第一章獨立性

1、12內容復習內容復習()( )( ),.,P ABP A P BAAA BBB 設設是是兩兩事事件件 如如果果滿滿足足等等式式則則稱稱事事件件簡簡稱稱互互獨獨立立獨獨立立相相定義定義1.41.4 ()(,( )0., . )A BP AAP B APBB 設設是是兩兩事事件件 且且則則相相互互獨獨充充分分必必要要是是條條件件立立的的定定理理1 1 ()(,( )0., . )A BP BAP A BPBA 設設是是兩兩事事件件 且且則則相相互互獨獨充充分分必必要要是是條條件件立立的的推推論論1 1兩事件發(fā)生可能性的大小并不相互影響兩事件發(fā)生可能性的大小并不相互影響根據問題的實際意義去判斷：根據

2、問題的實際意義去判斷：3兩事件相互獨立兩事件相互獨立)()()(BPAPABP 兩事件互兩事件互斥斥 ABAB11( ),( ),22P AP B則則AB()( ) ( ).P ABP A P B 故故 例如例如由此可見由此可見兩事件兩事件相互獨立，相互獨立，但兩事件但兩事件不互斥不互斥.兩事件相互獨立與兩事件互斥有聯系嗎？兩事件相互獨立與兩事件互斥有聯系嗎？4再如再如 請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？ AB即即: 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,則則A與與B不獨立不獨立.反之，若反之，若A與與B獨立，且獨立，且P(A)0,P(B)0, 則則

3、A 、B不互斥不互斥.而而P(A) 0, P(B) 0故故 A、B不獨立不獨立我們來計算：我們來計算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即5 問題：能否在樣本空間問題：能否在樣本空間中找兩個事件中找兩個事件,它它們既相互獨立又互斥們既相互獨立又互斥?這兩個事件就是這兩個事件就是 和和P( ) =P( )P()=0 與與獨立且互斥獨立且互斥事實上，事實上， 與任何事件與任何事件A都獨立都獨立.6推廣推廣1 三事件兩兩相互獨立的概念三事件兩兩相互獨立的概念.,),()()(),()()(),()()(,兩兩相互獨立兩兩相互獨立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個事件是三個事件設

4、設定義定義CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA ()( )( ),.,P ABP A P BAAA BBB 設設是是兩兩事事件件 如如果果滿滿足足等等式式則則稱稱事事件件簡簡稱稱互互獨獨立立獨獨立立相相兩個事件相互獨立兩個事件相互獨立7注意注意三個事件相互獨立三個事件相互獨立三個事件兩兩相互獨立三個事件兩兩相互獨立推廣推廣2 三事件相互獨立的概念三事件相互獨立的概念.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互獨立相互獨立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個事件是三個事件設設定義定義CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPA

5、PABPCBA ,A B C 兩兩兩兩相相互互獨獨立立8),()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21為為相相互互獨獨立立的的事事件件則則稱稱nAAAn 個事件相互獨立個事件相互獨立n個事件兩兩相互獨立個事件兩兩相互獨立具有等式具有等式任意任意如果對于任意如果對于任意個事件個事件是是設設,1),1(,2121niiinkknAAAkn 推廣推廣3例如例如1234,AAAA相相互互獨獨立立121213131414232324242434()()(),()()(),()()(),()()()()()(),()()(),PA APAPAPA APAPAPA APAPAPAA

6、PAPAPAAPAPAPAAPAPA 12312312412413413423423412341234()()()(),()()()(),()()()(),()()()(),()()()()(),P A A AP AP AP AP A A AP AP AP AP A A AP AP AP AP A A AP AP AP AP A A A AP AP AP AP A 9證明證明.AB只只證證與與獨獨立立()( )( )( ).P ABP A ABP AP AB .,也相互獨立也相互獨立與與與與與與則下列各對事件則下列各對事件相互獨立相互獨立若若BABABABA定定理理2 2()( ) ( ),P

