高考數(shù)列命題熱點(diǎn)探析

1、高考數(shù)列命題熱點(diǎn)探析縱觀近三年廣東高考數(shù)學(xué)試卷，無(wú)論文科還是理科，對(duì)于數(shù)列內(nèi)容 的考查相對(duì)比較穩(wěn)定，試題一大一小，分?jǐn)?shù)為19分.試題內(nèi)容也比較相似, 小題都是考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，此題的 難度很小，百分之八十以上的考生都能順利得分大題都與遞推關(guān)系或通 項(xiàng)幼與前n項(xiàng)和sn的關(guān)系有關(guān)，然后考查求具體的項(xiàng)與通項(xiàng)公式，最后 都是與不等式冇關(guān)的證明問(wèn)題，且在證明過(guò)程屮又都無(wú)一例外的用到裂項(xiàng) 與放縮技巧.2014年呢？由于高考命題要求在穩(wěn)定中創(chuàng)新、在中改革，于 是，我們預(yù)測(cè)其命題熱點(diǎn)有以下幾個(gè)方面，供參考.熱點(diǎn)一：客觀題仍考查等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)與簡(jiǎn)單的常用技能 例1設(shè)首項(xiàng)

2、為1,公比為的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,則()a. sn=2anl b. sn=3an-2c. sn=4-3an d. sn=3-2an解析一在等比數(shù)列an中,sn=3-2an,選d.解析二 在等比數(shù)列an中,al=l, q=an= () nl.于是，sn=3l- () n=31-x () nl=3-2an點(diǎn)評(píng)等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)與簡(jiǎn)單的常用技能是處理數(shù)列問(wèn)題 的思維起點(diǎn)，也是數(shù)列中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的入手點(diǎn)，因此，在各級(jí)各類(lèi) 的考試中對(duì)這些內(nèi)容的考查作為檢查高中生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的普遍掌握情況 十分有利.熱點(diǎn)二：客觀題轉(zhuǎn)變考查方向，建立在數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的基 礎(chǔ)上考查分析與推理能力例2

3、.已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an= ( ) nt ( ) n-1-1,下列表述正 確的是()a. 最大項(xiàng)為0,最小項(xiàng)為-b. 最大項(xiàng)為0,最小項(xiàng)不存在c. 最大項(xiàng)不存在，最小項(xiàng)為-d. 最大項(xiàng)為0,最小項(xiàng)為曲解析(1)由 an二()門(mén)-1 ( ) 口-1 -1,得 al二0.當(dāng) n>l 時(shí)，0()n-11,/.an最大項(xiàng)為al=0.又 an+l-an= () n ( ) nt- ( ) nl () n-1-1二()nt x,顯然，當(dāng) n23 時(shí)，an+lan>0；當(dāng) n3 時(shí)，an+lan<0t是，最小項(xiàng)為ab二-，故選a.點(diǎn)評(píng) 從函數(shù)角度來(lái)認(rèn)識(shí)本題最有利于求解，函數(shù)的最值往往與單

4、調(diào) 性有關(guān)，那么數(shù)列的最值呢？也與數(shù)列的單調(diào)性有關(guān)，于是，借助數(shù)列的 單調(diào)性最終產(chǎn)生結(jié)論.例3.數(shù)列an滿(mǎn)足an+l+ (-1) nan=2n-l,則an的前60項(xiàng)和為解析一山題設(shè)知，a2-al=l ；a3+a2二3 ；a4-a3=5 ;a5+a4二7 ；a5+a4二7 ,a6-a5=9 , a7+a6=ll, a8a7=13 , a9+a8=15 ,al0a9=17, all+al0=19,a12-al 1=21,-得al+a3=2,+得a4+a2=8,同理可得 a5+a7=2, a6+a8=24, a9+all=2, al0+al2=40,，aal+a3, a5+a7, a9+all,，是

