數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的錯誤類型綜述

1、 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的錯誤類型綜述 孫偲文 摘 要：數(shù)學(xué)概念是客觀事物的本質(zhì)屬性在思維中的反映。學(xué)生對概念理解掌握的如何，直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。那么，弄清數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的錯誤類型就顯得尤為重要，經(jīng)過對學(xué)生的錯誤剖析，大致數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的錯誤類型可以分為以下六個方面：（1）用日常生活的概念代替數(shù)學(xué)概念，（2）用頭腦形成的形象概念代替數(shù)學(xué)概念，（3）用數(shù)學(xué)概念的表象特征代替本質(zhì)特征而產(chǎn)生的假性理解，（4）用舊的概念學(xué)習(xí)新的概念形成的慣性錯誤，（5）在舊概念思維領(lǐng)域?qū)W習(xí)新的概念，（6）用不恰當(dāng)?shù)耐茝V去產(chǎn)生新的概念等。 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；錯誤類型；學(xué)習(xí)過程數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一切數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)和形成的基礎(chǔ)，由于眾多

2、原因，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時容易出現(xiàn)各種錯誤。一些研究者如舍瓦列夫、孜科娃通過課堂觀察、實驗、作業(yè)等方式，記錄了學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)、幾何概念時所犯的大量錯誤。斯涅普坎從學(xué)生感知特點出發(fā)，認(rèn)為“非本質(zhì)特征的泛化，錯誤的概括”是錯誤概念產(chǎn)生的主要原因，要避免這種錯誤， “在未區(qū)分事物的本質(zhì)特征和避開非本質(zhì)特征之前，是不可能對事物進(jìn)行歸納的”。我國目前的數(shù)學(xué)教育學(xué)書籍中也列舉了學(xué)習(xí)概念時出現(xiàn)的問題，如概念內(nèi)涵的擴大或縮小，用非本質(zhì)屬性替代本質(zhì)屬性等。本文將系統(tǒng)分析幾種數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的錯誤類型，會對學(xué)生的錯誤的發(fā)現(xiàn)和糾正產(chǎn)生一定的幫助。一，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的錯誤類型 1.用日常生活的概念代替數(shù)學(xué)概念 1.1分析兒童

3、的日常生活經(jīng)驗是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，許多數(shù)學(xué)概念都是從日常生活概念中抽象發(fā)展而成然而，由于日常概念的寬泛性、易變性、多義性，容易對學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)概念造成錯誤的理解由于學(xué)生在接觸某數(shù)學(xué)概念之前，與之相聯(lián)的日常概念可能早已在他們的意識中潛在地存在著，因而有些錯誤幾乎是根深蒂固的孜科娃認(rèn)為：“術(shù)語的生活意義有時跟它們的科學(xué)意義基本上是一致的，但有時的科學(xué)意義就完全不同這些術(shù)語意義的一致或不一致，它們對于掌握幾何概念的過程就有不同的影響” 1.2舉例（1） “垂直”概念，在日常生活中，通常是以地平面為參照學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何概念“互相垂直”時，就會以日常的“垂直”概念代替“互相垂直”概念（2） 用日常概念

4、“角”來代替數(shù)學(xué)概念“角”時，學(xué)生在理解“平角”就會出現(xiàn)許多錯誤2.用頭腦形成的形象概念來代替數(shù)學(xué)概念 2.1分析數(shù)學(xué)概念意象中有許多意象是通過學(xué)生自己的言語符號描述的這種描述介于實驗、實例與概念定義之間，具有“形象”性分析表明，學(xué)生在描述一個概念時，他是通過一個實例、實物、圖形，運用自己的語言組織的他實際上是將概念定義進(jìn)行“異化”處理，有時盡管他能口述概念定義，但在內(nèi)部表征概念時，仍用個人的語言學(xué)生在表述概念時的語言是一種圖、 符號的混合描述， 而非明確的定義 在這個環(huán)節(jié)中，學(xué)生對于描述的語言、符號使用不準(zhǔn)確就容易造成概念錯誤，包括模糊、遺漏、增補、修正、變異等錯誤2.2舉例（1）整式概念在

