數(shù)學(xué)分析第二十一章重積分第二次課

1、5 5 三重積分三重積分一、三重積分的概念一、三重積分的概念設(shè)空間立體設(shè)空間立體v v的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為),(zyxf則則其中其中, 的體積為小塊iiv,),(lim10niiiiitvfm. max1的直徑init積分和積分和, ,把把任意分成任意分成n n小塊小塊i i，任取，任取( (i ii ii i)i i, ,定義定義1),(zyxf設(shè)的函數(shù)的函數(shù), j是一個(gè)確定的數(shù)，是一個(gè)確定的數(shù)，,|),(| t ,t t, , 0 , 0 1jvfniiiii的所有積分和都有屬于只要分割的一切使得對(duì)于若在在上可積上可積, ),(zyxf則稱),(zyxfj 為稱在在上的上的三重積分三重

2、積分, ,記作記作稱為積分變量zyx,積分和積分和vzyxfd),(積分域積分域被積函數(shù)被積函數(shù)積分表達(dá)式積分表達(dá)式體積元素體積元素是定義在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域是定義在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域上上 ddd),( zyxzyxf或三重積分的可積性條件和性質(zhì)與二重積分相似。性質(zhì)性質(zhì): 例如， 3) 3) 中值定理中值定理. .),(zyxf設(shè)在有界閉域在有界閉域 上連續(xù)上連續(xù), ,則存在則存在,),(使得使得vzyxfd),(vf),(v v 為為 的的體積體積, , d ,1),( v vzyxf時(shí)當(dāng). ) 1上的連續(xù)函數(shù)必可積有界閉區(qū)域.),( ,),( )2上必可積在則零體積的曲

3、面上的不連續(xù)點(diǎn)都落在上的有界函數(shù)若有界閉區(qū)域zyxfzyxf二、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算三重積分二、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算三重積分 ,),( 三重積分存在上在長方體設(shè)hedcbazyxf定理21.15定理21.15 ,d ,dd ),()( , hedczyzyxfxibaxd其中存在二重積分且對(duì)每個(gè) ,dd ),(d存在則積分badzyzyxfx) 1 ( .dd ),(dddd ),( badzyzyxfxzyxzyxf且.dd ),( ,inf,sup,1111kjijkdikjijkiiiijkijkkkjjiiijkzymzyzyfzymxxfmfmzzyyxxjk則，分割成小長方體：將證明證

4、明.dd ),()( ,kjkjijkkjdiikjkjijkzymzyzyfizymjk.)( ,kjikjiijkiiikjikjiijkzyxmxizyxm., 0t得證令方法方法1 .截面法 (“先二后一”) 方法方法2 .投影法 (“先一后二”)方法方法3 . 三次積分法 ,0),(zyxf先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算可用于一般可積函數(shù)的積分計(jì)算. 的密度函數(shù) , 方法:三種計(jì)算方法三種計(jì)算方法z(3) 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 zddxdyzyxf),( 其結(jié)果為其結(jié)果為z的函數(shù)的函數(shù))(zf；(4)最后計(jì)算單積分最后計(jì)算單積分 21)(cc

5、dzzf即得三重積分值即得三重積分值.方法方法1. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)ab因此bzadyxz),(:為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為zd以xyz該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(bazdyxzyxfdd),(zdbayxzyxfzdd),(dzdzzdzdyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd記作方法方法2. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” )如圖，如圖，,dxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzsyxzzs ,),(作直線作直線過點(diǎn)過點(diǎn)dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zzzxyd),(2yx

6、zz ),(1yxzz 注意注意于兩點(diǎn)情形于兩點(diǎn)情形相交不多相交不多的邊界曲面的邊界曲面直線與閉區(qū)域直線與閉區(qū)域內(nèi)部的內(nèi)部的軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域這是平行于這是平行于sz zxyddyxdd 因此dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfdyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元線密度記作方法方法3. 三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域:利用投影法結(jié)果 ,bxa