7、 ABP A P B 又又()()() ()P ABP AP A P B )(1)(BPAP ).()(BPAP . AB與與相相互互獨獨立立練習練習A BAB已已知知 與與相相互互獨獨立立證證明明： 與與 也也相相互互獨獨立立10推論推論1212,(2), . nnnAAA nAAAn 若若個個事事件件相相互互獨獨立立則則將將中中任任意意多多個個事事件件換換成成它它們們的的對對立立事事件件 所所得得的的個個事事件件仍仍相相互互獨獨立立.,也相互獨立也相互獨立與與與與與與則下列各對事件則下列各對事件相互獨立相互獨立若若BABABABA定定理理2 2例如例如121, . nnAAAA 仍仍相相互

8、互獨獨立立121, . nnAAAA 仍仍相相互互獨獨立立11事件獨立性的應用舉例事件獨立性的應用舉例1、加法公式的簡化加法公式的簡化：若事件若事件A1，A2，An相互獨立相互獨立, 則則 1122()1() ()()nnP AAAP A P AP A2、乘法公式的簡化乘法公式的簡化：若若事件事件A1，A2，An相互獨立相互獨立, 則則 1212()() ()()nnP A AAP A P AP A 12例例1 三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為譯出的概率分別為0.2， 0.3 ，0.5 ，問三人中，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多

9、少？至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解：記解：記 Ai=第第i個人破譯出密碼個人破譯出密碼 i=1,2,3所求為所求為 P(A1A2 A3)獨立性的概念在計算概率中的應用獨立性的概念在計算概率中的應用121()nP AAA)(1321AAAP)()()(1321APAPAP10.8 0.70.50.7213例例2 設每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是設每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是0.2,若若10名機槍射擊手同時向一架飛機射擊名機槍射擊手同時向一架飛機射擊,問擊落飛問擊落飛機的概率是多少機的概率是多少?射擊問題射擊問題解解,名射手擊落飛機”名射手擊落飛機”為“第為“第設事件設事件iA

10、i事件事件 B 為為“擊落飛機擊落飛機”, ,1021AAAB 則則.10, 2 , 1 i)()(1021AAAPBP 14)()(1021AAAPBP )(11021AAAP )()()(11021APAPAP .893. 0)8 . 0(110 )(11021AAAP 此例意義為：此例意義為：“小概率事件小概率事件”在大量獨立重復試在大量獨立重復試驗中驗中“至少有一次發(fā)生至少有一次發(fā)生”幾乎是必然的。幾乎是必然的。15例例3 某型號火炮的命中率為某型號火炮的命中率為0.8，現有一架敵機，現有一架敵機即將入侵，如果欲以即將入侵，如果欲以 99.9 % 的概率擊中它，則的概率擊中它，則需配備

11、此型號火炮多少門？需配備此型號火炮多少門？解解: : 設需配備設需配備 n n 門此型號火炮門此型號火炮設事件設事件 表示第表示第 i i 門火炮擊中敵機門火炮擊中敵機iA999. 02 . 01)(11)(1nniiniAPAP29.42 .0ln001.0lnn故需配備故需配備 5 5 門此型號火炮門此型號火炮. .16例例4 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊, 三人三人擊中的概率分別為擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機被一人擊中飛機被一人擊中而被擊落的概率為而被擊落的概率為0.2 ,被兩人擊中而被擊落的概被兩人擊中而被擊落的概率為率為 0

12、.6 , 若三人都擊中飛機必定被擊落若三人都擊中飛機必定被擊落, 求飛機求飛機被擊落的概率被擊落的概率.解解 ,個個人人擊擊中中飛飛機機表表示示有有設設iAiA, B, C 分別表示甲、乙、丙擊中飛機分別表示甲、乙、丙擊中飛機 , 1,AABCABCABC 由由于于, 7 . 0)(, 5 . 0)(, 4 . 0)( CPBPAP則則D 表示飛機被擊落表示飛機被擊落123()0.2,()0.6,()1,P D AP D AP D A 17)()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP 故故得得7 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03