5、學(xué)生的不完善表征中，可以是“幾個單項式，代數(shù)和，不能有分母”等描述，因而他們在判別一個式子是否為整式時，依據(jù)這些描述， 就會發(fā)生各種錯誤 對問題 “代數(shù)式A. ；B .；C .；D. 0 不是整式的是”的回答為（共 96 人）A：2%，B：25%，C：38%，D：35%這個結(jié)果表明，學(xué)生對整式概念的理解是借助于“形象描述”進(jìn)行的，并沒有把握其本質(zhì)屬性由于 B、D 與所描述的“整式形象”有差異，因而被許多同學(xué)排除在外 而 C 與他們心中描述的“形象”較近，因而仍有 62%的同學(xué)認(rèn)為它是整式（2） 我們通常是利用圖形的直觀性， 借助對曲邊梯形面積的討論， 向?qū)W生揭示定積分概念的產(chǎn)生和形成， 學(xué)生似

6、乎易于接受。但若是詢問他們：當(dāng)時，是否有成立？有不少人會認(rèn)為以上不等式是成立的。這就是由于直觀思維和感知意象支持的概念認(rèn)知（面積圖形），造成學(xué)生忽視 這一概念應(yīng)用上的特殊性（前提條件）和邏輯性，從而產(chǎn)生的錯誤判斷。 （3）這一定積分性質(zhì)的學(xué)習(xí)。 從表面上看， 學(xué)生似乎都能輕松地接受該性質(zhì)的表述，但實際應(yīng)用時，卻有不少人受到習(xí)慣性思維的影響， 根據(jù)性質(zhì)表述的字面含義去認(rèn)定點是區(qū)間的點（即）， 這樣的附加條件自然會造成他們在理解與應(yīng)用上的限制和錯誤。 事實上， 我們知道點對于區(qū)間的位置是任意的。3. 用數(shù)學(xué)概念的表象特征代替本質(zhì)特征而產(chǎn)生的假性理解3.1分析數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的假性理解是介于正確理解和

7、錯誤理解之間的, 對概念只是簡單的記憶和表面的理解, 雖能復(fù)述, 但卻沒有達(dá)到抓住概念的本質(zhì)特征, 也未深刻理解更沒有形成應(yīng)用的能力的水平狀態(tài). 這種假性理解的狀態(tài)是一種非穩(wěn)定的狀態(tài), 既可能升華為真正的理解, 也可能退化形成錯誤的概念, 所以對其加以認(rèn)真仔細(xì)的研究, 對合理調(diào)控教學(xué)進(jìn)程, 恰當(dāng)評估學(xué)生水平是大有幫助的.數(shù)學(xué)概念應(yīng)當(dāng)是由概念意象和概念定義構(gòu)成的完整的整體概念定義是概念本質(zhì)屬性的形式化的精確揭示，因而是運用與表征的最佳形式然而，理論與實踐已從多方面揭示，學(xué)生的概念意象與概念定義在大多數(shù)情況下是相分離的，在運用與表征數(shù)學(xué)概念時，更多地依賴于概念意象，而將概念定義“束之高閣” ，有時

8、甚至認(rèn)為概念定義是與這個概念無關(guān)的一種東西也就是說：在學(xué)生內(nèi)部表示中，大多數(shù)的概念的形式化定義與概念本質(zhì)是相脫離的這種脫離導(dǎo)致了許多錯誤的產(chǎn)生，尤其是那些以檢測概念定義為主要目標(biāo)的問題，錯誤產(chǎn)生就更為明顯。對實例的各種特征進(jìn)行概括，抽象出本質(zhì)屬性，是數(shù)學(xué)概念定義最為關(guān)鍵的一步然而在各種特征紛呈雜至的實例（即使是正例）面前，學(xué)生能準(zhǔn)確地概括相關(guān)特征，并抽象出本質(zhì)屬性是非常困難的這里一方面是，會將新的無關(guān)特征當(dāng)作本質(zhì)屬性；另一方面是，脫離具體背景，只保留其抽象本質(zhì)屬性而形成概念的定義，思維的升華，學(xué)生是難以接受的，有時甚至是排斥的在進(jìn)行概括時，學(xué)生出現(xiàn)的錯誤包括以下幾個方面一是，發(fā)生擴展，即將非本

