153定積分的概念93050

1、 從求從求曲邊梯形面積曲邊梯形面積以及求以及求變速直線變速直線運動路程運動路程可以發(fā)現(xiàn)，它們都是通過可以發(fā)現(xiàn)，它們都是通過“四四步曲步曲”：分割、近似代替、求和、取極分割、近似代替、求和、取極限限得到解決，且都可以歸結(jié)為得到解決，且都可以歸結(jié)為求一個特求一個特定形式和的極限定形式和的極限.都采用了在局部小范圍都采用了在局部小范圍內(nèi)內(nèi)“以直代曲以直代曲”“”“以不變代變以不變代變”和和“逼逼近近”的思想的思想.新課導入新課導入 “無限細分，無限求和無限細分，無限求和”的積分思的積分思想在古代就已經(jīng)萌芽最早可以追溯到想在古代就已經(jīng)萌芽最早可以追溯到希臘由阿基米德（希臘由阿基米德（archimede

2、s ，287 bc212 bc）等人提出的計算面積和）等人提出的計算面積和體積的方法體積的方法( )?baf x dx 這節(jié)我們學習這節(jié)我們學習定積分定積分的概念的概念.1.5.3 定積分的概念定積分的概念 解決曲邊梯形面積和變速直線運解決曲邊梯形面積和變速直線運動的共同特征：動的共同特征：都通過都通過“四步曲四步曲”分割、近似分割、近似代替、求和的極限、取極限來解決問代替、求和的極限、取極限來解決問題題.最終的結(jié)果都歸結(jié)為求同一種類型最終的結(jié)果都歸結(jié)為求同一種類型的和式的和式.曲邊梯形面積曲邊梯形面積變速運動的路程變速運動的路程oxyy=0 y=(x)x=ax=babba 設函數(shù)設函數(shù)f (

3、x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上有界在區(qū)上有界在區(qū)間間a,b內(nèi)任意插入內(nèi)任意插入n-1個分點，個分點， 把區(qū)間把區(qū)間a,b分成分成n個小區(qū)間個小區(qū)間 各個小區(qū)間的長度依次為各個小區(qū)間的長度依次為定積分的概念定積分的概念01n-1na = x x x x = b 0112n-1nx ,x, x ,x, x,x110221nnn-1x = x -x ,x = x -x ,x = x -x在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間 i-1ix ,x上任取一點上任取一點 ii-1ii (xx ) niii=1s=f x作和式：作和式：被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分

4、和 為積分符號，函數(shù)為積分符號，函數(shù)f(x)稱為被積稱為被積函數(shù)，函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，稱為被積表達式，x稱為積稱為積分變量，分變量，a稱為積分下限，稱為積分下限， b稱為積分上稱為積分上限，區(qū)間限，區(qū)間a,b稱為積分區(qū)間稱為積分區(qū)間 （2）若）若 ，則，則baf(x)dx = af(x)0,xa,bbaf(x)dx = -a定積分的幾何意義定積分的幾何意義（1）若）若 ，則，則f(x)0,xa,by y = = f f( (x x) )oxyb ba ay y = =f f( (x x) )d dx x b ba ay y = = - -f f( (x x) )d dx xy y

5、 = = f f( (x x) )oxyab 由此可知，若函數(shù)由此可知，若函數(shù)f (x)在對稱區(qū)間在對稱區(qū)間-a ,a上連續(xù)，則上連續(xù)，則 a-af x dx = a02f x dxf(x)0f(x)為偶數(shù)個時，為偶數(shù)個時，為奇數(shù)個時為奇數(shù)個時.（3）若）若f(x)有正有負，有正有負， 則則 xa.b,ab1a2a3a4ab234a1f(x)dx = a -a +a -a幾何意義：幾何意義： 它是由曲線它是由曲線y=f(x)直線直線x=a,x=b(ab)及及x軸所圍成各個曲邊梯形面積的代數(shù)和軸所圍成各個曲邊梯形面積的代數(shù)和. 總之：定積分總之：定積分 在各種實際在各種實際問題中所代表的實際意義