7、xyyxydyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxzxyzo d1z2z2s1s),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzdzzyxfyx),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd方法方法1. 截面法截面法 “先二后一先二后一”zdbayxzyxfzdd),(dvzyxfd),(方法方法2. 投影法投影法 “先一后二先一后二”),(),(21d),(ddyxzyxzdzzyxfyxvzyxfd),(方法方法3. “三次積分三

8、次積分”),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyxvzyxfd),(abxyzzzdzxyd),(2yxzz ),(1yxzz yx ddxozy111dxdydzdyx 10 xdyyxdx10101102)1 (21dxx解解（一）（一） zdxdydz,10 zddxdyzdz1| ),(zyxyxdz )1)(1(21zzdxdyzd xozy111 zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區(qū)區(qū)域域, 12

9、2 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxi 1101222),(yxxdzzyxfdydxi.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如圖，如圖，2,zxz 將. )(),(czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfid),(其中由所提示提示:20 xxy21212 zxi2d),(xzzyxf xy2121d20dx練習(xí)練習(xí)1六個(gè)平面圍成 ,:., 0, 2, 1,22圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域與與是是由由平平面面其其中中求求yzxyzxxvyxzyxiv ddd 例例5 5 其中v 為三個(gè)

10、坐標(biāo)計(jì)算三重積分,dddvzyxx12zyx所圍成的閉區(qū)域 .1xyz121解解:vvzyxxddd)(d)(dxyyxxx10102121yxz210d1032241xxxxd)(yxz210)(xy102110 x )(dxy102110 xxd481面及平面練習(xí)練習(xí)2xyz例例6. 計(jì)算三重積分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(222czc2222221:czbyaxdzzdyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zdz)1 ()1 (222222czbczadxdyzd.例2例2自學(xué)教科

11、書中練習(xí)練習(xí)3.4)(2,)(2222圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域與與是是由由其其中中求求zzyxvyxyxiv dd 作業(yè)作業(yè)：p251, 1(1)(3), 2(1).三、三重積分換元法三、三重積分換元法,),( , 0),( ),(),(),( , ),(),(),(:t vwvuwvujvwvuzwvuywvuxvxyzvuvwwvuzzwvuyywvuxxwzvzuzwyvyuywxvxux式導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列內(nèi)分別一階連續(xù)偏在函數(shù)域空間中的區(qū)一對(duì)一地映成空間中的區(qū)域?qū)⒃O(shè)變換類似于二重積分， .ddd | ),(|),(),(),( ddd ),( wvuwvujwvuzwvuywvuxfz

12、yxzyxfvv式則得到三重積分換元公oxyz1. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ,r),(3zyxm設(shè),代替用極坐標(biāo)將yx),z（則就稱為點(diǎn)m 的柱坐標(biāo).z200sinyzz cosx直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:常數(shù)坐標(biāo)面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面oz),(zyxm)0 ,(yx1000cossin0sincos),( zrj由于函數(shù)行列式.ddd),sin,cos(ddd ),( zzfzyxzyxfvv面坐標(biāo)換元公式所以得到三重積分的柱.42 ,ddd 2222圍成與）（由）（求zzyxvzyxyxiv例例7 7 計(jì)算。然后二重積分用極坐標(biāo)，得到并有平面投影在通常找出

13、zzyxfyxzyxzyxfdyxyxzzyxzzyxvdxyvdyxzyxzvd),(ddddd ),( ),(),(),(| ),( ,),(),(2121其中為由練習(xí)練習(xí)4. 計(jì)算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所圍成解解: 在柱面坐標(biāo)系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzo20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2半圓柱體.2. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系moxyzzr2000rcossinrx sinsinry cosrz 坐標(biāo)面分別為常數(shù)r球面常數(shù)錐面

14、sinrcosrz sin0sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossin),( 2rrrsrrrrj常數(shù)半平面.dddsin)cos,sinsin,cossin( ddd ),( 2rrrrrfzyxzyxfvv換元公式得到三重積分的球坐標(biāo) .dsin)cos,sinsin,cossin(ddddd ),( ),()(),(),(| ),( )()(),(),(2211121212121rrvrrrrrfzyxzyxfrzrrvv得到可表示為設(shè)例例8. 計(jì)算三重積分,)(222zdydxdzyx22yxz為錐面2222rzyx解解: 在球面坐標(biāo)系下:zy