9、質(zhì)特征作為本質(zhì)特征進(jìn)行概括二是，發(fā)生遺漏，即所概括的只是概念的部分本質(zhì)特征三是，發(fā)生異化，即對本質(zhì)特征加以修正、改變，使概念發(fā)生歪曲 3.2舉例（1）直角三角形的概念，將“位置在下的角為直角”的屬性加入這樣就會導(dǎo)致概念受到限制（2）認(rèn)為有中心的封閉曲線即為圓，形如 的方程是一元二次方程這樣會使概念范圍擴大（3）認(rèn)為菱形是對角線相等的平行四邊形（4）例如函數(shù)的奇偶性概念, 隱含了定義域關(guān)于對稱這一條件, 而學(xué)生在學(xué)習(xí)時,其注意力往往只在判別與的關(guān)系上，從而造成假性理解.（5）如對于函數(shù)學(xué)生只注意到與成立， 而沒有注意到其定義域是, 并不具備作為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件, 從而產(chǎn)生判斷失誤. 4.

10、用舊的概念學(xué)習(xí)新的概念形成的慣性錯誤 4.1分析數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)具有階段性、層次性，學(xué)生學(xué)習(xí)概念時從一個階段向另一階段，從一個層次向另一個層次轉(zhuǎn)化時，其認(rèn)知階段與層次并非與之同步轉(zhuǎn)變，會出現(xiàn)認(rèn)知滯后或超前現(xiàn)象這樣就形成數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的認(rèn)知差異這種認(rèn)知與概念發(fā)展的差異容易造成數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的錯誤。由于原有的思維定勢， 已形成的概念表象、 網(wǎng)絡(luò)等的作用，當(dāng)概念學(xué)習(xí)從一個階段轉(zhuǎn)入一階段，由一個層次轉(zhuǎn)入另一個層次時，相應(yīng)的思維模式、表象、網(wǎng)絡(luò)便同時進(jìn)入新的階段或?qū)哟?，自覺進(jìn)行加工從感知覺概念表象概念定義概念運用的各階段轉(zhuǎn)換中，學(xué)生容易把前一階段所形成的概念帶入后一階段中，例如把感知到的實例當(dāng)作概念表象，把概

11、念表象當(dāng)作概念定義把概念定義直接運用，這時的各種慣性替代就會產(chǎn)生概念錯誤從一個層次（水平）到另一個層次上的情況錯誤就更多，由于數(shù)學(xué)概念是隨認(rèn)知層次發(fā)展而不斷改變的，這就要求學(xué)生學(xué)習(xí)概念時要打破已形成的概念模式，建立新的概念，某種程度上帶有“反學(xué)習(xí)”的含義然而，正如斯金納所研究的那樣，反學(xué)習(xí)往往比新學(xué)習(xí)更加困難我們的研究表明，學(xué)習(xí)一個新的數(shù)學(xué)概念，比擴展一個舊概念出錯率要低得多教學(xué)中許多教師卻忽視這一點，認(rèn)為某概念學(xué)生已經(jīng)知道了，新的學(xué)習(xí)只要加上一些說明即可從而造成了很多錯誤的發(fā)生。 4.2舉例（1）對于方程許多大學(xué)生都認(rèn)為沒有根，顯然問題的設(shè)計者與結(jié)果分析者所預(yù)設(shè)的 x 的取值范圍顯然是復(fù)數(shù)域