13、. 05 . 04 . 0 .36. 0 2,AABCABCABC 因因為為)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP .41. 0 )()(2BCACBACABPAP 得得18, 3ABCA 由由)()( 3ABCPAP 得得)()()(CPBPAP 7 . 05 . 04 . 0 因而因而,由由全概率公式全概率公式得飛機被擊落的概率為得飛機被擊落的概率為14. 0141. 06 . 036. 02 . 0 P.458. 0 .14. 0 19例例5 同時拋擲一對骰子同時拋擲一對骰子,共拋兩次共拋兩次,求兩次所得點求兩次所得點數分別為數分別為7與與11的概率的概

14、率.解解事件事件 A 為兩次所得點數分別為為兩次所得點數分別為 7 與與 11.則有則有)()(2121ABBAPAP )()(2121ABPBAP )()()()(2121APBPBPAP 366362362366 .541 . 2 , 17 iiAi點”點”次得次得為“第為“第設事件設事件. 2 , 111 iiBi點”點”次得次得為“第為“第設事件設事件20獨立性在可靠理論中的應用獨立性在可靠理論中的應用(1) (1) 串聯系統串聯系統12(.)nP A AA1(). ()nP AP A (2) (2) 并聯系統并聯系統12(.)nP AAA 11(). ()nP AP A21. . )

15、4, 3, 2, 1(,)(4, 3, 2, 14,.)()(試試求求系系統統的的可可靠靠性性個個元元件件的的可可靠靠性性為為設設第第稱稱為為串串并并聯聯系系統統聯聯結結按按先先串串聯聯再再并并聯聯的的方方式式工工作作的的元元件件個個獨獨立立設設有有如如圖圖所所示示的的可可靠靠性性或或系系統統元元件件能能正正常常工工作作的的概概率率稱稱為為或或系系統統一一個個元元件件 ipii1234 解解,)4 , 3 , 2 , 1(個元件正常工作個元件正常工作表示事件第表示事件第以以iiAi 例例6 622. 表示系統正常工作表示系統正常工作以以 A.4321AAAAA 則有則有:,得得系系統統的的可可

16、靠靠性性由由事事件件的的獨獨立立性性)()()()(43214321AAAAPAAPAAPAP )()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAP .43214321pppppppp 123423課堂練習課堂練習4 設設有有 門門高高射射炮炮各各向向敵敵機機發(fā)發(fā)射射一一發(fā)發(fā)炮炮彈彈，命命中中敵敵機機的的概概率率均均為為 0.2, 0.2,若若敵敵機機至至少少被被兩兩發(fā)發(fā)炮炮彈彈擊擊中中才才會會被被擊擊落落，求求敵敵機機被被擊擊落落的的概概率率？24將試驗將試驗 E 重復進行重復進行 n 次次, 若各次試驗的結果互若各次試驗的結果互不影響不影響 , 即每次試驗結果出

17、現的概率都不依賴于其即每次試驗結果出現的概率都不依賴于其它各次試驗的結果它各次試驗的結果, 則稱這則稱這 n 次試驗是次試驗是相互獨立相互獨立的的, 或稱為或稱為 n 次次重復獨立重復獨立試驗試驗.(1) 重復獨立試驗重復獨立試驗二二. 伯努利概型伯努利概型25(2) n 重重伯努利試驗伯努利試驗.1)(),10()( .,:pAPppAPEAAE 此時此時設設為伯努利試驗為伯努利試驗則稱則稱及及只有兩個可能結果只有兩個可能結果設試驗設試驗. , 重重伯伯努努利利試試驗驗 nnE復復的的獨獨立立試試驗驗為為則則稱稱這這一一串串重重次次獨獨立立地地重重復復地地進進行行將將實例實例1 拋一枚硬幣觀

18、察得到正面或反面拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. 若將硬若將硬幣拋幣拋 n 次次,就是就是n重伯努利試驗重伯努利試驗.實例實例2 拋一顆骰子拋一顆骰子n次次,觀察是否觀察是否 “出現出現 1 點點”, 就就是是 n重伯努利試驗重伯努利試驗.26定理定理1.3 （P.23）在在 n重伯努利試驗中，事件重伯努利試驗中，事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 ，則，則A發(fā)生發(fā)生k次的概率次的概率 )10( pp., 2 , 1 , 0,)(nkqpCkPknkknn 其中其中 q=1p 。伯努利公式正好是二項式公式的一般項：伯努利公式正好是二項式公式的一般項：nkknknnnnppqCpnqqpq 1)(伯努

