基本數(shù)列，簡(jiǎn)稱基本列。為基本數(shù)列，簡(jiǎn)稱基本列。nana28 定理定理2.92.9 柯西極限存在準(zhǔn)則柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西收斂原理柯西收斂原理)數(shù)列數(shù)列 na極限存在的充要條件是極限存在的充要條件是:,0存在正整數(shù)存在正整數(shù) n ,使當(dāng)使當(dāng)nnnm,時(shí)時(shí),nmaa 證明證明: : “必要必要性性”.設(shè)設(shè)lim,nnaa 則則,0nnnm,時(shí)時(shí), 有有 使當(dāng)使當(dāng),2naa 2maa 因此因此nmaa()()nmaaaanaamaa ,n有有29“充分性充分性”為基本數(shù)列為基本數(shù)列nana有界有界由定理由定理2.8， l

18、imkknnkaaa 0 , kn 使當(dāng)使當(dāng)kk 時(shí)時(shí), 有有 .2knaa 另一方面，另一方面，1,nn 為基本數(shù)列為基本數(shù)列, ,na由由使當(dāng)使當(dāng)11,mnnn時(shí)時(shí), 有有 2mnaa 取取1max,nk n 使當(dāng)使當(dāng)nn 時(shí)時(shí), 有有 11nnnnnnaaaaaa limnnaa1()nnn 30柯西柯西(cauchy)收斂原理收斂原理 na數(shù)數(shù)列列收收斂斂0,mnnnm nn aa 使得0,n ,npnnnnnpaa 及使得311111.,2,1,2,.23nann 例例9 .na證明收斂證明收斂111 , n pnnnpn 2211.(1)()11.(1)()npnaannpnnp

19、111 .(1)(1) (2)(1) ()nnnnnpnp1 n 取分析分析32證明證明+10, ,n ,nnnp 取，則對(duì)取，則對(duì)110(1)()npnaannp 2211(1)()nnp)(1(1)2)(1(1)1(1pnpnnnnn )111()2111()111(pnpnnnnn npnn111 , . npnaa即即33例例10 1111( 1)1,.234nnnaan 設(shè)證明收斂,npn ，111( 1)12pnpnaannnp 證明：證明：1111)()0121pnnnpnp當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，( (11)12111()021pnnnpnpnp當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，(當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)

20、，(）2111( 1)111231pnnnnpnn （）（）34柯西柯西(cauchy)收斂準(zhǔn)則的意義收斂準(zhǔn)則的意義n收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面，項(xiàng)之間幾乎收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面，項(xiàng)之間幾乎“擠擠”在了一起。在了一起。n判別判別 的收斂性只要根據(jù)本身滿足的特性的收斂性只要根據(jù)本身滿足的特性就可以判別，不需要引入別的數(shù)列作參照。就可以判別，不需要引入別的數(shù)列作參照。n把數(shù)列項(xiàng)與其極限的關(guān)系變換為數(shù)列各個(gè)項(xiàng)把數(shù)列項(xiàng)與其極限的關(guān)系變換為數(shù)列各個(gè)項(xiàng)之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 na35柯西柯西(cauchy)收斂原理收斂原理 na數(shù)數(shù)列列不不收收斂斂000,mnnnm nnaa 使得000000,n ,使得n

21、pnnnnnpaa 0,mnnnm nn aa 使得0,n ,npnnnnnpaa 及使得36例例11 1111,1,.23nnaan 設(shè)證明發(fā)散 na數(shù)數(shù)列列發(fā)發(fā)散散利用：利用：取：?。?12pn ，111(1)(2)()npnaannnp ,111pnppnn +201n ,=2nnnnnnpn aann對(duì)對(duì)取取 000000,n ,使得npnnnnnpaa 37注意：注意： 確界存在定理單調(diào)有界準(zhǔn)則 weierstrass 定理 cauchy收斂定理區(qū)間套定理區(qū)間套定理38故極限存在，故極限存在，1.1.設(shè)設(shè) 11()2nnnaxxx ),2,1(n0 ,a 10 ,x , 且且求求.l

22、imnnx解解：設(shè)設(shè)axnnlim則由遞推公式有則由遞推公式有)(21aaaaaa11()2nnnaxxx nxnax a nnxx1)1(212nxa)1(21aa1數(shù)列單調(diào)遞減有下界，數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,01x故故axnnlim利用極限存在準(zhǔn)則利用極限存在準(zhǔn)則,0nx39 2. 設(shè)設(shè), ),2, 1(0iai證證: 顯然顯然,1nnxx證明下述數(shù)列有極限證明下述數(shù)列有極限 .)1 ()1)(1 ()1)(1 (12121211nnaaaaaaaaanx),2, 1(n即即nx單調(diào)增單調(diào)增, 又又nkkknaaax11)1 ()1 (1111a1(1)nkkaa211)1 ()1 (1)1

23、 ()1 (11kaa )1 ()1 (111naa1nnx lim存在存在“拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 法法40內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)列極限的數(shù)列極限的 “ n ” 定義及應(yīng)定義及應(yīng)用用2. 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性唯一性 ; 有界性有界性 ; 保號(hào)性保號(hào)性; 保不等式性保不等式性; 四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則;夾逼性?shī)A逼性3. 數(shù)列收斂性（極限存在）判別準(zhǔn)則數(shù)列收斂性（極限存在）判別準(zhǔn)則:單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 ; 柯西準(zhǔn)則柯西準(zhǔn)則數(shù)列極限的歸并原理數(shù)列極限的歸并原理weierstrass(維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯)定理定理.11lim存在存在nnn 212limlimlim.nkk

24、nkkaaaaa41維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯 (weierstrass 1815 1897)德國(guó)數(shù)學(xué)家德國(guó)數(shù)學(xué)家. 他的主要貢獻(xiàn)是在分他的主要貢獻(xiàn)是在分析學(xué)方面析學(xué)方面. 1854年他解決了橢圓積分年他解決了橢圓積分 還建立了橢圓函數(shù)的新還建立了橢圓函數(shù)的新 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu). 他在分析學(xué)中建立了實(shí)數(shù)理論他在分析學(xué)中建立了實(shí)數(shù)理論, 引進(jìn)了極限的引進(jìn)了極限的 定義定義, 及性質(zhì)及性質(zhì), 還構(gòu)造了一個(gè)處處不可微的連續(xù)函數(shù)還構(gòu)造了一個(gè)處處不可微的連續(xù)函數(shù): 的逆轉(zhuǎn)問(wèn)題的逆轉(zhuǎn)問(wèn)題, 給出了連續(xù)函數(shù)的嚴(yán)格定義給出了連續(xù)函數(shù)的嚴(yán)格定義為分析學(xué)的算術(shù)化作出了重要貢獻(xiàn)為分析學(xué)的算術(shù)化作出了重要貢獻(xiàn) .)cos(0 xbannn32(01,1,)aabb 為奇數(shù)為奇數(shù)42柯柯 西西 柯西（柯西（cauchy，augustin louis1789-1857），十九世紀(jì)前半），十九世紀(jì)前半 世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家。世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家。 他的特長(zhǎng)是在分析學(xué)方面，他對(duì)微積分給出了嚴(yán)密的基礎(chǔ)。他他的特長(zhǎng)是在分析學(xué)方面，他對(duì)微積分給出了嚴(yán)密的基礎(chǔ)。他 還證明了復(fù)變函數(shù)論的主要定理以及在實(shí)變數(shù)和復(fù)變數(shù)