12、 C，而這些“認(rèn)為沒有根”的大學(xué)生所選擇的 x 的取值范圍則應(yīng)該是實數(shù)域 R盡管大學(xué)生已步入成人階段，而他們許多數(shù)學(xué)概念的思維仍保持著低層次水平上的慣性（2）已知：，求和.顯然問題的設(shè)計者與結(jié)果分析者他們所預(yù)設(shè)的論域仍然是復(fù)數(shù)域 C，而的那些（大）學(xué)生們所選擇的論域也沒有變，還是實數(shù)域 R如果我們把問題改編成在實數(shù)或復(fù)數(shù)內(nèi)，已知，求與的關(guān)系，那么，如果是前者，則那些的學(xué)生就沒有錯誤，而如果是后者，則那些的學(xué)生的數(shù)量至少會降低。（3）學(xué)習(xí)怎樣求空間中兩條直線的距離時， 學(xué)生常常會不自覺地運用 “ 求平面上兩條平行直線間距離” 這一“ 舊” 的思維模式去審視它， 使自己的思維由于 “ 戀舊” 性而

13、不自覺地進(jìn)入限制領(lǐng)域。 其實， 空間中的情況比平面上要復(fù)雜許多。5. 在舊概念思維領(lǐng)域?qū)W習(xí)新的概念5.1分析出現(xiàn)思維“戀舊”的限制錯誤，即在新的領(lǐng)域中討論問題，但其思維不自覺地進(jìn)入限制的領(lǐng)域， 這種錯誤現(xiàn)象與“慣性”錯誤有相似之處，但 2 者又有區(qū)別 “慣性”指在新情境中用原有的思維模式進(jìn)行思維而“限制”，使新內(nèi)容不自覺地附加上條件，歸入原有的范圍內(nèi)錯誤產(chǎn)生原因是“學(xué)生試圖在過于限制的領(lǐng)域內(nèi)建立聯(lián)系造成的結(jié)果”數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)經(jīng)歷穩(wěn)定不穩(wěn)定新的穩(wěn)定的不斷發(fā)展的過程隨著學(xué)習(xí)進(jìn)程的改變，概念本身也在不斷發(fā)展改變舊有認(rèn)識，進(jìn)入新的穩(wěn)定階段，就必須要摒棄許多限制，擴大范圍然而，由于學(xué)生先期的模式，結(jié)構(gòu)已牢

14、牢地穩(wěn)定在大腦中，幾乎根深蒂固這 2 者的矛盾沖突便會導(dǎo)致大量錯誤產(chǎn)生這種錯誤產(chǎn)生是認(rèn)知過程中必然出現(xiàn)的，每一個錯誤都具備其合理成分這種錯誤，有時也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中必不可少的環(huán)節(jié)與內(nèi)容，正是這些錯誤導(dǎo)致許多矛盾與謬誤，使學(xué)生產(chǎn)生懷疑，進(jìn)而才更深入地把握概念的本質(zhì)屬性，正是通過對這些錯誤的不斷糾正，學(xué)生才不斷達(dá)到概念的更高層次5.2舉例 （1） 為負(fù)數(shù)， 實質(zhì)上是在新的數(shù)集中研究，但人們又不自覺地將 a 限制到正數(shù)范圍 （2）六年級學(xué)生對于小數(shù)、分?jǐn)?shù)概念已經(jīng)熟悉，各種運算非常熟練然而在判斷“2 個數(shù)的積與這 2個數(shù)的差（0 除外） ，在任何情況下都不會相等”時（300 人） ，只有 41

15、 人（14%）給出正確答案經(jīng)過訪談分析，出錯的原因是他們的思維都限制在自然數(shù)中 （3）已知和都是非零向量，且與互相垂直，與相互垂直，求與的夾角？錯解：即 （2）-（1）得 即.（不合題意，舍去）或可知與同向，故與夾角為.分析：對于實數(shù)的運算，若，則可以推出或，這是我們熟知，也是應(yīng)用最為廣泛的理論，但是對于學(xué)生不熟知的向量運算，由可推出或或.前兩者是對于實數(shù)運算的推移，但是后者是一種新情境，而學(xué)生只會在原有的實數(shù)領(lǐng)域解決這樣的問題必然會出錯。 （4）立體幾何思維停留在平面幾何思維，如在立體幾何中，對于直線a，b，c，學(xué)生依然會認(rèn)為6.用不恰當(dāng)?shù)耐茝V去產(chǎn)生新的概念6.1分析按過去經(jīng)驗、結(jié)論、方法對