5、各項(xiàng)均為2的常數(shù)列，a2+a4, a6+a8, al0+al2,是首項(xiàng)為8,公差為16的等差數(shù)列,則an的前 60 項(xiàng)和為 15 x 2+15 x8+x 16x 15x 14=1830.解析二 由 an+l+ ( -1 ) nan=2n-la4n+2-a4n+l=8n+l , a4n+3+a4n+2=8n+3, a4n+4-a4n+3=8n+5 a4n+l+a4n+2+a4n+3+a4n+4=16n+8, 令 bn+l=a4n+l+a4n+2+a4n+3+a4n+4,則 bn+1 二bn+16,又 b 1=a 1+a2+a3+a4= 10s15=10x15+x 16=1830.則an的前60項(xiàng)

6、和為1830.點(diǎn)評(píng) 本題無(wú)論是方法一還是方法二，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)都不太好想， 說(shuō)它很難吧，不是；說(shuō)它不難吧，顯然也不準(zhǔn)確反復(fù)應(yīng)用遞推關(guān)系是求 解的關(guān)鍵.熱點(diǎn)三：解答題延續(xù)去年的熱點(diǎn)，繼續(xù)建立在an與sri關(guān)系的基礎(chǔ)上 考查通項(xiàng)公式的求法及放縮法證明不等式例 4.數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn,已知 al二,sn=n2an-n (n-1), n=l, 2,(1) 寫(xiě)出sn與sn-1的遞推關(guān)系式(n22),并求sn關(guān)于n的表達(dá) 式；(2) 設(shè) fn (x)二xn+1, bn= (p) (per),求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 tn；(3) 求證：+>.解析(1)由于 n22 時(shí),an=sn-sn-

7、l,那么 sn=n2 (sn-sn-1) -n (nl), 則一二 1,因此二 + (-) + (-) =n.于是sn=.(2) 由 fn (x)二xn+1,得 fn (x)二xn+1, 那么二nxn, 于是bn=npn,得數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn二p+2p2+3p3+npn.10 若 p 二0 時(shí)，則 tn=0；20 若 p=l 時(shí)，則 tn二l+2+3+n二；30 若 pho 且 phl 時(shí)，貝lj ptn二p2+2p3+3p4+npn+l,貝lj (1-p)tn二p+p2+p3+pn-npn+l二一npn+1, 得 tn=-.(3) 由(1)得 sn=<n.于是sl+s2+sk二2

8、(-),那么+>2 (1) + (-)+ (-)=.所以，若存在正整數(shù)n,使得 s2n=ms2n-l,則 m 二=1+w1+二 3 顯然，當(dāng) m二1 時(shí)，s2n二3n+n2-lhlx (3n-l+n2-l) =s2n-l；當(dāng) 呼2 時(shí),由 s2n=2s2n-l,整理得 3n-l=n2l.顯然,當(dāng) n二1 時(shí)，31-1=10=12-1；當(dāng) n二2 時(shí)，32-1=3=22-1,所以 (2, 2)是符合條件的一個(gè)解.當(dāng) n23 時(shí)，3n_l=( 1+2)n_l=l+ x2+ x22+l+2+4=2n2_4n+3=(n_2)2+n2-l>n2-l.當(dāng) m=3 時(shí)，由 s2n=3s2n-l,

9、整理得 n=l, 所以(3, 1)是符合條件的另一個(gè)解.綜上所述，所有的符合條件的正整數(shù)対(m, n),有且僅有(3, 1) 和(2, 2)兩對(duì).點(diǎn)評(píng) 本題建立在分析、探索、發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，考查考生分析問(wèn)題與 解決問(wèn)題的能力很到位首先通項(xiàng)公式，要借助分類(lèi)思想來(lái)完成其次，要 “鎖定” m的范圍，這個(gè)看似簡(jiǎn)單的步驟，其實(shí)慍含多種基本方法(合理 處理分式、放縮等)，這些方法有一種不過(guò)關(guān)就很難產(chǎn)生結(jié)論.熱點(diǎn)七：解答題建立在交匯考查的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)與其它知識(shí)結(jié)合的“多 功能”試題例&在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列pl (xl, yl), p2 (x2, y2),， pn (xn, yn) ,對(duì)一切正整數(shù)n