6、不同，但它的問題中所代表的實際意義不同，但它的數(shù)值在幾何上都可用曲邊梯形面積的代數(shù)值在幾何上都可用曲邊梯形面積的代數(shù)和來表示，這就是定積分的幾何意義數(shù)和來表示，這就是定積分的幾何意義.baf(x)dx定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)bbb1212aaaf (x)f (x) dx =f (x)dxf (x)dx性質(zhì)可推廣到有限個函數(shù)的情形性質(zhì)可推廣到有限個函數(shù)的情形bbaakf(x)dx=kf(x)dx即被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外即被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外 (1) (1) 性質(zhì)性質(zhì)1 1(2) (2) 性質(zhì)性質(zhì)2 2(k為常數(shù)為常數(shù)) 結(jié)論：函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于它結(jié)論：函數(shù)的代數(shù)和

7、的定積分等于它們的定積分的代數(shù)和們的定積分的代數(shù)和.證明：證明：baniiii0i=1nniiii0i=1i=1nniiii00i=1i=1bbaaf(x)g(x)dxlimf( )xg( )xlimf( )xg( )x = limf( )xlimg( )x=f(x)dxg(x)dx性質(zhì)性質(zhì)1證明證明nbiia0i=1nii0i=1bakf(x)dx = limkf( )x=klimf( )x =kf(x)dx 結(jié)論：常數(shù)因子乘以函數(shù)的定積分，結(jié)論：常數(shù)因子乘以函數(shù)的定積分，常數(shù)因子可以提到積分的符號外面來常數(shù)因子可以提到積分的符號外面來.證明：證明：性質(zhì)性質(zhì)2證明證明對定積分的補充規(guī)定對定積

8、分的補充規(guī)定: :bcbaacf(x)dx =f(x)dx +f(x)dx(a c b時，時，baf(x)dx = 0baabf(x)dx = -f(x)dx 如果如果f(x)分別在分別在a,b,a,c,c,b上可上可積，那么積，那么f(x)在在a,b上的定積分等于上的定積分等于f(x)在在a,cc,b上的定積分的和上的定積分的和.性質(zhì)性質(zhì)3證明證明 我們用定積分的幾何意義加以說明：我們用定積分的幾何意義加以說明：)(xfy )(xfy acbbca21aa21aaoxyoxy 當當ac 0,f()x0 limf()x0 f(x)dx = limf()x0證證明明： 由： 由于于得得 ，故，故

9、根據(jù)極限的性質(zhì)，必有根據(jù)極限的性質(zhì)，必有(5) (5) 性質(zhì)性質(zhì)5 5 設設ab,在區(qū)間在區(qū)間a,b上，若上，若 則則 .f(x)g(x)bbaaf(x)dxg(x)dx 只需令只需令f(x)=f(x)-g(x),利用性質(zhì)利用性質(zhì)4及性質(zhì)及性質(zhì)2可得證可得證.(6) (6) 性質(zhì)性質(zhì)6 6bbaaf(x)dxf(x) dx(a b)(7) (7) 性質(zhì)性質(zhì)7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理） 設設f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，則上連續(xù)，則在區(qū)間在區(qū)間a,b上，至少存在一點上，至少存在一點 使得使得 b ba af f( (x x) )d dx x= = f f( () )g g( (

10、b b- -a a) ), ,a a b b廣義積分廣義積分常義積分滿足：常義積分滿足： 積分區(qū)間積分區(qū)間a,b為有限的閉區(qū)間；為有限的閉區(qū)間； 被積函數(shù)被積函數(shù)f(x)在在a,b上有界上有界.廣義積分：廣義積分： 無窮限積分；無窮限積分； 無界函數(shù)的積分無界函數(shù)的積分.課堂小結(jié)課堂小結(jié) 概念總結(jié)：定積分概念總結(jié)：定積分 是一是一種特定形式的和式種特定形式的和式 的極限，的極限，即即 表示當表示當 時，和式時，和式 所趨向的定值所趨向的定值. baf x dx nii=1b-af n baf x dxn nii=1b-af n定積分定積分課堂練習課堂練習1、證一證證一證 設設m及及m分別是函數(shù)

11、分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的最大值及最小值則上的最大值及最小值則bam b-af(x)dxm b-a利用定義計算利用定義計算dxex 102、3、練習、練習22-24-x dx計算：計算：計算：計算：-sinxdx課堂答案課堂答案證明：證明：mf(x)m,bbbaaamdxf(x)dxmdx,bam(b-a)f(x)dxm(b-a).（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）1、解：解：將0，1n等分， n1i 1 ,1 inxinxii則 ninixii1 取求和nexfninniii1.)( ).(121nnnneeen nneeen11111 nnnnnneneeeen11)1(111lim)1(11.nlim 1lim)1(1lim)1(0)00(0 exxeexexxx即dxex 101 e2、解：解： 由幾何意