16、概念作“合理”的推廣，而這些“合理”往往是錯誤的因為忽略了新的層次與原來層次之間的差異這種錯誤概念的克服，遠(yuǎn)比過程性錯誤困難，學(xué)生盡管學(xué)習(xí)了新領(lǐng)域內(nèi)的正確理論，但仍會同時自覺堅持這種錯誤概念唯一解決辦法可能是，“迫使學(xué)生去明確地面對他們的錯誤概念與所學(xué)過的科學(xué)原理之間的矛盾”由于思維慣性，學(xué)生在變化后的問題領(lǐng)域里常常會出現(xiàn)方法運用上的不恰當(dāng)推廣，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時最常見的錯誤現(xiàn)象。 對他們而言， 從表現(xiàn)形式上看卻顯得似乎合理。出現(xiàn)這類錯誤的實質(zhì)是忽略了數(shù)學(xué)對象在新舊范圍與層次中的差異。6.2舉例（1） 學(xué)生在學(xué)習(xí)極限時，出現(xiàn)下述錯誤：，實際上就是由一般的有限情形“合理”推廣到無限情形而成 （

17、2） ，不少學(xué)生或許根本沒有意識到，這里隨著n的無限增大，其求和項的個數(shù)也隨之增至無窮多個。出現(xiàn)這樣的情況， 完全是學(xué)生舊的學(xué)習(xí)心理定勢形成的思維單向性使然，不自覺地由有限情形 “ 合理” 地推廣到無限情形。（3）要證明當(dāng)，是的 的高階無窮小量時， 必須先計算它們的比值的極限。對此， 有的學(xué)生就通過如下的計算形式來證明：但這個推演是不對的。 顯然， 學(xué)生在第一步對等價無窮小替換方法的使用出現(xiàn)了不恰當(dāng)遷移，當(dāng)時有，（因為當(dāng)時），問題也就出在這里。實際上，與并不等價，這是由于兩個無窮小量進(jìn)行比較時， 要求有 “ 作為第二個比項的函數(shù)在的變化過程中不能為零” 這個前提，而學(xué)生卻忽略了在?。檎麛?shù)）

18、的值為0這個事實，而進(jìn)行了隨意的推廣。（4）求極限時， 常會有學(xué)生認(rèn)為： 因為且，同時1的任何次冪都等于1，所以。這里出現(xiàn)了兩處錯誤，一是學(xué)生錯誤地將這個不定型極限的計算通過前面學(xué)過的求常規(guī)極限的計算方法來實現(xiàn)；二是學(xué)生錯誤地以為由于有（為任意的實數(shù)）成立就應(yīng)當(dāng)有成立。 前者是方法遷移的不恰當(dāng)之故，后者則是由認(rèn)知慣性對以往的經(jīng)驗、 結(jié)論做了隨意的推廣（外延）所致。二，總結(jié)本文主要通過探索，搜集和整理文獻(xiàn)，總結(jié)了在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程中能產(chǎn)生的錯誤的類型，大致分為六個方面：用日常生活的概念代替數(shù)學(xué)概念，用頭腦形成的形象概念代替數(shù)學(xué)概念，用數(shù)學(xué)概念的表象特征代替本質(zhì)特征而產(chǎn)生的假性理解，用舊的概念學(xué)習(xí)新的概念形成的慣性錯誤，在舊概念思維領(lǐng)域?qū)W習(xí)新的概念，用不恰當(dāng)?shù)耐茝V去產(chǎn)生新的概念等。三，進(jìn)一步探究開展關(guān)于學(xué)生頭腦中的前概念或錯誤概念的研究,是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要,是運用建構(gòu)主義理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要。如何揭示學(xué)生頭腦中那些樸素的、不精確的、甚至 是錯誤的概念,采用何種教學(xué)策略幫助學(xué)生將這些錯誤概念轉(zhuǎn)變?yōu)榭茖W(xué)的數(shù)學(xué)概念,仍是擺在我們面前的需要深人探討的重要而又有意義的課題。 參考文獻(xiàn)1 李善良數(shù)學(xué)概