函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)48880

1、第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù) v一、泰勒一、泰勒 ( taylor ) 級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的概念v二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法一、一、泰勒泰勒 ( taylor ) ( taylor ) 級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的概念 )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xrn其中)(xrn( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng) .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf則在若函數(shù)0)(xxf在的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :

2、)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(為f (x) 在 處的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) . 則稱當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) .1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?待解決的問(wèn)題 :若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 0)(xxf在0 xx 定理定理各階導(dǎo)數(shù), ),(0rx則 f (x) 在該鄰域內(nèi)可展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:.0)(limxrnn證明證明:設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有必要性：若 f x在0,u x

3、 r內(nèi)可展開成泰勒級(jí)數(shù)， limnnf xpx0,xu x r而根據(jù)泰勒公式，又有 nnf xpxrx0,xu x r即有 limlim0nnnnrxf xpxf xf x故0,xu x r充分性：設(shè) 0lim0,nnrxxu x r由泰勒公式得 nnpxf xrx于是 limlimnnnnpxf xrxf x0,xu x r即 f x的泰勒級(jí)數(shù)在0,u x r內(nèi)收斂并且和函數(shù)為 f x說(shuō)明說(shuō)明:(1)如果函數(shù)f (x)在 內(nèi)能展開成 的冪級(jí)數(shù)證證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為nnxxaxxaxxaaxf0202010)(則;2)(121nnxnaxaaxf)(01xfa;) 1(!2)

4、(22 nnxannaxf)(0!212xfa ;!)()(nnanxf)(0)(!1xfannn顯然結(jié)論成立 .)(00 xfa 0,u x r0 xx那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)必定是泰勒級(jí)數(shù)，即 f x的冪級(jí)數(shù)展開式是唯一的。(2)(2) 當(dāng) f x在0,u x r內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)時(shí)，它的泰勒級(jí)數(shù)只是用 0!nfxn作為系數(shù)而形式地構(gòu)造出來(lái)的一個(gè)冪級(jí)數(shù)，這個(gè)冪級(jí)數(shù)即使在0,u x r內(nèi)的每點(diǎn)處收斂，也未必收斂于 。 f x關(guān)鍵在于泰勒公式中的余項(xiàng)是否滿足：.0)(limxrnn二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法 1. 直接展開法直接展開法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知, :)(展開成冪級(jí)數(shù)的步驟函數(shù)

5、xf第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;第二步 寫出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 r ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(r, r) 內(nèi))(limxrnn是否為0;展開方法展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級(jí)數(shù)展開式的函數(shù)展開第四步 當(dāng) 時(shí)，檢查所求得的冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間 的端點(diǎn) 處的收斂性.0r ,r rr例例1. 將函數(shù)xexf)(展開成 x 的冪級(jí)數(shù). 解解: ,)()(xnexf), 1 ,0(1)0()(nfn1其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足 )(xrne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故,!1!31!21132nxxnx

6、xxenrlim!1n! ) 1(1nn0),(x( 在0與x 之間)x2!21x3!31xnxn!1故得級(jí)數(shù) 例例2. 將( )sinf xx展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: )()(xfn)0()(nf得級(jí)數(shù):x)sin(2 nx其收斂半徑為 ,r對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足 )(xrn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxn12kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! ) 12(11) 1(nnnx),(xxsinn0kn2,) 1(k,012! ) 12(115!513!31) 1(nnnxxxxnnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211

7、cos類似可推出:),(x),(x12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx2. 間接展開法間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例例3. 將函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 因?yàn)閷⑺o函數(shù)展開成 冪級(jí)數(shù). lnxxaae1, 0)(aaaxfx01,1,11nnxxx ；0,;!nxnxexn 例如：lnuxa令由于nn=0ln,!unaexxn lnuxa把代入上式就得0ln,!nxnnaaxxn 例例4. 將函數(shù))1ln()(xxf展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn從 0 到 x 積分, 得xxxxnnn