15、xzyxddd)(222所圍立體.40rr 020其中 與球面dddsind2rrv rrr04d)22(515r40dsin20dxyzo4rr 例例9 9. .所確定立體的體積。所確定立體的體積。和球體和球體求由圓錐體求由圓錐體222222)(cotaazyxyxz解解. .20 ,0 ,cos20:ar200cos202sinarrvvdddd033sincosd382 a).cos1 (cos430433434 aa例例1010. .計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分,dddzyxz. 01:222222zczbyax且其中解解. .cos,sinsin,cossin: crzbryarxt作廣

16、義球坐標(biāo)變換sin0sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossin),(2abcrcrcbrbrbarararjddd dddrrabczyxzcossin3220010322cossinrrabcddd .cossin20224d2 abcabczoxy2練習(xí)練習(xí)5. 設(shè)由錐面22yxz和球面4222zyx所圍成 , 計(jì)算.d)(2vzyxi提示提示:4利用對(duì)稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxid)222(222用球坐標(biāo) rr d420dsin4020d221564內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)三重積分也有類似二重積分的三重積分也有類似二重積分的換元積分公式

17、換元積分公式.zyxdddzddddddsin2rr被積函數(shù)被積函數(shù)形式簡潔形式簡潔.坐標(biāo)系坐標(biāo)系 體積元素體積元素 適用情況適用情況直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系投影投影,切片切片,三次積分三次積分.積分區(qū)域積分區(qū)域多由坐標(biāo)面多由坐標(biāo)面圍成圍成;作業(yè)作業(yè)：p251, 3, 4(1), 7(1).6 6 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用一、立體體積一、立體體積 二、曲面的面積二、曲面的面積 三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心 四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 五、物體的引力五、物體的引力 1. 問題的特點(diǎn)問題的特點(diǎn):所求量是所求量是 對(duì)區(qū)域具有可加性對(duì)區(qū)域具有可加性分布在有

18、界閉域上的整體量分布在有界閉域上的整體量 2. 解決問題的解決問題的方法方法: 用微元法用微元法 (元素法元素法)，化為重積分，化為重積分 3. 解題解題要點(diǎn)要點(diǎn): 畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、 定出積分限、計(jì)算要簡便定出積分限、計(jì)算要簡便 一、立體體積一、立體體積 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為dyxyxfvdd),(,),(dyx 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為zyxvdddxoyza2例例1 1. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解解: 在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)?則立體體積為

19、zyxvdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rmmadzdn二、曲面的面積二、曲面的面積xyzso的面積。所確定的曲面，討論由方程上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域，函數(shù)是可求面積的平面有界設(shè)sdyxyxfzsdyxfd),( , ),( : ),( iniiiasss1 ,),(),(cosiiyiixiff2211iiiyiixiffa),(),(221mndiiiacosiiiyiixnitniitffas),(),(limlim2210101故有曲面面積公式d),(),(dyxyxfyxfs22

20、1yxyzxzsddd)()(221若光滑曲面方程為zyzxyxsdd)()(221,),( , ),(zydzyzygx則有即zydxzxyzysdd)()(221若光滑曲面方程為 ,),( , ),(xzdxzxzhy則有xzd例例2. 計(jì)算雙曲拋物面yxz 被柱面222ryx所截解解: 曲面在 xoy 面上投影為,:222ryxd則yxzzsdyxdd221yxyxddd122rrrrd1d0220 )1)1( 32232r出的面積 s .練習(xí)練習(xí). 計(jì)算半徑為 a 的球的表面積.三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心設(shè)物體占有空間域設(shè)物體占有空間域 , ,有連續(xù)密度函數(shù)有連續(xù)密度函數(shù)),(zyx

21、則采用則采用“分割分割, ,近似代替近似代替, , 求和求和, , 取極限取極限” 可導(dǎo)出其質(zhì)心可導(dǎo)出其質(zhì)心公式。公式。 將將 分成分成 n n 小塊小塊, ,在第在第 k k 塊上任取一點(diǎn)塊上任取一點(diǎn), ),(kkk例如例如, ,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小區(qū)域的最大直徑令各小區(qū)域的最大直徑,0t即得即得此質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo)此質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo). .zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(同理同理，zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常數(shù)時(shí)