19、利公式伯努利公式在第二章稱為在第二章稱為二項分布二項分布。27證證設設B表示表示“n次試驗中次試驗中A發(fā)生發(fā)生k次次”，個個個個knkAAAA k個個A的位置有以下的位置有以下 種可能情況：種可能情況：)(knCm 個個個個11 knkAAAAAA個個個個kknAAAA B1=B2=Bm=,1miiBB 則則),(jiBBji 且且由試驗的獨立性，由試驗的獨立性，)()()()()(1APAPAPAPBP knkqp )()(2mBPBP miiBPBP1)()(knkqmp knkknqpC 28例例 （P.25）一條一條自動生產線自動生產線上的產品，次品率為上的產品，次品率為4，從中任取，

20、從中任取10件，求解以下問題：件，求解以下問題：（0）求有）求有2件次品的概率；件次品的概率；（1）求至少有）求至少有2件次品的概率；件次品的概率；（2）一次?。┮淮稳?件，無放回抽取，求當取到第二件次件，無放回抽取，求當取到第二件次品時，之前已取到品時，之前已取到8件正品的概率。件正品的概率。分析：分析：試驗試驗E是是“任取任取1件產品觀察是正品還是次件產品觀察是正品還是次品品”。若是。若是有放回有放回抽取，連取抽取，連取10件為件為10次重復獨立試次重復獨立試驗。驗。由于自動生產線上的產品多（或一批產品），當抽取由于自動生產線上的產品多（或一批產品），當抽取的件數相對較少時，的件數相對較少

21、時，無放回無放回抽取也看成抽取也看成重復獨立試驗，重復獨立試驗，且每次只有且每次只有“正品正品”或或“次品次品”兩種結果，兩種結果，每次抽到每次抽到次品的概率都是次品的概率都是0.04，因此可看成因此可看成10重伯努利試驗。重伯努利試驗。多！多！29解解 設設A表示表示“任取任取1件時件時次品次品”，與題中所問一致與題中所問一致96. 0)(,04. 0)( APqAPp則則（0）設所求概率為）設所求概率為822101096. 004. 0)2( CP0519. 0 （1）設所求概率為）設所求概率為P(B), 則則 10210)()(kkPBP)1()0(11010PP 911101096.

22、004. 096. 01 C0582. 0 30(2) 由題意，當第二次抽到次品由題意，當第二次抽到次品時共抽了時共抽了10次，前次，前9次中次中8“正正”1“次次”。次次8“正正”1“次次”1910這不是這不是10重伯努利試重伯努利試驗！驗！為什么？為什么？因第因第10次試驗只有次試驗只有“次品次品”一個可能結一個可能結果！果！設設C表示表示“前前9次抽得次抽得8件正件正品品1件次品件次品”，則所求概率為則所求概率為)(CDP)(CP 81996. 004. 0 C)(DP04. 0 0104. 0 用伯努利公式用伯努利公式D表示表示“第十次抽得次品第十次抽得次品”，31注注： 若將（若將（

23、1）換為：求任?。Q為：求任取10件中恰有件中恰有2件件正品正品的的概率，則概率，則,96. 0 p所求概率為：所求概率為：004. 096. 082210 C有些題用伯努利公式解比其它方法簡單，如：有些題用伯努利公式解比其它方法簡單，如：32例例有放回有放回任取任取k (a) 件，件， 設設 B=k 件中恰有件中恰有 r 件次品件次品，則，則產品產品a+b 件件次品次品 a 件件正品正品b 件件rkrrkbabbaaCBP )()()(且取得次品的概率均為且取得次品的概率均為,baap 因這是因這是k次重復獨立試驗，每次只可能是次重復獨立試驗，每次只可能是“次品次品”或或“正品正品”，故由伯努利公式可得結果。故由伯努利公式可得結果。與用古典定義所得之結果相同。與用古典定義所得之結果相同。33例（逆問題）例（逆問題）P.28例例4每門炮的炮彈擊中敵機的概率均