8、d) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定義且連續(xù), 區(qū)間為.11x利用此題可得11) 1(41312112lnnn11x11x上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂 ,有在而1)1ln(xx所以展開式對(duì) x 1 也是成立的,于是收斂例例5. 將函數(shù) arctanf xx展開成 x 的冪級(jí)數(shù)因?yàn)?， 解解: 21arctan1fxxx將上式從 0 到 逐項(xiàng)積分，而且1,1x x 0arctan00f可得2101arctan,1,121nnnxxxn 當(dāng) 時(shí)，1x 上式右端的級(jí)數(shù)是收斂的,在 處又是連續(xù)的.因此 arctanf xx而1x 3521arctan1,1,13521nnxxxxx

9、xn 例例6. 將函數(shù))1 ()(xxf展開成 x 的冪級(jí)數(shù), 其中是任意不為零的常數(shù) . 解解:當(dāng) 是正整數(shù) 時(shí),n 01f1,2,kn，當(dāng)時(shí)， 011kfn nnk，而當(dāng)1,2,knn時(shí) 0kfx ，由此得21112112!1 !nnnn nn nxnxxxxn 122n-111cccnnnnnxxxx 現(xiàn)設(shè)非零常數(shù)r z，因?yàn)?11 11,2,nnfxnxn 故 01,0,01 ,fff 011nfn 于是得冪級(jí)數(shù)211112!nnxxxn 它的收斂半徑11 !11limlim!1nnnnnnarann 1lim1nnn故在開區(qū)間 內(nèi)，上述冪級(jí)數(shù)收斂，記它的和函數(shù)為 。1,1 s x.1

10、)(xxs2!2) 1(xnxnn!) 1() 1(1! ) 1() 1() 1(11)(nxnnxxsxxs1)()()1 (xsx),(xs)1 ()(xxsxxxxxxsxs00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxsxs1)0(s推導(dǎo)推導(dǎo)驗(yàn)證為避免分析余項(xiàng) , 采用下面方法證明01yxy是方程的解2!2) 1(xnxnn!) 1() 1(xx1)1 ()11(x稱為二項(xiàng)展開式二項(xiàng)展開式 .說(shuō)明：說(shuō)明：(1) 在 x1 處的收斂性與 有關(guān) .(2) 當(dāng) 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為 x 的 次多項(xiàng)式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理.由此得 對(duì)應(yīng)1,2121的二項(xiàng)展開式分別為xx

11、21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx) 1(x) 11(1112xxxxxn例例7. 將函數(shù) 展開成 的冪級(jí)數(shù)。解解:因?yàn)閏oscos33xx13cossin2323xxxcos3 x2411cos132!34!3xxx 3511sin333!35!3xxxx由得211cos13232!3xxx33,3!3xx 2143f xxx1x 2111114313231f xxxxxxx例例8.將函數(shù) 展開成的冪級(jí)數(shù)。解解:由于11111112421142xx111111

12、481124xx其中211111122212nxxxx 211111144414nxxxx 12x114x 2223011114322nnnnf xxxx因此)13( x內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式的函數(shù) .! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnn)1 (x1x2!2) 1(

13、xnxnn!) 1() 1(當(dāng) = 1 時(shí)x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x) 1, 1(x) 1, 1(x思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 函數(shù)0)(xxf在處 “有泰勒級(jí)數(shù)” 與 “能展成泰勒級(jí)數(shù)” 有何不同 ?提示提示: 后者必需證明, 0)(limxrnn前者無(wú)此要求.2. 如何求xy2sin的冪級(jí)數(shù) ?提示提示:xy2cos21210! )2(1) 1(2121nnn,! )2(4) 1(2121nnnnxn),(xnx2)2(備用題備用題 1.將函數(shù) 展開成 x 的冪級(jí)數(shù)xxxf11arctan)(解解:)(xf211x,) 1(02nnnx)1 , 1(x)0()(fxf

14、002d) 1(nxnnxx01212) 1(nnnxnx1 時(shí), 此級(jí)數(shù)條件收斂,4)0(f,12) 1(4)(012nnnxnxf1, 1x因此 )1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn2. 將在x = 0處展為冪級(jí)數(shù).)32ln()(2xxxf解解:)1ln(2ln)1ln()(23xxxf )1ln(x)32)(1 (322xxxx1nnnx) 11(x)1ln(23xnnnxn)(23) 1(11)(3232xnnnxn)(1 12ln231)(3232x因此2ln)(xf1nnnxnnnxn)() 1(23113. 將xsin展成4x解解: )(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!