22、當(dāng)zyx則得則得形心坐標(biāo)形心坐標(biāo)：,dddvzyxxx,dddvzyxyyvzyxzzddd的體積為zyxvddd若物體為占有若物體為占有xoyxoy 面上區(qū)域面上區(qū)域 d d 的平面薄片的平面薄片, ,其面密度其面密度 , ),(yx為yxyxyxyxxxdddd),(dd),(yxyxyxyxyydddd),(dd),(,常數(shù)時(shí),ddayxxxdayxyyddd( (a a 為為 d d 的面積的面積) )得得d d 的的形心坐標(biāo)形心坐標(biāo): :則它的質(zhì)心坐標(biāo)為則它的質(zhì)心坐標(biāo)為mmymmxxmym 對(duì)對(duì) x x 軸的軸的 靜矩靜矩 對(duì)對(duì) y y 軸的軸的 靜矩靜矩4例例3. 求位于兩圓sin

23、2rsin4r和的質(zhì)心. 2d解解: 利用對(duì)稱性可知0 x而dyxyaydd1drrddsin231rr dsinsin422dsin049562956dsin204295637之間均勻薄片031dsin43212oyxc練習(xí)練習(xí). 計(jì)算密度均勻的上半橢球體的重心.(教材256例3)四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù). ),(zyx該物體位于(x , y , z) 處的微元 vzyxyxd),()(22因此物體 對(duì) z 軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:zyxzyxyxizddd),()(22zidxyoz對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

24、量之和, 故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算. 類似可得:zyxzyxixddd),( zyxzyxiyddd),( zyxzyxioddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如果物體是平面薄片,面密度為dyxyx),(),(dxyxyxidd),( doyxyxidd),( 則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.xdyo2y2x)(22yx dyyxyxidd),( rraddsin0302例例4. 求半徑為 a 的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解解: 建立坐標(biāo)系如圖, 0:222yayxdyxyidxdd2drrddsin23441a24

25、1am半圓薄片的質(zhì)量221am 2212oxydaa的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.)sinsincossin(222222rr解解: 取球心為原點(diǎn), z 軸為 l 軸,:2222azyx則zizyxyxddd)(22552ama252dddsin2rr olzxy132220d球體的質(zhì)量334am dsin03rrad04例例5.5.求均勻球體對(duì)于過球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)球 所占域?yàn)?用球坐標(biāo)) 222zyxr g 為引力常數(shù)為引力常數(shù)五、物體的引力五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,，連續(xù)),(zyx物體對(duì)位于物體對(duì)位于，利用元素法，利用元素法,d),(d3vrxzyxgfx,d)

26、,(d3vryzyxgfy.d),(d3vrzzyxgfz在在 上上積分即得各引力分量積分即得各引力分量:其密度函數(shù)其密度函數(shù)rzxvdyfd引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為),(zyxffff ),(d),(ddd20rzryrxrvzyxgfff原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力vrxzyxgfxd),(3vryzyxgfyd),(3vrzzyxgfzd),(3對(duì) xoy 面上的平面薄片d ,它對(duì)原點(diǎn)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量為,d),(3dxxyxgfdyyyxgfd),(3)(22yx aar1122xyzor例例6. 設(shè)面密度為 ,半徑為

27、r的圓形薄片求它對(duì)位于點(diǎn)解解: 由對(duì)稱性知引力zfddag,222ryx)0(), 0 , 0(0aamdzagfagrraag02122)(2處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. 2ddgdar020da0m。, 0z),0,0(zff 23222)(dayx23222)(dayx2322)(darrrag2作業(yè)作業(yè)：p259, 1,3(1), 5(1), 6(1)*.rxyzo例例7*. 求半徑 r 的均勻球2222rzyx對(duì)位于)(), 0 , 0(0raam的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解解: 利用對(duì)稱性知引力分量0yxffzfrrzazgd)(vazyxazgd)(23222rrzazgd)(20023