10、,點(diǎn)pn位于函數(shù)y二3x+的圖像上，且pn 的橫坐標(biāo)構(gòu)成以-為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列xn(1) 求點(diǎn)pn的處標(biāo)；(2) 設(shè)拋物線(xiàn)列cl, c2, c3,，cn,中的每一條的對(duì)稱(chēng)軸都垂 直于x軸，第n條拋物線(xiàn)cn的頂點(diǎn)為pn,且過(guò)點(diǎn)dn (0, n2+l),記與拋 物線(xiàn)cn相切于dn的直線(xiàn)的斜率為kn,求+；(3) 設(shè) s=x|x=2xn, ngn, t=y|y=4yn, ngn,等差數(shù)列an的 任一項(xiàng)anesat,其屮al是sat屮的最大數(shù)，-265 解析(l)xn=-+(nl) x (-1)二一n-, .yn二3xn+二一3n-,pn=(一門(mén)一,一3口一).(2)cn的對(duì)稱(chēng)軸垂直于x軸，

11、且頂點(diǎn)為pn,設(shè)cn的方程為：y二a (x+) 2-，把dn (0, n2+l)代人上式，得滬1,設(shè) cn 的方程為：y二x2+ (2n+3) x+n2+l, yz 二2x+2n+3當(dāng) x=0 時(shí)，kn=2n+3,二二(-),.+二(-)4- (-) + (-)二(-)二-.(3) s=x x=- (2n+3), nn, n21,t 二y|y 二一(12n+5), n un, n$l二y|y 二一 2 (6n+l ) -3, n wn,nl,asnt=t, t屮最大數(shù)al二-17設(shè)an的公差為 d,則 al0=-17+9de (-265, -125),由此得，-d-12.又vant, /.d=

12、-12m (mwn),d二-24, an二7-24n (nfn)點(diǎn)評(píng) 本題與函數(shù)、圓錐曲線(xiàn)、導(dǎo)數(shù)等都聯(lián)系上，雖然它們不起決定 性作用，但用到時(shí)還是必須熟悉的否則，對(duì)求解還是會(huì)存在很大威脅的. 實(shí)際上，數(shù)列在日常生活中廣為應(yīng)用，如增長(zhǎng)率問(wèn)題、銀行存款利率問(wèn)題、 貸款問(wèn)題等另外，有些實(shí)際問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，它們表面上看可 能是解方程或是不等式問(wèn)題.熱點(diǎn)八：解答題建立在新定義的基礎(chǔ)上考查創(chuàng)新知識(shí)的應(yīng)用例9.如果由數(shù)列an生成的數(shù)列bn滿(mǎn)足對(duì)任意的nen均冇 bn+l<bn,其中bn=an+l-an,則稱(chēng)數(shù)列an為"z數(shù)列”.(i )在數(shù)列an中,已知an=-n2,試判斷數(shù)列an是

13、否為“z數(shù)列”;(ii )若數(shù)列an是"z 數(shù)列”，al=o, bn=-n,求 an；(iii)若數(shù)列an是"z 數(shù)列”,設(shè) s, t, mwn,且 s<t,求證：at+m-as+m 解析 (i )因?yàn)?an-n2,所以 bn-an+l_an= (n+1) 2+n2二-2門(mén)-1, nwn, 所以 bn+l-bn=-2 (n+1) -l+2n+l二-2, 所以bn+l<bn,數(shù)列an是“z數(shù)列”.(11 )因?yàn)?bn=-n,所以 a2-al=bl=-l, a3-a2=b2=-2,，an-an-l=bn-l=- (nt),所以 an-al=-l-2(nt)二-(n$2),所以 an二-(n$2),又 al=o,所以an=- (nn)(iii)因?yàn)?as+m-as二(as+m-as+m-1) +