28、2222zrazrrr)(dd點(diǎn)zdazyxyx23222)(dd0mazdrrzazarzaazd)(22211g2222122aazrazargrrd)(2334agr“第第2121章章 重積分重積分”的習(xí)題課的習(xí)題課（2）一、內(nèi)容要求一、內(nèi)容要求1、了解二重積分的概念和性質(zhì)2、掌握利用直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分的方法，會(huì)利用坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分3、掌握格林公式及應(yīng)用，會(huì)曲線積分與路線無關(guān)的條件及應(yīng)用4、了解三重積分的概念和性質(zhì)、了解三重積分的概念和性質(zhì)5、掌握利用直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系計(jì)算三、掌握利用直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系計(jì)算三重積重積分分的方法，會(huì)利用坐標(biāo)變換

29、計(jì)算三的方法，會(huì)利用坐標(biāo)變換計(jì)算三重積分重積分6、會(huì)、會(huì)重積分在幾何、物理上的簡單應(yīng)用重積分在幾何、物理上的簡單應(yīng)用二、練習(xí)二、練習(xí). 把積分把積分zyxzyxfddd),(化為三次積分化為三次積分,:220yxz12 yx11x其中其中 由曲面由曲面222,xyyxz0,1zy答答: 積分域?yàn)榉e分域?yàn)榧捌矫婕捌矫嫠鶉傻拈]區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 .原式原式2220111d),(ddyxxzzyxfyx. 試計(jì)算橢球體試計(jì)算橢球體1222222czbyax的體積的體積 v.利用利用“先二后一先二后一”計(jì)算計(jì)算.2222221:czbyaxdz解法解法1zyxvdddzdcyxzddd20abc34

30、czczab022d)1 (2解法解法2利用三重積分換元法利用三重積分換元法. 令令cos,sinsin,cossinrczrbyrax則則),(),(rzyxj,sin2rcba:zyxvdddrjdddabcabc34rrabcdddsin2rr d1020dsin20d20010 r注意：只計(jì)算上半橢球體體積呢？注意：只計(jì)算上半橢球體體積呢？zd1zd2計(jì)算積分2222rzyxzrzyx2222及,ddd2zyxz其中是兩個(gè)球 ( r 0 )的公共部分.解解: 可以用柱坐標(biāo)。但由于被積函數(shù)缺 x , y ,利用“先二后一先二后一” 計(jì)算方便 .原式 =zdyx1ddzzzrzrd)2(2

31、022zzrd202zdyx2ddzzrrd22zzrzrrd)(222232583160325533254rrrrrrrrrzyxo2r. p251 3(1). 548059ro oxyz. 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分解解: 在柱面坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhh2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成所圍成 .與平面與平面其中其中 由拋物面由拋物面hzr42zvdddd原式原式 =另：原式另：原式zhdz2022001ddhzz0d)41ln(d414)41ln(00zzzzzhh)41ln

32、(41)41ln(hhhh5. 計(jì)算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxi其中.4, 1),(2122圍成由zzyxz解解:zyxxiddd2利用對(duì)稱性zyxyxddd)(2122yxyxzzddd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zdzyxyxyxdddsin522206. 計(jì)算三重積分,d)(22vzy其中是由 xoy平面上曲線xy22x=5所圍成的閉區(qū)域 .解解: 利用柱坐標(biāo)sincosrzryxx原式522drx繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面5221 xr100 r20rr d100320drrrd25210053:zxyo532507.求曲面)

33、0()(32222azazyx所圍立體體積.解解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,cos0:3ar 利用對(duì)稱性, 所求立體體積為vvdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yoz面對(duì)稱, 并與xoy面相切, 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于 xoz dddsind2rrv yzxarr8. 在均勻的半徑為r的圓形薄片的直徑上 , 要接上一個(gè)一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個(gè)的另一邊長度應(yīng)為多少?22xryboryx提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖.,0y由對(duì)稱性知dyxydd022ddxrbrryyxxbxrrrd21222由此解得rb32問接上去的均勻矩形薄片即有d薄片的重心恰好落在圓心上 ,?b2332brr )(th( t 為時(shí)間) 的雪堆在融化過程中,其側(cè)面滿足方程,)()(2)